Теоретический материал для проведения занятий по дисциплине «Сопротивление материалов» для обучающихся очной и заочной форм обучения. Направление: Специальность 131018 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений.
Депобразования и молодежи Югры
бюджетное учреждение профессионального образования
Ханты-Мансийского автономного округа – Югры
«Мегионский политехнический колледж»
(БУ «Мегионский политехнический колледж»)
Теоретический материал для проведения занятий
по дисциплине «Сопротивление материалов»
для обучающихся очной и заочной форм обучения.
Направление: Специальность 131018 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений.
Мегион, 2016
Депобразования и молодежи Югры
бюджетное учреждение профессионального образования
Ханты-Мансийского автономного округа – Югры
«Мегионский политехнический колледж»
(БУ «Мегионский политехнический колледж»)
Преподаватель физики и технической механики
Магомедов А.М.
Теоретический материал для проведения занятий
по дисциплине «Сопротивление материалов»
для обучающихся очной и заочной форм обучения.
Направление: Специальность 131018 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений.
Мегион,2016 Оглавление
Введение ..3
Объекты исследования сопротивления материалов ...4
1. Метод сечений.7
Внутренние силовые факторы...7
1.1 Построение эпюр внутренних факторов для стержней ..8
1.2 Построение эпюр крутящих моментов..11
1.3 Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М для балок...14
1.3.1 Правила знаков для Q и для М..15
2. Дифференциальные зависимости при изгибе.19
2.1 Правила проверки эпюр..20
3. Напряжения и деформации...23
3.1 Интегральные зависимости между
· и
· и внутренними силовыми факторами...24
4. Деформации...25
5. Основные гипотезы, допущения, принципы, принимаемые в курсе сопротивления материалов...27
6. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.29
7. Типы задач сопротивления материалов..33
8. Кручение стержней37
8.1 Кручение круглых стержней. Геометрические характеристики Ip и Wp. Кручение прямоугольных стержней..41
9. Геометрические характеристики плоских сечений45
9.1 Геометрические характеристики плоских сечений. Параллельный перенос осей. Поворот осей49
10. Изгиб. Расчеты на прочность и жесткость при изгибе52
10.1 Чистый изгиб. Поперечный изгиб..69
11. определение перемещений в рамках и балках.75
11.1 Потенциальная энергия. Обобщение силы и обобщенные перемещения. Теорема о взаимности работ и перемещений (теорема Бетти). Интеграл Мора. Графо – аналитический метод взятия интегралов (способ Верещагина). Универсальная формула трапеции.75
Заключение90
Введение
Сопротивление материалов ( наука, изучающая инженерные методы расчета на прочность жесткость и устойчивость.
При эксплуатации конструкции подвергаются действию различных нагрузок. Для нормального функционирования они должны соответствовать необходимым критериям прочности, жесткости и устойчивости.
Прочность – свойство конструкции или ее элементов противостоять внешней нагрузке, не разрушаясь.
Жесткость – свойство конструкции при нагружении противостоять внешним деформациям.
Деформации конструкции при ее нагружении не должны превышать некоторых предварительно заданных весьма малых величин, которые определены из условий нормальной работы конструкции.
Устойчивость – свойство конструкции сохранять первоначальную форму, равновесие при нагружении внешними силами. Расчету на устойчивость подвергаются сжатые стержни.
Сопротивление материалов – экспериментально-теоретическая наука, теоретическая часть которой основывается на теоретической механике и математике, а экспериментальная ( на физике и материаловедении.
Объекты исследования сопротивления материалов.
Стержень – это тело, у которого размеры поперечного сечения b или n значительно меньше его длины l (рис. В1).
Рис. В1 Стержень
Оболочка – тело, у которого толщина значительно меньше других размеров (рис. В2).
Серединная поверхность – это геометрическое место точек, равноудаленных от внешней и внутренней поверхностей оболочки.
Рис. В2 Оболочка
Пластина – оболочка, у которой серединная поверхность – плоскость (рис. В3).
Рис. В3 Пластина
Массивное тело – это тело, у которого все три размера сопоставимы (рис. В4).
