Тема: «Теория: Логические схемы Практика: Логические схемы.Выполнение упражнений. Контрольная работа.
10 класс, 1-й год обучения
Тип урока: Комбинированный: учебное занятие по изучению и первичному закреплению нового материала + учебное занятие по закреплению знаний и способов деятельности
Урок № 4
Тема: «Теория: Логические схемы
Практика: Логические схемы. Выполнение упражнений. Контрольная работа.
Цели урока:
1.Образовательная – организовать деятельность учащихся по воспроизведению полученной информации по теме урока №3;
Познакомить учащихся с терминологией формальной логики;
Сформировать представление о простейших логических операциях;
Сформировать у учащихся навыки построения таблиц истинности и работы со сложными логическими выражениями;
Дать учащимся представление о том, как при помощи логических элементов компьютером выполняются арифметические и логические операции.
2. Развивающая – создать условия для развития синтезирующего мышления (развитие умения устанавливать единые, общие признаки и свойства целого);
3.Воспитательная – создать условия для воспитания информационной культуры, интереса к изучаемой теме, воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям.
Все, что записано после знаков ***, или после фразы «Материал для запоминания», или красным цветом символов, или в распечатанном материале более светлым цветом символов – записывается в конспект.
Ход урока
1.Организационный момент.
2.Проверка домашнего задания.
3.Актуализация знаний учащихся.
4.Объяснение нового материала.
5.Первичное закрепление изученного материала.
6.Домашнее задание.
7.Подведение итогов урока. Рефлексия.
1.Организационный момент
Перед началом урока записать тему урока на доске. Приветствие.
Отмечаются отсутствующие.
Мотивация учащихся, постановка целей.
Сегодня на уроке мы должны ознакомиться с логическими основами построения компьютера.
Рассмотреть вопросы:
Познакомить учащихся с терминологией формальной логики;
Сформировать представление о простейших логических операциях;
Сформировать у учащихся навыки построения таблиц истинности и работы со сложными логическими выражениями;
Дать учащимся представление о том, как при помощи логических элементов компьютером выполняются арифметические и логические операции.
2.Проверка домашнего задания.
Устный опрос:
Язык, алфавит, код, кодирование;
Необходимость преобразования информации при общении человека с компьютером;
Разнообразие компьютерных двоичных кодов;
Разнообразие систем счисления;
Кодирование текстовой информации;
Кодирование графической информации;
Работа над ошибками «Системы счисления».
3.Актуализация знаний учащихся.
Персональный компьютер стал обязательным атрибутом в любом современном офисе. Это основная техническая база информационной технологии. Профессионалы, работающие вне компьютерной сферы, считают непременной составляющей своей компетентности знание аппаратной части ПК, хотя бы его основных технических характеристик. Особенно велик интерес к компьютерам среди молодежи, широко использующей для своих целей.
Возможности ПК определяются характеристиками его функциональных блоков. Замена одних блоков на другие в настоящее время не представляет собой проблемы, и при необходимости можно достаточно быстро произвести модернизацию ПК. Однако современный рынок компьютерной техники столь разнообразен, что довольно непросто выбрать нужный блок, определить конфигурацию ПК с требуемыми характеристиками. Без специальных знаний здесь практически не обойтись.
3.Объяснение нового материала.
Ознакомить учащихся с логическими основами ПК.
Для анализа и синтеза схем в ЭВМ при алгоритмизации и программировании решения задач широко используется математический аппарат алгебры логики.
Алгебра логики – это раздел математической логики, значения всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.
Высказывание – это любое утверждение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, т.е. каждое высказывание или истинно, или ложно и не м.б. одновременно истинным и ложным.
Пример: Высказывания: «Сейчас идет снег» - это утверждение может быть истинным или ложным; «Вашингтон – столица США» - истинное утверждение; «Частное от деления 10 на 12 равно 3» - ложное утверждение.
Определяя существование того или иного события, мы руководствуемся здравым смыслом, основываясь на рассуждениях – логикой.
