ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ТЕМУ «КОВЁР СЕРПИНСКОГО»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА НА ТЕМУ
«КОВЁР СЕРПИНСКОГО»
Оглавление
Введение
Понятие о фракталах.
Основатель фрактальной геометрии.
О коврах
Вацлав СерпинскийТреугольник СерпинскогоКовёр СерпинскогоФункции СерпинскогоВиды и основные свойства фракталов
Построение фракталов
О применении фракталов
Заключение
Основные тезисы
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6
Приложение 7 (Презентация)
Литература
Если люди отказываются верить
в простоту математики,
то это только потому, что они
не понимают всю сложность жизни.
Джон фон Нейман
Введение
Работа посвящена теме исследование фрактала: Ковер Серпинского.
Как известно, данный фрактал является одним из классических фракталов во фрактальной геометрии.
Основная цель данной работы заключается в исследовании фрактала под названием Ковер Серпинского.
Необходимость появления понятия фрактал появилась сравнительно недавно, а именно около 40 лет назад. Тогда геометрические модели различных природных конструкций традиционно строились на основе сравнительно простых геометрических фигур: прямых, многоугольников, окружностей, многогранников, сфер. Однако стало очевидно, что этот классический набор, достаточный для описания элементарных структур, становится плохо применим, для таких сложных объектов, как очертание береговых линий материков, поле скоростей в турбулентном потоке жидкости, разряд молнии в воздухе, пористые материалы, форма облаков, снежинки, пламя костра, контуры дерева и т.д. В связи с этим ученые стали вводить новые геометрические понятия. И одним из таких понятий стало понятие фрактала. Введено это понятие было французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом в1975 году. И хотя в математике похожие конструкции в той или иной форме появились давно, в физике ценность подобных идей была осознана лишь в 70 годы 20 столетия. Тогда немаловажную роль в распространении идей фрактальной геометрии сыграла книга Мандельброта "Фрактальная геометрия природы". Основой новой геометрии является идея самоподобия. Она выражает собой тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных структур не претерпевает значительных изменений при рассмотрении их через микроскоп с различным увеличением. В результате эти структуры на малых масштабах выглядят в среднем также, как и на больших. Здесь определена разница между геометрией Евклида, имеющей дело исключительно с гладкими кривыми, и бесконечно изрезанными самоподобными фрактальными кривыми. Элементы кривых у Евклида всегда самоподобны, но тривиальным образом: все кривые являются локально прямыми, а прямая всегда самоподобна. Фрактальная же кривая, в идеале, на любых, даже самых маленьких масштабах не сводится к прямой и является в общем случае геометрически нерегулярной, хаотичной. Для нее, в частности, не существует и понятия касательной в точке, так как функции, описывающие эти кривые, являются в общем случае недифференцируемыми.
Возможно, что наиболее убедительным аргументом в пользу изучения фракталов является их бросающаяся в глаза красота.
Фракталы удивительным образом соединили логический подход и познание природных явлений.
Многие крупные достижения в области фрактальной геометрии стали возможны с появлением современных компьютеров. Компьютерные эксперименты позволили получить достаточно полное представление о разнообразных фракталах и причинах их возникновения. Часто теоретическое моделирование этих структур подчас даже опережало экспериментальные методы изучения реальных природных объектов сложной формы.
С развитием фрактальной геометрии, для многих стало очевидно, что формы евклидовой геометрии сильно проигрывают большинству природных объектов из-за отсутствия нерегулярности, беспорядка и непредсказуемости.
В настоящее время можно сказать, что фрактальная геометрия обширно известна и достаточно актуальна. Все потому, что язык фрактальной геометрии применим для всей науки современного мира в целом. Например, в медицине для построения модели кровеносной системы человека или рассмотрении сложных поверхностей клеточных мембран.
Понятие о фракталах.
Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе эволюции. Х. О. Пайген и П. Х. Рихтер.
Геометрия, которую мы изучаем в школе и которой пользуемся в повседневной жизни, как говорилось ранее, восходит к Эвклиду (примерно 300 лет до нашей эры). Треугольники, квадраты, круги, параллелограммы, параллелепипеды, пирамиды, шары, призмы - типичные объекты, рассматриваемые классической геометрией. Предметы, созданные руками человека, обычно включают эти фигуры или их фрагменты. Однако в природе они встречаются не так уж часто. Действительно, похожи ли, например, лесные красавицы ели на какой-либо из перечисленных предметов или их комбинацию? Легко заметить, что в отличие от форм Эвклида природные объекты не обладают гладкостью, их края изломаны, зазубрены, поверхности шероховаты, изъедены трещинами, ходами и отверстиями.
"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности", - этими словами начинается "Фрактальная геометрия природы", написанная Бенуа Мандельбротом. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875 -1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Фракталы - это геометрические объекты с удивительными свойствами: любая часть фрактала содержит его уменьшенное изображение. То есть, сколько фрактал не увеличивай, из любой его части на вас будет смотреть его маленькая копия.
Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Внутренние свойства фракталов удобно описывать числовой характеристикой, получившей название фрактальной размерности. Проведём несложный эксперимент. Возьмём лист чистой миллиметровой бумаги и начертим на нём произвольный прямолинейный отрезок. Подсчитаем количество клеток с длиной стороны 1 см и количество клеточек с длиной стороны 1 мм, через которые проходит этот отрезок. Во сколько раз одно число больше другого? Если эксперимент проводить аккуратно, то покрывающих отрезок миллиметровых клеток окажется в десять раз больше, чем сантиметровых.
Геометрия в природе не ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам?
Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.
Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?
Фракталы и математический хаос - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос - термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды - вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.
Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мадельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности. Отсюда и происхождение слова фрактал (от лат. fractus - дробный).
Понятие дробной размерности представляет собой сложную концепцию, которая излагается в несколько этапов. Прямая - это одномерный объект, а плоскость - двумерный. Если хорошенько перекрутив прямую и плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом. Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких как граница множества Мандельброта, когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.
Основатель фрактальной геометрии.
Математики пренебрегли вызовом и
предпочли бежать от природы путём изобретения
всевозможных теорий, которые никак не
объясняют того, что мы видим или ощущаем.
Бенуа Мандельброт
Бенуа Мандельброт (фр. Benoit Mandelbrot; род. 20 ноября 1924, Варшава) — французский математик.
0-7620 Основатель и ведущий исследователь в области фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993).
Бенуа Мaндельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев. Но уже в 1936 году семья Бенуа Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж. В Париже он попал под влияние своего дяди Шолема Мандельбройта, известного парижского математика, члена группы математиков, известной под общим псевдонимом «Николя Бурбаки».
После начала войны Мандельброты бежали на свободный от оккупации юг Франции, в городок Тюль. Там Бенуа Мандельброт пошел в школу, но вскоре потерял интерес к учебе. Поэтому к шестнадцати годам он еле знал алфавит и таблицу умножения до пяти.
Но у Бенуа Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать студентом Сорбонны. Оказалось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение. Он даже алгебраические задачи решал геометрическим способом. Оригинальность его решений позволила Бенуа Мандельброту поступить в университет.
Окончив университет, Бенуа Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Он получил докторскую степень.
В 1958 он переехал в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне, поскольку IBM в то время занималась как раз интересными Бенуа Мандельброту областями математики.
Работая в IBM, Бенуа Мандельброт ушел далеко в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики. Ему нравилось именно переключаться с одной темы на другую, изучать различные направления.
Исследуя экономику, Бенуа Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми.
Бенуа Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более ста лет). Колебания цен в течение дня казались случайными, но Мандельброт смог выяснить тенденцию их изменения. Он проследил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Это открытие оказалось неожиданностью для экономистов.
По сути, Бенуа Мандельброт применил для решения этой проблемы зачатки своего рекурсивного (фрактального) метода.
О коврах.
Немного о надкусывании
Представьте себе, что вы выдрессировали крыс — они научились отгрызать ровно половину  наличного сыра. Если вы будете выпускать их на сыр не всем гуртом, а по одной, то каждая следующая откусит половину от того, что осталось, а оставшаяся часть будет уменьшаться и уменьшаться с каждой надкусившей  сыр крысой. Но если вы обзавелись бесконечным количеством крыс, то в конце концов (смешно звучит по отношению к бесконечности, зато честно) от  сыра ничего не останется. Действительно, первая ест одну вторую сыра, вторая — одну четвёртую, т.е. половину от половины, третья — одну восьмую, т.е. половину от половины от половины. Всё съеденное считается так: а значит, крысы к концу бесконечности съедят ВЕСЬ сыр, что вы им выдали.А вот если вы будете натаскивать грызунов на выкус одной третьей от всего наличного, всё будет несколько хитрее. Первая съест одну третью. Но вторая — не одну девятую. Почему? Объяснение довольно просто. После того, как съела свою долю первая крыса, осталось 2/3 сыра, а значит, вторая крыса съест 1/3 от 2/3, т.е. 2/9. Третья, как можно посчитать, съест 1/3 от 7/9, т.е. 7/27, четвёртая — 1/3 от 20/27, т.е. 20/81… поняли принцип?В конечном счёте от  сыра всё равно ничего не останется. Теперь представьте, что вы разделили сыр пополам, и одну из частей (половин, но об этом крысы не знают) объявили запретной — например, посыпали ядом, — а от второй разрешили крысам откусывать половину. Как вы догадались, от разрешённой половины ничего не останется, а запретная останется вся. Особо любопытна такая дрессировка крыс, при которой никакую половину сыра вы ядом не посыпаете, но что-то вам достаётся всё равно (это чтобы вы не отравились). Для этого, например, можно выучить крыс откусывать 2n-1/5n от стартового количества сыра. По окончании бесконечного обеда крысы оставят вам 1/3 сыра — это считается следующим образом:  В нашем случае от пяти надо отнять два, выйдет три, а если один поделить на три, выйдет как раз одна третья.Если вы по какой-то причине пропустили эту цифирь, значит, вернётесь к ней через пару минут. Или лет. Или по прочтении поста. Или по вторичном прочтении. Или в следующей жизни. В конце концов, человек только тогда достигает совершенства, когда в одной из прошлых жизней он был математиком.Но даже если вы вернётесь к цифири только в следующей жизни, вы неизбежно запомните вот это вот: 1/(b-a). Пригодится!
