МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению практических работ по дисциплине «Математика» 1 курс для специальностей: •23.02.02 — Автомобиле и тракторостроение •15.02.08 — Технология машиностроения •22.02.06 — Сварочное производство •15.02.04 — Специальные машины

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»
методические указания
по выполнению практических работ
по дисциплине «Математика»
по основной профессиональной образовательной программе
среднего профессионального образования
по подготовке специалистов среднего звена
( базовая подготовка)
для специальностей:
•23.02.02 - Автомобиле и тракторостроение
•15.02.08 - Технология машиностроения
•22.02.06 - Сварочное производство
•15.02.04 - Специальные машины и устройства

2015 г.
Методические указания составлены в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом (далее – ФГОС) для специальностям среднего профессионального образования (далее – СПО):
•23.02.02 - Автомобиле и тракторостроение утвержденным приказом Министерства образования и науки РФ от 18.04.2014 №346.
•15.02.08 - Технология машиностроения утвержденным приказом Министерства образования и науки РФ от 18.04.2014 №350.
•22.02.06 - Сварочное производство утвержденным приказом Министерства образования и науки РФ от 21.04.2014 №360.
•15.02.04 - Специальные машины и устройства утвержденным приказом Министерства образования и науки РФ от 22.04.2014 №380.
Составитель: Мозговая И.В., преподаватель
Рассмотрены и одобрены на заседании цикловой комиссии
Протокол № от . . 2015 г.
Председатель предметно-цикловой комиссии:
__________________/Сергеева И.В./
Согласованы на заседании методического совета
Протокол № от …………… 15 г.
Заместитель директора по УР:
__________________/Семенова С.А./

СОДЕРЖАНИЕ
Практическое занятие № 1
Вычисление арифметических выражений………………………………………………….4
Практическое занятие № 2
Вычисление арифметических выражений, содержащих степени и корни…………….12
Практическое занятие № 3
Решение показательных уравнений………………………………………………………...18
Практическое занятие № 4
Решение логарифмических уравнений……………………………………………………..26
Практическое занятие № 5
Преобразование и вычисление тригонометрических выражений……………………...33
Практическое занятие № 6
Нахождение производных функций…………………………………………………………43
Практическое занятие № 7
Исследование функций с помощью производной
и построение графиков функций……………………………………………………………48
Практическое занятие № 8
Нахождение неопределенных интегралов
методом непосредственного интегрирования……………………………………………..55
Практическое занятие № 9
Применение векторов и координат к решению геометрических задач………………..60
Практическое занятие № 10
Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда……………………………………….65
Практическое занятие № 11
Вычисление площадей поверхностей геометрических тел………………………………73
Практическое занятие № 12
Вычисление объемов геометрических тел…………………………………………………79
Литература……………………………………………………………………………………..84
КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»


Практическое занятие № 1
Вычисление АРИФметических выражений
(2 часа)
Практическое занятие №1
Вычисление АРИФметических выражений
Цель практического занятия: закрепить навыки выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления над обыкновенными и десятичными дробями при вычислении арифметических выражений.
1. Краткие теоретические сведения
Определение. Одна или несколько равных частей единицы называется обыкновенной дробью.
Определение. Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называют правильной дробью. Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.
Правильная дробь меньше единицы, а неправильная дробь больше или равна единице.
Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь:
abc=ac+bc.
Пример. 547=5∙7+47=397Для того чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления будет целой частью числа, остаток – числителем, а делитель – знаменателем.
Определение. Десятичной дробью называют обыкновенную дробь, знаменать которой равен 10, 100, 1000 и т.д.
Пример. 351000=0,035Арифметические операции над обыкновенными дробями
Правило 1. При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби).
ab±cb=а±сbПравило 2. При сложении (вычитании) дробей с различными знаменателями нужно привести их в наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями. Полученную дробь, если можно сократить и исключить из нее целую часть.
Правило 3. При умножении двух дробей получается дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей исходных дробей.
ab∙cd=acbdПравило 4. При делении дроби на дробь числитель делимого умножают на знаменатель делителя, а знаменатель делимого – на числитель делителя. Первое произведение служит числителем, а второе – знаменателем частного.
ab:cd=adbcЗамечание. Если производится умножение или деление смешанных дробей, то их предварительно следует перевести в неправильные.
Арифметические операции над десятичными дробями.
Правило 1. При сложении (вычитании) десятичных дробей числа записывают так, чтобы одинаковые разряды были записаны один под другим, а запятая – под запятой, и складывают (вычитают) как натуральные числа.
16084555715000
Пример.
Правило 2. При умножении двух десятичных дробей нужно выполнить умножение, не обращая внимание на запятые, и в полученном произведении отделить справа запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.
Правило 3. Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, а потом выполнить деление на натуральное число.
Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную.
Правило 1. Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, нужно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – единицу с нулями, причем нулей столько, сколько цифр справа от запятой.
Пример. QUOTE 0,045=451000=9200 .
Правило 2. Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.
Пример.

Правило 3. Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
Пример: .
Пропорция и ее свойства.
Определение. Пропорцией называется равенство двух отношений, т. е. ab=cd, где a и d называются крайними членами, b и c – средними членами пропорции.
Свойства.
1°. Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних, т. е. если ab=cd, то ad=bc.
2°. Если ab=cd, то ac=bd, db=ca, dc=ba.
3°. Чтобы найти неизвестный средний (крайний) член пропорции, надо произведение крайних (средних) членов разделить на известный средний (крайний) член пропорции:
если ax=bc, то x=acb.
2. Выполните задания в соответствии с номером варианта.
Вычислите арифметическое выражение:
№ варианта Арифметическое выражение
1 (2,7-0,8)∙2135,2-1,4:370+0,125:212+0,432 234:1,1+3132,5-0,4∙313:57-216+4,5∙0,3752,75-1123 13,75+916∙1,210,3-812∙59+6,8-335∙556323-316∙56-27164 16+0,1+115:16+0,1-115∙2,520,5-13+0,25-15:0,25-16∙7135 313+2,52,5-113∙4,6-2134,6+213∙5,2:0,0517-0,125+5,76 0,4+85-0,8∙58-5:212178∙8-8,9-2,6:23∙3425∙907 5445-416:5815423+0,75∙3913∙3427+0,3:0,0170+278 35+0,425-0,005:0,130,5+16+313+634+51226:357-0,059 313∙1,9+19,5:4126275-0,16:3,5+423+22150,51120+4,110 115:1740+0,6-0,005∙1,756+113-12330+4,75+71233:457:0,2511 1,88+2325∙3160,625-1318:269+0,2160,15+0,56:0,57,7:2434+215∙4,512 0,128:3,2+0,8656∙1,2+0,8∙13263-1321∙3,60,505∙25-0,00213 313:10+0,175:0,351,72-11117∙5156-1118-115:1,40,5-19∙314 0,125:0,25+1916:2,510-22:2,3∙0,46+1,6+1720+1,9∙0,515 (3,4-1,275)∙1617518∙1785+6217+0,5∙2+12,55,75+12Найдите значение выражения, содержащего бесконечную периодическую дробь:
№ варианта Арифметическое выражение
1, 6, 11
2, 7, 12
3, 8,13
4, 9, 14
5, 10,15
Найдите из пропорции:
№ варианта Пропорция
1, 8, 15
2, 9
3, 10
4, 11 x0,1:0,0590+29=14+74252-184155, 12 17,7-2,6:43x=5-45∙0,625235+73:26156, 13 910875+0,565x=0,28:56-425332-12497, 14 9450+5325∙316512-1318∙326=x215+7,7:9943. Решение типовых примеров:
Вычислите арифметическое выражение:

Решение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)

7)
Ответ: .
Найдите значение выражения, содержащего бесконечную периодическую дробь:

Решение:
1)
2)

3)
4)
5)
6)

Ответ: .
Найдите из пропорции:

Решение:
Сначала вычислим разность и
сумму , затем по свойству пропорции получаем выражение, решая которое находим .


