МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для практических занятий по дисциплине «Элементы высшей математики» для студентов 2 курса (специальность Программирование в компьютерных системах
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
«СЕМИЛУКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
М.Д. Евдокимова
методические указания
для практических занятий
по дисциплине «Элементы высшей математики»
для студентов 2 курса
(специальность 230115 Программирование в компьютерных системах)
Семилуки
2014
Одобрено методическим советом ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»
Автор-составитель: Евдокимова М.Д., преподаватель ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»
Учебное пособие содержит указания для практических занятий по «Элементы высшей математики», являющейся естественно-научной дисциплиной. Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Элементы высшей математики» и предназначены для студентов 2-го курса, обучающихся по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах.
© Евдокимова М.Д., 2014
©ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»
Введение
Методические указания для практических занятий по дисциплине «Элементы высшей математики» предназначены для закрепления теоретических знаний, полученных на лекциях, а также для овладения студентами умений и навыков применять эти знания при самостоятельной работе.
Перечень практических занятий соответствует рабочей программе по дисциплине «Элементы высшей математики»
Выполнение студентами практических занятий по дисциплине проводится с целью:
- закрепления полученных теоретических знаний по дисциплине;
- углубления теоретических знаний в соответствии с заданной темой;
- формирования умений решать практические задачи;
- развития самостоятельности, ответственности и организованности;
- формирования активных умственных действий студентов, связанных с поисками рациональных способов выполнения заданий;
- подготовки к экзамену.
Содержание заданий практической занятий ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах и овладению профессиональными компетенциями:
ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 1.7.в Осуществлять разработку кода программного продукта для решения различных практических задач математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
В процессе освоения дисциплины у студентов должны формироваться общие компетенции:
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОКЗ. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:
выполнять операции над матрицами;
решать системы линейных уравнений;
решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости;
применять методы дифференциального и интегрального исчисления;
решать дифференциальные уравнения;
пользоваться понятиями теории комплексных чисел;
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:
основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;
основы дифференциального и интегрального исчисления;
основы теории комплексных чисел.
Вариативная часть
На изучение дисциплины отводятся 30 часов из вариативной части, необходимые для углубленного освоения «уметь», «знать» ФГОС:
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:
применять методы дифференциального и интегрального исчисления функции двух переменных;
применять дифференциальные уравнения в науке и технике.
В методических указаниях приведены теоретический (справочный) материал в соответствии с темой работы, обращение к которому поможет выполнить задания практической работы и сами задания.
Организация выполнения и контроля практических занятий по дисциплине «Математика» является подготовительным этапом к сдаче экзамена по данной дисциплине.
Нормы оценки знаний, умений и навыков обучающихся по математике
Оценка практических работ обучающихся по математике
Ответ оценивается отметкой «5», если:
работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится в следующих случаях:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
допущены одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если:
допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Отметка «1» ставится, если:
работа показала полное отсутствие у обучающегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.
Учитель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий
Общая классификация ошибок
При оценке знаний, умений и навыков учащихся следует учитывать все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.
Грубыми считаются ошибки:
незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;
незнание наименований единиц измерения;
неумение выделить в ответе главное;
неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;
неумение делать выводы и обобщения;
неумение читать и строить графики;
неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;
потеря корня или сохранение постороннего корня;
отбрасывание без объяснений одного из них;
равнозначные им ошибки;
вычислительные ошибки, если они не являются опиской;
логические ошибки.
К негрубым ошибкам следует отнести:
неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного - двух из этих признаков второстепенными;
неточность графика;
нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);
нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;
неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.
Недочетами являются:
нерациональные приемы вычислений и преобразований;
небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков.
Практическое занятие №1
«Выполнение операций над матрицами»
Цели занятия:
Закрепить и проконтролировать умения выполнять операции над матрицами, находить значение матричного многочлена.
Содержание дисциплины ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Операции над матрицами
1.Сложение и вычитание матриц определены только для матриц одинакового размера.
Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. cij = aij ± bij.
2. Умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
3. Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:
AЧB = C;
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] (обозначение: AT) операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример: Даны матрицы А = 13 EMBED Equation.3 1415, В = 13 EMBED Equation.3 1415, С = 13 EMBED Equation.3 1415 и число ( = 2. Найти АТВ+(С.
Решение: AT = 13 EMBED Equation.3 1415; ATB = 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415;
(C = 13 EMBED Equation.3 1415; АТВ+(С = 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример: Даны матрицы А = 13 EMBED Equation.3 1415 и В = 13 EMBED Equation.3 1415. Найти произведение матриц АВ и ВА.
Решение: АВ = 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
ВА = 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415 = (2(1 + 4(4 + 1(3) = (2 + 16 + 3) = (21).
Вариант 1
Вычислите матрицу D=(A-B)т*С, где
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти значение матричного многочлена f(A):
13 EMBED Equation.3 1415
Вычислите матрицу D=AB-2E, где
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; Е – единичная матрица.
Найти произведение матриц:
13EMBED Equation.31415
Вариант 2
Вычислите матрицу D=A*(B+С), где
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Найти значение матричного многочлена f(A):
13 EMBED Equation.3 1415
Вычислите матрицу D=AB+4E, где
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; Е – единичная матрица.
Найти произведение матриц:
13EMBED Equation.31415
Вариант 3
1. Вычислите матрицу D=A*(B-С)Т, где
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найти значение матричного многочлена f(A):13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3. Вычислите матрицу D=AB+3E, где
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; Е – единичная матрица.
4.Найти произведение матриц:
13EMBED Equation.31415
Вариант 4
1. Вычислите матрицу D= ВА+В-АТ:
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
2. Найти значение матричного многочлена f(A):13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3. Вычислите матрицу D=AB-5E, где
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; Е – единичная матрица.
4.Найти произведение матриц:
13EMBED Equation.31415
Практическое занятие №2
«Вычисление определителей»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения вычислять определители матриц различных порядков.
Теоретические сведения и методические указания к выполнению заданий
Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример:13 EMBED Equation.3 1415
Определителем третьего порядка называется следующее выражение:
Правило треугольников:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример:13 EMBED Equation.3 1415
Теорема Лапласа: Определителем n-го порядка, соответствующим матрице 13 EMBED Equation.3 1415, называется число
13 EMBED Equation.3 1415.
Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.
Пример: Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак, имеем
Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе 13 EMBED Equation.3 1415 нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В 13 EMBED Equation.3 1415 единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать 13 EMBED Equation.3 1415 по второй строке:13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Таким образом окончательно получим: 13 EMBED Equation.3 1415
Свойства определителей
При транспонировании матрицы определитель не меняется.
При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.
При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.
Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то 13EMBED Equation.31415.
Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.
Определитель равен нулю, если:
- все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.
- две строки (столбца) одинаковы.
- две строки (столбца) определителя пропорциональны.
Вариант 1
Решите уравнения: а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Вычислить определители: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Решите уравнение: а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Вычислить определители: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3
Решите уравнение: а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Вычислить определители: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Решите уравнение: а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Вычислить определители: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое занятие №3
«Нахождение обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы»
Цель работы:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения находить обратную матрицу;
закрепить умения вычислять ранг матрицы.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал
Обратная матрица
Определение. Квадратная матрица 13 EMBED Equation.3 1415 называется обратной к квадратной матрице 13 EMBED Equation.3 1415 того же порядка, если 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- единичная матрица.
Алгоритм нахождения обратной матрицы:
Вычислить определитель.
Транспонировать матрицу.
Вычислить алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы.
Выписываем обратную матрицу по формуле
13 EMBED Equation.3 1415)
Пример: Найти матрицу 13 EMBED Equation.3 1415обратную к 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Прежде всего, вычислим определитель матрицы 13 EMBED Equation.3 1415, чтобы убедиться в возможности существования обратной матрицы.
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, для 13 EMBED Equation.3 1415 существует обратная матрица.
Воспользуемся теперь формулой, выражающей элементы обратной матрицы через алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы. Для 13 EMBED Equation.3 1415имеем 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим последовательно элементы 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
С учётом полученного, обратная к 13 EMBED Equation.3 1415 матрица имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Ранг матрицы
Определение. Ранг матрицы – это порядок её базисного минора (наивысший порядок, отличных от нуля миноров).
Утверждение. Ранг матрицы не меняется
- при транспонировании матрицы.
- при перестановке её строк и столбцов.
- при умножении всех элементов её строки (столбца) на число отличное от нуля.
- при добавлении к одной из строк (столбцов) линейной комбинации из других её строк (столбцов).
- при удалении (вычёркивании) из неё строки (столбца) из нулей.
- при удалении из неё строки (столбца), представляющей линейную комбинацию других строк (столбцов).
Пример. Найти ранг матрицы: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Используем свойства ранга матрицы. Для удобства преобразуем матрицу так, чтобы в первой строке самый крайний слева элемент был равен единице. Для этого вычтем первую стоку из второй и преобразованную вторую строку поменяем местами с первой.