Немного о раскалывании
-70485598106510725155979795Теперь другая, не менее идиотская жизненная задача. Представьте, что вы решили повесить на стену тарелку. В доме нет ни клея, ни скотча — только гвозди. Вы пытаетесь прибить тарелку гвоздём, и она, разумеется, раскалывается на некоторое число кусочков. Кроме того, в месте, по которому вы ударили гвоздём, выкрошилось напрочь некоторое количество тарелки. Но вы упорны. О, да, вы упорны! И вы пытаетесь прибить к стенке каждый осколок тарелки. Может быть, берёте гвозди поменьше. Разумеется, каждый из осколков крошится на свои, более мелкие осколки, а в серединках бывших осколков что-то безвозвратно выкрашивается. Ну и пусть.Если быть бесконечно упорным и пытаться прибить осколки, получившиеся в результате бесконечного числа попыток, не останется ни кусочка тарелки, который не был бы проткнут гвоздём и не нёс бы выкрошенной дырочки.Но, как вы уже можете догадаться, вовсе не обязательно, что от тарелки ничего не останется. Всё зависит от того, как вы дрессировали ваши гвозди. Если они выкрашивают не слишком много тарелки, то общая площадь выкрошенного может быть и меньше, чем площадь оставшихся осколков. А может и больше — главное, что она будет меньше площади всей бывшей тарелки.Почему-то очень хочется написать, что тарелка была выточена из гранита науки, но я этого не сделаю. Польский учёный Вацлав Серпинский (1882-1969) не дрессировал крыс и не бил тарелки. Он был математиком. И самая известная его сюрреалистски-математическая акция заключалась в резьбе по салфеткам и коврам.Две наиболее известные фигуры, придуманные Серпинским — «салфет ка» (треугольник, из которого последовательно вырезаются треугольники всё меньшего размера, каждый площадью вчетверо меньше предыдущего) и ковёр (квадрат с вырезкой из квадратиков, каждый квадратик площадью вдевятеро меньше предыдущего).Площадь получившейся после бесконечного числа вырезок фигуры — как салфетки, так и ковра — равна нулю. Да и не совсем фигуры это.Тут следует остановиться и сформулировать отличие фигуры от линии.С одной стороны, фигура, вроде бы, имеет площадь, а линия её не имеет. Ещё Евклид писал, что линия это длина без ширины, а какая же площадь без ширины? Никакого раздолья!Но математиков это не удовлетворило, и они решили уточнить, что значит «без ширины». И договорились: если на чём-то выбрать точку и описать вокруг этой точки круг без границы (математики называют его деревенским словом «окрестность»), а потом начать его уменьшать, то если рано или поздно вся окрестность попадёт внутрь этого чего-то, то, значит, это была фигура. А если в окрестности всегда будут «чужие» точки, значит, это что-то было линия.left0Конечно, линия на картинке — никакая не линия. Линию вообще нельзя нарисовать, след от карандаша или курсора всегда имеет ширину. Линию можно только ОБОЗНАЧИТЬ. А такая вот, нарисованная, рано или поздно поглотит уменьшающуюся окрестность. На то и знак. Некоторые знаки крупнее означаемых ими объектов.Так вот. Поскольку ковры и салфетки Серпинского раскалываются, как наша тарелка, всё мельче и мельче, и в центре каждого осколка есть «выкрошенная» зона, при бесконечном выкрашивании и раскалывании в окрестность любой сохранившейся точки фигуры Серпинского попадут «пустоты». Значит, это линия.Ну да, всё как положено: это хитрозапутанная линия, и площадь линии равна нулю. Но если вырезать из ковра квадратики чуть меньшей площади, может выйти и так, что оставшаяся часть будет иметь площадь больше, чем ноль. Скажем, если выкинуть сперва одну двадцать пятую (квадратик со стороной, в пять раз меньше исходного), потом восемь квадратиков, в двадцать пять раз меньше вырезанного на первом шаге, потом — шестьдесят четыре меньших ещё в пять раз… словом, вспомните то, что я предлагал вам запомнить, и убедитесь, что вырежется из такого ковра всего 1/17 часть. А 16/17 останется. Но в окрестности любой точки того, что останется, всё равно будут дырки. Такая вот линия с площадью. А ведь можно вырезать и ещё меньшие квадратики! Да и не обязательно квадратики, было бы чётко задано правило, по которому мы вырезаем дырки и раскалываем то, что осталось, на новые кусочки. В каждом кусочке должна появиться дырка — вот и весь секрет изготовления линий из фигур. А от размера дырок зависит, будут ли линии иметь площадь, или останутся «длиной без ширины». Фигуры Серпинского — пожалуй, самые простые и самые красивые из известных мне фракталов.
Мне сразу показалось удивительным, что нечто, имеющее площадь, может всё, как есть, быть границей между самим собой и окружающей средой. Слишком уж это напоминает устройство живого организма. Вот вдумайтесь: то, что внутри кишок — это относится к организму или нет? А то, что в межклеточных щелях? А то, что в толще цитоплазмы, а не на мембранах? А в последнее время я всё больше и больше задумываюсь над тем, что и человеческая психика устроена сходным образом. Она — вся, всей своей толщей — пограничное явление.
Вацлав Серпинский-34290023495Вацлав Франциск Серпинский, в другой транскрипции — Серпиньский (польск. Wacław Franciszek Sierpiński); (14 марта 1882, Варшава, Польша — 21 октября 1969, Варшава) — выдающийся польский математик. Известен своими трудами по теории множеств, аксиоме выбора, континуум-гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии. Автор 724 статей и 50 книг.
Вацлав Франциск родился в семье врача Константина Серпинского.В 1900 году поступил на физико-математический факультет Варшавского университета. В 1904 году после окончания университета, получив степень кандидата наук и золотую медаль за работу в области теории чисел, он был назначен преподавателем математики и физики в женской гимназии Варшавы.Когда в 1905 году школы были закрыты из-за забастовки, Серпинский решил поехать в Краков для подготовки к защите докторской диссертации. В Ягеллонском университете он посещал лекции Заремба по математике, посещал лекции по астрономии и философии. В 1906 году он получил степень доктора философии. В январе 1908 года он стал членом Варшавского научного общества, а в июле получил докторскую степень и начал читать лекции по теории множеств в Львовском университете. В сентябре 1910 года он был назначен профессором. За время преподавания в университете Львова (1908—1914), он опубликовал три книги и большое количество статей.Первая мировая война застала его с семьёй в Беларусии и он был сослан в Вятку: у В.Серпинского было немецкое подданство. Благодаря усилиям математиков Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина ему позволено жить в Москве, где он работал вместе с Лузиным, участвовал в Лузитании. Летом 1918 года Серпинский начал читать лекции во Львове, но с осени 1918 года стал преподавать в Варшавском университете, где в апреле 1919 года был назначен профессором. В 1921 году он был избран в Польскую академию и стал деканом факультета Варшавского университета. В 1928 году он стал вице-президентом Общества науки и литературы Варшавы (с ноября 1931 года — президент) и, в том же году был избран председателем Польского математического общества. Он участвовал в работе на международных математических конгрессах в Торонто (1924), Болонье (1928), Цюрихе (1932) и Осло (1936).Один из участников международной поддержки против политической травли в «деле Лузина» (1936).В октябре 1944 года вместе с домом погибла его ценная библиотека. После освобождения из нацистского лагеря в феврале 1945 года он приехал в Краков, читал лекции в Ягеллонском университете, а осенью вернулся в Варшаву. В 1960 году вышел на пенсию, но продолжал вести семинар по теории чисел в Польской академии наук до 1967 года.Он был членом Польской Академии наук (с 1952) и её вице-президентом (до 1957).Он был удостоен почётных степеней университетов Львова (1929), Святого Марка в Лиме (1930), Амстердама (1931), Софии (1939), Праги (1947), Вроцлава (1947), Лакхнау (1949), Московского университета(1967).Он был членом Географического общества Лимы (1931), Королевского научного общества Льежа (1934), Болгарской академии наук (1936), Национальной академии Лимы (1939), Королевского общества наук в Неаполе (1939), Академии деи Линчеи в Риме (1947), Немецкой академии наук (1950), Американской академии искусств и наук (1959), Парижской академии (1960), Королевской голландской академии (1961), Международной академии философии науки в Брюсселе (1961), Лондонского математического общества (1964), Румынской академии (1965) и Папской академии наук (1967). Конечно, нужна определенная сила воли, чтобы одолеть такой монолитный текст из Википедии. Поэтому сделаю один небольшой акцент, касающийся Лузина и Лузитании (в связи с Серпинским, разумеется). А кто захочет, сможет потом уже сам нагуглить. В 1915 году в Москве оказался польский математик Вацлав Серпинский, интернированный из-за своего немецкого гражданства. Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин помогли ему выхлопотать разрешение на свободное проживание в Москве. В. Серпинский активно участвовал в создании Московской математической школы. Тесные контакты школ Лузина и Серпинского продолжались до середины 30-х годов. Первыми участниками Лузитании стали П. С. Александров, М. Я. Суслин, Д. Е. Меньшов, А. Я. Хинчин; несколько позже появились В. Н. Вениаминов, П. С. Урысон, А. Н. Колмогоров, В. В. Немыцкий, Н. К. Бари, С. С. Ковнер, В. И. Гливенко, Л. А. Люстерник, Л. Г. Шнирельман. Через несколько лет (1923—1924 годы) прибавилось третье поколение — П. С. Новиков, Л. В. Келдыш, Е. А. Селивановский. Одним последних к школе Лузина присоединился А. А. Ляпунов (1932 год). В это время Лузитании уже практически не было.
Мой "персональный" интерес к Серпинскому,конечно же, связан в первую очередь с треугольником и ковром Серпинского.
6.Треугольник СерпинскогоТреугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.
Построение треугольника Серпинского:
Пусть начальное множество S0 - равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S0 на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S1 (рис.). Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S2. Продолжая таким образом, получим после-довательность вложенных множеств Sn, чье пересечение образует ковер S.
Из построения видно, что весь ковер представляет собой объединение N = 3 существенно не пересекающихся уменьшенных в два раза копий; коэффициент подобия r = Ѕ (как по горизонтали, так и по вертикали). Следовательно, S - самоподобный фрактал с размерностью:
d = log(3)/log(2) ~ 1,5850.

