Подготовка к ЕГЭ по информатике, задание 10 — кодирование информации

Задание 10. Кодирование информации
Задание 10 № 4556. Азбука Морзе позволяет кодировать символы для сообщений по радиосвязи, задавая комбинацию точек и тире. Сколько различных символов (цифр, букв, знаков пунктуации и т. д.) можно закодировать, используя код азбуки Морзе длиной не менее четырёх и не более пяти сигналов (точек и тире)?
Пояснение.
Мы имеем алфавит из двух букв: точка и тире. Из двух букв можно составить 24 четырёхбуквенных слова и 25 пятибуквенных слов.
Соответственно, количество закодированных символов будет равно количеству различных слов, а их 16 + 32 = 48. Ответ 48
Задание 10 № 9760. Алексей составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Алексей использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы A, B, C, X, причём буква X может появиться на первом месте или не появиться вовсе. Сколько различных кодовых слов может использовать Алексей?
Пояснение.
На первой позиции в слове могут быть все четыре буквы А, В, С и Х, а со второй по пятую — 3. Значит всего можно составить 4 · 3 · 3 · 3 · 3 = 324 слова. Ответ: 324.
Задание 10 № 9796. Игорь составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы A, B, C, X, причём буква X появляется ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может использовать Игорь?
Пояснение.
Пусть Х стоит в слове на первом месте. Тогда на каждое из оставшихся 4 мест можно поставить независимо одну из 3 букв. То есть всего 3 · 3 · 3 · 3 = 81 вариант.
Таким образом Х можно по очереди поставить на все 5 мест, в каждом случае получая 81 вариант.
Итого получается 81 · 5 = 405 слов. Ответ: 405.
Задание 10 № 4790. Шахматная доска состоит 8 столбцов и 8 строк. Какое минимальное количество бит потребуется для кодирования координат одного шахматного поля?
Пояснение.
Если в алфавите  символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной  равно .
Всего клеток . В алфавите 2 символа(так как «бит»), то есть . Осталось найти ., следовательно, . Ответ 6.
Задание 10 № 4791. Какое минимальное количество бит потребуется для кодирования положительных чисел, меньших 60?
Пояснение.
Если в алфавите  символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной  равно .  Положительных чисел, меньших 60, 59 штук . В алфавите 2 символа (так как «бит»), то есть  Осталось найти . Сделаем это подбором. При , , при , . Ответ 6.
Задание 10 № 4792. Двое играют в «крестики-нолики» на поле 4 на 4 клетки. Какое количество информации (в битах) получил второй игрок, узнав ход первого игрока?
Пояснение.
Если в алфавите  символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной  равно 
В данном случае, количество возможных вариантов сделать первый ход равно 16 ().
, где N — количество бит. Ответ 4.
Задание 10 № 4793. В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько бит информации несет сообщение о том, что достали черный шар?
Пояснение.Формула Шенонна:  где x — количество информации в сообщении о событии P, p — вероятность события P.
 
Вероятность достать из корзины черный шар 
Воспользовавшись формулой Шенонна, получаем, что 
Задание 10 № 4794. В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о том, что достали белый карандаш, несет 4 бита информации. Сколько белых карандашей было в коробке?
Пояснение.
Формула Шенонна:  где x — количество информации в сообщении о событии P, p — вероятность события P.
 
Вероятность достать из коробки белый карандаш 
Воспользовавшись формулой Шенонна, получаем, что 
Следовательно, 
Задание 10 № 4795. За четверть Василий Пупкин получил 20 оценок. Сообщение о том, что он вчера получил четверку, несет 2 бита информации. Сколько четверок получил Василий за четверть?
Пояснение.
Формула Шеннона:  где x — количество информации в сообщении о событии P, p — вероятность события P.
 
Вероятность того, что Василий получил четверку 
Воспользовавшись формулой Шенонна, получаем, что  
Следовательно, 
Задание 10 № 4796. В корзине лежат черные и белые шары. Среди них 18 черных шаров. Сообщение о том, что достали белый шар, несет 2 бита информации. Сколько всего шаров в корзине?
Пояснение.
Формула Шенонна:  где x — количество информации в сообщении о событии P, p — вероятность события P.
 