13 EMBED Equation.3 1415
Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:
13 EMBED Equation.3 1415 .
Третья строка равна второй и её можно вычеркнуть согласно свойству 6. Таким образом, исходная матрица в результате эквивалентных преобразований переходит в следующую:
13 EMBED Equation.3 1415.
В этой матрице имеются миноры второго порядка, отличные от нуля, например,
минор 13 EMBED Equation.3 1415. Этот минор можно выбрать в качестве базисного. Следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 1
1.Определить имеет ли матрица: обратную, и если имеет ,то найти ее:
13 EMBED Equation.3 1415
2. Найти ранги матриц:
а)13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Дана матрица А . Найти: а)АА-1; б) А-1А.
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
1.Определить имеет ли матрица: обратную, и если имеет ,то найти ее:
13 EMBED Equation.3 1415
2.Найти ранги матриц:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Дана матрица А . Найти: а)АА-1; б) А-1А.
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3
1. Определить имеет ли матрица: обратную, и если имеет ,то найти ее:
13 EMBED Equation.3 1415
2. Найти ранги матриц:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Дана матрица А . Найти: а)АА-1; б) А-1А.
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 4
1. Определить имеет ли матрица: обратную, и если имеет ,то найти ее:
13 EMBED Equation.3 1415
2. Найти ранги матриц:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Дана матрица А . Найти: а)АА-1; б) А-1А.
13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое занятие №4
«Решение систем линейных уравнений различными методами»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения решать системы линейных уравнений различными методами;
закрепить умения решать матричные уравнения;
закрепить умения находить общее решение системы линейных уравнений.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретические сведения и методические указания к выполнению заданий
Метод Крамера
Теорема. Пусть
· - определитель матрицы системы А, а
·j - определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j-ого столбца столбцом свободных членов В. Тогда система уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример: Решить систему уравнений методом Крамера:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение: Запишем данную систему уравнений на языке матриц.
13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим главный определитель матрицы системы:
13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим вспомогательные определители (самостоятельно, у доски):
13 EMBED Equation.3 1415
По формулам Крамера, получаем: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: (0;2;1).
Метод обратной матрицы
Пусть имеется система линейных уравнений AХ=B и ее определитель не равен нулю.
13 EMBED Equation.3 1415 - решение системы.
Пример: Решить систему уравнений методом обратной матрицы:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение: Система как и прошлом примере, но теперь ее решим методом обратной матрицы.
Найдем обратную матрицу А-1:
13 EMBED Equation.3 1415.
Транспонируем матрицу 13 EMBED Equation.3 1415
Находим алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы:
13 EMBED Equation.3 1415
Выписываем обратную матрицу:
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Метод Гаусса
Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему.
Приведение матрицы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение переменных – обратным ходом.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение: Составим расширенную матрицу системы.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
Вариант 1
1.Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.
13 EMBED Equation.3 1415
2. Решить матричное уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3.Найти общее решение для каждой из заданных систем алгебраических уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
1.Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.
13 EMBED Equation.3 1415
2. Решить матричное уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3.Найти общее решение для каждой из заданных систем алгебраических уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
1.Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.
13 EMBED Equation.3 1415
2. Решить матричное уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3.Найти общее решение для каждой из заданных систем алгебраических уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
1.Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.
13 EMBED Equation.3 1415
2. Решить матричное уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3.Найти общее решение для каждой из заданных систем алгебраических уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №5
«Составление уравнений прямых, их построение. Решение задач, используя уравнения прямых на плоскости»
Цели занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения находить уравнения прямых и кривых второго порядка, строить их.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Уравнение с угловым коэффициентом: 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение прямой, проходящей через точку A(x0; y0) под заданным углом (: 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение прямой, проходящей через две точки:13 EMBED Equation.3 1415
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
Условие параллельности двух прямых 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415
Условие перпендикулярности двух прямых 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415
Расстояние 13 EMBED Equation.3 1415 от точки 13 EMBED Equation.3 1415 до прямой 13 EMBED Equation.3 1415 представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой
13 EMBED Equation.3 1415
Тангенс угла 13 EMBED Equation.3 1415 между прямыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 определяется формулой
13 EMBED Equation.3 1415
Пример:
Вариант 1
Даны координаты вершин треугольника АВС: A (1;-1), B (4; 3), C (5; 1).
Найти:
уравнения сторон треугольника и их угловые коэффициенты;
величину угла наклона прямой АВ к оси абсцисс, а также величины внутренних углов треугольника;
уравнения высот треугольника и координаты точки Р из пересечения;
длину медианы АМ треугольника;
уравнение прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой АС
Построить заданный треугольник и все линии в системе координат:
Вариант 2
Даны координаты вершин треугольника АВС: A (0;-1), B (3; 3), C (4; 1).
Найти:
уравнения сторон треугольника и их угловые коэффициенты;
величину угла наклона прямой АВ к оси абсцисс, а также величины внутренних углов треугольника;
уравнения высот треугольника и координаты точки Р из пересечения;
длину медианы АМ треугольника;
уравнение прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой АС
Построить заданный треугольник и все линии в системе координат:
Вариант 3
Даны координаты вершин треугольника АВС: A (1; -2), B (4; 2), C (5; 0).
Найти:
уравнения сторон треугольника и их угловые коэффициенты;
величину угла наклона прямой АВ к оси абсцисс, а также величины внутренних углов треугольника;
уравнения высот треугольника и координаты точки Р из пересечения;
длину медианы АМ треугольника;
уравнение прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой АС
Построить заданный треугольник и все линии в системе координат:
Вариант 4
Даны координаты вершин треугольника АВС: A (2; -2), B (5; 2), C (6; 0).
Найти:
уравнения сторон треугольника и их угловые коэффициенты;
величину угла наклона прямой АВ к оси абсцисс, а также величины внутренних углов треугольника;
уравнения высот треугольника и координаты точки Р из пересечения;
длину медианы АМ треугольника;
уравнение прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой АС
Построить заданный треугольник и все линии в системе координат:
Практическое занятие №6
«Решение задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости: составление уравнений окружности, эллипса, их построение»
Цели занятия:
Закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
Закрепить умения находить канонические уравнения окружности и эллипса, строить их.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Кривой второго порядка называется линия, которая аналитически определяется уравнением 2-й степени относительно х и у.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где
А, В, С, D, Е, F – действительные числа.
Уравнения окружности
13EMBED Equation.21415
Пример: Построить линии по уравнениям в прямоугольной системе координат:
Каноническое уравнение эллипса
13 EMBED Equation.3 1415
а- большая полуосью эллипса
b - малая полуосью эллипса
13 EMBED Equation.3 1415- полуфокусное расстояние
13 EMBED Equation.3 1415- эксцентриситет эллипса
13 EMBED Equation.3 1415- директрисы эллипса
Пример: Построить линии по уравнениям в прямоугольной системе координат:
Пример Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и построить эту линию: х2 + у2 + 4x + 2у +1 = 0,
Решение: Уравнение х2 + у 2 + 4х + 2у +1 =0 определяет окружность, так как А=С= 1. Для получения канонического уравнения окружности выделим полные квадраты по переменным х и у:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, получено каноническое уравнение окружности с центром в точке (-2,-1) и радиусом R=2
Пример: Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и построить эту линию: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415определяет эллипс, так как А 13 EMBED Equation.3 1415 С = 513 EMBED Equation.3 1415 9 > 0. Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, выделим полные квадраты по переменным х и у и поделим по лученное уравнение на свободный член:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, получено канониче ское уравнение эллипса с центром в точке (3,-1) и полуосями а =3 (большая) и 13 EMBED Equation.3 1415(малая).
Вариант 1
Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Составить уравнение окружности с центром в точке С(1;4) и радиусом R=3. Проверить, лежат ли на этой окружности точки D(0;5), А(1;7), В(2;3).
Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и выписать основные элементы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Составить уравнение окружности с центром в точке С(-1;2) и радиусом R=4. Проверить, лежат ли на этой окружности точки D(0;5), А(-1;6), В(2;3).
Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и выписать основные элементы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Составить уравнение окружности с центром в точке С(0;5) и радиусом R=1. Проверить, лежат ли на этой окружности точки D(0;6), А(-1;6), В(2;3).
Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и выписать основные элементы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Составить уравнение окружности с центром в точке С(4;0) и радиусом R=2. Проверить, лежат ли на этой окружности точки D(0;6), А(-1;6), В(6;0).
Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и выписать основные элементы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №7
«Составление уравнений гиперболы и параболы и их построение»
Цели занятия:
Закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
Закрепить и проконтролировать умения находить канонические уравнения гиперболы и параболы, строить их.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Каноническое уравнение гиперболы
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - каноническое уравнение гиперболы, где а – действительная полуось; b-мнимая полуось.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - нормальное уравнение гиперболы,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - уравнение асимптот гиперболы.
Пример: Построить линию:
Каноническое уравнение параболы13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13EMBED Equation.21415- каноническое уравнение параболы.
Парабола асимптот не имеет.
13EMBED Equation.21415 - директриса параболы. 13EMBED Equation.21415 – фокус параболы.
