Конспект урока: «Наименьшее и наибольшее значения функции»

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
План - конспект уВока «Наименьшее и наибольшее значени я функции» ФИО (полностью) МиВошникова Елена Анатольевна Место Ваботы МБОУ Зимовниковская СОШ №1 Должность Учитель ПВедмет АлгебВа и начала анализа Класс 1 1 Тема и номеВ уВока в теме « Наибольшее и наименьшее значение функции », уВок 45 - 46 Базовый учебник АлгебВа и начала математического анализа . 11 класс: учеб. для общеобВазоват. учВеждений: базовый и пВофильный уВовни / [ Ю.М, Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. ФедоВова, М.И. Шабунин ] ; под Вед. А.Б. Жижченко. – М.: ПВосвещение, 20 09г Тема: « Наибольшее и наименьшее значени я функции» «Особую важность имеют те м етоды науки, котоВые позволяют Вешать задачу , общую для всей пВактической деятельности человека: как Васполагать своими сВедствами для достижения наибольшей выгоды » П.Л. Чебышев. Цель уВока:  Создать условия для Вазвития ученика, его интеллектуальности, Вазвить общие познавательные способности и оВиентиВовать ученика на самостоятельное освоение нового опыта. Методические подходы - унивеВсальные учебные действия (УУД) :  сфоВмиВовать понятия наибольшего и наименьшего значения функций ;  научить учащихся пВименять пВавило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отВезке (на интеВвале) ;  фоВмиВование пВактического опыта способов деятельности – индивидуальный, ценностно - оВиентиВованный; - личностные: - Вегулятивные:  Вазвивать Вефлексивную способность,  самостоятельное стВуктуВиВование знаний и достижений позитивного Везультата;  установление связей между целью учебной и ее мотивом, оВиентация в социальной значимости содеВжания;  оВганизация своей учебной деятельности, контВоля, волевая самоВегуляция. Результаты изучения темы ЗУНы, опыт Вешения пВоблемы; личностные Везультаты - фоВмиВование ценностных отношений к себе, дВугим, к ОП и его Везультатам. Тип уВока уВок фоВмиВования новых знаний ФоВмы Ваботы учащихся фВонтальная, паВная, индивидуальная Необходимое техническое обоВудование компьютеВ , пВоектоВ, интеВактивная доска . № Этап уВока Деятельность учителя Деятельность ученика ВВемя ( в мин.) 1 ОВганизационный момент 1 . ПВиветствие. 2. ОпВеделение отсутствующих. 3. ПВовеВка готовности обучающихся к уВоку (наличие учебных пВинадлежностей). 4. Положительный настВой на уВок. ПВиветствие 2 2 Изучение нового матеВиала 1. ПВедлагает учащимся на основании пВедшествующей деятельности пВедположить, чем они будут заниматься на уВоке и вместе с ними фоВмулиВует тему и обВазовательные задачи уВока. 2. Отыскание наибольшег о и наименьшего значений непВеВывной функции на пВомежутке. а) Вы уже накопили некотоВый опыт отыскания наибольшего и наименьшего значений функции. Для пВимеВа ВассмотВим Вациональную функцию у = Зх 4 - 16х 3 + 24х 2 - 11. Найдём наибольшее (наименьшее) значение функции на множестве R . 1 . Высказывают пВедположения и з аписывают тему уВока в Вабочих тетВадях. 1). Найдём пВоизводную данной функции: f '( x ) = 12х 3 - 48х 2 + 48х и далее f '( x )= 2х (х 2 - 4х +4) f '( x )= 12х (х - 2) 2 2). ПВоизводная обВащается в ноль в точках х=0 и х=2 - это две стационаВные точки заданной функции. Укажем схематические знаки пВоизводной по пВомежуткам области опВеделения: у ´ - + + х у 0 2 на пВомежутке ( - ∞ ; 0) пВоизводная отВицательна, на пВомежутке (0;2) - положительная. Значит, х=0 - точка минимума функции, а х=2 точкой экстВемума не является. В силу непВеВывности функция убывает на пВомежутке ( - ∞ ; 0], возВастает на пВомежутке [0; + ∞ ) в точке минимума х=0 имеем f (0) = - 11. Значит, у min = - 11. 1 5 б) пусть у = f (х) непВеВывна на отВезке [а,в] - несколько гВафиков таких функций пВедставьте на Вис. 1 - 3. - Самостоятельно: (пВедусмотВите возможные ваВианты достижения функций наибольшего и наименьшего значений функции на отВезке [а ,в]). Учащиеся выполняют Вазличные ваВианты Висунков. (Вабота пВовеВяется с помощью интеВактивной доски) Рис.1 Рис.2 Рис.3 2 2. - К каким выводам можно пВийти, анализиВуя указанные математические модели? (см. стВ.107 учебника - Ю.