Рис. В4 Массивное тело
Расчетная схема – схематичное (условное) изображение реального объекта, освобожденного от несущественных с точки зрения данного расчета особенностей.
Стержень на расчетной схеме изображается своей осью (рис. В5):
Рис. В5 Расчетная схема двутавровой балки
Внешние нагрузки приводятся к оси стержня (см. рис. В6):
Рис. В6 Приведение внешних нагрузок
Ось стержня – это геометрическое место центров тяжести поперечных сечений стержня.
Силы разделяют на внешние и внутренние. Внешние силы приложены к конструкции, а внутренние возникают в элементах конструкции.
Внешние силы подразделяются на поверхностные, приложенные к участкам поверхности, и объемные, распределенные по всему объему конструкции (например, сила тяжести, магнитного притяжения, силы инерции при ускоренном движении конструкции – это объемные внешние силы). Поверхностные силы могут быть сосредоточенными, если они приложены к малым участкам поверхности, или распределенными, если они приложены к конечным участкам.
На расчетной схеме внешние силы приводятся к центру тяжести поперечного сечения стержня (см. рис. В7).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. В7 Приведение внешних нагрузок
Метод сечений.
Внутренние силовые факторы
Внешние силы стремятся разрушить конструкции или узлы, а внутренние силы противодействуют этому.
Рассмотрим произвольный брус, нагруженный самоуравновешенной системой сил (рис. 1.1):
Рис. 1.1 Приведение внешних нагрузок
Чтобы найти внутренние силы воспользуемся методом сечений РОЗУ (рис. 1.2).
Р – разрезаем произвольной плоскостью на А и В.
О – отбрасываем одну из этих частей, например, В (рис. 1.2а). Рассмотрим оставшуюся часть(рис. 1.2б).
З – заменяем. Внутренние силы мы заменяем главным вектором и главным моментом.
а)
б)
в)
Рис. 1.2 Метод сечений РОЗУ
Раскладываем главный вектор и главный момент в плоскости на оси (рис. 1.2в).
Внутренние силовые факторы:
Qx, Qy – вызывают сдвиг – перерезывающие поперечные силы;
N – нормальная продольная шина, растяжение, сжатие бруса;
Мz – крутящий момент;
Мx, Мy – изгибающий момент (рис. 1.2в).
В общем случае нагружения в сечении действуют 6 внутренних факторов. График изменения внутреннего фактора при передвижении вдоль оси стержня называется – эпюрой.
У – уравновешиваем.
1.1 Построение эпюр внутренних факторов для стержней
Построение эпюр нормальных сил N
Правило знаков для N имеет физический смысл: нормальная сила является положительной, если вызывает растяжение бруса, отрицательной – если сжатие.
Пример 1 (рис. 1.3).
Если на стержень действуют силы, приложенные вдоль его оси, то он находится в условиях растяжения и остается только один внутренний фактор N.
Рис. 1.3 Стержень
Порядок построения эпюр:
Определяем реакции опор.
Разбиваем стержень на участки.
Участок – часть стержня между точками приложения сосредоточенных сил, включая опорные реакции.
Записываем аналитические выражения для внутренних силовых факторов.
Строим график (эпюру) (рис. 1.4).
Рис. 1.4 Построение эпюры нормальных сил
Эпюра – график, заштрихованный линиями, перпендикулярными оси.
Используя метод РОЗУ, отбрасывают ту часть, где больше нагрузки.
Внутренний фактор – равнодействующая внутренних сил.
Nz2 = P-3P = -2P
Nz2 = P-3P = -2P
Пример 2 (рис. 1.5).
Построить эпюру нормальных сил N.
q – интенсивность равномерно – распределенной нагрузки.
Опасное сечение в заделке, т.к. там самое большое значение N.
Рис. 1.5 Построение эпюры нормальных сил
13 EMBED Equation.3 1415
Построим эпюру нормальных сил
13 EMBED Equation.3 1415
1.2 Построение эпюр крутящих моментов
Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент, а прочие силовые факторы равны нулю. Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков.
Рис. 1.6 Правило знаков для крутящего момента
Если со стороны внешней нормали к сечению вращение осуществляется против часовой стрелки, то крутящий момент положительный (рис.1.6).