, сократив обыкновенные дроби, получаем:






Ответ:
КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»
Практическое занятие № 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ СТЕПЕНИ И КОРНИ
(2 часа)
Практическое занятие № 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ СТЕПЕНИ И КОРНИ
Цель практического занятия: приобрести навыки и умения вычисления арифметических выражений, содержащих степени и корни.
Краткие сведения из теории
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ.
, если ,(,,).
СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КОРНЯ:

СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ:







,
где положительные действительные числа;
рациональные числа.
Решение типовых примеров






Выполните задания в соответствии с номером варианта.
Вариант 1 Вариант 2
1) Вычислите:
1) Вычислите:

2)Вычислите:

2) Вычислите:

3) Вычислите:

3) Вычислите:

4)Сравните числа:

и 4)Сравните числа:
и
и
5) Вычислите:

5) Вычислите:

Вариант 3 Вариант 4
1) Вычислите:
1) Вычислите:

2)Вычислите:
2)Вычислите:

3) Вычислите:

3) Вычислите:

4)Сравните числа:
и
и
4)Сравните числа:
и
и
5) Вычислите:

5) Вычислите:

Вариант 5 Вариант 6
1) Вычислите:
1) Вычислите:

2)Вычислите:

2)Вычислите:

3) Вычислите:
3) Вычислите:

4)Сравните числа:
и
и
4)Сравните числа:
и
и
5) Вычислите:

5) Вычислите:

Вариант 7 Вариант 8
1) Вычислите:
1) Вычислите:

2)Вычислите:
2)Вычислите:

3) Вычислите:

3) Вычислите:

4) Сравните числа:
и
и
4) Сравните числа:
и
и
5) Вычислите:

5) Вычислите:

Вариант 9 Вариант10
1) Вычислите:
1) Вычислите:

2)Вычислите:

2)Вычислите:

3) Вычислите:

3) Вычислите:

4) Сравните числа:
и
и 4) Сравните числа:
и
и
5) Вычислите:

5) Вычислите:

Вариант11 Вариант 12
1) Вычислите:
1) Вычислите:

2)Вычислите:

2)Вычислите:

3) Вычислите

3) Вычислите:

4) Сравните числа:
и
и 4) Сравните числа:
и
и
5) Вычислите:

5) Вычислите:

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»


Практическое занятие № 3
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2 часа
Практическое занятие № 3
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель практического занятия: научиться применять свойства степени в преобразованиях показательных выражений, приобрести навыки и умения решения показательных уравнений различного типа.
Краткие сведения из теории
Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени, т.е. уравнения вида , где >0 и и уравнения, сводящиеся к уравнению указанного вида .
В основе решения показательных уравнений лежит следующая теорема:
Теорема. Показательное уравнение (>0 и ) .
5080203201
0
y
x

x

001
0
yx
x
Простейшим показательным уравнением является уравнение вида , где >0 и .
Это уравнение можно решить графически (см. рис.).
При <0 это уравнение на множестве действительных чисел R корней не имеет, так как >0 для всех .
При решении показательных уравнений используются свойства показательной функции , непосредственно вытекающие из ее определения и свойства степени с любым показателем.
При любых действительных значенияхи:






Рассмотрим некоторые типы показательных уравнений и приемы их решения, сводящие эти уравнения к простейшим.
Уравнение вида (>0 , ).
На основании равенства решение уравнения сводится к решению уравнения
=0, где - функция, определенная на множестве действительных чисел R. Решив последнее уравнение относительно , найдем его корни, удовлетворяющие данному уравнению.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение: ОДЗ:
Представив 1 как , получим , т.е. левая и правая части уравнения приведены к одному основанию. Следовательно, данное уравнение равносильно линейному уравнению , откуда .
Ответ: .
Уравнение вида (>0 , ,>0, ).
Пример 2. Решить уравнение .
Решение: ОДЗ:
Представив как , получим , т.е. левая и правая части уравнения приведены к одному основанию. Следовательно, данное уравнение равносильно квадратному уравнению , откуда , .
Ответ: .
Уравнение вида (>0 , ).
Левая и правая части уравнения приведены к одному основанию. Отсюда вытекает равенство показателей и обратно, т.е. уравнение , при условии, что определены (ОДЗ).
Пример 3. Решить уравнение .
Решение: ОДЗ:
Поскольку, то.
Ответ: .
Уравнение вида (A,B,C- числа, >0 , ).
Такие уравнения с помощью подстановки сводятся к уравнению вида (приведение показательного уравнения к квадратному).
Пример 4. Решить уравнение .
Решение: ОДЗ:
Запишем уравнение в виде:
.
Положим , тогда после подстановки получим квадратное уравнение
, которое имеет один положительный корень (второй корень ), значит, .
Ответ: .
Уравнение вида (A,B,C- числа, >0 , ).
При решении уравнений данного вида используется преобразование, состоящее в вынесении общего множителя за скобки.
Пример 5. Решить уравнение .
Решение: ОДЗ:
Вынося в левой части уравнения выражение за скобки, получаем
.
Ответ: .
Уравнение вида или (сводящееся к первому делением на ).
Пример 6. Решить уравнение .
Решение: ОДЗ:
Запишем уравнение в виде
.
Разделив обе части этого уравнения на , получим
Пусть , тогда после подстановки получим квадратное уравнение
, корни которого ,.Значит,
.
Ответ: .
Решите уравнения в соответствии с номером варианта.
Вариант 1 Вариант 2
Решите уравнения: Решите уравнения:






Вариант 3 Вариант 4
Решите уравнения: Решите уравнения:






Вариант 5 Вариант 6
Решите уравнения: Решите уравнения:






Вариант 7 Вариант 8
Решите уравнения: Решите уравнения:






3. Решение типовых примеров:
Вариант 0
Решите уравнения:






Решите уравнения:
1)
Решение: ОДЗ:



(оба корня удовлетворяют ОДЗ).
Ответ: .
2)
Решение: ОДЗ:
.
Ответ: .
3)
Решение: ОДЗ:

.
Ответ: .
4)
Решение: ОДЗ:
,


.
Ответ: .
5)
Решение: ОДЗ:

Ответ: .
6)
Решение: ОДЗ:
(:0)


,


.
Ответ: .
КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»


Практическое занятие № 4
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
2 часа
Практическое занятие № 4
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Цель практического занятия: приобрести навыки и умения вычисления логарифмов, научиться применять формулы в преобразованиях логарифмических выражений и решать логарифмические уравнения.