Над событиями можно тоже производить арифметические действия так как и над числами.
Законы таких действий изучает наука – математическая логика, и один из ее разделов – алгебра логики
Логика – это наука о законах человеческого мышления
Логика - это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных рассуждений. В зависимости от набора правил вывода умозаключений, которые признаются правомерными, различается несколько вариантов логики как научной дисциплины: формальная логика, математическая логика, вероятностная логика, диалектическая логика и т.д.
Математическая логика является одной из частей формальной логики и изучает только рассуждения со строго определенными объектами и суждениями, для которых возможно однозначно решить истинны они или ложны. Объектами математической логики являются высказывания (рассуждения). Высказывания делятся на логические утверждения ( простые высказывания ) и предикаты. Логическое утверждение - заведомо истинное или ложное высказывание. Иначе говоря, логические константы.
Примеры логических констант:
2х2=4 (истина);
«Волга впадает в черное море» (Ложь);
«Книга – источник знаний» (Истина).
Предикаты - логические высказывания, значения которых могут меняться в зависимости от входящих в них переменных. Иначе говоря, предикаты - это логические переменные.
Примеры логических переменных:
a+b>c (Принимает значение Истина или Ложь в зависимости от значения a,b,c).
N – целое число (Принимает значение Истина или Ложь в зависимости от значения N).
Значения высказываний имеют двоичную природу (Истина или Ложь).
Историческая справка
Древние философы и мыслители эпохи Прсвещения проявляли немалый интерес к простой и изящной двоичной системе счисления. Постепенно эта система проникла из одной научной дисциплины в другую, из религии и логики в философию и математику, а затем в технику. Сейчас она используется при кодировании информации в компьютере.
Немецкий ученый Лейбниц первым (в 1666 г.) попытался перевести законы мышления (формальную логику) из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, где отношения между объектами или высказываниями определяются в виде математических соотношений.
Спустя более 100 лет, в 1816 г., уже после смерти Лейбница, английский математик Джордж Буль подхватил идею Лейбница о создании логического универсального языка, подчиняющегося строгим математическим законам. В 1847 г. Буль написал важную статью на тему «Математический анализ логики», а в 1854 г. развил в работе «Исследование законов мышления».
Буль изобрел своеобразную алгебру – систему обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел и букв до предложений. Его именем она теперь и называется: алгебра Буля, или булева алгебра.
Основные объекты математической логики
Диалог учителя с учениками:
Вопрос: С какого класса вы изучаете алгебру?
Ответ: с 5-го
Вопрос: С какими математическими объектами вы работаете на уроках алгебры.
Ответ: С константами, переменными, многочленами, векторами.
Вопрос: Какие операции вы производите над перечисленными объектами?
Ответ: Сложение, умножение, приведение к общему знаменателю.
Вопрос: Существуют ли какие-то правила, по которым выполняются эти операции?
Ответ: Да, существуют аксиомы и теоремы.
Алгебра логики является инструментом разработки логических схем.
В алгебре логики все высказывания обозначают буквами a,b,c и т.д. Содержание высказываний учитывается только при введении их буквенных обозначений, и в дальнейшем над ними можно производить любые действия, предусмотренные данной алгеброй. Причем если над исходными элементами алгебры выполнены некоторые разрешенные в алгебре логики операции, то результаты операций также будут элементами этой алгебры.
Простейшими операциями в алгебре логики являются операции логического сложения(иначе, операция ИЛИ, операция дизъюнкции) и логического умножения (иначе, операция И, операция конъюнкции). Для обозначения операции логического сложения используются символы + или V а логического умножения – символы * или ^
Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий.
В частности, для алгебры логики выполняются законы:
сочетательный:
(a+b)+c=a+(b+c);
(a*b)*c=a*(b*c);
переместительный:
a+b=b+a
a*b=b*a
распределительный:
a*(b+c)=a*b+c*a;
a+b*c=a*b+a*c.
справедливы соотношения:
а+а=а a+b=b,если a(b;
a*a=a; a*b=a,если a(b;
a+a*b=a; a+b=b,если a(b
a+b=a,если a(b; и др.