Сам треугольник:
Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили ј часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна ј 2 площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила:
1/4 + 3*(1/42) + 32*(1/43) + … + 3n-1*(1/4n) + … .
Эта сумма равна 1
Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть ковер, имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной.
Треугольник Серпинского можно получить по следующему алгоритму:
22860093980Взять три точки на плоскости, и нарисовать треугольник.
Случайно выбрать любую точку внутри треугольника, и продвинуться на половину расстояния от этой точки к любой из трех вершин треугольника.
Отметить текущую позицию.
Повторить с шага 2.
Выкидывание центральных треугольников — не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.
Построение треугольника Серпинского «в обратном направлении»
Следующий способ получить треугольник Серпинского еще больше похож на обычную схему построения геометрических фракталов с помощью замены частей очередной итерации на масштабированный фрагмент. Здесь на каждом шаге составляющие ломаную отрезки заменяются на ломаную из трех звеньев (она сама получается в первой итерации). Откладывать эту ломаную нужно попеременно то вправо, то влево. Видно, что уже восьмая итерация очень близка к фракталу, и чем дальше, тем ближе будет подбираться к нему линия.
HYPERLINK "http://elementy.ru/images/posters/sierpinski_fig3_850.gif" \t "_blank"


Игра Хаос
Но и на этом не всё. Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос»
(см. Приложение).
С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы.
Некоторые свойства.
1.Треугольник Серпинского замкнут.2. Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.3. Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть, нецелую) Хаусдорфову размерность `ln3/(ln2)~~1,585`. - В частности, треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.
93345122682000Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. То есть, если отталкиваться от построения первым способом, из треугольника «вынули» всю внутренность: после каждой итерации площадь того, что остается, умножается на 3/4, то есть становится всё меньше и стремится к 0.
Существует так же неожиданная связь треугольника Серпинского с комбинаторикой: если в треугольнике Паскаля с 2n строками покрасить все четные числа одним цветом, а нечетные — другим, образуется треугольник Серпинского в некотором приближении.
Интересные фактыЕсли в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии.7. Ковёр СерпинскогоКовёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году.
2110740187960
15430512700
Построение ковра Серпинского получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. А именно, разделим данный квадрат на девять равных квадратов и серединный квадрат вырежем. Получим квадрат с дыркой. Для оставшихся восьми квадратов повторим указанную процедуру. Разделим каждый из них на девять равных квадратов и серединные квадраты вырежем. Повторяя эту процедуру, будем получать все более дырявую фигуру. То, что остается после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского.

Поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, в результате на ковре Серпинского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки.
Вычислим площадь ковра Серпинского, считая исходный квадрат единичным. Для этого достаточно вычислить площадь вырезаемых квадратов. На первом шаге вырезается квадрат площади . На втором шаге вырезается восемь квадратов, каждый из которых имеет площадь .
На каждом следующем шаге число вырезаемых квадратов увеличивается в восемь раз, а площадь каждого из них уменьшается в девять раз. Таким образом, общая площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессий с начальным членом и знаменателем . По формуле суммы геометрической прогрессии находим, что это число равно единице, т. е. площадь ковра Серпинского равна нулю.
Возьмем теперь квадрат площадью, равной двум, и вырежем из него квадрат с тем же центром площадью . Оставшуюся часть представим в виде восьми прямоугольников и в каждом из них вырежем квадрат с тем же центром площади . Таким образом, суммарная площадь маленьких квадратов будет равна . Повторяя эту процедуру, будем получать все более дырявую фигуру, которую также называют ковром Серпинского. Также как и раньше, в этом ковре Серпинского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки. Однако, в отличие от обычного ковра Серпинского его площадь отлична от нуля. Действительно, площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальным членом и знаменателем , т. е. равна 1. Поэтому площадь оставшейся части равна единице.
8.Функции Серпинского Ковер Серпинского является двумерным аналогом функции Кантора . Пусть Т – заданный правильный треугольник, А, В, С – его вершины: левая, верхняя и правая. Соединяя середины сторон треугольника Т, получим четыре новых правильных треугольника, три из которых – Т0, Т1, Т2, содержат вершины А, В, С, расположенные параллельно Т, и четвертый треугольник U находится в центре треугольника Т;  исключаем внутреннюю область треугольника U.
Произведем над каждым треугольником Т0, Т1, Т2 те же операции как и для треугольника Т: получим девять треугольников, расположенных параллельно треугольнику Т. На n-ом шаге имеем ;   – новые треугольники. На рис. 7 приведен ковер Серпинского при .

