Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

МОУ «Новоуральская СОШ»
Муниципальная научно-практическая конференция НОУ «Поиск»
«Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц»
Секция: Математика, физика, информатика.
Выполнила: ученица 9а класса Каримжанова Гульнара КаирбаевнаРуководитель: Головенская Наталья Анатольевна, учитель математики
п. Новоуральский,2010г.
Содержание:
Введение………………………………………………………….2
Основная часть
Тригонометрические функции……………………………….......3
Наши исследования
Задача……………………………………………………..4-7
Заключение……………………………………….………………7
Информационные ресурсы…………………………………….. 8
I. Введение Каждый человек входит в этот мир с феноменальными способностями к вычислениям
Яков Трахтенберг,
математик, педагог.

Актуальность темы
Широкими возможностями в интеллектуальном развитии человека, в повышении его общей культуры располагает курс математики. Уровень математической подготовки учащихся зависит от сформированности общеучебных и общематематических умений, в частности, вычислительных навыков и умений.
Сегодня, в век развития электронных средств вычислительной техники, широкого внедрения их во все сферы жизни и в систему образования, задача формирования прочных вычислительных навыков, казалось бы, отодвинулась на второй план. Однако, вычислительные навыки, как составная часть математической культуры современного человека, имеют большое прикладное значение в учебной и в дальнейшей трудовой деятельности, являются тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение.
Цель работы: найти способ вычислить sin 360 и cos 360 без таблиц и калькулятора.
Задача: вычислить sin 360 и cos 360 без таблиц и калькулятора.
Методы, используемые в работе:
1. Анализ литературы.
2. Метод моделирования.
3. Метод вычисления.
4. Методы анализа, сравнения и обобщения документации.
Гипотеза: любую задачу на вычисление можно решить без калькулятора и таблиц
Объект исследования: тригонометрические функции
Предмет исследования: тригонометрические функции sin 360 и cos 360
II. Основная часть
Тригонометрические функции возникли в Древней Греции в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике, которые по существу и есть тригонометрические функции, встречаются уже в III в. до н. э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и других. Современную форму теории тригонометрических функций и вообще тригонометрии придал Л. Эйлер. Ему принадлежат определения тригонометрических функций и принятая в наши дни символика.[1]
Тригонометрические функции (от греческих слов trigonon – «треугольник» и metreo – «измеряю») – один из важнейших классов функций.
В 8 классе мы определили тригонометрические функции и выучили их значения для стандартных углов. Но в материалах Википедии – свободной энциклопедии мы видим таблицу «Значения тригонометрических функций нестандартных углов».[2]
В ней sin 36°= 12∙5-52 , а cos 360 = 12∙3+52 . Мы решили найти значения этих величин.
III. Наши исследования
Пример. Вычислить sin 36° (без калькулятора и таблиц).

Задачу решали геометрическим способом.
Рассмотрим сектор BOA окружности с центром в точке O и радиуса 1, ∠BOA=72°. Тогда ∠OBA=∠OAB=54°.
Проведем хорду AB, на отрезке AK построим точку C так, чтобы BC=BA, при этом ∠BAC=∠ACB=54°, а ∠CBA=72°.
Пусть AB=x, тогда BC=x, x>0.
Рассмотрим ∆AOB и ∆CBA. AOCB=OBBA=1x∠AOB=∠CBA=72° ⇒ по второму признаку подобия ∆AOB∞∆CBA, а значит AOCB=BAAC ⇒ 1x=xAC ⇒ AC=x2, тогда CO=x2-1, KC=2-x2.
Так как x2-1>0 ⇒ x<-1, x>1.
Так как 2-x2>0 ⇒ -√2<x<√2.
∆KAB - прямоугольный (т.к. ∠В опирается на диаметр)
KB = AK2-AB2 = 4-x2∠KBC = ∠KBA - ∠CBA = 90° - 72° = 18°
∠CBO = ∠CBA – ∠OBC = 72°- 54°=18° ⇒ BC – биссектриса ∆KBO ⇒ справедлива пропорция BOOC=BKKC ⇒ 1x2-1=4-x22-x22-x2 = (x2-1)∙ 4-x2(2-x2)2= (x2-1)2∙(4 - x2)
4 - 4x2 + x4 = (x4-2x2+1)∙(4-x2)
4 - 4x2 + x4 = 4x4- 8x2+ 4- x6+2x4- x24 - 4x2 + x4- 4x4+ 8x2- 4+ x6- 2x4+ x2 = 0
x6- 5x4+ 5x2=0
x2(x4- 5x2+5)=0
x2=0 или x4- 5x2+ 5=0
x2=0 ⇒ x=0, не удовл. усл. x>0
x4- 5x2+5=0
Обозначим x2=t ⇒ t2-5t+5=0
t1,2= 5±25-202 = 5±52t1= 5+52; t2= 5-52x2= 5+√52 ⇒ x1,2=±5+52
x1=5+52 не удовл. усл. -2<x<2x2=-5+52 не удовл. усл. x>0
x2=5-52 ⇒ x1,2=±5-52x1=-5-52 не удовл. усл. x>0
x2=5-52x2 удовлетворяет всем условиям задачи ⇒ x=5-52∆OBA - равнобедренный. OH – медиана, биссектриса, высота
∆OHA – прямоугольный
∠HOA=36°, HA = x 2, OA=1
sin 36° = HAOA ⇒ sin 36°= x2 = 12x ⇒ sin 36° = 12∙5-52cos 36= 1-sin236°= 1-5-58 =8-5+58 = 12∙3+52Найдем sin 72°.
sin 2α=2∙sin α∙cos αsin 72° = sin 2∙36° = 2∙sin 36°∙cos 36° = 2∙12∙5-52∙12∙3+52 =12∙15+55-35-54 = 1210+254 = 125+52cos 72° =1-sin272° =1-145+52=1-5+58=8-5-58=3-58=123-52Аналогично можно вычислить sin 144°, cos 144°, sin 288°, cos 288° и т.д.
Вывод : Поставленную задачу решили. Без калькулятора и таблиц нашли sin 36° = 12∙5-52 , а cos 360 = 12∙3+52 .
IV. Заключение
Наши исследования подтвердили, что любую задачу на вычисление можно решить без калькулятора и таблиц.
Существует много приемов вычисления арифметических действий. Знание приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.
V. Информационные ресурсы.Энциклопедический словарь юного математика. − М.: Педагогика, 1989.
Википедия – свободная энциклопедия.
3. Калиничева Т. Вычисление без калькулятора //Лицейское и гимназическое образование. – 2007. - №7
4. ru.wikipedia. orgi/…/ Тригонометрические функции