В алгебре логики действуют основные законы алгебры и некоторые дополнительные законы, например:
Коммутативность (независимость от перестановки): А+В = В + А.
Ассоциативность (независимость от порядка выполнения однотипных действий): А+(В + С) = ( А+ В ) + С = А + В + С.
Дистрибутивность ( распределение): ( А + В )C = АС + ВС.
Идемпотентность (отсутствие степеней и коэффициентов): А + А = А АА = А.
А + 1 = 1 ( всегда истина).
Законы де Моргана:
отрицание одновременной истинности: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
отрицание вариантов: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Закон исключенного третьего: А + [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Наименьшим элементом алгебры логики являются 0, наибольшим элементом – 1.
В алгебре логики также вводится еще одна операция отрицания (иначе, операция Не, операция инверсии), обозначаемая чертой над элементом.
По определению: а+а=1, а*а=0, 0=1, 1=0
Справедливы, например, такие соотношения: а=а, a+b=a*b, a*b=a+b.
Функция в алгебре логики – это алгебраическое выражение, содержащее элементы алгебры логики a,b,c , связанные между собой операциями, определенными в этой алгебре.
Пример. Примеры логических функций:
( (a,b,c)=a+a*b*c+a+c;
((a,b,c)=a*b+a*c+a*b*c.
Согласно теоремам разложения функций на конституэнты (составляющие)любая функция м.б. разложена на коституэнты «1»:
((а)=((1)*а+((0)*а;
((а,b)=((1,b)*a+((0,b)*f=((1,1)*a*a+((1,0)*a*b+((0,1)*a*b+((0,0)*a*b и т.д. (1)
Эти соотношения используются для синтеза логических функций и вычислительных схем.
Логический синтез логических схем
Рассмотрим логический синтез (создание) вычислительных схем на примере одноразрядного двоичного сумматора, имеющего два входа (“a” “b”) и два выхода (“S” “P”) и выполняющего операцию сложения в соответствии с заданной таблицей:
a
b
(1(a,b)=S
(2(a,b)=P
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
Где (1(a,b)=S – значение цифры суммы в данном разряде;
(2(a,b)=P – цифра переноса в следующий (старший) разряд.
Согласно соглашению (2), можно записать:
S=(1(a,b)=0*a*b+1*a*b+1*a*b+0*a*b=a*b+a*b;
P=(2(a,b)=1*a*b+0*a*b+0*a*b+0*a*b=a*b
Алгеброй Буля называется аппарат, который позволяет выполнять действия над логическими высказываниями. Существуют три основные операции действия с высказываниями: одноместная, называемая инверсией (отрицанием) и две двуместные, называемые по аналогии с арифметикой чисел, сложением и умножением. Все операции булевой алгебры определяются таблицами истинности значений. Обозначаются логические высказывания обычно заглавными буквами латинского алфавита. Истинные высказывания для удобства будем обозначать "1", а ложные - "0" . Существуют основные логические операции:
Логическое умножение (конъюнкция) - это соединение двух простых высказываний в одно с помощью союза "И", знаком ^ или &, а иногда знаком *(логическое умножение). Результат операции - логическое произведение. Истинно только тогда, когда истинно А и В одновременно. Обозначение: А[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]В, А В, А и В, А&B.
Пример таблицы истинности для конъюнкция Р=А^ В
А
*
В
=
Р
0
^
0
=
0
0
^
1
=
0
1
^
0
=
0
1
^
1
=
1
Логика
А
*
0
=
0
А
^
1
=
А
А
^
А
=
А
А
^
А
=
0
Примером конъюнкции может служить последовательное соединение ключей
(
Логическое сложение (дизъюнкция) - это соединение двух простых высказываний в одном с помощью союза "ИЛИ". Полученное высказывание -логическая сумма. Истинно, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложно только тогда, когда предпосылки А и В - ложны. Обозначение : А + В, А[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]В, А или В. Функция Р=А V В
Пример таблицы истинности для дизъюнкции: Р=А V В
А
В
А+В
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Логика
А
V
0
=
А
А
V
1
=
1
А
V
А
=
А
А
V
А
=
1
Примером конъюнкции может служить параллельное соединение ключей
(
Логическое отрицание - истинно, когда исходное утверждение ложно, и наоборот. Обозначение: не А, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]( А )
Пример таблицы истинности для отрицания: А= НЕ А
А
А
0
1
1
0
Примером отрицания может служить электрическая цепь, через которую сигнал проходит только в случае включения одного ключа. Лампочка загорается при каком угодно положении ключа только не в а.