Также построим прямоугольный ковер Серпинского. Берем квадрат со стороной, равной единице. На первом шаге делим его на 9 равных квадратов (со стороной 1/3), и все внутренние точки центрального квадрата удаляем (на рис. 8 эта часть выделена черным цветом). На втором шаге также поступаем с оставшимися 8 квадратами, причем возникают уже 64 квадрата (со стороной 1/9). Далее процесс повторяем на всё более и более мелких масштабах. Нетрудно найти, что суммарная площадь выброшенных квадратов
,                                                                          
Оставшееся множество точек называется ковром Серпинского.
Как видно из приведенного построения, достаточно задать алгоритм одного шага преобразования, чтобы восстановить структуру фрактала на любых масштабах.
Примерно также получаются все остальные геометрические фракталы: вы берете какую-то фигуру и начинаете применять к ней, а потом к ее частям, определенное геометрическое построение достаточно много раз.
Отметим, что до сих пор рассматривалось построение фрактала с помощью какого-либо детерминированного алгоритма, однако может использоваться и вероятностный алгоритм. При этом свойство самоподобия у таких фракталов сохраняется «в среднем», т.е. после серии реализаций или серии масштабных преобразований.
Рассмотрим общий метод получения аналогичных отображений. В отличие от рассмотренных ранее нелинейных точечных отображений рассмотрим теперь системы линейных функций (отображений), задающих аффинные преобразования плоскости.
Каждое из преобразований  системы можно записать в виде ,
.                                                                          
Здесь матрица А осуществляет масштабирование исходного множества, а вектор b – сдвиг. Отображения должны быть сжимающими: .
Систему функций получим, рассматривая совместно набор п отображений Т = {}.
Алгоритм действия отображения Т состоит в следующем. Зададим некоторое компактное начальное множество точек Е0 на плоскости. Первое применение Т к этому множеству (т.е. первая итерация) дает множество
,                                                                       
т. е. каждое из отображений  должно быть применено к исходному множеству, а затем требуется объединить получившиеся множества. Следующие итерации можно записать в следующем виде:
.                                                                    
Совокупность отображений  называется системой итерированных функций (СИФ), описываемая согласно приведенной итерационной схеме
В качестве примера рассмотрим систему из отображений для салфетки Серпинского (Е0  – треугольник с вершинами (0,0), (1,0), (1/2, ),
Каждое из этих отображений – сжимающее, со степенью сжатия s = 1/4.
9.Виды и основные свойства фракталов

Что общего у дерева, молнии, капусты романеско и изрезанного фьордами побережья Норвегии? Оказывается, что все они обладают свойством самоподобия: самоподобный объект — это объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и так далее, тоесть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроен разряд молнии. Бутоны капусты романеско похожи на все соцветие, а каждый бутон состоит из набора меньших бутонов, каждый из которых подобен большему. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы, расположенные примерно так же, как и заливы, полуострова. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов французский математик Бенуа Мандельброт в 1975 году назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами.
Однако, строго определения у понятия «фрактал» нет. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:
обладает сложной структурой при любом увеличении;
является (приближенно) самоподобной;
обладает дробной фрактальной размерностью, которая больше топологической;
может быть построена рекурсивными процедурами.
При дальнейшем изучении фракталов оказалось, что многие из них обладают необычными свойствами и находят самые различные применения в таких науках, как физика, химия, биология, радиотехника, информатика и экономика.
Как правило, все фракталы делят на две большие группы: геометрические (или конструктивные) и динамические (или алгебраические). Иногда выделяют, как самостоятельную группу, стохастические фракталы.
Геометрические (конструктивные) фракталы
Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую.
В качестве примера рассмотрим один из самых известных фракталов – кривую Коха.
Кривая Коха впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (немецкий математик Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».
Генератором данной прямой является следующая ломаная:
-3810190500AB = BC = CD = BD = DE.
Теперь заменим каждый из отрезков AB, BC, CD и DE генератором, а затем каждый из полученных отрезков снова заменим генератором. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Вот что мы получим при описанном построении (цифрами обозначены этапы построения, называемые итерациями):
-11684035369500Если же на первом шаге взять не отрезок, а равносторонний треугольник, то получим фигуру, называемую снежинкой Коха.
5025390-75311000По рисунку видно, что снежинка Коха состоит из трех кривых Коха, одна из которых выделена на рисунке.
Снежинка Коха обладает одним удивительным свойством: она ограничивает конечную площадь, но ее периметр бесконечен.
Действительно, пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3, длина линии с номером n равна (4/3)n–1. При неограниченном увеличении числа n значение (4/3)n–1 неограниченно увеличивается, то есть периметр снежинки бесконечен, однако снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь ограничена.
Площадь можно посчитать. Пусть сторона исходного правильного треугольника равна 1, тогда его площадь равна S0=34. На каждом шаге к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички.
-381030416500
В первый раз их всего три, а каждый следующий раз их в четыре раза больше, чем было в предыдущий. То есть на n-м шаге будет достроено Tn = 3 · 4n–1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3)n. Площадь каждого треугольничка равна
Sn=34∙9n=S09n .
Всего же на n-ном шаге площадь исходной фигуры увеличивается наTn∙Sn=3∙4n-19n∙S0 .
Таким образом, получим, что площадь фигуры в ходе всех преобразований увеличится на число, равное сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии (an), где a1=13, q= 49 , то есть на 131-49∙S0=35∙S0. Итак, площадь фигуры равна 1+35∙S0=85∙34=235 .Построение фракталов
Рассмотрим один из простых, но, вместе с тем, эффективных способов конструирования фракталов на примере кривой Леви.
-5715184340500-5715698500Построение данной кривой начинается с отрезка AB, который на первом шаге заменяется равнобедренным прямоугольным треугольником ACB с исходным отрезком в качестве гипотенузы (при этом гипотенуза исключается из кривой).
Последующие шаги построения аналогичны. Следовательно, задача сводится к определению координат «промежуточной» точки С(x; y) по известным координатам точек A(x0; y0) и B(x1; y1). Координаты точки C можно определить, найдя координаты AC.
По свойству прямоугольного треугольника, точки A, B и С равноудалены от точки O – середины гипотенузы. По построению, треугольник ABC – равнобедренный, а значит OC ⊥ AB, а значит OC⊥AO и OC=OA. Очевидно, что AOx1-x02; y1-y02. Пусть AO=a и OC=b, тогда по условию перпендикулярности векторов и по условию равенства их модулей имеем:
xaxb+yayb=0;xa2+ya2=xb2+yb2;Выразим из первого уравнения xb, подставим во второе и после преобразований получим, что b имеет координаты -ya; xa или ya; -xa. В первом случае OC направлен влево от AO, во втором – вправо. В нашем случае нужно использовать первый вариант, а значит, OC имеет координаты -y1-y02; x1-x02. Отсюда следует, что точка С имеет координаты
x=x0+x1-x02-y1-y02=x1+x02-y1-y02;y=y0+y1-y02-x1-x02=y1+y02-x1-x02;На основании проведенных вычислений строится программа вычисления координат точек-вершин фрактальной кривой. Ниже приведен ее фрагмент, непосредственно вычисляющий координаты «промежуточных» точек:
Подобным образом строятся и многие другие фракталы, например, кривая Коха (в случае кривой Коха будет три «промежуточные» точки). Но иногда для построения фрактала необходимо поочередно откладывать треугольники (или другие фигуры) то в одну, то в другую сторону. Например, фрактал Дракон Хартера-Хейтуэя строится аналогично кривой Леви, но равнобедренные треугольники поочередно откладываются то вправо, то влево:

Для этого нужно чередовать знаки координат, что можно решить введением множителя -1i, где i – номер вершины кривой. Таким образом, координаты точки С имеют вид:
x=xi+xi-12+(-1)i∙yi-yi-12;y=yi+yi-12--1i∙xi-xi-12.Данная замена будет единственной в программе построения фрактала Дракон по сравнению с предыдущей программой.
11.О применении фракталов
Прежде всего, фракталы - область удивительного математического искусства, когда с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности! В контурах построенных изображений нередко угадываются листья, деревья и цветы.
Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Во-первых, это фрактальное сжатие изображений, и во-вторых построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. Современная физика и механика только-только начинают изучать поведение фрактальных объектов. И, конечно же, фракталы применяются непосредственно в самой математике. Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg. В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка. Компанией Iterated разработан новый формат изображений "Sting", сочетающий в себе фрактальное и «волновое» (такое как в формате jpeg) сжатие без потерь. Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью последующего высококачественного масштабирования, причем объем графических файлов составляет 15-20% от объема несжатых изображений. Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами, например фрактальные облака из 3D studio MAX, фрактальные горы в World Builder. Фрактальные деревья, горы и целые пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не распадаются на отдельные треугольники и кубики при приближении. Нельзя обойти стороной и применения фракталов в самой математике. В теории множеств множество Кантора доказывает существование совершенных нигде не плотных множеств, в теории меры самоаффинная функция "Канторова лестница" является хорошим примером функции распределения сингулярной меры. В механике и физике фракталы используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты, обладают "шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь угодно большом увеличении модели. Наличие на фракталах равномерной меры, позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях. При фрактальном подходе хаос перестает быть синимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.
Практическое применение фракталов
Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:
Компьютерные системы
Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.
Механика жидкостей
1. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к из фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.2. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.
3. Пористые материалы хорошо представляются во фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.
Телекоммуникации
Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.
Физика поверхностей
Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.
Медицина
1.Биосенсорные взаимодействия.
2.Биение сердца
Биология
Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.
Применение фракталов в антенной технике
На основе идей и алгоритмов, рассмотренных ранее в первом разделе, был предложен новый метод методы использования фрактальных элементов в антенных решетках. Его применение позволяет повысить плотность размещения и снизить взаимосвязи между элементами. Кроме того, на основе фрактальной теории были изучены свойства и вид излучения таких антенн . Использование фрактальной теории позволяет получить антенны, которые являются электрически длинными, но физически компактны и занимают малую площадь. Благодаря этому свойству можно добиться миниатюризации антенн.
От современных антенн требуется высокая точность и минимальные размеры. Для радиосвязи требуются системы, которые могут работать на максимальном количестве диапазонов частот. Бортовые антенные системы требуют от антенн максимально возможной миниатюризации. Для достижения этих целей были предложены различные методы применения фракталов в теории антенн. Покажем возможные области применения фракталов в антенной технике:
а) проволочные антенны, микрополосковые антенны – эти антенны имеют физическую фрактальную структуру;
б) антенны с фрактальной диаграммой направленности (ДН), решетки с фрактальным распределением тока – антенны построены на основе компьютерного моделирования фрактальных характеристик.
Приведем пример использования фрактальной структуры для простой кольцевой антенны [5].
Излечение решетки будет иметь вид:
                                                              
Р – общее количество циклов; N =4 – количество элементов на одном кольце;  – фаза (сдвиг) элемента, ;  –  масштабный 2967990431800фрактальный коэффициент.
 
left22860 
 
 
 
 
 
 
12.Заключение
Фракталы окружают нас всюду: это деревья, горы, облака. Но, кроме этого фракталы встречаются в объектах и невидимых человеческим глазом: это клетки различных живых тканей, трещины в земной коре и многое другое. Фрактальная графика может применяться во многих областях естественных наук. Она используется не только в математике, но и в экономике, географии, астрономии, биологии, физике и даже в литературе. Фракталы помогают геофизикам определять форму и характер растрескиваний земной коры и особенности распределения в ее слоях различных химических элементов, а астрономам – моделировать формирование планетных систем и галактик, характер рассеивания лучей и космической пыли.
Фрактальная наука очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и ещё подарит нам не мало шедевров – тех, которые услаждают глаз, и тех которые доставляют истинное наслаждение разума.
В моей работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Хочу только сказать, что со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Может быть, в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на существование.
Работая над темой исследования, я значительно углубила свои знания по математике, расширила математический кругозор.
В ходе изучения фракталов я выяснила, что многие из них обладают удивительными свойствами и широко используются в различных областях науки.
На основе результатов своего исследования я создала компьютерную презентацию, с помощью которой каждый, кто заинтересуется, может составить четкое представление о видах и необычных свойствах фракталов.
Я убедилась, что математика – уникальная и удивительная наука, методы которой позволяют описать закономерности и структуру самых необычных явлений окружающего мира. Кроме того, фрактальные рисунки, имеющие причудливые динамические формы, – один из символов единства математики и искусства. Созданные современными компьютерами фракталы формируют глубокие эстетические эмоции, которые вызывают уважение и интерес к математике.
Я считаю, что проведенная мной работа по исследованию фракталов очень полезна для меня самой, а ее результаты могут быть успешно использованы на уроках математики и во внеклассной работе. Потому что это действительно интересно!
13.Основные тезисы.
1.Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст. Она появилась в конце шестидесятых годов благодаря Бенуа Мандельброту.
2. Фрактал - самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом.
3.Фракталы всё чаще используются в науке. Например, в компьютерных системах, механике жидкостей, медицине, биологии и других.
4.Сущетвует множество различных фракталов: Канторово множество, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, кривая Коха, снежинка Коха, дракон Хартера-Хатвея и другие.
5. Можно считать, что самоподобие -- один из видов симметрии.
6. Фракталы позволяют намного упростить сложные процессы и объекты, что очень важно для моделирования. Позволяют описать нестабильные системы и процессы и, самое главное, предсказать будущее таких объектов.
Приложение 1
Динамические и стохастические фракталы
Возьмем какую-нибудь начальную точку z0 на комплексной плоскости. Теперь рассмотрим бесконечную последовательность чисел на комплексной плоскости, каждое следующее из которых получается из предыдущего: z0, z1 = f(z0), z2 = f(z1), ... zn+1 = f(zn), где f(z) – какая-либо функция комплексной переменной. В зависимости от начальной точки z0 такая последовательность может вести себя по-разному: стремиться к бесконечности при n → ∞; сходиться к какой-то конечной точке; циклически принимать ряд фиксированных значений; возможны и более сложные варианты. При окрашивании различными цветами точек комплексной плоскости, ведущих себя по-разному, часто получаются фигуры, обладающие фрактальными свойствами.
Множество Мандельброта
Множество Мандельброта — это множество точек c на комплексной плоскости, для которых последовательность (zn), где z0=0, zn+1 = zn2 + c, конечна (то есть не уходит в бесконечность).