Правило знаков носит формальный характер (можно установить произвольно).
Стержень, в основном работающий на кручение, называется валом.
Рис.1.7 Схематичное изображение крутящего момента (против часовой стрелки).
Пример (К - 1)
Построить эпюру крутящих моментов (рис 1.9).
Рис.1.9 Построение эпюры крутящих моментов
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример на построение эпюры крутящих моментов (рис 1.10).
Рис.1.10 Построение эпюры крутящих моментов
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1.3 Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балок
Балка – стержень, в основном работающий на изгиб. При расчете балку принято заменять ее осью, все нагрузки приводятся к этой оси, а силовая плоскость будет совпадать с плоскостью чертежа.
Вал – стержень в основном работающий на кручение.
Виды опор:
Шарнирно-подвижная опора – опора, в которой может возникать только одна составляющая реакции, направленная вдоль опорного стержня (рис.1.11).
Рис.1.11 Шарнирно-подвижная опора
Шарнирно-неподвижная опора – опора, в которой могут возникать две составляющие реакции: вертикальная и горизонтальная (рис.1.12).
Рис.1.12 Шарнирно-неподвижная опора
Заделка (жесткое защемление) – опора, в которой могут быть: вертикальная и горизонтальная реакции и опорный момент (рис.1.13).
Рис.1.13 Заделка
1.3.1 Правило знаков для Q
1.3.2 Правило знаков для М
Эпюру для М строят на сжатых волокнах.
Пример (Э-3)
Построить эпюры внутренних усилий Q и M для однопролетной балки (рис. 1.14).
Рис. 1.14 Расчетная схема
Дано:
Р=0,5qa
M=0,5qa2
Решение:
Вычислим реакции опор.
Освободим балку от связей и заменим их действие реакциями.
Y: RA-P-q·2a+RB=0
Составим уравнения равновесия:
Сумма моментов всех сил относительно точки А равна
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
откуда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Сумма моментов всех сил относительно точки В равна
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Разделим балку на четыре участка. Применим метод сечений на каждом из участков и запишем выражения для внутренних усилий
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Внутренние усилия на втором участке равны
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
На третьем участке
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Внутренние усилия на четвертом участке равны
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Строим эпюры для M и Q (рис 1.15). Для проверки правильности полученных эпюр могут быть использованы следствия из дифференциальных зависимостей между Q и M.
Рис. 1.15 Построение эпюр Q и M
2. Дифференциальные зависимости при изгибе
Пусть стержень закреплен произвольным образом и нагружен распределенной нагрузкой q=f(z), принятое направление q считать положительным (рис. 2.1).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 2.1 Стержень с распределенной нагрузкой
Выделим из стержня элемент длиной dz и в проведенных сечениях приложим моменты M и M+dM, а также поперечные силы Q и Q+dQ (рис. 2.2). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать равномерно распределенной.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 2.2 Элемент длиной dz стержня
Приравниваем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов относительно поперечной оси:
13 EMBED Equation.3 1415
После упрощения получим
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Из полученных соотношений можно сделать некоторые общие выводы о характере эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для прямого стержня.
2.1 Правила проверки эпюр
Если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то есть q = 0, 13 EMBED Equation.3 1415 => Q=const=C1; 13 EMBED Equation.3 1415 => M=C1(z+D1,то эпюра поперечных сил постоянна, а эпюра изгибающих моментов М изменяется по линейному закону (рис. 2.3).
Рис. 2.3 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов
Если в сечении приложена сосредоточенная сила, то на эпюре Q скачек на величину этой силы, от начала предыдущего, до начала следующего. А на эпюре М излом, направленный навстречу этой силе.
Если первая производная положительная, то момент возрастает слева направо, если отрицательная, то наоборот: +Q => M( -Q => M(.
Если в сечении приложен сосредоточенный момент Мi, то на эпюре Q нет никаких изменений, а на эпюре М скачек на величину этого момента (рис. 2.4).
Рис. 2.4 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов
Если на участке приложена равномерно распределенная нагрузка q = const, то Q – наклонная прямая, а М – парабола, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке (рис. 2.5).