13 EMBED Equation.3 1415- нормальное уравнение параболы (уравнение параболы со смещенной вершиной)
Пример :Построить линию:
Пример: Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 5х2 -4у2 +16у-36 = 0
Решение: Для получения канонического уравнения выделим полный квадрат по переменной у и поделим полученное уравнение на свободный член:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Итак, получено каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (0,2), а = 2 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример: Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Уравнение кривой преобразуется следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
имеем параболу, у которой вершина находится в точке 13 EMBED Equation.3 1415, параметр 13 EMBED Equation.3 1415, а ветви параболы направлены в отрицательную сторону оси ОХ.
Вариант 1
Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Кривая второго порядка задана уравнением:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
приведите уравнение к каноническому виду,
найдите все характеристики данной кривой,
Составить канонические уравнения: а) гиперболы; б) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой; а – большая (действительная) полуось; в – малая (мнимая) полуось; ( - эксцентриситет; y = ( kx – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).
а) а = 13, 13 EMBED Equation.3 1415 б)13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Кривая второго порядка задана уравнением:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
приведите уравнение к каноническому виду,
найдите все характеристики данной кривой,
Составить канонические уравнения: а) гиперболы; б) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой; а – большая (действительная) полуось; в – малая (мнимая) полуось; ( - эксцентриситет; y = ( kx – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).
а) а = 7, 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Кривая второго порядка задана уравнением:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
приведите уравнение к каноническому виду,
найдите все характеристики данной кривой,
Составить канонические уравнения: а) гиперболы; б) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой; F – фокус; а – большая (действительная) полуось; в – малая (мнимая) полуось; ( - эксцентриситет; y = ( kx – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).
а) b = 3, F (7,0); б) 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Кривая второго порядка задана уравнением:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
приведите уравнение к каноническому виду,
найдите все характеристики данной кривой,
Составить канонические уравнения: а) гиперболы; б) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой; F – фокус; а – большая (действительная) полуось; в – малая (мнимая) полуось; ( - эксцентриситет; y = ( kx – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).
а) 13 EMBED Equation.3 1415 F (-11,0); б) 13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №8
«Решение задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости»
Цели занятия:
Закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений.
Закрепить умения решать задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
В системе координат ХОY
Окружность с центром в точке O1(
·;
·) и с радиусом R:
13 EMBED Equation.3 1415
Гипербола с центром в точке O1(
·;
·): 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Эллипс с центром в точке O1(
·;
·):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Параболы с вершиной в точке O1(
·;
·) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример: Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от точки 13 EMBED Equation.3 1415 и прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Сделать чертеж.
Решение Пусть М (x, y) – любая точка искомой линии, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- основание перпендикуляра, опущенного из точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямую y13 EMBED Equation.3 1415. Тогда точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет координаты 13 EMBED Equation.3 1415. Расстояние от точки М до прямой 13 EMBED Equation.3 1415 есть расстояние между точками М и N:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Теперь определим расстояние между точками М и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
По условию задачи 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, для любой точки 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо равенство:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Окончательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Полученное уравнение является уравнением параболы с вершиной в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример: Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки 13 EMBED Equation.3 1415 и до прямой 13 EMBED Equation.3 1415 равно числу 13 EMBED Equation.3 1415. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
Решение. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр 13 EMBED Equation.3 1415 на прямую 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2). Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. По условию задачи 13 EMBED Equation.3 1415. По формуле (1) из предыдущей задачи
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Полученное уравнение представляет собой эллипс вида 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Определим фокусы эллипса 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Для эллипса справедливо равенство 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. То есть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 – фокусы эллипса (точки 13 EMBED Equation.3 1415 и А совпадают).
Вариант 1
Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до точки 13 EMBED Equation.3 1415 вдвое меньше расстояния до точки 13 EMBED Equation.3 1415. Сделать чертеж.
Написать уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равен 4. Сделать чертеж.
Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(х1; у1) и до прямой 13 EMBED Equation.3 1415 равно числу
·. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
А(–8; 0), а = –2, 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А(х1; у1) равно расстоянию до прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
А(–2; –2), b = –4.
Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(х,у) и данной прямой х=а равно числу k. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.
А(3,0) х=4/3; k=1,5
Вариант 2
Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки 13 EMBED Equation.3 1415 и от оси 13 EMBED Equation.3 1415. Сделать чертеж.
Написать уравнение кривой, каждая точка которой отстоит от точки 13 EMBED Equation.3 1415 вдвое дальше, чем от прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Сделать чертеж.
Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(х1; у1) и до прямой 13 EMBED Equation.3 1415 равно числу
·. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
А(4; 0), а = 1, 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А(х1; у1) равно расстоянию до прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
А(2; –1), b = 2.
Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(х,у) и данной прямой х=а равно числу k. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.
А(10,0) х=2,5; k=2
Вариант 3
Написать уравнение кривой, для каждой точки которой расстояние от точки 13 EMBED Equation.3 1415 вдвое меньше расстояния от прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Сделать чертеж.
Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек 13 EMBED Equation.3 1415 и13 EMBED Equation.3 1415 равна 213 EMBED Equation.3 1415. Сделать чертеж.
Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(х1; у1) и до прямой 13 EMBED Equation.3 1415 равно числу
·. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
А(9; 0), а = 4, 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А(х1; у1) равно расстоянию до прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
А(2; –1), b = 1.
Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(х,у) и данной прямой х=а равно числу k. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.
А(2,0) х=4,5; k=2/3.
Вариант 4
Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равна 27. Сделать чертеж.
Составить уравнение кривой, для каждой точки которой расстояния от начала координат и от точки 13 EMBED Equation.3 1415 относятся как 3:2. Сделать чертеж.
Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(х1; у1) и до прямой 13 EMBED Equation.3 1415 равно числу
·. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
А(–1; 0), а = –4, 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А(х1; у1) равно расстоянию до прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
А(4; –1), b = 1.
Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(х,у) и данной прямой х=а равно числу k. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.
A(3,0) х=12; k=0,5.
Практическое занятие №9
«Решение квадратных уравнений»
Цель работы:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексным числом называется выражение вида
13 EMBED Equation.3 1415, (1)
где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 ( действительные числа, 13 EMBED Equation.3 1415 ( мнимая единица.
Комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415 называется сопряженным для 13 EMBED Equation.3 1415.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действиительной осью, а ось ординат – мнимой осью (рис.1).
Число 13 EMBED Equation.3 1415 называется модулем комплексного числа 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415. Угол 13 EMBED Equation.3 1415, образованный вектором 13 EMBED Equation.3 1415 с положительным направлением оси Ox, называется аргументом числа 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Корни квадратного уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 с действительными коэффициентами, у которого 13 EMBED Equation.3 1415, находятся по формулам
13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ( корни квадратного трехчлена 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример . Найти корни квадратного трехчлена 13 EMBED Equation.3 1415 и разложить его на множители.
Решение. По формуле корней квадратного уравнения
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 1
Решить уравнения:
а) 3х2+8=0;
б) х2-2х+2=0;
в) х4-10х2+169=0.
г) х2+7=0;
д) х2-3х+5=0;
е) х4-10х2+144=0.
2. Разложить квадратные трехчлены из задания1 а) б) д) на множители; изобразить их корни на комплексной плоскости.
3. Решить системы уравнений:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Решить уравнения:
а) 4х2+5=0;
б) х2-6х+16=0;
в) х4-30х2+289=0.
г) 5х2+8=0;
д) х2-4х+7=0;
е) х4+5х2+10=0.
2. Разложить квадратные трехчлены из задания1 а) б) д) на множители; изобразить их корни на комплексной плоскости.
3. Решить системы уравнений:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Решить уравнения:
а)2х2+7=0;
б) х2+10х+28=0;
в) х4+6х2+25=0.
г)2х2+9=0;
д) х2+х+8=0;
е) х4+2х2+1=0.
2. Разложить квадратные трехчлены из задания1 а) б) д) на множители; изобразить их корни на комплексной плоскости.
3. Решить системы уравнений:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Решить уравнения:
а) х2+5=0;
б) х2-2х+3=0;
в) х4-х2+1=0.
г) 3х2+7=0;
д) х2-х+1=0;
е) х4-5х2+16=0.
2. Разложить квадратные трехчлены из задания1 а) б) д) на множители; изобразить их корни на комплексной плоскости.
3. Решить системы уравнений:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №10
«Использование понятий теории комплексных чисел: действия над комплексными числами в алгебраической форме»
Цели занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения выполнять арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Пусть даны два комплексных числа 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
1) Сложение (вычитание):
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
2) Умножение:
13 EMBED Equation.3 1415.
В частности,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
3) Деление:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Все арифметические операции над комплексными числами проводятся по правилам действий над многочленами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, при этом 13 EMBED Equation.3 1415 заменяется на 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Пример Вычислить: i2, i3, i4, i5, i6, i-1 , i-2.
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Даны два комплексных числа: z1=8+3i, z2=8+6i.
Найти а) z1+z2; б) z1-z2; в) z1z2; г) z1/z2.
Выполнить действия в алгебраической форме:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить: i21, i-5.
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415.