(
ДИАЛОГ УЧИТЕЛЯ С УЧЕНИКАМИ
Вопрос: Чем является высказывание «Дети любят игрушки» - логической константой или предикатом?
Ответ: Логической константой
Вопрос: Какое значение с точки зрения математической логики имеет это высказывание?
Ответ: Истина
Вопрос: Приведите отрицание этого высказывания
Ответ: «Дети не любят игрушек»
Вопрос: Какое значение с точки зрения математической логики имеет это отрицание?
Ответ: Ложь
Вопрос: Приведите пример предиката, имеющего конкретное значение в данный момент
Ответ: «Сейчас идет урок литературы»
Вопрос: Какое значение имеет это высказывание?
Ответ: В данный момент - ложь
Вопрос: Приведите отрицание этого высказывания
Ответ: «Сейчас не идет урок литературы» или «Сейчас идет не урок литературы»
Вопрос: Какое значение имеет это отрицание?
Ответ: Истина
Итоги рассуждений:
В результате операции отрицания логическое значение высказывания меняется на противоположное. Исходные выражения принято называть предпосылками.
Отрицание - истинно, когда исходное утверждение ложно, и наоборот.
Для запоминания новых операций и для разрядки на уроке сыграем в следующую игру:
Вопрос: Один зажиточный человек очень боялся грабителей и заказал замок, который открывался двумя ключами одновременно. С какой логической операцией можно сравнить процесс открывания?
Ответ: Логическое умножение. Каждый ключ в отдельности не открывает замок. Только использование двух ключей сразу позволит его открыть.
Вопрос: Мальчик Вася был рассеянным и всегда терял ключи. Только поставят родители новый замок, как находится старый ключ (под ковриком, в кармане, в портфеле). Придумайте «суперзамок» для Васи, чтобы дверь не мог открыть посторонний человек, а Вася – наверняка.
Ответ: Замок с логическим сложением, чтобы он открывался хотя бы одним оказавшимся под рукой ключом.
Логическое сложение Логическое умножение
«Мнемоническое правило» для знаков логических операций
Построение таблиц истинности
Порядок выполнения логических операций регламентирован: действия в скобках, отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.
( Правила составления таблиц истинности (дополнительный материал)
Варианты выражений
1) ¬ А V В 2) ¬ А ^ В 3) ¬ (А V В) 4) (А V В) ^С
Пример: Найти формулу для логического определителя несовпадения. Он должен давать 1, когда исходные состояния А и В различны, и 0, когда они совпадают. Это похоже на операцию, обратную эквивалентности. По условию задачи можно составить таблицу истинности.
А
В
?
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Чтобы определить логическую формулу, следует выполнить следующие действия:
Отметить в таблице истинности строки, в которых результирующее выражение истинно, т.е. равно 1.
Для выбранных строк соединить операцией логического умножения содержимое левых столбцов таблицы; при этом, если в таблице стоит 0, пишем исходное высказывание с отрицанием, а если в таблице стоит 1, то без отрицания. ¬ А ^ В, А^ ¬ В.
Соединить полученные выражения операцией логического сложения (¬ А ^ В) V (А^ ¬ В).
Таким образом, мы получили искомое логическое выражение
Построение сложного логического высказывания
А В ? n.1 n.2 n.3
0 0 0
0 1 1 + ¬ А ^ В (¬ А ^ В) V (А^ ¬ В)
1 0 1 + А^ ¬ В
1 1 0
Примеры для закрепления пройденного материала
Найти формулы для следующих таблиц истинности:
А
В
?