Краткие сведения из теории

Логарифмом положительного числа по положительному и не равному единице основанию называется показатель степени, в который надо возвести число , чтобы получить .
тогда и только тогда, когда . (1)
Основное логарифмическое тождество: . (2)
Десятичные логарифмы – это логарифмы по основанию 10:
(3)
Натуральные логарифмы – это логарифмы по основанию е:
(4)
- иррациональное число;
Свойства логарифмов:


Основные соотношения:
логарифм произведения сумма логарифмов (5)
логарифм частного разность логарифмов (6)
логарифм степени (7)
переход к новому основанию (8)
2. Выполните задания в соответствии с номером варианта.
1 вариант
1. Найдите значения выражения:
2. Найдите значения выражения:
3. Решите уравнение:
4. Решите уравнение:
5. Решите уравнение:
6. Решите уравнение:
2 вариант
1. Найдите значения выражения:
2. Найдите значения выражения:
3. Решите уравнение:
4. Решите уравнение:
5. Решите уравнение:
6. Решите уравнение:
3 вариант
1. Найдите значения выражения:
2. Найдите значения выражения:
3. Решите уравнение:
4. Решите уравнение:
5. Решите уравнение:
6. Решите уравнение:
4 вариант
1. Найдите значения выражения:
2. Найдите значения выражения:
3. Решите уравнение:
4. Решите уравнение:
5. Решите уравнение:
6. Решите уравнение:
5 вариант
1. Найдите значения выражения:
2. Найдите значения выражения:
3. Решите уравнение:
4. Решите уравнение:
5. Решите уравнение:
6. Решите уравнение:
6 вариант
1. Найдите значения выражения:
2. Найдите значения выражения:
3. Решите уравнение:
4. Решите уравнение:
5. Решите уравнение:
6. Решите уравнение:
Решение типовых примеров
Найдите значение выражения: .
В решении данного примера используются основное логарифмическое тождество и свойства степени.
По формуле (7) преобразую выражение так, чтобы получить основное логарифмическое тождество ; используя свойства степени, представлю , как .
Затем применяю основное логарифмическое тождество (2):
=+.
Преобразую получившееся выражение, используя свойства степени с действительным показателем:
+ 64:64 – 9=
Ответ: -6
Найдите значение выражения :
В решении данного задания используются определение логарифма, свойства логарифмов, свойства степени с действительным показателем.
Используя формулу (7) преобразую выражение: =,
затем использую свойства степени с действительным показателем и определение логарифма (1):
=;
применю формулу разности логарифмов (6): ==. Используя определение логарифма (1) и зная определение десятичного логарифма (3), найду значение выражения: ===
Ответ:
Решите уравнение:
При решении уравнений необходимо проверить входят ли получившиеся корни в область допустимых значений, если область допустимых значений находится трудоемко, то можно воспользоваться непосредственной подстановкой корня в уравнение и проверкой этого корня.
ОДЗ: , .
Использую определение логарифма (1):
, затем выражаю x:
Полученный корень удовлетворяет ОДЗ, значит, 4 – корень данного уравнения.
Ответ: 4
Решите уравнение:
ОДЗ:
Используя формулу суммы логарифмов (5):


Затем преобразую левую часть по формуле разности квадратов и решаю неполное квадратное уравнение: . Отсюда . Проверка данных корней показывает, что не входит в область допустимых значений, значит, - корень данного уравнения.
Ответ: 3
5.
ОДЗ:
Использую формулу перехода от одного основания логарифма к другому (8), так как наименьшая степень 2, то удобнее всего привести все логарифмы к основанию 2:


Подставляем полученные логарифмы в данное уравнение:





По определению логарифма (1): .
Полученный корень удовлетворяет ОДЗ, значит - корень уравнения.
Ответ:
Решите уравнение: .
Данное уравнение решается методом приведения к квадратному уравнению:
ОДЗ:
Пусть , тогда данное уравнение можно записать, как . Затем решаем квадратное уравнение. Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, значит, .
Возвращаемся к замене переменной:
или , используя определение логарифма (1) получаем,


Оба полученных корня удовлетворяют ОДЗ, значит, , - корни уравнения.
Ответ: ; .
КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»
Практическое занятие № 5
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
2 часа

Практическое занятие № 5
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Цель практического занятия: приобрести навыки и умения решения задач, связанных с преобразованием тригонометрических выражений.

1.Краткие сведения из теории
ОПРЕДЕЛЕНИЯ:
Синус угла α (sinα) – ордината точки Рα , полученной поворотом точки Р(1;0) вокруг начала координат на угол α.
Косинус угла α (сosα) – абсцисса точки Рα , полученной поворотом точки Р(1;0) вокруг начала координат на угол α.
Тангенс угла α (tgα) – отношение синуса угла α к его косинусу, т.е. ,
Котангенс угла α (ctgα) – отношение косинуса угла к его синусу, т.е. .
ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРЫХ УГЛОВ
, рад. 0
0 1 0 -1
1 0 -1 0
0 1 не опр. 0 не опр.
не опр. 1 0 не опр. 0
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ АРГУМЕНТА:
1.1
, где , 1.2
, где , 1.3
, где , 1.4
, где , 1.5
, где , 1.6
ЗНАКИ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА:
Синус положителен в І и ІІ четвертях, отрицателен – в ІІІ и ІҮ четвертях.
Косинус положителен в І и ІҮ четвертях, отрицателен – во ІІ и ІІІ четверти.
Тангенс и котангенс в І и ІІІ четвертях положительны, во ІІ и ІҮ четвертях отрицательны.
СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС УГЛОВ и - :
sin(-) = -sin 2.1
cos(-) = cos 2.2
tg(-) = -tg 2.3
ctg(-) = -ctg 2.4

ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ:
sin(+) = sincos+cossin 3.1
sin( -) = sincos-cossin 3.2
cos(+) = coscos-sinsin 3.3
cos(-) = coscos+sinsin 3.4
, где , , , где 3.5
, где , , , где 3.6
СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС ДВОЙНОГО УГЛА:
4.1
4.2
, где , 4.3
ФОРМУЛЫ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА:
5.1
5.2
, где , 5.3
ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ:
6.1
6.2
6.3
6.4
, где , , 6.5
, где , , 6.6
ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ В СУММУ:
7.1
7.2
7.3
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ , и :
, где , 8.1
, где , 8.2
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ:
Название функции не изменяется Название функции изменяется на сходное