. Найти решение уравнений (x, y ( R):
а) (1 + i)x + (2 + i)y = 5 + 3i;
б) 2x + (1 + i)(x + y)=7 +i;
в) (3 – y + x)(1 + i) + (x – y)(2 + i) = 6 – 3i.
Вариант 2
Даны два комплексных числа: z1=2-5i, z2=6-8i.
Найти а) z1+z2; б) z1-z2; в) z1z2; г) z1/z2.
Выполнить действия в алгебраической форме:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить: i12, i-3.
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
. Найти решение уравнений (x, y ( R):
а) (1 + i)x + (5 + i)y = 4 + 3i;
б) 3x + (5 + i)(x + y)=12 +2i;
в) (2 – y + x)(3 + i) + (x – y)(2 + i) = 8 – 3i.
Вариант 3
Даны два комплексных числа: z1=3+7i, z2= -8+6i.
Найти а) z1+z2; б) z1-z2; в) z1z2; г) z1/z2.
Выполнить действия в алгебраической форме:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) (3 – 2i) (5 + 3i); в) (1 + 2i) – (3 –5i). г) 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить: i17, i-4.
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
. Найти решение уравнений (x, y ( R):
а) (1 + i)x + (4 + i)y = 8 + 2i;
б) 3x + (2 + i)(x + y)=14 +3i;
в) (4 – y + x)(3 + i) + (x – y)(2 +3 i) = 5 – 4i.
Вариант 4
Даны два комплексных числа: z1=5-4i, z2=2+3i.
Найти а) z1+z2; б) z1-z2; в) z1z2; г) z1/z2.
Выполнить действия в алгебраической форме:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) (1 + 3i)(–7 + 4i); в) (3 – 7i) + (5 + 3i); г) 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить: i19, i-2.
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
. Найти решение уравнений (x, y ( R):
а) (5 + i)x + (1 + i)y = 5 + 2i;
б) 6x + (4 + i)(x + y)=10 +3i;
в) (3 – y + x)(5 + i) + (x – y)(4 + i) = 9 – 2i.
Практическое занятие №11
«Использование понятий теории комплексных чисел: действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах»
Цели занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения выполнять арифметические действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.
закрепить умения переводить комплексные числа из одной формы в другую.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Тригонометрическая форма комплексного числа
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 ( решение системы 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Комплексные числа 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 представить в тригонометрической форме.
Решение. Сначала следует найти модуль и аргумент данного комплексного числа, а после этого воспользоваться формулой (1):
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Пусть даны два комплексных числа
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
1) Умножение: 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Деление: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
3) Возведение в степень. Формула Муавра:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 ( целое число.
4) Извлечение корня n-й степени 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415 представим в тригонометрической форме:
13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле Муавра находим
13 EMBED Equation.3 1415.
Вычисляя косинус и синус, окончательно получим13 EMBED Equation.3 1415.
Показательная форма комплексного числа
13 EMBED Equation.3 1415
Формула Эйлера: 13 EMBED Equation.3 1415
Действия над комплексными числами в показательной форме
Пусть даны два комплексных числа 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415,
1)Умножение: 13 EMBED Equation.3 1415,
2) Деление: 13 EMBED Equation.3 1415
3) Возведение в степень: 13 EMBED Equation.3 1415
4) Извлечение корня: 13 EMBED Equation.3 1415, где к=0,1,2,3,4,5...,n-1.
Пример .
Написать в показательной форме комплексные числа:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Комплексные числа z1= -(3+i, z2=1-i представить в тригонометрической и показательной формах. В обоих видах найти z1z2; z1/z2; z110; z11/3.
Представить в показательной форме число z=2i.
Записать числа в показательной форме и выполнить их произведение:
а) 3(cos(П/8)+i sin(П/8)) (cos (5П/24)+i sin (5П/24));
б) 2(cos(П/2)+i sin(П/2)) (cos (П/4)-i sin (П/4)).
Вариант 2
Комплексные числа z1= (3-i, z2=1+i представить в тригонометрической и показательной формах. В обоих видах найти z1z2; z1/z2; z210; z21/3.
Представить в показательной форме число z= -1+i.
Записать числа в показательной форме и выполнить их произведение:
а) 2(cos(П/3)+i sin(П/3)) 5(cos (-П/4)+i sin (-П/4)).
б) 4(cos(П/5)-i sin(П/5)) (cos (-П/10)+i sin (-П/10)).
Вариант 3
Комплексные числа z1= (3+i , z2=-1+i представить в тригонометрической и показательной формах. В обоих видах найти z1z2; z1/z2; z110; z11/3.
Представить в показательной форме число z=1+i.
Записать числа в показательной форме и выполнить их произведение:
а) (cos(2П/3)+i sin(2П/3)) (cos (-П/2)+i sin (-П/2)).
б) 5(cos(П/6)-i sin(П/6)) (cos (7П/12)-i sin (7П/12)).
Вариант 4
Комплексные числа z1= -(2+i , z2=-2-2i представить в тригонометрической и показательной формах. В обоих видах найти z1z2; z1/z2; z110; z11/3.
Представить в показательной форме число z=2.
Записать числа в показательной форме и выполнить их произведение:
а) 2(cos(П/6)-i sin(П/6)) (cos (5П/12)+i sin (5П/12)).
б) (cos(П/3)-i sin(П/3)) (cos (П/2)-i sin (П/2)).
Практическое занятие №12
«Применение методов дифференциального исчисления: вычисление производных сложных функций»
Цель работы:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения находить производные функции первого порядка.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Если С - постоянная, u = u(x), v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Все эти правила применяются к таблице производных
Таблица производных сложных функций
1. 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415) 2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. –
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Пример1: Найти производные функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. а) Функция 13 EMBED Equation.3 1415 – это произведение двух функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому по третьему правилу дифференцирования:
13 EMBED Equation.3 1415.
Из таблицы производных находим, что 13 EMBED Equation.3 1415, и так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Найти производные функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415;
Решение. а) Функция 13 EMBED Equation.3 1415 – это сложная функция 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда по формуле 1 таблицы производных 13 EMBED Equation.3 1415, а по формуле 5 13 EMBED Equation.3 1415.Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Используем правило дифференцирования 3а: 13 EMBED Equation.3 1415. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 – сложная 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3. Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Применим формулу производной сложной функции. Если бы нужно было вычислить значение 13 EMBED Equation.3 1415 при х = х0, то сначала вычисляли бы 5х0, затем 13 EMBED Equation.3 1415, затем полученный результат возвели бы в квадрат. То есть 13 EMBED Equation.3 1415 является суперпозицией трех функций, поэтому и производная будет равна произведению трех производных
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Найти производные функций, используя правила дифференцирования:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. Найти производные функций:
а) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = 13EMBED Equation.31415;
б) у = 3х ( sin 5x + 8; ж) у =х( (cos ln x + sin ln x );
в) у = (3 + sin x) 2 ( x; з) у = 13EMBED Equation.31415;
г) у = 13EMBED Equation.31415; и) у = 0,9213EMBED Equation.31415;
д) у = 13EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415.
Вариант 2
Найти производные функций, используя правила дифференцирования:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. Найти производные функций:
а) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = arctg13EMBED Equation.31415;
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = (х + 5) 7 ( sin3x; з) у = (х +1) ( arccos (x 2 +1);
г) у = 13EMBED Equation.31415; и) у = 13EMBED Equation.31415;
д) у = 52 ctg x ; к) у = (tg x)х.
Вариант 3
Найти производные функций, используя правила дифференцирования:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. Найти производные функций:
a) y = 13EMBED Equation.31415; е) у = сos 2 x –2ln cos x;
б) у = arctg 13EMBED Equation.31415; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = 13EMBED Equation.31415; з) у = 13EMBED Equation.31415;
г) у = х2 ( ctg2 x ; и) у = 13EMBED Equation.31415;
д) у = cos 2 5x + 7x; к) у = (cos x ) sin x.
Вариант 4
Найти производные функций, используя правила дифференцирования:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. Найти производные функций:
а) у = 3x5 – 13EMBED Equation.31415 + 13EMBED Equation.31415; е) y = 13EMBED Equation.31415;
б) y = arcsin (3x3 + 4); ж) y = ln cos(5x 3 + 4);
в) y = ( x+ 8) ( arctg 4x3 ; з) y = ( ctg 3x + 1 )5;
г) y = 13EMBED Equation.31415; и) y = 513EMBED Equation.31415;
д) y = 4x ( ( 1 – 3ln x); к) y = (cos x )13EMBED Equation.31415.
Практическое занятие №13
«Производные и дифференциалы высших порядков»
Цель работы:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения находить производные функции различных порядков;
закрепить умения применять производные для решения дифференциальных уравнений.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Производные высших порядков
Если производная 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 определена в некоторой окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415 и имеет в этой точке производную, то эта производная от 13 EMBED Equation.3 1415 называется второй производной (или производной второго порядка) функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначается одним из следующих символов:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Третья производная определяется как производная от второй производной и т. д. Если уже введено понятие 13 EMBED Equation.3 1415-й производной и если 13 EMBED Equation.3 1415-я производная имеет производную в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то указанная производная называется 13 EMBED Equation.3 1415-й производной (или производной 13 EMBED Equation.3 1415-го порядка) и обозначается
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, производные высших порядков определяются индуктивно по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Функция, имеющая 13 EMBED Equation.3 1415-ю производную в точке 13 EMBED Equation.3 1415, называется 13 EMBED Equation.3 1415 раз дифференцируемой в этой точке.