Множество Мандельброта является одним из самых известных фракталов, в том числе за пределами математики, благодаря своим цветным визуализациям. Его фрагменты не строго подобны исходному множеству, но при многократном увеличении определённые части всё больше похожи друг на друга.
Доказано, что всё множество целиком расположено внутри круга радиуса 2 на плоскости. Поэтому будем считать, что если для точки c последовательность итераций функции fc = z2 + c с начальным значением z = 0 после некоторого большого их числа N (скажем, 100) не вышла за пределы этого круга, то точка принадлежит множеству и красится в черный цвет. Соответственно, если на каком-то этапе, меньшем N, элемент последовательности по модулю стал больше 2, то точка множеству не принадлежит и остается белой. Таким образом, можно получить черно-белое изображение множества, которое и было получено Мандельбротом. Чтобы сделать его цветным, можно, например, каждую точку не из множества красить в цвет, соответствующий номеру итерации, на котором ее последовательность вышла за пределы круга.
Множество Жюлиа
Любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения (остается конечной, стремится к бесконечности, принимает фиксированные значения) при итерациях функции f(z), а вся плоскость делится на части. При этом множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жюлиа для функции f(z).

Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты.
Приложение 2
Примеры фракталов и их удивительные свойства
Варианты снежинки Коха
451485000
а) Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.
19056477000б) Линии Чезаро: вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.
451485254000
в) Квадратный вариант: достраиваются квадраты.
H-фрактал
Все начинается с фигуры в виде буквы Н, у которой вертикальные и горизонтальные отрезки равны. Затем к каждому из 4 концов фигуры пририсовывается ее копия, уменьшенная в два раза. К каждому концу (их уже 16) пририсовывается копия буквы Н, уменьшенная уже в 4 раза. И так далее.
1905-381000В пределе получится фрактал, который заполняет некоторый квадрат, поэтому H-фрактал относится к линиям, заполняющим часть плоскости, однако суммарная длина всех отрезков, образующих H-фрактал, бесконечна.
Данное свойство Н-фрактала получило широкое применение при производстве электронных микросхем: если нужно, чтобы в сложной схеме большое число элементов получило один и тот же сигнал одновременно, то их можно расположить в концах отрезков подходящей итерации Н-фрактала и соединить соответствующим образом.
Существуют и другие фрактальные кривые, заполняющие часть плоскости. Впервые такой объект появился в статье итальянского математика Джузеппе Пеано в 1890 году. Пеано пытался найти наглядное объяснение того, что отрезок и квадрат равномощны (если рассматривать их как множества точек). Эта теорема была ранее доказана немецким математиком Георгом Кантором в рамках придуманной им теории множеств. Пример Пеано стал хорошим подтверждением правоты Кантора.
-990601212850001905254000Иногда выражение кривая Пеано относят не к конкретному примеру, а к любой кривой, которая заполняет часть плоскости или пространства.
Кривая Гильберта была описана немецким математиком Давидом Гильбертом в 1891 году.
Еще один пример — фрактал «Греческий крест»:

Кривая Госпера, или снежинка Госпера (описана американским математиком и программистом Биллом Госпером):

Дерево Пифагора
Этот фрактал называется так потому, что каждая тройка попарно соприкасающихся квадратов ограничивает прямоугольный равнобедренный треугольник и получается картинка, которой часто иллюстрируют теорему Пифагора, «пифагоровы штаны во все стороны равны».

Хорошо видно, что всё дерево ограничено. Если самый большой квадрат единичный, то дерево поместится в прямоугольник 6 × 4. Значит, его площадь не превосходит 24. Но с другой стороны, каждый раз добавляется в два раза больше троек квадратиков, чем в предыдущий, а их линейные размеры в 2 раз меньше. Поэтому на каждом шаге добавляется одна и та же площадь, которая равна площади начальной конфигурации, то есть 2. Казалось бы, тогда площадь дерева должна быть бесконечна, но на самом деле противоречия здесь нет, потому что довольно быстро квадратики начинают перекрываться, и площадь прирастает не так быстро. Она всё-таки конечна, но до сих пор точное значение неизвестно, и это открытая проблема.
Если менять углы при основании треугольника в дереве Пифагора, то будут получаться немного другие формы дерева, называемые обдуваемыми деревьями Пифагора. А при угле 60° все три квадрата окажутся равными, а дерево превратится в периодический узор на плоскости:

Кривая Леви
Хотя этот объект изучал еще итальянец Эрнесто Чезаро в 1906 году, его самоподобие и фрактальные свойства исследовал в 1930-х годах француз Поль Пьер Леви.