sin
cos
tg
, ,
ctg
, ,
2.Выполните задания в соответствии с номером варианта
1 вариант
1. Вычислить
2. Найдите значение выражения:
3. Упростите выражение:
4. Вычислите:
5. Найдите значение выражения: , если
6. Докажите тождество:
7. Докажите тождество:
2 вариант
1. Вычислить:
2. Найдите значение выражения:
3. Упростите выражение:
4. Вычислите:
5. Найдите значение выражения: , если
6. Упростите выражение:
7. Докажите тождество:
3 вариант
1. Вычислить:
2. Найдите значение выражения:
3. Докажите тождество:
4. Вычислить:
5. Найдите значение выражения: , если
6. Упростить:
7. Докажите тождество:
4 вариант
1. Вычислить
2. Вычислить:
3. Докажите тождество:
4. Вычислите:
5. Найдите значение выражения: , если
6. Упростите выражение:
7. Докажите тождество:
5 вариант
1. Вычислить:
2. Вычислить:
3. Упростить:
4. Вычислите:
5. Найдите значение выражения: , если
6. Докажите тождество:
7. Докажите тождество:
6 вариант
1. Вычислить:
2. Вычислить:
3. Докажите тождество:
4. Найдите значение выражения:
5. Найдите значение выражения: , если
6. Упростите выражение:
7. Докажите тождество:
3.Решение типовых примеров:
Задание №1.
Вычислить :
В решении данного примера используются известные значения тригонометрических функций и значения тригонометрических функций отрицательных углов.
По формулам 2.3 и 2.2 вычислим значения тангенса и косинуса отрицательных углов через их значение для положительных углов:
= , а далее по приведенной таблице известных значений котангенса, тангенса, косинуса и синуса подставим эти значения. Так как ,, , , то = 0-1-= -1-=
Ответ:
Найдите значение выражения:
В решении данного задания используются знания известных значений тригонометрических функций, значения тригонометрических функций отрицательных углов и формулы приведения.
Применяя формулы приведения, получаем: = , используя формулы 2.1, 2.3, 2.2 приходим
= = =, и наконец, подставив значения известных значений синуса, тангенса, косинуса и котангенса (, ,, ), получаем:
=- = 0
Ответ: 0
Упростите выражение:
В решении данного примера используются знания синуса двойного угла, косинуса двойного угла и определение котангенса.
Применим формулу 4.2: = , далее преобразуем знаменатель поучившегося выражения для получения формулы синуса двойного угла: = = = , применим формулу 4.1: = , а далее по определению котангенса получаем, что =
Ответ:
Вычислите:
В решении данного примера используются значения тригонометрических функций отрицательных углов, формулы косинуса разности, синуса суммы, определение котангенса.
Применим формулу 2.1, получаем: = =, по формуле 3.4, = , а по формуле 3.1, == . А теперь вспомним определение котангенса и его значение при , в итоге получаем: =
Ответ: 1
Найдите значение выражения: , если
В решении данного примера используется формула суммы синусов 6.1.
= = = = =, зная, что , получаем: == . В условии задачи сказано, что .
Поэтому = , если
Докажите тождество:
В решении данной задачи используются формулы суммы косинусов, разности синусов и определение котангенса.
Рассмотрим левую часть выражения , по формуле 6.3, получаем: = , применив формулу 6.2, получим =. Сократив числитель и знаменатель на , придем к выражению: , а это не что иное, как .
Следовательно, левая часть равна правой части, значит, данное равенство тождество.
Докажите тождество:
В решении задачи используются основное тригонометрическое тождество, формула приведения, определение котангенса и тангенса.
По формуле приведения знаем, что , поэтому рассмотрим левую часть равенства: , в числителе раскроем квадрат суммы: =, по формуле 1.1, имеем: =, применим формулу 1.3,
===, сократим числитель и знаменатель на , получим , используя формулу 1.1, получим: =. А по определению тангенса, =.
Значит, левая часть равна правой части, а значит, данное равенство тождество.
КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

«
Практическое занятие № 6
Нахождение производных функций
2 часа
Практическое занятие №6
Нахождение производных функций
Цель практического занятия: научиться применять правила дифференцирования,
приобрести навыки и умения дифференцирования функций.
1.Краткие сведения из теории
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
.
Функция , имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.
Производная функции обозначается , ,или ,, .
Нахождение производной называется дифференцированием.
Правила дифференцирования
, c – const,

, где

Таблица производных элементарных функций
, c - const







2. Найти производные функций, используя таблицу производных элементарных функций и правила дифференцирования, в соответствии с номером варианта.
Вариант 1 Вариант 2
Найдите производные функций: Найдите производные функций:





Вариант 3 Вариант 4
Найдите производные функций: Найдите производные функций:





Вариант 5 Вариант 6
Найдите производные функций: Найдите производные функций:





Вариант 7 Вариант 8
Найдите производные функций: Найдите производные функций:





3. Решение типовых примеров.
Вариант 0
Найдите производные функций:





Решение:
Запишем данную функцию следующим образом:
.
Тогда .
2) (применили правила дифференцирования 2 и 1).
3) (применили правило дифференцирования 3).
.
4) (применили правила дифференцирования 4 и 1).
5)
(применили правила дифференцирования 4 и 1).
КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»