Пример. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Найти производные функций указанных порядков:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти производную функции второго порядка в точке х0: 13 EMBED Equation.3 1415, х0=0.
Показать, что функция у=3tg(2x-1) удовлетворяет уравнению y’’=2yy’.
Вариант 2
Найти производные функций указанных порядков:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти производную функции второго порядка в точке х0: y=x+sin2x, х0=0.
Показать, что функция у=2e3x-e-3x удовлетворяет уравнению yy’’’=y’y’’.
Вариант 3
Найти производные функций указанных порядков:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти производную функции второго порядка в точке х0: y=xln3x, х0=1.
Показать, что функция y=ln2x удовлетворяет уравнению 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 4
Найти производные функций указанных порядков:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти производную функции второго порядка в точке х0:
· y=x2e-x, х0=0.
Показать, что функция у=3-2x+32x удовлетворяет уравнению y’’=4ln23 y.
Практическое занятие №14
«Применение методов дифференциального исчисления: правило Лопиталя»
Цель работы:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения находить производные функции различных порядков;
закрепить умения применять производные для вычисления пределов.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Правило Лопиталя
При раскрытии неопределенностей 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 кроме классических методов вычисления пределов, во многих случаях можно пользоваться правилом Лопиталя:
Eсли 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 и существует предел отношения их производных 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Это правило справедливо и в случае 13 EMBED Equation.3 1415.
Теоремы о пределах
Теорема Если 13 EMBED Equation.3 1415, где с – константа, то 13 EMBED Equation.3 1415
Теорема Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 тогда а)13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415, если ;
г) 13 EMBED Equation.3 1415
Пример1. Применяя правило Лопиталя, найти пределы:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Убедившись, что имеет место случай 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, применяем правило Лопиталя.
а) 13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь мы дважды применили правило Лопиталя и воспользовались первым замечательным пределом.
в) 13 EMBED Equation.3 1415.
При раскрытии неопределенностей 13 EMBED Equation.3 1415 для применения правила Лопиталя, данное выражение надо преобразовать к неопределенностям 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 путем алгебраических преобразований.
Пример 2. Найти пределы:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: а) Имеем неопределенность 13 EMBED Equation.3 1415. Приведем эту неопределенность к неопределенности 13 EMBED Equation.3 1415, а затем применим правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415.
б) Имеем неопределенность 13 EMBED Equation.3 1415. Преобразуем к неопределенности 13 EMBED Equation.3 1415, после чего применим правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 1
Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №15
«Применение методов дифференциального исчисления: полное исследование функции. Построение графиков»
Цель работы:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения исследовать функции методами дифференциального исчисления, строить их графики.
Содержание дисциплины ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:
Найти область определения функции.
Исследовать функцию на четность-нечетность.
Найти вертикальные асимптоты.
Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.
Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Заметим, что исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.
Исследовать функцию и построить ее график:
13 EMBED Equation.3 1415.
РЕШЕНИЕ:
Область определения 13 EMBED Equation.3 1415
Функция четная, т.к. f(-x)=f(x), и ее график симметричен относительно оси ординат.
Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точках –1, 1 . 13 EMBED Equation.3 1415, то прямая х=1 есть вертикальная асимптота. В силу симметрии графика f(x) х=-1 также вертикальная асимптота.
Поведение функции в бесконечности. Вычислим 13 EMBED Equation.3 1415. В силу четности также имеем 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. прямая у=-1 – горизонтальная асимптота.
Экстремумы и интервалы монотонности.
Найдем 13 EMBED Equation.3 1415
у’=0 при х=0 и у’ не существует при х=1, х=-1.
Однако критической является только точка х=0.
х=0 – точка минимума и fmin =f(0)=1 – минимум функции.
Интервалы выпуклости и точки перегиба.
Найдем 13 EMBED Equation.3 1415
Точек перегиба нет.
Точки пересечения с осями. f(0)=1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0,1). Уравнение f(x)=0 решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.
Построим график функции.
13 EMBED PBrush 1415
Вариант 1
Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №16
«Применение методов дифференциального исчисления: вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных»
Цель работы:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения находить частные производные функции первого и второго порядков;
закрепить умения применять частные производные для решения дифференциальных уравнений.
Теоретический материал
Частные производные
При вычислении частных производных необходимо помнить следующее:
1) Все правила вычисления производных и все табличные производные функций одной переменной сохраняют силу.
2) При нахождении частной производной функции 13 EMBED Equation.3 1415 по 13 EMBED Equation.3 1415 переменную 13 EMBED Equation.3 1415 считают постоянной. Это приводит к тому, что перед нами возникает функция одной переменной 13 EMBED Equation.3 1415, от которой надо взять обычную производную. Поэтому, в частности, любые выражения, зависящие только от 13 EMBED Equation.3 1415, будут тоже постоянными и производная по 13 EMBED Equation.3 1415 от них равна 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
В произведении любой множитель, зависящий только от 13 EMBED Equation.3 1415, выполняет роль множителя-константы: 13 EMBED Equation.3 1415.
3) Аналогичным образом находят частную производную функции 13 EMBED Equation.3 1415 по 13 EMBED Equation.3 1415.
Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Частные производные 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются смешанными. Если они непрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования (они равны).
Вариант 1
Найти dz:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти частные производные второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти d2z:
13 EMBED Equation.3 1415
Проверьте, является ли функция u=xy решением дифференциального уравнения в частных производных u''xx +u''xy=1.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Найти dz:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти частные производные второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти d2z:
13 EMBED Equation.3 1415
Проверьте, является ли функция u=2x2-2y2 решением дифференциального уравнения в частных производных u''xx +u''yy=0.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Найти dz:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти частные производные второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти d2z:
13 EMBED Equation.3 1415
Проверьте, является ли функция u=x2 y2 решением дифференциального уравнения в частных производных u''xx -2y2=0.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Найти dz:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти частные производные второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти d2z:
13 EMBED Equation.3 1415
Проверьте, является ли функция u=3x2 y решением дифференциального уравнения в частных производных u''xx +u''yy=6y.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №17
«Применение методов интегрального исчисления: интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле»
Цель работы:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения вычислять неопределенные интегралы по таблице интегралов и использую методы интегрирования
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал
Первообразная и неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x), если F(x) дифференцируема и выполняется условие F`(x)=f(x).
Основные правила интегрирования
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
13 EMBED Equation.3 1415
Интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме интегралов.
13 EMBED Equation.3 1415
При интегрировании сложной функции перед интегралом выносится множитель 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Таблица основных интегралов
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415.
4.13 EMBED Equation.3 1415.
5. 13 EMBED Equation.3 1415.
6. 13 EMBED Equation.3 1415.
7. 13 EMBED Equation.3 1415.
8. 13 EMBED Equation.3 1415.
9. 13 EMBED Equation.3 1415.
10. 13 EMBED Equation.3 1415.
11. 13 EMBED Equation.3 1415.
12. 13 EMBED Equation.3 1415.
13. 13 EMBED Equation.3 1415.
14. 13 EMBED Equation.3 1415.
15.13 EMBED Equation.3 1415.
16.13 EMBED Equation.3 1415.
Интегрирование подстановкой
Теорема 1. Если не удается найти интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 непосредственно, то можно выбрать такую функцию x = ((t), удовлетворяющую условиям:
1) ((t) непрерывна при t ( ((;(), соответствующем интервалу x( (a;b),
2) дифференцируемая при t( (a;b);
3) имеет обратную функцию t = (-1(x), чтобы
13 EMBED Equation.3 1415 | 13 EMBED Equation.3 1415
Интегрирование по частям
Теорема. Пусть функция U = U(x) и V = V(x) дифференцируемы на некотором интервале (a;b). Пусть на (a;b) функция V(x)(U’(x) имеет первообразную. Тогда на (a;b) функция U(x)(V’(x) также имеет первообразную. При этом справедливо равенство:
13 EMBED Equation.3 1415.
Большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям может быть разбита на группы.
1) К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:
Ln x; arcsin x; arcos x; arctg x; arcctg x; ln2x; ln((x); arcsin2x;
при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.
Тогда за функцию u(x) берут соответствующую из перечисленных.
2) Ко второй группе относятся интегралы вида
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
где a,b,(, ,A – некоторые постоянные числа, A > 0, n ( N.
При этом в качестве u(x) следует брать (ax +b)n и интегрировать по частям n раз.