За сходство с буквой «С», написанной витиеватым шрифтом, ее еще называют С-кривой Леви.
Если приглядеться, то можно заметить, что кривая Леви похожа на форму кроны дерева Пифагора.
Варианты кривой Леви
а) Скособоченная кривая получится, если вместо равнобедренного прямоугольного треугольника на каждом шаге использовать какой-нибудь другой прямоугольный треугольник.
б) Еще один вариант С-кривой Леви можно построить, если начать не с отрезка, а с буквы П. Ниже показаны первые три, восьмой и одиннадцатый шаги построения этой кривой:
-38108763000
127635021653500в) Если взять за основу квадрат, то получится остров Леви:
Дракон Хартера – ХейтуэяСчитается, что такое название фрактал получил за сходство с традиционными китайскими драконами.
Фрактал Дракон так же обладает интересным свойством: если вырезать несколько плиток в форме фрактала дракона, то их можно так приложить друг к другу, что не останется промежутков. Если таких плиток много, то ими можно замостить часть плоскости:

Приложение 3
Фрактальная и топологическая размерности
Рассмотрим подробнее одно из свойств фрактального множества и введем понятия топологической и фрактальной размерностей. Топологическая размерность – это число координат, необходимых для задания положения точки внутри фигуры. Так, любая линия (например, окружность или прямая) одномерна — достаточно всего одной координаты, чтобы точно указать точку, а плоскость и поверхность шара двумерны. Теперь рассмотрим определение фрактальной размерности. Заметим, что если взять два квадрата со сторонами 1 и 2, то первый квадрат будет в 4 раза меньше второго. Итак, размерность квадрата равна D = 2, причем
21D=4.
Таким образом, фрактальную размерность можно определить также следующим образом: если при уменьшении исходной фигуры в N раз она помещается в себя M раз, то размерностью данной фигуры является число D, где
ND=MНайдем фрактальную размерность кривой Коха, используя данное определение. Заметим, что кривая Коха состоит из 4 частей (одна из них выделена на рисунке ниже), каждая из которых подобна всей кривой в целом, но при этом каждая из этих частей меньше кривой в 3 раза:
-3810000
То есть в данном случае N = 3, M = 4. Решая данное уравнение:
3D=4,находим, что D ≈ 1,261859...
Итак, так как рассмотренный выше фрактал – кривая, его топологическая размерность равна 1, а фрактальная размерность ≈ 1,261859... Таким образом, фрактальная размерность данной фигуры больше топологической и является дробной, как и говорилось в свойстве.
Приложение 4
Фракталы в природе и технике
В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии и адсорбции, пламя, облака и так далее. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать ее при вычислении протяженности береговой линии.
Фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов — ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). Также фракталы используются для создания фрактальной музыки и для шифрования данных.
В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала.
А экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад).
Но наиболее широко фракталы применяются в компьютерной живописи, так как фракталы – это удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, сочетающие в себе богатейшую цветовую палитру, многообразие и повторяемость геометрических форм.
-1847859588500
Приложение 5
Игры с треугольником и ковром СерпинскогоРассматриваем треугольник Серпинского как подмножество комплексной плоскости и применяем к нему различные преобразования комплексной плоскости. Например, пусть треугольник Серпинского построен на единичном отрезке действительной оси.
И теперь применим к комплексной плоскости преобразование инверсии относительно центра треугольника: . Тогда получим следующую картинку.
Ниже приведены картинки для , , .
 
Тоже самое можно сделать и с ковром Серпинского. Пусть он построен на единичном квадрате.
Преобразование инверсии относительно центра ковра имеет вид .
-15621020193000
Также можно применить инверсию относительно угла или возвести в квадрат. 
 
Игра Хаос
Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос». С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы.
Суть «игры» такова. На плоскости зафиксирован правильный треугольникA1A2A3. Отмечают любую начальную точкуB0. Затем случайным образом выбирают одну из трех вершин треугольника и отмечают точку B1 — середину отрезка с концами в этой вершине и в B0(на рисунке справа случайно выбралась вершина A1). То же самое повторяют с точкой B1, чтобы получить B2. Потом получают точки B3,B4, и т. д. Важно, чтобы точка «прыгала» случайным образом, то есть чтобы каждый раз вершина треугольника выбиралась случайно, независимо от того, что было выбрано в предыдущие шаги. Удивительно, что если отмечать точки из последовательности Bi, то вскоре начнет проступать треугольник Серпинского. Ниже изображено, что получается, когда отмечено 100, 500 и 2500 точек.
 
Игра Хаос: 100, 500 и 2500 точек


Приложение 6.
Воспроизведение разработок математика Серпинского в домашних условиях

Красота математики имеет своеобразную природу, и оценить её неподготовленному обывателю непросто. Но можно — например, на эффектном и визуально очевидном примере фракталов, с которыми поупражнялась группа людей. Эти весельчаки перенесли составные геометрические фигуры со свойством самоподобия в домашние условия, в том числе и на кухню.
Они позаимствовали два знаменитых фрактала, названных в честь изобретателя: треугольник Серпинского и ковёр Серпинского. Используя тот факт, что в основе их построения лежат простые формы и понятный метод, ловкие руки энтузиастов взялись за глину и тесто. Результатом стали два продукта: глиняные скульптуры и печенье с шоколадом — всё с пошаговыми инструкциями типа «Сделай сам».

Как видите, в данном случае треугольник Серпинского лепится из глины двух цветов. Ничто не мешает использовать и более доступный пластилин, а также увеличить количество расцветок. Главное — внимательно измерять всё линейкой и быть аккуратным. А метод доступен и пониманию ребёнка, потому как состоит из повторения одинаковых операций. Теоретически процесс бесконечен, а в упражнении с глиной рекомендуется ограничиться шестью итерациями: так контраст ещё остаётся силён, а узор уже становится впечатляющ.

Что касается ковра Серпинского, то принцип его создания схож с показанным выше построением треугольника, но для реализации в домашних условиях ещё менее сложен. Поэтому целеустремлённая и любознательная домохозяйка может такой фрактал сделать не только для красоты, но и для пропитания — например, используя два вида теста.
Список литературы
А. Д. Морозов «Введение в теорию фракталов». Москва, 2002.
Е. Федер «Фракталы». «Мир», 1997.
Р. М. Кроновер «Фракталы и заос в динамических системах». Москва, 2000
А. И. Азевич «Фракталы: геометрия и искусство» // «Математика в школе». – 2005. – №4.
Божогин С. В. Фракталы и мультифракталы.
Шлык В.А. Через Фрактальную геометрию к новому восприятию мира.
Мандельброт Б.Б. «Фрактальная геометрия природы.»Глобальная сеть Интернет.