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
А
В
С
?
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
Дополнительный материал
Рассмотрим законы Булевой алгебры
(Отсутствие степеней и коэффициентов (идемпотентность)
А^ А=А
А V А=А
Посмотрев на таблицы истинности видно, что если высказывание А ложно, то результаты логического сложения (А^ А) и логического умножения (А V А) ложно, если высказывание истинно, то результаты – Истина.
(Двойное отрицание (инволюция)
¬ (¬ А)=А
Заполните таблицу истинности операции двойного отрицания и сравнить первый и третий столбцы таблицы.
А
¬ А)
¬ (¬А)
0
1
0
1
0
1
(Действия с абсолютно истинными и абсолютно ложными высказываниями
абсолютно истинное высказывание – высказывание, которое имеет значение Истина при любых значениях входящих в него переменных.
Примерами могут служить формулировки математических теорем, например теоремы Пифагора.
Абсолютно ложное высказывание – высказывание, которое имеет значение Ложь при любых значениях входящих в него переменных.
АV 1=1 (всегда Истина);
А^ 1=А;
А^ 0=А
АV 0=0 (всегда Ложь).
Закон исключения третьего
А V¬ А=1 (всегда Истина);
Закон противоречия
А V¬ А=0 (всегда Ложь).
Независимость от перестановки мест (коммутативность)
А VВ=В VА А ^В=В ^А
( Независимость от порядка выполнения однотипных действий (ассоциативность)
(А VВ)VС=АV(В VА) (А ^В)^С=А^(В ^С)
( Дистрибутивность (распределение)
Распределение относительно логического умножения: (А VВ)^С=(А^C)V(В ^C)
Как видно, действует то же правило раскрытия скобок, что и в алгебре. Понятно, почему операции конъюнкции и дизъюнкции называют логическим умножением и сложением.
И наоборот: (А ^В)^(В^С) =В^(А^С). Похоже на вынесение общего множителя за скобки в алгебре.
Распределение относительно сложения:
А V В^С=(А^В)^ (AVC) В алгебре нет аналога такому правилу.
( Закон де Моргана
Отрицание одновременной истинности: ¬ (А V В)= ¬А^ ¬ В
Отрицание вариантов: ¬ (А ^ В)= ¬А^ ¬ В
Правомерность применения законов де Моргана можно проверить таблицами истинности
А
В
¬ (А ^ В)
¬А^ ¬ В
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
А
В
¬ (А V В)
¬АV¬ В
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
Свойства, которые можно вывести на основе вышеописанных законов
1. Поглощение: AvA^B=A; A^(¬AvB)=A
2. Поглощение отрицания: Av¬A^B=AvB; A^(¬AvB)=A^B.
Доказать эти свойства можно путем упрощения на основе свойств дистрибутивности.
Рассмотрим это на примере:
По таблице истинности операции импликации составить логическую формулу, упростить ее и проверить, составив новую таблицу истинности. Сделать вывод от возможности представления импликации комбинацией основных операций.
Последовательность выполнения задания
По таблице истинности находим формулу: (¬ A^¬ B) v(¬ A^B) v (A^B)
По закону дистрибутивности: : (¬ A^¬ B) v(¬ A^B) =¬A^(¬BVB), что равно ¬ A (закон исключения третьего).
По закону поглощения отрицания: ¬ Av(A^ B)= ¬ A^ B.
Составить таблицу истинности по этой формуле и сравнить ее с таблицей истинности импликации.
А
В
А(В
¬ Av B
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
Примеры для закрепления пройденного материала:
По таблицам истинности операций логического сложения и умножения найти логическую формулу и упростить ее. Получилась ли исходная логическая операция?
Упростить логические выражения на основании приведенных выше законов:
а) A^B^CvA¬ BvC¬ AvBvC; б) A^CvB^CvC.
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ
Существуют и другие логические операции, их можно выразить через три основные.