Практическое занятие № 7
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ
ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
2 часа
Практическое занятие №7
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ
ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Цель практического занятия: приобрести навыки и умения исследования функций с помощью первой и второй производной и построение их графиков.
Краткие сведения из теории.
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными. Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности (которые иногда чередуются с промежутками постоянства функции).
Монотонность функции y = f(x) характеризуется знаком ее первой производной f(x), а именно:
- если в некотором промежутке f(x) > 0, то функция возрастает на этом промежутке.
- если в некотором промежутке f(x) < 0, то функция убывает на этом промежутке.
- если в некотором промежутке f(x) = 0, то функция постоянна на этом промежутке.
Точка х = х0 называется точкой максимума функции y = f(x), если существует
такая окрестность точки х0 , что для всех х (х х0) этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Точка х = х0 называется точкой минимума функции y = f(x), если существует такая окрестность точки х0 , что для всех х (х х0) этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x0) .
Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом) или экстремумом функции.
Необходимое условие экстремума. Если функция y = f(x) имеет экстремум при
x = x0 , то ее производная в этой точке равна нулю или бесконечности либо вовсе не существует, при этом сама функция в точке x0 определена.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых первая производная f(x)
обращается в ноль или терпит разрыв.
Первое достаточное условие существования экстремума функции. Пусть точка х=х0 является критической точкой I рода функции y = f(x), а сама функция дифференцируема во всех точках некоторого промежутка, содержащего эту точку (за исключением, возможно, самой этой точки). Тогда:
1) если при переходе слева направо через критическую точку I рода х = х0 первая производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума, т.е. х = х0 – точка максимума, ymax = f(x0);
40005009144000
+ max - f(x)
14859008382000 |
3086100114300019431001143000 x = x0 f(x) x
2) если при переходе слева направо через критическую точку I рода х = х0 первая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция достигает минимума, т.е. х = х0 – точка минимума, ymin = f(x0) ;
40005003429000
- min + f(x)
30861001409700020574001409700013716002667000
x = x0 f(x) x
3) если при переходе через критическую точку I рода первая производная не меняет знака, то в этой точке экстремума нет.
Пример. Найти экстремумы функции y = (1 – x2)3 .
1) Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. D(f) = ( .
2) Критические точки определяем из условия f(x) = 0 . Находим производную:
y = 3(1 – x2)2(1 – x2) = 3(1 – x2)2(-2x) = -6x(1 – x2)2 ;
y = 0 ; -6х(1 – х2)2 = 0 , х1 = 0 , х2 = -1 , х3 = 1 .
3) Отметим эти критические точки на числовой прямой.
40005009144000
+ + max - - f(x)
12573008382000 | | |
35433001143000285750011430002171700114300013716001143000 -1 0 1 f(x) x
4) Исследуем знак производной y = -6x(2 – x2)2 в каждом из полученных интервалов:
y (-2) > 0 , y (-0,5) > 0 , y (0,5) < 0 , y (2) < 0 .
5) Точка х = 0 – точка максимума, так как при переходе через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус: ymax = y(0) = 1.
Точки х = -1 и х = 1 не являются точками экстремума, так как при переходе через них первая производная не поменяла знак.
Второе достаточное условие существования экстремума функции. Если в точке
х =х0 первая производная функции равна нулю (f(x0) = 0), а вторая производная отлична от нуля, то х = х0 – точка экстремума.
При этом, если вторая производная в этой точке положительна (f(x0) > 0),
то х = х0 – точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна
(f(x0) < 0), то х = х0 – точка максимума.
Пример. Найти экстремумы функции f(x) = x3 – 3x2 + 1.
Решение.
1) Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. D(f) = ( .
2) Критические точки определяем из условия f(x) = 0:
f(x) = 3x2 – 6x ,
f(x) = 0 , 3x2 – 6x = 0 ,
3x(x – 2) = 0,
x1 = 0 , x2 = 2.
3) Находим вторую производную функции f(x) = 6x – 6 .
Исследуем знак второй производной в каждой критической точке:
f(0) = -6 < 0 ; значит, х = 0 – точка максимума , ymax = y(0) = 1.
f(2) = 6 > 0 ; значит, х = 2 – точка минимума , ymin = y(2) = 23 - 322 + 1 = 8 – 12 + 1 = -3.
Кривая обращена выпуклостью вверх или выпукла ( ) на некотором промежутке, если она расположена ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.
Кривая обращена выпуклостью вниз или вогнута ( ) на некотором промежутке, если она расположена выше касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.
Точкой перегиба кривой называется такая ее точка, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой.
График дифференцируемой функции y = f(x) является выпуклым на некотором промежутке, если вторая производная функции отрицательна в каждой точке этого промежутка: f(x) < 0.
График дифференцируемой функции y = f(x) является вогнутым на некотором промежутке, если вторая производная функции положительна в каждой точке этого промежутка: f(x) > 0.
Точками перегиба графика функции y = f(x) могут служить только точки, абсциссы которых являются критическими точками II рода, т.е. точки, находящиеся внутри области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Точками перегиба графика функции y = f(x) являются лишь те из указанных точек, при переходе через которые вторая производная f(x) меняет знак.
Пример. Определить направление вогнутости и точки перегиба кривой
f(x) = x4 + 2x3 – 12x2 – 5x +2 .
Решение:
1) Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. D(f) = ( .
2) Найдем вторую производную функции и критические точки II рода из условия
f(x) = 0 :
f(x) = 4x3 + 23x2 - 122x – 5 = 4x3 + 6x2 – 24x – 5 ;
f(x) = 43x2 + 62x – 24 = 12x2 + 12x –24 ;
f(x) = 12(x2 + x – 2);
f(x) = 0 при x2 + x – 2 = 0 ,
Найдем корни квадратного уравнения:
,
х1 = -2 , х2 = 1 .
3) Отметим критические точки II рода х1 = -2 , х2 = 1 на числовой прямой.
40005007874000
+ - + f(x)
13716007112000 | |
-2 1 f(x) x
4) Исследуем знак второй производной в каждом из полученных интервалов:
f (-3) > 0 , f (0) < 0 , f (2) > 0 .
5) Кривая вогнута при х < -2 и х > 1 ; кривая выпукла при -2 < x < 1 .
Так как при переходе через критические точки II рода х1 = -2 , х2 = 1 вторая производная поменяла знак, следовательно обе точки являются точками перегиба.
Найдем их вторые координаты:
f (-2) = (-2)4 + 2(-2)3 - 12(-2)2 -5(-2) + 2 = 16 – 16 – 48 +10 + 2 = -36
f (1) = 14 + 213 - 1212 -51 + 2 = 1 + 2 – 12 - 5 + 2 = -12 .
Т.о. точки перегиба (-2; -36), (1; -12) .
Для исследования функций и построения графиков функций можно использовать следующую схему:
Найти область определения функции, если она не указана заранее.
Проверить функцию на четность и нечетность .
Исследовать функцию на периодичность.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат (f(x) = 0; y = f(0)).
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Найти критические точки первого рода, для этого нужно найти первую производную функции и приравнять ее нулю ( ); определить, в каких точках она не существует.
Проверить критические точки на экстремум, для этого найти вторую производную и определить ее знак ( - критическая точка – не экстремум, - критическая точка – точка минимума функции, - критическая точка - точка максимума).
Исследовать функцию на монотонность ( - функция возрастает, - функция убывает).
Найти критические точки второго рода, для этого приравнять нулю вторую производную ().
Найти интервалы выпуклости графика функции ( - функция выпуклая, - функция вогнутая).
Исследовать критические точки второго рода на точки перегиба ( если вторая производная при переходе через критическую точку второго рода меняет знак – критическая точка является точкой перегиба, то есть отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой).
Для исследования функции следует воспользоваться схемой, составить необходимые таблицы, затем по полученным данным построить график функции.
2. Исследовать функцию и построить ее график в соответствии с номером варианта.
Номер
варианта Функция Номер
варианта Функция Номер
варианта Функция
1 6 11
2 7 12
3 8 13
4 9 14
5 10 15

Решение типового примера
Исследуйте функцию и постройте ее график.
Областью определения данной функции является все множество действительных чисел: D(f) = ( .
, то есть функция четная.
Функция непериодическая.
4. Для определения точек пересечения функции с осью х решаем биквадратное
уравнение:

, .

Пересечение с осью y: f(0) = 1.
5. Найдем интервалы знакопостоянства функции: отметим на оси х точки пересечения функции с этой осью и определим знак исследуемой функции на каждом полученном интервале.
365760014986000
+ + + f(х)
2320290155575003025140984250023202908890000160020014224000
-1 1 x
Функция при всех х кроме и .
6. ; ; ; .
Вычисляем вторую производную и находим ее значение в критических точках первого рода: ;
; ; , то есть х = -1 – точка минимума функции, х = 0 – точка максимума; х = 1 – точка минимума.
8. Исследуем функцию на монотонность: отметим на оси х критические точки первого рода и определим знак первой производной на каждом полученном интервале.
38862004826000
191071518161000327279019113500260604019113500 - min + max - min +
20574001244600034290001244600028575001244600014859001244600013716001270000 -1 0 1 х

Первая производная имеет следующие знаки:
при - функция убывает;
при - функция возрастает;
при - функция убывает;
при - функция возрастает.
Результаты исследования приводятся в таблице:
x (-; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; )
f(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) 8 -4 8 f(x) убывает min
0 возрастает max
1 убывает min
0 возрастает
9. Для определения критических точек второго рода приравниваем нулю вторую производную и находим: и .
10. Найдем интервалы выпуклости графика функции: отметим на оси х критические точки второго рода и определим знак второй производной на каждом полученном интервале.
388620012192000
+ - +
3101340901700022631408064500148590011430000
х
Вторая производная
при положительна – функция вогнутая;
при отрицательна – функция выпуклая;
при положительна – функция вогнутая.
Обе критические точки являются точками перегиба, так как в них происходит изменение знака второй производной.
Результаты исследования приводятся в таблице:
х (-; -1/) -1/ (-1/;1/) 1/ (1/;)
f(x) + 0 - 0 +
f(x) вогнутая перегиб
4/9 выпуклая перегиб
4/9 вогнутая
Пользуясь четностью функции, построим график для правой полуплоскости, а затем отразим его симметрично относительно оси y. Нанесем на график точки пересечения с осями: (1; 0) и (0; 1). Точка (0; 1) является точкой максимума; точка (1; 0) - точкой минимума. В промежутке между этими точками функция убывает, в точке функция меняет свою вогнутость на выпуклость. После х = 1 функция возрастает.