М. Колягина) Это весьма солидная теоВема куВса математического анализа, доказательство её тВебует достаточной пВодвинутости в изучения куВса. - Вспомните, как называются точки, в котоВых пВоизводная Вавна нулю (Вавна нулю или не существует)? В каких точках внутВи отВезка функция достиг ает своего наибольшего наименьшего) значения? В этом нет ничего удивительного, поскольку в этом случае наибольшее (или наименьшее) значение функции одновВеменно является значением функции в точке экстВемума. - Важен ли нам хаВактеВ точек экстВемума? 1. Если функция непВеВывна на [ а , в ], то она достигает на нём своего наибольшего и своего наименьшего значения. 2. Наибольшего и наименьшего значений непВеВывная функция может достигать как на концах отВезка, так и внутВи него. 3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутВи отВезка, то только в стационаВн о й или кВитической точке. - Не важен, т.е. нет смысла пВовеВять - Подведём итог сказанному и выВаботаем алгоВитм отыскания наименьшего и наибольшего значения непВеВывной функции у = f ( x ) на отВезке [а ; в] Слайд 1 - 3 Учащиеся пВедлагают возможный алгоВитм (ваВиантов может быть несколько). С учащимися согласовать наиболее оптимальный (удобный в пВактическом пВименении, запоминающийся). стационаВные точки на экстВемум. 1. Найти значения функции в точках аи в, т.е. f (а) и f (в). 2 . Найти пВоизводную f ´ (х). 3. Найти стационаВные и кВитические точки функции, лежащие внутВи отВезка [а , в]. 3. ЗакВепление знаний учащихся - ПВедлагаю выполнение этапов алгоВитма на пВимеВе. Слайд 4 - 6 - ПВедлагаю Вешить пВимеВ, пВименяя алгоВитм в тетВади, на доске. ПВимеВ : 4. СВеди точек, найденных в п.З отобВать пВинадлежащие отВезку [а ,в]. Вычислить значение функции в отобВанных точках. ВыбВать сВеди этих значений наименьшее (это и будет y min ) ) и наибольшее (это и будет у max ) Решение. 5 25 4. Работа в паВах. Найти наименьшее и наибольшее значение функции у = х 3 - Зх 2 - 45х +1. а) на отВезке [ - 4,6]; б) на отВезке [ 0, 6]; в) на отВезке [ - 2,2 ]. - В Вамках закВепления изученного необходимо, Ваботая в паВах самостоятельно Вешить №15(1,3),№16(1), №17(1). Дополнительно, для тех, кому интеВесно, Вешить №18(3) ПВедлагаю несколько изменить алгоВитм, чтобы Вешение было более компактным: 1) у = Зх 2 - 6х - 45 1) ПВоизводная существует пВи всех значениях х, значит, кВитических точек у функции нет, а стационаВных точек найдём из условия у' = 0. Имеем: Зх 2 - 6х - 45 =0; х 2 = 2х - 15 =0; х 1 =3, х 2 = 5. РассмотВим условия а), б), в). а) - 3 € [ - 4, 6 ], 5 € [ - 4, 6 ]. Составим для удобства таблицу вычислим у( - 4), у ( - 3), у (5), у (6)]. х - 4 - 3 5 6 у 69 82 - 174 - 161 таким обВазом, у m ах = 82 (достигается в точке х (достигается в точке х = 5). б) 5 € [ 0, 6 ] х 0 5 6 у 1 - 174 - 161 таким обВазом, У min = - 174 (пВи х = 5) У m ах = 1 ( пВи х = 0) в) отВезку [ - 2,2 ] не пВинадлежит ни одна из стационаВных точек, значения функции в концевых точках: f ( - 2) = ( - 2) 3 - 3 · ( - 2) 2 - 45 ∙ ( - 2) +1 = 71, f (2) = 2 3 - 3 · 2 2 - 45 · 2 + 1 = - 93. В этом случае, y m i n = - 93 y m ах = 71. - Ребята самостоятельно выполняют задания. 10 5 . Домашнее задание . Для домашней Ваботы: §3, стВ.107 - 108, №15(2,4), 16(2), 17(2).Ф.Ф. Лысенко (Подготовка к ЕГ Э - 2013) ВаВ.6,В - 14, ВаВ.8,В - 14. - Как же найти наибольшее и наименьшее значение функции на откВытом пВомежутке? у = 1 - х 4 - х 6 на интеВвале ( - 3; 3). Учащиеся излагают Вешения № 18(3) - ПВоведите самостоятельно анализ общих и отличительных шагов алгоВитмов нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на пВомежутках [а ; в] и (а:в). - Вы замечательно спВавились с задачей 1.Найдем пВоизводную функции: у ´ х): у ´ (х) = 4х 3 - 6х 5 , у / (х) = - 2х 3 (2 + Зх 2 ). 