Логическое следование (импликация)
Это двуместная операция. Операция обозначается словами ЕСЛИ А, ТО В или знаком (.
Результат операции - Ложьтолько тогда, когда предпосылка А истина, а заключение (следствие) В ложно, и Истина – во всех остальных случаях.
Эквивалентность
Это двуместная операция, т.к. в ней участвуют два высказывания (два аргумента). Операция обозначается словами В ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА А или знаком .
Результат операции Истина только тогда, когда А и В одновременно истины или одновременно ложны.
( Аналоги логических операций в повседневной жизни
Примеры для объяснения операции логического сложения
Ученик должен быть толковым или усидчивым (т.е. ученик достигает хороших результатов, если он либо толковый, либо усидчивый, либо и то и другое вместе).
Для сдачи экзамена необходимы знания или везение.
Высказывание А: «р – четное число»; высказывание В: «р делится на 3». Каков результат операции логического сложения: АV В?
Решение. Множество всех случаев, когда В истинно: р=3,6,9, Множество всех случаев, когда А истинно: р=2,4,6,8,10, Множество всех случаев, когда истинно АV В: р= 2,3,4,5,6,8,9,10,, то есть объединение двух множеств.
Примеры для объяснения операции логического умножения
Учитель должен быть умным и терпеливым (только одновременное наличие двух качеств, ума и терпения, делает выражение истинным).
Только умение и настойчивость приводят к достижению цели (достижение цели возможно только при одновременной истинности двух предпосылок – наличия и умения, и настойчивости).
3. Высказывание А: «р делится на 5»; высказывание В: «р меньше 20». Чему равен результат логического умножения: А^ В?
Решение. Множество всех случаев, когда В истинно: р=1,2,3, ,19 Множество всех случаев, когда А истинно: р=5,10,15,20,25, Множество всех случаев, когда истинно А^ В: р= 5,10, то есть пересечение двух множеств.
Примеры для объяснения операции логического следования
Если выучить материал, то сдашь зачет (высказывание ложно только тогда, когда когда материал выучен, а зачет не сдан, ведь сдать зачет можно и случайно, например если попался единственный знакомый вопрос или удалось воспользоваться шпаргалкой).
Высказывание А: «х делится на 9»; Высказывание В: «х делится на 3»; Операция А (В означает следующее: «если число делится на 9, то оно делится и на 3».
При анализе этого примера можно перебрать следующие варианты:
А – ложь, В –ложь. Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание: «если А – ложно, то и В -истинно». Например, х=4,17,22
А – ложь, В – истинно. Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание: «если А – ложно, то и В - ложно». Например, х=6,12,21
А - истинно, В – истинно. Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание: «если А –истинно, то и В - истинно». Например, х=9,18,27
А - истинно, В –ложь. Невозможно найти такие числа, которые делились бы на 9, но не делились на 3, т.е. истинная предпосылка не может приводить к ложному результату импликации.
Примеры для объяснения операции эквивалентности
Когда в зимний день светит солнце и «кусает» мороз, это значит, что атмосферное давление высокое.
Высказывание А: «сумма цифр, составляющих число х, делится на 3»; Высказывание В: «х делится на 3»; Операция А В означает следующее: «число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3».
ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ЛОГИЧЕСКИЕ СХЕМЫ КОМПЬЮТЕРА
Историческая справка
С 1867 года американский логик Чарльз Сандерс Пирс (в его честь названа одна из логичеких операций – «стрелка Пирса») работает над модификацией и расширением булевой алгебры. Пирс первым осознал, что бинарная логика имеет сходство с работой электрических переключательных схем. Электрический переключатель либо пропускает ток (что соответствует значению Истина), либо не пропускает (что соответствует значению Ложь). Позже Пирс даже придумал простую электрическую логическую схему, но так и не собрал ее.
Попытайтесь сами воспроизвести возможный ход рассуждений Ч. Пирса.
Вариант диалога
Вопрос: Есть электрическое устройство, которым мы пользуемся каждый день. Оно реализует логическую операцию отрицания. Подумайте, что это за устройство?