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»


Практическое занятие № 8
НАХОЖДЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
2 часа
\
Практическое занятие №8
НАХОЖДЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Цель практического занятия: приобрести навыки и умения нахождения неопределенных интегралов.
Краткие сведения из теории
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F(x) = f(x)
(или d F(x) = f(x)dx ).
Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Общее выражение F(x) + C совокупности всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции:
, если (F(x) + C) = f(x), где
f(x)dx – подынтегральное выражение;
F(x) – подынтегральная функция;
x –переменная интегрирования,
C – произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций:

Таблица простейших интегралов.
1.. 7. .
2. . 8. .
3. . 9. .
4. . 10. .
5. . 11. .
6. . 12. .
2.Найдите неопределенные интегралы в соответствии с номером варианта.
Вариант 1 Вариант 2
Найдите интегралы функций: Найдите интегралы функций:





Вариант 3 Вариант 4
Найдите интегралы функций: Найдите интегралы функций:





Вариант 5 Вариант 6
Найдите интегралы функций: Найдите интегралы функций:





Вариант 7 Вариант 8
Найдите интегралы функций: Найдите интегралы функций:





3. Решение типовых примеров.
Вариант 0
Найдите интегралы функций:





Решение:
1).
2).
3).
4)
.
5).
КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие № 9
Применение векторов и координат К решениЮ геометрических задач
2 часа
Практическое занятие № 9
Применение векторов и координат К решениЮ геометрических задач
Цель практического занятия: приобрести навыки выполнения действий над векторами и умения применять векторы и метод координат к решению геометрических задач.
Краткие сведения из теории
Понятие вектора. Некоторые физические величины (сила, скорость, ускорение и др.) характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины принято изображать направленными отрезками, которые называются векторами.
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.
В прямоугольной системе координат в пространстве любой вектор можно разложить единственным образом по базисным векторам
=++ ,
коэффициенты , и этого разложения называются координатами вектора в данной системе координат.
Абсолютная величина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат: .
Действия над векторами, заданными своими координатами.
При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются:
.
При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число:
.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
.
Скалярное произведение равно сумме попарных произведений соответствующих координат векторов:
.
Вычисление угла между векторами. Из определения скалярного произведения векторов можно получить величину угла между векторами:
или в координатах: .
Пример 1: Даны два вектора и (1;3).
1. Найдите координаты векторов и ;
Координаты векторов и находим по правилу умножения вектора на число: . Координаты вектора находятся по правилу вычитания векторов:
Координаты вектора
2. Вычислите скалярное произведение векторов и ;
По формуле скалярного произведения:
= 1(-30) + (-12)(-9) = -3 + 108 = 105.
3.Найдите длину векторов и ;
Длина вектора ;
Длина вектора .
5. Изобразите векторы и на координатной плоскости;

6. Определите угол между векторами и .
Угол между векторами и определяется по формуле:
;
.
2. Выполните задания в соответствии с номером варианта,
Даны координаты вершин треугольника ABC.
Вычислите в .
Определите вид .
Найдите координаты вектора=2+-3.
№ варианта Координаты вершин треугольника ABC
A (4; 6; 3), B (-5; 2; 6), C (4;-4; -3).
A (4; 3; -2), B (-3; -1; 4), C (2; 2; 1).
A (-2; -2; 4), B (1; 3; -2), C (1; 4; 2).
A (2; 4; 3), B (3; 1; -4), C (-1; 2; 2).
A (2; 4; 5), B (1; -2; 3), C (-1; -2; 4).
A (-1; -2; 4), B (-1; 3; 5), C (1; 4; 2).
A (1; 3; 2), B (-2; 4; -1), C (1; 3; -2).
A (2; -4; 3), B (-3; -2; 4), C (0; 0; -2).
3. Решение типовых примеров:
Даны вершины : A (-2; 5; 2), B (2; 3; -1), C (6; 4; -3).
1) Найти .
- это угол между векторами и .

Найдём координаты вектора :
= ()
= (-2-2; 5-3; 2-(-1)) = (-4; 2; 3)
Аналогично находим координаты вектора :
= (6-2; 4-3; -3-(-1)) = (4; 1; -2)




=.
Ответ: =.
2) Определить вид .
Чтобы определить вид треугольника нужно найти длины его сторон и проверить по теореме Пифагора является ли он прямоугольным.
=
=
=
По т. Пифагора:

90 29+21
Следовательно, - косоугольный, разносторонний.
3) Вычислить координаты вектора =2 - 4 + 3
2 = 2 (8; -1; -5) = (16; -2; -10)
-4= -4 (-4; 2; 3) = (16; -8; -12)
3 = -3 = -3 (4; 1; -2) = (-12; -3; 6)
2 = (16; -2; -10)
-4= (16; -8; -12)

2 -4+3= (20;-13;-16)
Ответ: (20;-13;-16)
КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие № 10
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ТЕТРАЭДРА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
2 часа
Практическое занятие № 10
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ТЕТРАЭДРА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Цель практического занятия: научиться строить сечения тетраэдра и параллелепипеда.
Краткие сведения из теории
Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить их сечения различными плоскостями.
Уточним, что понимается под сечением тетраэдра или параллелепипеда.
Секущая плоскость тетраэдра (параллелепипеда) - любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам.
Сечением тетраэдра (параллелепипеда) называется многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки.
Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники (рис.1) и четырехугольники (рис.2).
20574001996440Рис. 1
00Рис. 1
Рис. 2
Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники (рис.3), четырехугольники (рис.3), пятиугольники (рис. 4) и шестиугольники (рис. 5).
52578001821815Рис. 4
00Рис. 4
20574001936115Рис. 3
00Рис. 3
51435001776095002286000177609500
рис. 5

При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны. ( Это следует из свойства: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то их линии пересечения параллельны.) Так, на рисунке
4, секущая плоскость пересекает две противоположные грани (левую и правую) по отрезкам и , а две другие противоположные грани (переднюю и заднюю) – по отрезкам и , поэтому , . По той же причине на рисунке 5 видим, что , , .
Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

2. Выполните задания в соответствии с номером варианта.
1 вариант
1. Дан тетраэдр . Точка M принадлежит стороне , ; точка N принадлежит стороне , . Постройте сечение тетраэдра плоскостью , если .
2. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через вершины A , и середину ребра .
3. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки ; ; .
2 вариант
1. - тетраэдр. Точка К принадлежит высоте пирамиды . Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки А, В и К.
2. Изобразите куб и отметьте внутреннюю точку М грани . Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости .
3. Изобразите параллелепипед и постройте его сечение плоскостью , где , , .
3 вариант
1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку N – середину CD, М – середину PB и точку К, лежащую в плоскости основания.
2. Изобразите параллелепипед и постройте его сечение плоскостью, проходящей через ребро и точку пересечения диагоналей грани .
3. Изобразите куб , точка М – середина Аи B, N – середина . Постройте сечение, проходящее через точки М, N и .
4 вариант
1. Изобразите тетраэдр NKLM. Постройте сечение, проходящее через середину ребра LM, параллельно LK и точку О, лежащую на стороне NM.
2. Изобразите параллелепипед и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей грани параллельно плоскости .
3. Изобразите прямоугольный параллелепипед и постройте его сечение плоскостью , где , , .
5 вариант
1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку N – середину CD, М – середину PB и точку К, лежащую в плоскости основания.
2. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через вершины A , и середину ребра .
3. Изобразите параллелепипед и постройте его сечение плоскостью , где , , .
6 вариант
1. - тетраэдр. Точка К принадлежит высоте пирамиды . Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки А, В и К.
2. Изобразите параллелепипед и постройте его сечение плоскостью, проходящей через ребро и точку пересечения диагоналей грани .
3. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки ; ; .
Задача №1.
На ребрах , и тетраэдра отмечены точки M, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью (рис.6).
рис. 6

Решение.
1 случай: если прямые и пересекаются.
Рис. 7
Построим сначала прямую, по которой плоскость пересекается с плоскостью грани . Точка M является общей точкой пересечения этих плоскостей.

Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки и до их пересечения в точке Е (рис. 7), которая и будет второй общей точкой плоскостей и .

Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой .

Прямая пересекает ребро в некоторой точке Q.

Точки лежат в одной плоскости, значит, четырехугольник - искомое сечение.
2 случай: если прямые и параллельны.
Рис. 8
Если прямые и параллельны (рис. 8), то прямая параллельна грани , поэтому плоскость пересекает эту грань по прямой ML, параллельной прямой NP.

,
Точка Q, как и в первом случае, есть
точка пересечения ребра с
прямой ML.

3. Четырехугольник - искомое сечение.


Задача №2.
Точка M лежит на боковой грани тетраэдра (рис. 9). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию .
рис. 9

Рис. 10
Так как секущая плоскость параллельна плоскости , то она параллельна прямым , и . Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника . (Следует из утверждения: если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой).
Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения:
Проведем через точку М прямую, параллельную отрезку , и обозначим буквами Р и Q точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами DA и DB.
Провожу , , .
Затем через точку Р проведем прямую, параллельную отрезку АС, и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC.
Провожу ,
3. Треугольник - искомое сечение (рис.10).

Задача №3.
На ребрах параллелепипеда даны точки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью .
Решение: Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки А, В и С.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1 случай: Если точки А, В и С лежат на ребрах, выходящих из одной вершины ( рис. 11).
Рис. 11
Проводим отрезки , и , и получится искомое сечение – треугольник .


2 случай
Рис. 12
Если точки А, В и С расположены так, как показано на рисунке 12, то сначала нужно провести отрезки , .
Проводим .
Через точку А провести прямую, параллельную - прямая , а через точку С – прямую, параллельную , это прямая .


Проводим отрезок .
Искомое сечение – пятиугольник
3 случай
Рис. 13
Более сложный случай, когда данные точки А, B и С расположены так, как показано на рисунке 13.
1. В этом случае сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая , до пересечения с этой прямой в точке М.
Проводим , продолжим ,

2. Далее через точку М проведем прямую, параллельную прямой . Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках Е и F.
Проводим , в точках и .
3. Затем через точку Е поведем прямую, параллельную прямой , получим точку D.
Провожу .
4. Проводим отрезки и .
5. Искомое сечение - шестиугольник .
КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»


Практическое занятие № 11
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
2 часа
Практическое занятие №11
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
Цель практического занятия: приобрести навыки и умения вычисления площадей поверхностей геометрических тел.
Краткие сведения из теории.
ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ МНОГОГРАННИКОВ.
1. ПРИЗМА.
Площадью полной поверхности призмы наз. сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:

2. ПИРАМИДА.
Площадью полной поверхности пирамиды наз. сумма площадей всех ее граней (т. е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (апофема – высота боковой грани пирамиды).

УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА.
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ.
1. ЦИЛИНДР.
Площадью полной поверхности цилиндра наз. сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развертки.
,
где – радиус основания цилиндра,
– высота цилиндра.
2. КОНУС.
Площадью полной поверхности конуса наз. сумма площадей боковой поверхности и основания.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки.
,
где – радиус основания конуса,
– образующая конуса.
УСЕЧЕННЫЙ КОНУС.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
,
где – радиус нижнего основания,
– радиус верхнего основания,
– образующая усеченного конуса.
3. СФЕРА.
За площадь сферы принимают предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани.
,
где R – радиус сферы.
Решение типовых примеров:
Пример №1
Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом 120º между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.
3701415190500Дано: АВСАıВıСı – прямая призма;
АС = 3см; ВС = 5см;
ےАСВ = 120º;
= 35см².
Найти:
Решение.
1) Рассмотрим треугольник АВС:
см; АВ = 7см;
АВ – большая сторона треугольника АВС,
значит АıАВВı – большая боковая грань призмы.
2) Боковая грань прямой призмы – прямоугольник. см²
ААı = 5см
3) Площадь боковой поверхности прямой призмы: ;
см²
Ответ: см².
Пример №2.
Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площадь полной поверхности конуса.
Решение.

Радиусом конуса является меньший катет данного прямоугольного треугольника; = 6см.
Образующей конуса является гипотенуза данного прямоугольного треугольника; = 10см.
(см²)
Ответ: см²
Пример №3.
Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр равна 9м².Найдите площадь сферы.
Решение.
1) Сечение сферы плоскостью – окружность;
площадь сечения – площадь круга, ограниченного этой окружностью.
м²;
2)
Радиус сферы равен радиусу сечения, проходящего через центр сферы.
м²
Ответ: м²
Выполните задания в соответствии с номером варианта.
Вариант №1
1) В правильной треугольной призме сторона основания равна =3см; высота равна =15см. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы.
2) Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ=АС=13см; ВС=10см. Ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3) Высота цилиндра на 12см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288π см². Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
4) Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5м.
Вариант №2
1) В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4см, а длина диагонали основания – 6см. Найдите площадь боковой и полной поверхности пирамиды.
2) Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8см и 15см и образуют угол 60º. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130см². Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
3) Угол между образующей и осью конуса равен 45º, образующая равна 6,5см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
4) Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9см и 12см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3см. Найдите площадь поверхности сферы.
Вариант №3
1) В правильной четырехугольной призме сторона основания равна =12дм; высота равна =8дм. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы.
2) Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 3см и 5см. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равно 1см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.
3) Высота цилиндра на 3см меньше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 208π см². Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
4) Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на 12м имеет площадь 25π м².
Найдите площадь поверхности шара.
Вариант №4
1) В правильной треугольной пирамиде высота равна 4см, а сторона основания – 4см. Найдите площадь боковой и полной поверхности пирамиды.
2) Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8см и 15см и образуют угол 60º. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130см². Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
3) Радиусы оснований усеченного конуса равны 3см и6см, а высота – 4см. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса.
4) Линия пересечения сферы и плоскости, удаленной от центра сферы на 8см, имеет длину 12π см. Найдите площадь поверхности сферы.
Вариант №5
1) В правильной треугольной призме сторона основания равна =8см; высота равна =10см. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы.
2) В правильной треугольной пирамиде высота равна 12см, а высота основания – 15 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3) Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3см и4см, вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.
4) Вычислите радиус шара, площадь поверхности которого равна площади круга радиуса 12м.
Вариант №6
1) В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12см, а длина диагонали основания – 8см. Найдите площадь боковой и полной поверхности пирамиды.
2) Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8см и 15см и образуют угол 120º. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130см². Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
3) Угол между образующей и осью конуса равен 60º, образующая равна 10см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
4) Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 8см и 12см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3см. Найдите площадь поверхности сферы.
Вариант №7
1) В правильной треугольной призме сторона основания равна =10дм; высота равна =8дм. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы.
2) Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 4см и 6см. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равно 3см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.
3) Высота цилиндра на 3см меньше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 208π см². Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
4) Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на 12дм имеет площадь 25π м².
Найдите площадь поверхности шара.
Вариант №8
1) В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8м, а длина диагонали основания – 4м. Найдите площадь боковой и полной поверхности пирамиды.
2) Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8см и 15см и образуют угол 60º. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130см². Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
3) Угол между образующей и осью конуса равен 30º, образующая равна 12см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
4) Используя формулу площади поверхности сферы, докажите, что площади двух сфер относятся, как квадраты их радиусов.
КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие № 12
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
2 часа
Практическое занятие №12
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
Цель практического занятия: приобрести навыки и умения вычисления объемов геометрических тел.
Краткие сведения из теории.
Все геометрические тела имеют объемы, которые можно измерить с помощью выбранной единицы объема. За единицу измерения объемов принимают куб, ребро которого равно единице измерения отрезков.
При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном геометрическом теле.
СВОЙСТВА ОБЪЕМОВ.
1 свойство. Равные тела имеют равные объемы.
2 свойство. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.
ОБЪЕМЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ.
1. ПРЯМАЯ ПРИЗМА.
Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

2. ЦИЛИНДР.
Объем цилиндра равен произведению площади основания цилиндра на высоту.

