Практические работы по математике для студентов СПО

Раздел 1. Действительные числа
Практическое занятие №1
Тема: Квадратные уравнения и неравенства.
Цель: - обобщить знания по теме;
- вспомнить основные приемы решения квадратных уравнений,
уравнений приводимых к ним, квадратных неравенств.
I вариант II вариант
1. Контрольные вопросы
а) вспомнить формулы вычисления корней квадратного уравнения;
б) как решаются неполные квадратные уравнения ,
в) что такое метод интервалов?
2. Решить уравнение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) .
3. Решить неравенство:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
4. Найти область определения функции:
;
.
Литература:
Алгебра, 9 кл.
Практикум по математике, стр. 3-5.
Практическое занятие №2
Тема: Вычисление определителей второго порядка
Цель: обобщить приемы и методы при решении различных уравнений и неравенств.
I вариант II вариант
1. Решить систему уравнений методом Крамера:


2. Решить неравенство:
;
.
3. Найти область определения:
;
.
Литература:
Алгебра, 9 клПрактическое занятие №2
Тема: Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка.
Цель: - сформировать навык вычисления определителей 2-го порядка;
- познакомить студентов с правилом треугольника для вычисления определителей 3-го порядка.
I вариант II вариант
1. Контрольные вопросы
а) что такое определитель 2-го и 3-го порядка?
б) основные свойства определителей.
2. Вычислить определитель:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;11) ; 12) ;13) ; 14) ;15) ; 16) .Литература:
Лисичкин. Математика для техникумов.
Практическое занятие №3
Тема: Решение систем неравенств с двумя переменными
Цель: обобщить знания по теме;
- вспомнить основные приемы решения систем неравенств, вспомнить, как записывают решение системы равенств.
Решите систему неравенств:

Найдите целые решения системы неравенств:

С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений:
Практическое занятие №4
Тема: Преобразование и вычисление значений логарифмических выражений
Цель: научиться применять определение логарифма и его свойства для вычисления логарифмов

I вариантII вариант1. Контрольные вопросы
а) дать определение логарифма;
б) сформулировать основные свойства логарифмов;
в) найти х, если ; ; ; .
2. Вычислите:
Практическое занятие №5
Тема: Преобразование алгебраических выражений
Цель: - систематизировать знания по теме;
- отработать свойства степени и корня

I вариант II вариант
1 вариант 2 вариант
1. 1..
2. 2.
3. 3.
4. 4.
5. 5.
Практическое занятие №6
Тема: Функция и ее свойства.
Цель: научиться применять схему для исследований функций и строить график.

I вариант II вариант
1. Контрольные вопросы
а) что такое интервалы монотонности?
б) что такое max и min для функции?
в) вспомнить алгоритм исследования функции.
2. Записать общую схему исследования функции для построения графиков:
1) найти область определения;
2) определить свойства функции и точки пересечения с осями координат, если можно;
3) исследовать на монотонность и составить схему;
4) определить экстремумы и значение функции в них;
5) найти дополнительно несколько точек;
6) построить график функции.
у= - 2х2+6х-4
у = х+4

Полезно вспомнить графики часто встречающихся функций!

у = ах3, а˃0
у =

, с˃0 (ху=с˃0)
, с˂0 (ху=с˂0)
X
Y
x2+y2=R2
X
Y
y=аx3,а<0


у= - 2х2+6х-4
у = х2+4х
Практическое занятие №6
Тема: Построение графиков логарифмических и показательных функций.
Цель: - систематизировать знания по теме;
- развивать навык построения графиков функций.
I вариант II вариант
1. Контрольные вопросы
а) что называется возрастающей и убывающей функцией?
б) привести примеры возрастающей логарифмической функции;
в) привести примеры убывающей логарифмической функции;
г) привести примеры возрастающей показательной функции;
д) привести примеры убывающей показательной функции.
2. В одной системе координат построить графики (цветными карандашами) следующих функций:

Построить на чертежах прямую х=у (биссектрису 1 и 3 координатных углов) и сделать вывод о симметрии построенных графиков.3. Решить графически уравнение:

4. Построить график функции и описать его свойства (единичный отрезок – 2 клетки):
1) ;
2) ; 3) ;
4) .
Замечание: все вспомогательные графики строятся пунктиром и различными цветами.
5. Выполнить индивидуальное задание.
Решить графически уравнение:
1) ; 11) ; 21) ;
2) ; 12) ; 22) ;
Практическое занятие №9
Тема: Решение логарифмических уравнений.
Цель: сформировать навык решения логарифмических уравнений.
I вариант II вариант
1. Контрольные вопросы
а) дать определение логарифма;
б) сформулировать основные свойства логарифмов;
в) найти х, если ; ; ; .
2. Решить уравнение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ; 8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) .
3. Решить графически уравнение:
1) ;
2) ; 3) ;
4) .
Литература:
Алгебра и начала анализа, 10-11 кл.
Практикум по математике, стр. 18-21.
Практическое занятие №10
Тема: Решение логарифмических неравенств.
Цель: сформировать навык решения логарифмических неравенств.
I вариант II вариант
1. Контрольные вопросы
а) когда логарифмическая функция возрастает, а когда убывает?
б) что является областью определения логарифмической функции?
в) привести примеры возрастающих и убывающих логарифмических функций.
2. Решить неравенства:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ; 9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) .
Литература:
Алгебра и начала анализа, 10-11 кл.
Практикум по математике, стр. 18-21.
Практическое занятие №10
Тема: Решение показательных уравнений и неравенств.
Цель: сформировать навык решения показательных уравнений и неравенств.
I вариант II вариант
1. Контрольные вопросы
а) указать свойства показательной функции;
б) привести примеры возрастающей и убывающей показательной функции.
2. Решить уравнения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ; 7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) .
3. Решить неравенства:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Литература:
Алгебра и начала анализа, 10-11 кл.
Практикум по математике, стр. 18-21.
.
Практическое занятие №16
Тема: Вычисление пределов.
Цель: сформировать навыки вычисления различных пределов переменных величин.
I вариант II вариант
1. Контрольные вопросы
а) дать определение предела переменной величины;
б) перечислить свойства пределов;
в) дать определение б.м. и б.б. величин;
г) даны величины: ; ; ;. Предел каких величин равен 0 при а?
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6)
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
; Практическое занятие №17
Тема: Решение задач на нахождение производных.
Цель: сформировать навыки применения таблицы производных и правил дифференцирования для решения задач.