Ответ: Выключатель. Если свет не горел, он его включает, если горел – выключает.
Вопрос: Вспомните Новый год и старую елочную гирлянду. Почему она была недолговечна?
Ответ: В старых гирляндах лампочки включались последовательно. Гирлянда горела только тогда, когда все лампочки были исправны. Стоило перегореть только одной, вся гирлянда не горела.
Вопрос: На какую логическую операцию это похоже?
Ответ: На логическое умножение.
Вопрос: А в современных гирляндах как подключаются лампочки?
Ответ: Параллельно. Гирлянда горит, если хотя бы одна лампочка исправна.
Вопрос: На какую логическую операцию это похоже?
Ответ: На логическое сложение.
Подобно Пирсу, вы сейчас убедились, как хорошо реализуются логические операции в простейших схемах. В настоящее время существуют электронные схемы, реализующие все логические операции.
Как при строительстве дома применяют различного рода типовые блоки – кирпичи, рамы, двери и т.п., так и при разработке компьютера используют типовые электронные схемы. Каждая схема состоит из определенного набора типовых электронных элементов.
Электронным элементом называется соединение различных деталей, в первую очередь – диодов и транзисторов, в виде электрической схемы, выполняющей некоторую простейшую функцию.
Электронный элемент, реализующий логическую функцию, называется логическим элементом.
Алгебра логики хорошо освоена в информатике. Основные операции в языках программирования обозначаются: AND - логическое И, OR- логическое ИЛИ, NOT - логическое отрицание.
Во всех современных компьютерах применяется логическая система, изобретенная Джорджем Булем.
Средством обработки двоичных сигналов в ЭВМ являются логические элементы.
Логические элементы (ЛЭ) - это электронные схемы с одним или несколькими входами и одним выходом, через которые проходят электрические сигналы, представляющие 0, 1.
Для реализации любой логической операции над двоичными сигналами достаточно элементов трех типов: И, ИЛИ, НЕ. Существуют микросхемы, реализующих более сложные логические функции: И-НЕ, называемая операцией Шеффера ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ) и ИЛИ-НЕ, называемая Стрелка Пирса ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]). Реальная аппаратура строится из логических элементов подобно тому, как сложная логическая функция получается путем комбинации более простых функций.
Базовые логические элементы обозначаются следующим образом:
Рассмотрим логические блоки в соответствии с международным стандартом:
Схема ИЛИ, реализующая операцию логического сложения
Схема И, реализующая операцию логического умножения
Схема НЕ, реализующая операцию инверсии
Некоторые логические устройства компьютера
Тысячи микроскопических электронных переключателей в кристалле интегральной схемы, выполняющие логические операции, т.е. операции с предсказуемыми результатами, и арифметические операции над двоичными числами. Соединенные в различные комбинации, логические элементы дают возможность решать компьютеру решать задачи, используя язык двоичных кодов.
Из логических элементов путем их комбинации строятся основные схемы компьютера.
Триггер - электронный прибор, имеющий два устойчивых состояния является типичным запоминающим элементом, способным хранить 1 бит информации.
Регистр - совокупность триггеров, предназначенных для хранения числа в двоичном коде.
Сумматор - устройство обеспечивающее суммирование двоичных чисел с учетом переноса из предыдущего разряда.
Рассмотрим путь работы логического устройства от составления таблицы истинности для выполнения некоторой операции до составления логической схемы. Это можно сделать на примере организации двух различных разрядов. При помощи логических устройств можно организовать не только логические операции, но и арифметические операции над двоичными числами.
Полусумматор
Все математические операции, осуществляемые компьютером (умножение, деление, возведение в степень, вычисление интегралов, решение диференциальных уравнений и т.п.) в конечном счете сводятся к выполнению по определенным правилам операций сложения. Поэтому сумматор – один из важнейших узлов компьютера.
Вспомним правила суммирования: 0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=0 (перенос 1 в старший разряд).