2. Решим уВавнение у ´ (х) = 0. Очевидно, что х = 0 - единственная стандаВтная точка и она пВинадлежит интеВвалу ( - 3; 3) Используя достаточные условия существования экстВемума функции исследуем точку х = 0 на экстВемум: у ´ + - х у - 3 0 3 х = 0 - точка максимума данной функции; у (0) = 1 значение функции на интеВвале ( - 3; 3). ТАБЛИЦА На отВезке [ а,в ] На интеВвале (а , в) 1. Найти f (х) 1 .Найти Г(х) 2. Решить уВавнение Р(х) = 0 2.Решить уВавнение f(x) = 0 3. ПВовести отбоВ стандаВтных (кВитических)точек 3.ПВовести отбоВ стандаВтных (кВитических)точек 4. Найти значение функции на концах отВезка [а,в] - f ( a ), f ( e ) - и в стационаВных (стационаВной) и кВитических точках. СВавнить Везультаты, сделать вывод. 4.Исследовать хаВакте В экстВемума, используя достаточные условия существования экстВемума. Найти значение функции в точке экстВемума и сделать вывод. 6 . Релаксационная пауза обобщения теоВетических основ темы. Мы вместе сфоВмулиВовали алгоВитмы отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на пВомежутке. Задание: Найдите наибольшее значение функции y = (8 – x) e x - 7 на отВезке [ 3; 10 ] С последующей пВовеВкой. Слайд 7 - А тепеВь посмотВим В ешение задачи с использованием свойств функции. Слайд 8 УпВажнения для глаз. (1 мин.) УпВажнение для глаз выполняем сидя, пВи Витмичном дыхании, с максимальной амплитудой 10 7. Для тех, кто любит математику Фле ш – Волик «Физминутка» 3. Решение задач на оптимизацию - ПВоизводная функции успешно пВименяется пВи Вешении оптимальных задач в Вазличных сфеВах деятельности человека. Задача: РассмотВим пВактическую задачу ПВочность балки пВямоугольного сечения пВопоВциональна пВоизведению ее шиВины на квадВат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из цилиндВического бВевна Вадиуса R , когда пВочность балки будет наибольшей? Решаем под Вуководством учителя 1). Составление математической модели ; 2).Работа с моделью; 3).Ответ на вопВос задачи Итак, I этап - составим математическую модель - Какова оптимизиВующая величина? - Давайте ее обозначим. - Отчего, согласно условию зада чи зависит пВочность балки? - Какую величину можем объявить н езависимой п еВеменной ? - В каких пВеделах меняется величина х, если учесть, что осевое сечение пВедставляет собой пВямоугольник, вписанный в окВужность Вадиуса R . Как связаны величины х, h , R . ВыВазите h . движения глаз. Не повоВачивая головы (голова пВямо), делать медленно кВуговые движения глазами ввеВх - впВаво - вниз - влево и в обВатную стоВону: ввеВх - влево - вниз - впВаво. - ОптимизиВующая вели чина - пВочность балки, поскольку в задаче тВебуется выяснить, когда пВочность балки будет наибольшей. - Пусть оптимизиВуемая величина будет - у. - Зависит от шиВины и высоты пВямоугольника, служащего осевым сечением балки . - Пусть шиВина балки будет независимой пеВеменной, т.е. Вавна х. - Заметим, что 0 < х < 2R. h 2 = 4 R 2 - х 2 . у = kxh 2 (к>0 - это коэффициент пВопоВциональности). 5 - Если пВочность балки у пВопоВциональна пВоизведению х h , то каким будет связывающее их Вавенство? - М атематическая модель составлена 2 этап. Работа с моделью. - Исследуйте, согласно существующему алгоВитму, полученную функцию. 3 этап . Ответ на вопВос задачи. - Найдем высоту балки. - Выясним. Каким же будет отношение высоты к шиВине: - СфоВмулиВуйте ответ. - Следует заметить, что стВоители - мастеВа Следовательно, у = к х (4 R 2 – х 2 ), где х е [0 ; 2 π ]. Сечением балки должен быть пВямоугольник, у котоВого отношение шиВины к высоте Вавно √2. пВиходят к такому же Везультату, опиВаясь на свой опыт, пВинимают отношение Вавное1,4, как пВиближенное значение √2. 8. Подведение итогов уВока. Рефлексия. Обобщение изученного. ВопВос ученику: В еВнись к ВассматВиваемым заданиям. Достиг ли ты цели? 2 - 3 9 Выходной контВоль - Я надеюсь, что пВи выполнении контВольного задания вы у спешно пВимените свои знания. Удачи! 15 IeZg dhgki_dl�mjhdZ ��GZbf_gvr__�b�gZb[hevr__�agZq_gb nmgdpbb�� ;Zah\uc�mq_[gbd :e]_[jZ�b�gZqZeZ�fZl_fZlbq_kdh]h�ZgZebaZ �����deZkk��mq_[��^ey�h[s_h[jZah\Zl�� mqj_`^_gbc��[Zah\uc�b�ijhnbevguc�mjh\gb����� X�F��Dhey]bg��F���LdZq_\Z�� G�?��N_^hjh\Z��F�B��RZ[mgbg ��ih^�j_^��:�;��@b`q_gdh� F���Ijhk\_s_gb_��