I вариант II вариант
1. Контрольные вопросы
а) чему равна производная тригонометрических функций?
б) вычислить у, если ; .
2. Вычислить производную:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) .
3. Вычислить производную функции, используя правила дифференцирования:
1) ;
2) ;
3) ; 4) ;
5) ;
6) .
Практическое занятие №18
Тема: Составление уравнения касательной к графику функции.
Цель: сформировать навыки применения таблицы производных и правил дифференцирования для составления уравнения касательной.

№ 1. К графику функции проведена касательная через точку с абсциссой . Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.
№ 2. Напишите уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой
Практическое занятие №19
Тема: Нахождение экстремумов, промежутков монотонности.
Цель: сформировать навыки применения таблицы производных и правил дифференцирования для исследования функций.

№ 1. Дана функция . Найдите её критические точки.
№ 2. Найдите точки экстремума функции:
№ 3. Найдите промежутки убывания функции .
№ 4. Найдите промежутки возрастания функции .
№ 5. Исследуйте функцию на экстремум с помощью второй производной.
№ 6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в заданных промежутках .
Практическое занятие №20
Тема: Исследование функций с помощью производной и построение графиков функций.
Цель: сформировать навыки применения алгоритма исследования функций и приемов построения графика
План исследования
1.Область определения функции. Проверка на асимптоты.
2.Множество значений функции.
3.Чётность.
4.Периодичность.
5.Первая производная: по ней определяются участки монотонности и точки экстремума.
6.Вторая производная: по ней определяются участки выпуклости и вогнутости и точки перегиба.
7.Точки пересечения с осями координат.
8.Построение графика.
Ответить, используя график, на вопросы:
1. Сколько критических точек имеет функция ?
2. Чему равна точка минимума ?
3. Чему равен минимум функции ?
4. Чему равна точка максимума ?
5. Чему равен максимум функции ?
Базовый уровень:
Исследовать функцию и построить ее график
у = x4 – 8x2

Средний уровень

Практическое занятие №21
Тема: Нахождение неопределенного интеграла
Свойства неопределенного интеграла:
1.
2.
3.
4.
Таблица основных интегралов
1. 2.
3.
4. 5.
6. 7.
8. 9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.
Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы (результат интегрирования проверить дифференцированием):

Решение.
Проверка:


Проверка:


Содержание практической работы
Задание 1. Вычислить интегралы.
1)

2)

3)

4)
5)
6)
Практическое занятие №22
Тема: Нахождение определенного интеграла
Цель: отработать навык нахождения определенного интеграла
Определенный интеграл, его вычисление и свойства
Определенный интеграл от функции, непрерывной на отрезке , вычисляется по формуле:
(5)
где — первообразная для функции , т. е.
Формула (5) называется формулой Ньютона — Лейбница.
Свойства определенного интеграла:




6) Если для всех , то
7) Если для всех , то
При вычислении определенного интеграла для нахождения первообразной используют те же методы, что и для нахождения неопределенного интеграла, т. е. замену переменной, интегрирование по частям и т. д. Однако есть ряд особенностей. При замене переменной по формуле (1) необходимо в соответствии с заменой менять пределы интегрирования:
(6)
где — обратная к функция.
Формула интегрирования по частям (3) приобретает вид:
(7)
Пример 4. Вычислить определенный интеграл
Решение.

Задание 4. Вычислить определенный интеграл.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Практическая работа №23
Тема: Вычисление площадей плоских фигур
Цель: сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления площадей, длин и объемов фигур.
Теоретические сведения к практической работе
Площади плоских фигур
1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат
Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями , где для всех , и прямыми , , то ее площадь вычисляется по формуле:
(8)

Рис. 1 Рис. 2
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:
x 0 1 –1 2 –2 3 –3 4 –4
y –2 –1 –1 2 2 7 7 14 14
Для построения прямой достаточно двух точек, например и .
Найдем координаты точек и пересечения параболы и прямой .
Для этого решим систему уравнений

Тогда Итак,
Площадь полученной фигуры найдем по формуле (8), в которой
поскольку для всех . Получим:


Содержание практической работы
Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Практическая работа №24
Тема: Решение прикладных задач
Цель: сформировать умение применять интеграл для решения прикладных задач.
Применение интеграла при решении задач по физике




Применение интегрального исчисления к решению прикладных задач в экономике
Задача. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией предложение – функцией p = q + 11. Определите величину выигрыша потребителя при покупке данного товара.
Задача. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией f(t) = 3/(3t +1) + 4.
Практическая работа №25
Тема: решение задач по комбинаторике