Полусумматор – это схема соединения логических элементов, которая обеспечивает подобное сложение. На вход полусумматора поступает всего два сигнала, каждый из которых м.б. равен 0 или 1. На выходе два сигнала: один является двоичной суммой входных сигналов, другой – значение переноса в более старший разряд.
Схема полусумматора не имеет третьего входа, на который мог бы поступать бит переноса от предыдущего разряда суммы. Поэтому обычно полусумматор используется для сложения младших разрядов двоичных слагаемых. При помощи такой схемы можно перевести обратный код двоичного числа в дополнительный (добавлением единицы к младшему разряду).
Изобразим таблицу истинности полусумматора
Практическая работа: Построение логических схем по уравнению и наоборот.
Работа с программой «Электртабл»
Контрольная работа (по карточкам)
Слагаемые Результат информация для формулы
А В Двоичная сумма А+В (S) Разряд переноса (R) Для разряда Для разряда
Суммы переноса
0 0 0 0
0 1 1 0 +
1 0 1 0 +
1 1 0 1 +
Составим по таблице истинности формулы для разряда суммы и разряда переноса:
S = (¬ A^ B) v( A v ¬B) или сокращенная формула S = ( Av B)^( A ^B)
R= (A^B)
Упрощенную логическую формулу принято называть структурной формулой устройства. По ней можно приступить к построению полусумматора.
R=A^B
A^B
A^B S=(AvB)^A^B
AvB
Логическая схема сумматора, реализующего полученную функцию:
Ab+ab=S
ab=P
Таблица истинности сумматора
Pi-1 Ai Bi Si=Ai+ Разряд Отмечаем для Отмечаем для
+Bi+Pi-1 переносаRi разряда суммы разряда переноса
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 +
0 1 0 1 0 +
0 1 1 0 1 +
1 0 0 1 0 +
1 0 1 0 1 +
1 1 0 0 1 +
1 1 1 1 1 + +
5.Первичное закрепление изученного материала.
( Ответить на вопросы:
Высказывание А ложно; высказывание В ложно. Результат логической операции – Истина. Каким операциям это может соответствовать?
Высказывание А истинно; высказывание В ложно. Результат логической операции –Ложь. Каким операциям это может соответствовать?
Высказывание А истинно; высказывание В истинно. Результат логической операции – Истина. Каким операциям это может соответствовать?
Вопросы учащимся:
Каждому рисунку сопоставьте операцию:
а б в
Логические операции: а – логическое сложение, б – логическое отрицание, в – логическое умножение
На предыдущем уроке высказывания соединялись в логические выражения посредством логических операций. Можно провести аналогию с алгеброй.
Пусть а,в и с – переменные. Сумма а+в – простейшее выражение; (а+в)/в( - более сложное, т.к. в нем используется больше операций и больше переменных. Т.о., чем больше высказываний и операций в логическом выражении, тем оно сложнее.
Вопрос: Назовите порядок выполнения операций в выражении а+в/в(
Ответ: Возведение в степень, деление, сложение
Вопрос: Назовите порядок выполнения операций в выражении (а+в)/в(
Ответ: сложение, возведение в степень, деление
.6.Домашнее задание.
Выучить весь изученный на этом уроке материал.
7.Подведение итогов урока. Рефлексия.
На сегодняшнем занятии мы с Вами познакомились с терминологией формальной логики; получили представление о простейших логических операциях; получили навыки построения таблиц истинности и работы со сложными логическими выражениями; как при помощи логических элементов компьютером выполняются арифметические и логические операции.
Спасибо за работу, вы сегодня молодцы. Чтобы Вы ушли с урока с хорошим настроением, я Вам включу негромко музыку.
1
&
1
&
&
1
1
&
1
&
1
1
&
В
А
А
А
В в
J Заголовок 1P Заголовок 22T Заголовок 3L Заголовок 4< Заголовок 5H Заголовок 6F Заголовок 7H Заголовок 8Ў: 15т^ Основной текст с отступом 2` Основной текст с отступом 3Z Основной текстN Основной текст 3X Основной текст с отступомF
Обычный (Web)J Название объекта