Вариант 1
Найти неопределенные интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти неопределенные интегралы методом подстановки (заменой переменной):
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Найти неопределенные интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти неопределенные интегралы методом подстановки (заменой переменной):
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Найти неопределенные интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти неопределенные интегралы методом подстановки (заменой переменной):
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Найти неопределенные интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти неопределенные интегралы методом подстановки (заменой переменной):
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №18
«Применение методов интегрального исчисления:
интегрирование рациональных и иррациональных функций»
Цели занятия
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения вычислять неопределенные интегралы рациональных и иррациональных функций
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал
Интегрирование рациональных дробей
Задача интегрирования рациональной дроби сводится к умению интегрирования только правильных рациональных дробей, так как интегрирование целой части дроби (многочлена) не сложная. Если решена задача разложения правильной дроби на сумму простых дробей, то дальше надо уметь интегрировать простые дроби. Покажем, как интегрировать такие дроби.
I. 13 EMBED Equation.3 1415
II. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
III.13 EMBED Equation.3 1415
Любая рациональная дробь интегрируема.
Для этого необходимо выполнить следующие действия.
1) Если дробь является неправильной, выделить ее целую часть, т.е. представить в виде:
13 EMBED Equation.3 1415,
где Tm-n(x) и Rr(x) – многочлены степени m-n и r соответственно (причем r
2) Разложить правильную рациональную дробь 13 EMBED Equation.3 1415на сумму простых дробей
3) Вычислить интегралы от многочлена Tm-n(x) и каждой из простых дробей, полученных на шаге2).
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. В дальнейшем будем стремиться отыскивать такие подстановки 13 EMBED Equation.3 1415 которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду. Если при этом функция 13 EMBED Equation.3 1415 выражается через элементарные функции, то интеграл представится в конечном виде и в функции от х.
Назовем этот прием методом рационализации подынтегрального выражения.
1) Интеграл вида 13 EMBED Equation.3 1415
Такие интегралы находят с помощью преобразований и замены, аналогичным преобразованиям и замены для нахождения интеграла от простой рациональной дроби III типа.
2) Подынтегральная функция содержит 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда надо выполнить замену:13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Такая замена приводит интеграл от некоторого тригонометрического выражения.
3) Подынтегральная функция содержит 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда надо выполнить замену:13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
4) Подынтегральная функция содержит 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда надо выполнить замену:13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
5) Подынтегральная функция содержит 13 EMBED Equation.3 1415:
Тогда надо выполнить замену:13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 1
Найдите интегралы от рациональных функций:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите интегралы от иррациональных функций:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Найдите интегралы от рациональных функций:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите интегралы от иррациональных функций:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3
Найдите интегралы от рациональных функций:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите интегралы от иррациональных функций:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 4
Найдите интегралы от рациональных функций:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите интегралы от иррациональных функций:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое занятие №19
«Применение методов интегрального исчисления: интегрирование тригонометрических функций Универсальная подстановка»
Цели занятия
Закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
Закрепить умения вычислять неопределенные интегралы тригонометрических функций
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал
Интегрирование тригонометрических функций
1) Интегралы вида 13 EMBED Equation.3 1415
Применим так называемую универсальную тригонометрическую подстановку
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
С помощью указанной подстановки интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сводится к интегралу от рациональной функции
13 EMBED Equation.3 1415.
2) Интегралы вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 приводится к 13 EMBED Equation.3 1415 с помощью подстановки 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 приводится к 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3) Интегралы вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Если подынтегральная функция зависит только от tgx или только от sinх и cosх, входящих в четных степенях, то применяется подстановка
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
в результате которой получим интеграл от рациональной функции:
4) Интегралы вида 13 EMBED Equation.3 1415
а) m и n таковы, что по крайней мере одно из них нечетное число. Пусть для определенности n-нечетное. Тогда полагаем 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
б) m и n ( неотрицательные, четные числа. Полагаем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Возводя в степень и раскрывая скобки, получим интегралы, содержащие 13 EMBED Equation.3 1415 как в четных, так и нечетных степенях. Интегралы с нечетными степенями cos2x интегрируются как в случае а). Четные показатели степеней cos2x снова понижаем по выше указанным формулам. Продолжая так поступать, получим в конце концов слагаемые вида 13 EMBED Equation.3 1415, которые легко интегрируются.
в) m и n ( четные числа, но хотя бы одно из них отрицательное.
В этом случае следует сделать замену 13 EMBED Equation.3 1415 ( или 13 EMBED Equation.3 1415.
5) Интегралы вида 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Чтобы проинтегрировать данные функции, достаточно применить тригонометрические формулы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Найдите интегралы от функций, содержащих тригонометрическое выражение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите интегралы от функций, рационально зависящих от тригонометрических:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Найдите интегралы от функций, содержащих тригонометрическое выражение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите интегралы от функций, рационально зависящих от тригонометрических:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Найдите интегралы от функций, содержащих тригонометрическое выражение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите интегралы от функций, рационально зависящих от тригонометрических:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Найдите интегралы от функций, содержащих тригонометрическое выражение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите интегралы от функций, рационально зависящих от тригонометрических:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №20
«Применение методов интегрального исчисления: вычисление определенных интегралов»
Цель занятия:
Закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
Закрепить умения вычислять определенные интегралы, применять методы интегрирования.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал
Понятие определенного интеграла
Определение. Если интегральная сумма 13 EMBED Equation.3 1415 имеет предел 13 EMBED Equation.3 1415, который не зависит ни от способа разбиения отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 на частичные отрезки, ни от выбора точек 13 EMBED Equation.3 1415 в них, то этот предел называют определенным интегралом от функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначают 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – нижний предел интегрирования; 13 EMBED Equation.3 1415 – верхний предел интегрирования;
13 EMBED Equation.3 1415 – подынтегральная функция; 13 EMBED Equation.3 1415 – подынтегральное выражение;
13 EMBED Equation.3 1415 – переменная интегрирования; 13 EMBED Equation.3 1415 – отрезок интегрирования.
Основные свойства определенного интеграла
1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Постоянный множитель можно выносить за знак определен-ного интеграла:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Интеграл от суммы (разности) двух или нескольких интегрируемых на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций, то есть
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 на этом отрезке.
Если на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции
13 EMBED Equation.3 1415.
Формула Ньютона–Лейбница
Пусть функция 13 EMBED Equation.3 1415 интегрируема на 13 EMBED Equation.3 1415. Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 – какая-либо ее первообразная на 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415.
Данная формула позволяет вычислить определенный интеграл.
Пример. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Интегрирование заменой переменной и по частям в определенном интеграле
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и пусть функция x = ( (t) имеет непрерывную производную ( '(t) на отрезке [(;(], область значений этой функции – отрезок [a;b], то есть a ( ( (t) ( b для x t( [(;(], причем ( (() = a, ( (() = b.
Тогда справедливо равенство:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример.
13 EMBED Equation.3 1415
.
При замене переменной часто бывает удобно пользоваться не подстановкой 13 EMBED Equation.3 1415 для перехода к новой переменной 13 EMBED Equation.3 1415, а наоборот, обозначать буквой 13 EMBED Equation.3 1415 некоторую функцию от 13 EMBED Equation.3 1415 и принимать ее за новую переменную: 13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае новые пределы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 определяют сразу по формулам 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема. Пусть функции u(x) и V(x) имеют непрерывные производные на [a;b]. Тогда справедливо равенство:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Положим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Применяя формулу, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Вычислить определенные интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Вычислить определенные интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3
Вычислить определенные интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Вычислить определенные интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое занятие №21
«Применение методов интегрального исчисления: вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов»
Цель занятия:
Закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
Закрепить умения применять определенные интегралы для нахождения площадей плоских фигур, длин кривых и объемов тел вращения.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал
Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а;b]. Тогда площадь соответствующей КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ находится по формуле Ньютона-Лейбница:
13 EMBED Equation.3 1415
Вычисление площади плоской фигуры
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Найдем координаты точек пересечения линий: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
Нахождения длины дуги кривой
Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 длина дуги находится по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример Вычислить длину дуги кривой 13 EMBED Equation.3 1415от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем 13 EMBED Equation.3 1415. Используя формулу, получим:
13 EMBED Equation.3 1415.
Нахождение объема тел вращения
Пусть функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415 криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции 13 EMBED Equation.3 1415, снизу 13 EMBED Equation.3 1415, определяется формулой: 13 EMBED Equation.3 1415.
Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции 13 EMBED Equation.3 1415 и прямыми 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415, по аналогии с формулой (20), равен: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример: Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры 13 EMBED Equation.3 1415, вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
В условиях нашей задачи 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями:
у=х2, у=2х+3;
у=1/2х2-х+1, у=-1/2х2+3х+6;
у=-х2/2, у=х-3/2.
Вычислить:
длину дуги кривой 13 EMBED Equation.3 1415 от точки с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415 до точки 13 EMBED Equation.3 1415.
длину дуги кривой13 EMBED Equation.3 1415, отсеченной осью 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной заданными линиями:
у=4-х2, у=0;
у=4х-х2, у=0.
Вариант 2
Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями:
у=2х2, у=х/2;
у=1/2х2+х+2, у=-1/2х2-3х+7;
у=4х2, у=-х.