3. НАКЛОННАЯ ПРИЗМА.
Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Для наклонной призмы существует и другой способ вычисления объема. Можно вычислить объем наклонной призмы как произведение бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.
4. ПИРАМИДА.
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

5. КОНУС.
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

3. ШАР.

Решение типовых примеров
Пример №1.
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12см, а сторона основания 13см.
Решение.
1) Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле: º
(см²)
2) Объем пирамиды
(см³)
Ответ: см³.
Пример №2.
Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметром 18 метров и высотой 7 метров, если плотность нефти равна 0,85 г ⁄ см³
Решение.
1) Радиус цистерны 9м.
Основание цилиндрической цистерны – круг; площадь основания (м²)

2) Объем цистерны (м³)
3) Плотность нефти 0,85 г ⁄см³=0,85т ⁄ м³
4) Количество нефти 1780,38∙0,85≈1513(т)
Ответ: цистерна вмещает приблизительно 1513 т нефти.
Пример №3.
Прямоугольный параллелепипед описан около шара радиуса 0,5см. Найдите его объем.
Решение.
1) Если прямоугольный параллелепипед описан около шара, значит это куб, причем ребро
куба равно удвоенному радиусу шара.
2) Объем куба (м³)
Ответ: м³.
Выполните задания в соответствии с номером варианта.
Вариант №1
1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 8см, 12см и 18см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.
2) Найдите объем конуса, если его образующая 13см, а площадь осевого сечения равна 60см².
3) Алюминиевый провод диаметром 1мм имеет массу 3,2кг. Найдите длину провода (плотность алюминия 2,6г ⁄ см³).
4)Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли, считая их шарами.
Вариант №2
1) Найдите объем правильной треугольной призмы, у которой каждое ребро равно 8дм.
2) Найдите объем конуса, если площадь его основания равна G, а площадь боковой поверхности равна P.
3) Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г ⁄ см³) с толщиной стенок 5мм имеет внутренний диаметр 15мм. Какова масса трубы, если ее длина равна 15м.
4) Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса 22дм³

Вариант №3
1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 5см, 10см и 12см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.
2) Найдите объем конуса, если его образующая n см, а площадь осевого сечения равна m см².
3) Алюминиевый провод диаметром 5мм имеет массу 7,2кг. Найдите длину провода (плотность алюминия 2,6г ⁄ см³).
4) В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1см. На сколько изменится уровень воды в мензурке?
Вариант №4
1) Найдите объем правильной треугольной призмы, у которой каждое ребро равно 15см.
2) Объем конуса равен 176см³. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
3) Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г ⁄ см³) с толщиной стенок 4мм имеет внутренний диаметр 13мм. Какова масса трубы, если ее длина равна 25м.
4) Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем конуса, если объем цилиндра 60см³
Вариант №5
1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 6см, 8см и 10см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.
2) Найдите объем конуса, если его образующая 13см, а площадь осевого сечения равна 60см².
3) Алюминиевый провод диаметром 4мм имеет массу 6,8кг. Найдите длину провода (плотность алюминия 2,6г ⁄ см³).
4)Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли, считая их шарами.
Вариант №6
1) Найдите объем правильной четырехугольной призмы, у которой каждое ребро равно 18см.
2) Объем конуса равен 176см³. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
3) Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г ⁄ см³) с толщиной стенок 2см имеет внутренний диаметр 8см. Какова масса трубы, если ее длина равна 10м.
4) Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем конуса, если объем цилиндра 180м³
Вариант №7
1) Найдите объем правильной треугольно пирамиды, высота которой равна 8см, а сторона основания 4см.
2) Найдите объем конуса, если его образующая 13см, а площадь осевого сечения равна 60см².
3) Алюминиевый провод диаметром 3мм имеет массу 5,4кг. Найдите длину провода (плотность алюминия 2,6г ⁄ см³).
4)Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли, считая их шарами.
Вариант №8
1) Используя формулу площади поверхности сферы, докажите, что площади двух сфер относятся, как квадраты их радиусов.
2) Измерения прямоугольного параллелепипеда 4см, 10см и 12см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.
3) Найдите объем конуса, если его образующая 13см, а площадь осевого сечения равна 60см².
4) В цилиндрическом сосуде уровень жидкости равен 9см. На какой высоте будет находится уровень жидкости, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза меньше диаметра первого
Литература
Основные источники:
А.А. Дадаян. Математика: учебник – 3-е изд. М.: Форум, 2014.-544 с. (Профессиональное образование).
Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 -11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни, - 18-е изд. – М.: Просвещение, 2011.
Глазков Ю.А. Тесты по геометрии: 10 класс: к учебнику Атанасян Л.С. и др. «Геометрия. 10 -11 классы», - М.: Издательство «Экзамен», 2012.
Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2010.
Дополнительные источники:
Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2008.
Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М., 2010.
Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2010.
Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М., 2010.
Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2010.
Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений; под ред. А.Г. Мордковича.- 4-е изд., испр. и доп. –М.:Мнемозина, 2008.
Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2010.Дудницын Ю.П. Контрольные работы по геометрии: 10 класс: к учебнику Атанасян Л.С. и др. «Геометрия. 10 -11 классы», - М.: Издательство «Экзамен», 2009.
Периодические издания:
Журнал «Математика и логика»
Журнал «Журнал вычислительной математики и математической физики»
Интернет- ресурсы:
Единое информационно-образовательное пространство колледжа NetSchool. Форма доступа: http://sgtek.ru
http://www.riis.ru/PS/inet-class.html – Internet-класс по высшей математике: Вся математика, от пределов и производных до методов оптимизации, уравнений математической физики и проверки статистических гипотез в среде самых популярных математических пакетов
http://www.exponenta.ru/educat/class/class.asp – Образовательный математический сайт «Экспонента»
http://www.edunews.ru/task/pre_c_math.htm – Государственное централизованное тестирование. Тест по математике
http://matembook.chat.ru/ – Математика, высшая математика, алгебра, геометрия, дискретная математика
http://www.homebook.narod.ru/index.html – Литература по математике (алгебра, геометрия, математический анализ, дискретная математика, дифференциальные уравнения)
http://mathem.h1.ru/ – Математика on-line. В помощь студенту. Основные математические формулы по алгебре, геометрии, тригонометрии, высшей математике, исторические данные
http://www.helen.ukrbiz.net/index.htm – Контрольные работы по математике
http://www.history.ru/progmath.htm – Обучающие программы по математике
http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/, http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/ – Онлайн-учебник по высшей математике (1-ый и 2-ой семестры)
http://www.mozg.ru/g3/rating/catalog – Каталог тестов
http://www.allmath.ru/ – Математический портал