Вероятность достать из корзины белый шар 
Воспользовавшись формулой Шенонна, получаем, что 
Следовательно, 
Задание 10 № 4797. В закрытом ящике находится 32 карандаша, некоторые из них синего цвета. Наугад вынимается один карандаш. Сообщение «этот карандаш – НЕ синий» несёт 4 бита информации. Сколько синих карандашей в ящике?
Пояснение. Формула Шенонна:  где x — количество информации в сообщении о событии P, p — вероятность события P.
 Вероятность того, что достали НЕ синий  где  — число синих карандашей.
Воспользовавшись формулой Шенонна, получаем, что  
Следовательно, 
Задание 10 № 4799. Для передачи сигналов на флоте используются специальные сигнальные флаги, вывешиваемые в одну линию (последовательность важна). Какое количество различных сигналов может передать корабль при помощи четырех сигнальных флагов, если на корабле имеются флаги трех различных видов (флагов каждого вида неограниченное количество)?
Пояснение.
Если в алфавите  символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной  равно .
 N=4, M=3. Следовательно, 
Задание 10 № 4800. Некоторое сигнальное устройство за одну секунду передает один из трех сигналов. Сколько различных сообщений длиной в пять секунд можно передать при помощи этого устройства?
Пояснение.
Если в алфавите  символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной  равно .
 N=5, M=3. Следовательно, 
Задание 10 № 4798. Некоторый алфавит содержит 4 различных символа. Сколько трехбуквенных слов можно составить из символов этого алфавита, если символы в слове могут повторяться?
Пояснение.
Если в алфавите  символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной  равно . N=3, M=4. Следовательно, 
Задание 10 № 4788. Световое табло состоит из лампочек. Каждая лампочка может находиться в одном из трех состояний («включено», «выключено» или «мигает»). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 18 различных сигналов?
Пояснение.
Q=18. N — количество лампочек, M=3 («включено», «выключено» или «мигает»). , . Нужно найти наименьшее целое N.
Проще всего использовать метод подбора: при  получаем , но уже при имеем . Ответ: 3.
Задание 10 № 4802. Световое табло состоит из цветных индикаторов. Каждый индикатор может окрашиваться в четыре цвета: белый, черный, желтый и красный. Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 300 различных сигналов?
Пояснение.
Если в алфавите  символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной  равно . M=4 (белый, черный, желтый и красный). 
Проще всего использовать метод подбора: при  получаем  но уже при  имеем .
Задание 10 № 5276. На световой панели в ряд расположены 7 лампочек. Каждая из первых двух лампочек может гореть красным, жёлтым или зелёным цветом. Каждая из остальных пяти лампочек может гореть одним из двух цветов - красным или белым. Сколько различных сигналов можно передать с помощью панели (все лампочки должны гореть, порядок цветов имеет значение)?
Пояснение.
Если в алфавите  символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной  равно . Для первых двух лампочек можно составить  различных сигналов. Для оставшихся пяти можно составить различных сигналов. Следовательно, с помощью всей панели можно передать 9·32 = 288 различных сигналов. Ответ 288.
Задание 10 № 5488. Для передачи аварийных сигналов договорились использовать специальные цветные сигнальные ракеты, запускаемые последовательно. Одна последовательность ракет — один сигнал; в каком порядке идут цвета — существенно. Какое количество различных сигналов можно передать при помощи запуска ровно четырёх таких сигнальных ракет, если в запасе имеются ракеты пяти различных цветов (ракет каждого вида неограниченное количество, цвет ракет в последовательности может повторяться)?
Пояснение.
Если в алфавите  символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной  равно . N=4, M=5. Следовательно, 
Задание 10 № 6777. Сколько слов длины 5 можно составить из букв Е, Г, Э? Каждая буква может входить в слово несколько раз.
Пояснение.
Если в алфавите M символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной N равно Q = MN. В нашем случае N = 5, M = 3. Следовательно, Q = 35 = 243. Ответ: 243.
Задание 10 № 6891. Сколько cуществует различных символьных последовательностей длины от одного до трёх в четырёхбуквенном алфавите {A, C, G, T}?
Пояснение.
Если в алфавите M символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной N равно Q = MN. В нашем случае M = 4, а N = 1, 2 или 3. Следовательно Q = 41 + 42 + 43 = 4 + 16 + 64 = 84. Ответ: 84.
Задание 10 № 7338. Рассматриваются символьные последовательности длины 6 в пятибуквенном алфавите {К, А, Т, Е, Р}. Сколько существует таких последовательностей, которые начинаются с буквы Р и заканчиваются буквой К?
Пояснение.
Если в алфавите M символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной N равно Q = MN. Первая и последняя буквы слова фиксированы, значит, задача сводится к нахождению количества возможных слов длиной 4 в пятибуквенном алфавите. Их число равно 54 = 625. Ответ: 625.