Вычислить:
длину дуги кривой 13 EMBED Equation.3 1415 от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415.
длину дуги полукубической параболы 13 EMBED Equation.3 1415 от точки 13 EMBED Equation.3 1415 до точки 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной заданными линиями:
у=4х-х2, у=3;
у=4-х2, у=-2х+4.
Вариант 3
Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями:
у=4х-х2, у=х;
у=1/3х2-3х+2, у=-2/3х2-2х+4;
у=3х2-2, у=х2.
Вычислить:
длину дуги кривой 13 EMBED Equation.3 1415 между точками пересечения её с 13 EMBED Equation.3 1415.
длину дуги кривой13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной заданными линиями:
х2+у2=4, х=1;
у=2х-х2, у=0.
Вариант 4
Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями:
у=х2-2х+1, у=-х+3;
у=2х2+6х-3, у=-х2+х+5;
у=х2-х-3, у=х.
Вычислить:
длину дуги кривой 13 EMBED Equation.3 1415 в пределах от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415.
длину дуги кривой13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной заданными линиями:
х2+у2=9, у=3-х;
у=2-х2/2, у=0.
Практическое занятие №22 «Применение методов интегрального исчисления: вычисление двойных интегралов в случае области 1 и 2 типа»
Цель занятия:
Закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
Закрепить умения вычислять двойные интегралы в случае областей 1 и 2 типа.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал
Определение: Двойным интегралом от функции 13 EMBED Equation.3 1415 по области D называется предел интегральной суммы (1) при 13 EMBED Equation.3 1415, если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения D на элементарные области и от выбора в них точек 13 EMBED Equation.3 1415.
Обозначение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Основные свойства двойного интеграла:
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415, где c – постоянная.
3. Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – площадь области интегрирования D.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Область D называется правильной в направлении оси Oy (Ox), если любая прямая, параллельная оси Oy (Ox) и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает ее границу в двух точках.
Граница области D, правильной в направлении оси Oy (рис. 1), может быть задана уравнениями: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и двойной интеграл в этом случае вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415,
Граница области D, правильной в направлении оси Ox (рис. 2), может быть задана уравнениями: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и двойной интеграл в этом случае вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415, если область D ограничена линиями 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Решение разбивается на три этапа: 1) построение области D; 2) переход к повторному интегралу, расстановка пределов интегрирования; 3) вычисление повторного интеграла.
Построим область D. Первая линия – ось Ox, вторая – парабола с вершиной в точке (0; 0), третья – прямая, проходящая через точки (0; 2) и (2; 0) (рис. 3). Решая систему 13 EMBED Equation.3 1415 находим точки пересечения параболы и прямой: (1; 1) и (–2; 4), (–2; 4)(D. Так как область правильная, то можно воспользоваться любой из формул (4) или (5).
При решении по формуле (4) область придется разбить на две: OAC и CAB, так как линия OAB задается разными уравнениями:
13 EMBED Equation.3 1415.
При вычислении по формуле (5) приходим к одному повторному интегралу:
13 EMBED Equation.3 1415.
Закончим решение, пользуясь последней формулой. Вычислим внутренний интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 1
Вычислите повторный интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415
Вычислите двойной интеграл:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 где D- область, ограниченная параболами у=х2 и х=у2.
б) 13 EMBED Equation.3 1415 D- область, ограниченная линиями у=0, х=0, у=1-х.
Измените порядок интегрирования в двойном интеграле:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Вычислите повторный интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415
Вычислите двойной интеграл:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 где D- область, ограниченная линиями у=1/х , х=1/2 и х=у;
б) 13 EMBED Equation.3 1415 где D- область, ограниченная линиями у2=х и х=1.
Измените порядок интегрирования в двойном интеграле:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Вычислите повторный интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415
Вычислите двойной интеграл:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 где D- область, ограниченная линиями у=1/х , х=2 и х=у;
б) 13 EMBED Equation.3 1415 где D- область, ограниченная линиями у=х, у=6-х2 и х=0.
Измените порядок интегрирования в двойном интеграле:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Вычислите повторный интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415
Вычислите двойной интеграл:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 где D- область, ограниченная линиями у=0 и у=4-х2;
б) 13 EMBED Equation.3 1415 где D- область, ограниченная линиями у=х и х=1.
Измените порядок интегрирования в двойном интеграле:
13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №23
«Решение дифференциальных уравнений первого порядка»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения решать дифференциальные уравнения первого порядка.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое, кроме независимой переменной 13 EMBED Equation.3 1415 и искомой функции 13 EMBED Equation.3 1415, входит либо производная 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
либо дифференциалы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Удобнее рассматривать уравнение, разрешенное относительно 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415. (1)
Задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка называют задачу, состоящую в отыскании решения 13 EMBED Equation.3 1415 уравнения (1), удовлетворяющего заданному начальному условию 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение задачи Коши называют частным решением дифференциального уравнения.
Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение вида
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
1. Перепишем уравнение (2) в виде 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Разделим переменные, т. е. в правую часть уравнения «перенесем» все выражения, содержащие 13 EMBED Equation.3 1415, а в левую часть ( содержащие 13 EMBED Equation.3 1415.
3. В результате получим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415,
где коэффициент при 13 EMBED Equation.3 1415 ( функция только от 13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415 ( функция только от 13 EMBED Equation.3 1415).
4.Интегрируя обе части этого уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415.
5.Получим его общее решение:
Пример. Решить задачу Коши: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.Запишем уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415. Умножив обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Интегрируем: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Общее решение уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставим в общее решение начальные значения 13 EMBED Equation.3 1415, получим значение 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда частное решение уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Однородные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 называется однородным, если 13 EMBED Equation.3 1415 при любых 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Подстановка
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 ( новая неизвестная функция, приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример. Найти общее решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Приведем уравнение к виду 13 EMBED Equation.3 1415, для этого разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
получим, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Покажем, что уравнение однородное. Очевидно,
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, уравнение однородное и для сведения его решения к решению уравнения с разделяющимися переменными надо сделать подстановку (1), после этого уравнение примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
После приведения подобных членов получим
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Это уравнение с разделяющимися переменными: 13 EMBED Equation.3 1415. Разделим переменные, умножая обе части на 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Интегрируя, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Произвольную постоянную 13 EMBED Equation.3 1415 удобно записать в виде: 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда последнее уравнение примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Сделаем обратную замену: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Линейные неоднородные уравнения первого порядка
Уравнение вида
13 EMBED Equation.3 1415
называется линейным.
Для нахождения его решения искомую функцию 13 EMBED Equation.3 1415 представляют в виде
13 EMBED Equation.3 1415,
тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставим 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в уравнение (2):
13 EMBED Equation.3 1415,
после группировки имеем
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем такую функцию 13 EMBED Equation.3 1415, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т. е.
13 EMBED Equation.3 1415.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 ( его решение (при вычислении 13 EMBED Equation.3 1415 не надо вводить произвольную постоянную). Тогда в силу (2.5) и (2.6) функция 13 EMBED Equation.3 1415 должна удовлетворять уравнению
13 EMBED Equation.3 1415.
Это уравнение с разделяющимися переменными:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, общим решением уравнения (2) будет
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Найти общее решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Дано линейное уравнение, в котором 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставляя в него 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Приравнивая нулю выражение, стоящее в скобках, получим:
13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то то функция 13 EMBED Equation.3 1415 должна удовлетворять уравнению 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, общим решением данного уравнения будет
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 1
Решить дифференциальные уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Решить дифференциальные уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3
Решить дифференциальные уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 4
Решить дифференциальные уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию: 13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое занятие №24
«Решение дифференциальных уравнений второго порядка»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения решать дифференциальные уравнения второго порядка.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Это уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415, где p и q – некоторые действительные числа.
Заменив в нем 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – на k и у – на 13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415 - характеристическое уравнение.
Вид общего решения уравнения (1) зависит от корней характеристического уравнения
Корни 13 EMBED Equation.3 1415
Общее решение 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – действительные числа и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – действительные числа и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – комплексные числа: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Для каждого из данных уравнений составляем характеристическое уравнение и решаем его. По виду полученных корней записываем общее решение дифференциального уравнения (см. табл.):
а) 13 EMBED Equation.3 1415, корни 13 EMBED Equation.3 1415 – действительные и равные, поэтому общее решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, корни 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – действительные и различные, поэтому общее решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415, корни 13 EMBED Equation.3 1415 – комплексно-сопряженные, поэтому общее решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Это уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415, его решение:13 EMBED Equation.3 1415.
Структура частного решения определяется правой частью 13 EMBED Equation.3 1415 уравнения
№
Вид 13 EMBED Equation.3 1415
Структура 13 EMBED Equation.3 1415
1.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 – многочлен степени 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415
2.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415
3.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415
В таблице 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – известные числа, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – корни характеристического уравнения, 13 EMBED Equation.3 1415, A, B – неизвестные коэффициенты, которые находятся путем подстановки 13 EMBED Equation.3 1415 в исходное уравнение (метод неопределенных коэффициентов).
Пример. Определить и записать структуру частного решения 13 EMBED Equation.3 1415 уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 по виду функции 13 EMBED Equation.3 1415, если а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Находим корни характеристического уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
а) Так как 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (случай 2 в табл. 2.2), то частное решение имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, т. к. среди корней характеристического уравнения нет равных 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 (случай 3 в табл. 2.2): 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415), то 13 EMBED Equation.3 1415,
множитель 13 EMBED Equation.3 1415 появился потому, что 13 EMBED Equation.3 1415 является корнем характеристического уравнения.
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
1.Если дифференциальное уравнение имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415, то оно решается последовательным интегрированием.
2.Если в запись уравнения не входит функция y(x), т.е. оно имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415то такое уравнение можно решить, найдя вспомогательную функцию 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Положим 13 EMBED Equation.3 1415.
Исходное уравнение примет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
13 EMBED Equation.3 1415
Возвращаясь к первоначальной функции, получаем уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
3.Если в запись уравнения не входит переменная x, т.е. оно имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415то такое уравнение можно решить, найдя вспомогательную функцию 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Положим 13 EMBED Equation.3 1415. Исходное уравнение примет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
13 EMBED Equation.3 1415
Возвращаясь к первоначальной функции, получаем уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2)13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вариант 2
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2)13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вариант 3
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2)13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вариант 4
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2)13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Практическое занятие №25
«Решение задач с использованием дифференциальных уравнений»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
закрепить умения решать задачи с использованием дифференциальных уравнений.
Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Теоретический материал
Пример. Найти линию, проходящую через точку13 EMBED Equation.3 1415 и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями делится пополам в точке ее касания.
Решение. Пусть уравнение искомой кривой 13 EMBED Equation.3 1415. Известно, что уравнение касательной к ней в любой точке 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415,
где X,Y - текущие координаты касательной. Обозначим точки пересечения касательной с осями координат через A и B.
Полагая, Y=0 найдем абсциссу точки A пересечения касательной с осью абсцисс
13 EMBED Equation.3 1415.
Очевидно, что 13 EMBED Equation.3 1415. Согласно условию задачи точка N является серединой отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 и поэтому 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Полученное уравнение есть дифференциальное уравнение относительно искомой функции 13 EMBED Equation.3 1415. Разделив в нем переменные, получим 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, указанным в условии задачи свойствам обладает любая гипербола полученного семейства. Остается выделить ту из них, которая проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415. Так как подстановка значений 13 EMBED Equation.3 1415 в общий интеграл дает 13 EMBED Equation.3 1415, то искомая гипербола имеет уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Тело, имеющее в начальный момент времени (t=0) температуру 13 EMBED Equation.3 1415, охлаждается в воздушной среде до температуры 13 EMBED Equation.3 1415 в течение 13 EMBED Equation.3 1415 мин. Найти время, за которое тело охладится до температуры 30°, если известно, что температура воздуха 20°, а скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха.
Решение. Обозначим температуру тела в любой момент времени t через T=T(t). Т.к. скорость охлаждения тела 13 EMBED Equation.3 1415 пропорциональна разности между температурой тела T и температурой воздуха 20°, то получаем дифференциальное уравнение
13 EMBED Equation.3 1415. (1.7)
Здесь К – коэффициент пропорциональности. Уравнение (1.7) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, поэтому решаем его по указанной выше схеме.
Разделив переменные, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Интегрируя, находим:
13 EMBED Equation.3 1415,
или
13 EMBED Equation.3 1415. (1.8)
Равенство (1.8) является общим решением уравнения (1.7). Найдем частное решение, удовлетворяющее условию 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, частным решением является функция
13 EMBED Equation.3 1415. (1.9)
Найдем числовое значение постоянной 13 EMBED Equation.3 1415. Для этого воспользуемся условием, что Т(20)=60:
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, частное решение (1.9) можно записать так:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.10)
В задаче требуется определить время, за которое тело охладится до температуры 30°.
Положив в равенстве (1.9) Т=30°, найдем:
13 EMBED Equation.3 1415 (мин).
Итак, тело охладится до температуры 30° в течение одного часа.
С помощью подстановки 13 EMBED Equation.3 1415 к уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и дифференциальные уравнения вида
13 EMBED Equation.3 1415, b
·0.
Вариант 1
Для данного дифференциального уравнения найти кривую, проходящую через точку А.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти линию, проходящую через точку13 EMBED Equation.3 1415 и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями делится пополам в точке ее касания.
Найти линию, проходящую через точку 13 EMBED Equation.3 1415(1;0) и обладающую тем свойством, что отрезок, отсекаемый любой её касательной на оси ОУ, равен длине радиуса-вектора точки касания.
Тело, имеющее в начальный момент времени (t=0) температуру 13 EMBED Equation.3 1415, охлаждается в воздушной среде до температуры 13 EMBED Equation.3 1415 в течение 13 EMBED Equation.3 1415 мин. Найти время, за которое тело охладится до температуры 36°, если известно, что температура воздуха 30°, а скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха.
Вариант 2
Для данного дифференциального уравнения найти кривую, проходящую через точку А.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти линию, проходящую через точку13 EMBED Equation.3 1415 и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями делится пополам в точке ее касания.
Найти линию, проходящую через точку 13 EMBED Equation.3 1415(2;3), если ордината точки пересечения касательной с прямой X=1 в три раза больше ординаты точки касания.
Тело, имеющее в начальный момент времени (t=0) температуру 13 EMBED Equation.3 1415, охлаждается в воздушной среде до температуры 13 EMBED Equation.3 1415 в течение 13 EMBED Equation.3 1415 мин. Найти время, за которое тело охладится до температуры 25°, если известно, что температура воздуха 10°, а скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха.
Вариант 3
Для данного дифференциального уравнения найти кривую, проходящую через точку А.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти линию, проходящую через точку13 EMBED Equation.3 1415 и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями делится пополам в точке ее касания.
Найти линию, проходящую через точку (4;3) и обладающую тем свойством, что любая её касательная отсекает на оси ОУ отрезок вдвое меньше расстояния от точки касания до начала координат.
Тело, имеющее в начальный момент времени (t=0) температуру 13 EMBED Equation.3 1415, охлаждается в воздушной среде до температуры 13 EMBED Equation.3 1415 в течение 13 EMBED Equation.3 1415 мин. Найти время, за которое тело охладится до температуры 40°, если известно, что температура воздуха 30°, а скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха.
Вариант 4
Для данного дифференциального уравнения найти кривую, проходящую через точку А.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти линию, проходящую через точку13 EMBED Equation.3 1415 и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями делится пополам в точке ее касания.
Найти кривую, проходящую через точку(1;1) и обладающую тем свойством, что произведение углового коэффициента любой её касательной на абсциссу точки касания, сложенное с квадратом ординаты, равно 4.
Тело, имеющее в начальный момент времени (t=0) температуру 13 EMBED Equation.3 1415, охлаждается в воздушной среде до температуры 13 EMBED Equation.3 1415 в течение 13 EMBED Equation.3 1415 мин. Найти время, за которое тело охладится до температуры 30°, если известно, что температура воздуха 20°, а скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха.
Литература
Основные источники:
Григорьев В.П., Дубинский Ю. А. Элементы высшей математики : ”Москва, “Академия” – 2012.
Г р и г о р ь е в В. П., С а б у р о в а Т. Н. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие: Рекомендовано ФГУ «ФИРО». 2-e изд., стер. 160 с.
М.С. Спирина, П.А. Спирин Теория вероятностей и математическая статистика: ”Москва, “Академия” – 2012.
Дополнительные источники:
И.Д.Пехлецкий Математика:Учебник-М.: Мастерство,2010
Н.В.Богомолов Практические занятия по математике.-М.:Высшая школа, 2009
П.Е. Данко, А.Г. Попов Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1 и 2.- М.:Высшая школа 2008
В.С. Щипачев Основы высшей математики.-М.: Высшая школа, 2001
Л.А. Кузнецов Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) - электронная книга
Интернет-ресурсы:
1.Информационно-справочная система «В помощь студентам». Форма доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2. Информационно-справочная система Форма доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
3. Информационно-справочная система Форма доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Математическая школа в Интернете.
5. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Для учителей математики.
6. .[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Методические рекомендации.
7..uztest.net/course/view.php?id=11 Олимпиады по математике
8. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] математические публикации
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Математика в школе
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Математика
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Математическое образование: прошлое и настоящее
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Интернет- библиотека
Справочники:
М. Я. Выгодский Справочник по высшей математике: Астрель, 2003
В. М. Брадис Четырехзначные математические таблицы: Дрофа, 1996
13 PAGE \* MERGEFORMAT 1410415
13 EMBED Word.Picture.8 1415
13 EMBED Word.Picture.8 1415
13 EMBED Word.Picture.8 1415
13 EMBED Word.Picture.8 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
Рис. 1
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 1
Рис. 2
"$&LNtvxz
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ИРисунок 4321a^T_{ij} = a_{ji}Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeПравило треугольников для определителя третьего порядкаEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native