Рис. 2.5 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов
Если на участке эпюра Q меняет знак и пересекает ось, то эпюра М имеет экстремум в точке пересечения Q с осью.
Если ветви эпюры Q сопрягаются без скачка на границах участка, то ветви эпюры М на границе этих же участков сопрягаются без изломов (рис. 2.6).
Рис. 2.6 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов
Если на участке стержня Q равна нулю, то 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2.7)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 2.7 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов
3. Напряжения и деформации
Введем оси координат Ox, Oy, Oz. Выделим элементарную площадку (F в плоскости поперечного сечения бруса (рис. 3.1). На нее действует произвольная сила, которая может быть разложена на составляющие (N ((N((xOy) и (T ((T(xOy).
Рис. 3.1 Поперечное сечение бруса
Введем понятие касательного и нормального напряжений:
13 EMBED Equation.3 1415 нормальное напряжение
Нормальное напряжение – это предел отношения нормальной составляющей внутренних усилий (N, действующих на элементарную площадку (F при стремлении последней к нулю.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 касательное напряжение
Касательное напряжение – это предел отношения тангенциальной составляющей внутренних усилий (T, действующих на элементарную площадку (F при стремлении последней к нулю.
Общий вид формул:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Закон парности касательных напряжений 13 EMBED Equation.3 1415
«Вырежем» элементарную площадку dF бруса размером dx на dy (рис. 3.2).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 3.2 Площадка dF
На двух взаимно перпендикулярных площадках, имеющих общее ребро, касательные напряжения 13 EMBED Equation.3 1415 равны по величине и направлены или оба к ребру или оба от ребра.
3.1 Интегральные зависимости между ( и ( и внутренними силовыми факторами
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 3.3Связь между напряжениями и внутренними усилиями
4. Деформации
Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной мере меняют свою форму(деформируются).
Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само по себе это изменение формы является, как правило, незначительным и обнаруживается в большинстве случаев только при помощи чувствительных приборов.
Рассмотрим основные виды деформации, которые учитываются при решении задач в сопротивлении материалов.
Абсолютная деформация
Пусть левый конец стержня зафиксирован, к обоим концам стержня приложена горизонтальная сила P (рис. 4.1).
Абсолютная деформация – это полное удлинение стержня, т.е. перемещение свободного конца стержня относительно положения этого конца в ненагруженном состоянии стержня.
Рис. 4.1 Растяжение стержня
Относительная деформация
13 EMBED Equation.3 1415 ( - относительная деформация (вдоль оси х - (x,
вдоль оси y - (y)
Закон Гука для линейных деформаций
13 EMBED Equation.3 1415, где Е – модуль Юнга или модуль упругости I-го рода, для стали Eст = 2(105 МПа
Относительная угловая деформация
( - относительный угол деформации, равен изменению прямого угла при приложении нагрузки.
Рис. 4.2 Относительная угловая деформация
Закон Гука для угловых деформаций
13 EMBED Equation.3 1415
где G – модуль сдвига или модуль упругости II-го рода
Упругие постоянные материала связаны зависимостью:
13 EMBED Equation.3 1415 где ( - коэффициент Пуассона.
Он равен отношению поперечной деформации 13 EMBED Equation.3 1415 бруса к продольной деформации 13 EMBED Equation.3 1415, взятого по модулю.
13 EMBED Equation.3 1415
(стали = 0,25 –0,35
5. Основные гипотезы, допущения, принципы, принимаемые в курсе сопротивления материалов
Методы расчета на прочность и жесткость конструкции в сопротивлении материалов основаны на применении следующих гипотез и допущений.
Материал конструкции считается сплошным и однородным. Атомистическая теория строения вещества в расчет не принимается.
Исключение: допущение неприемлемо при рассмотрении усталостной природы разрушения металлов.
Материал конструкции считается анизотропным, то есть обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях.
Исключение: дерево, прокатный материал.
Материал конструкции подчиняется закону Гука
13 EMBED Equation.3 1415 ( для линейных деформаций;
13 EMBED Equation.3 1415 ( при деформациях сдвига.
Материал тела считается абсолютно упругим.
Поперечные и нормальные к оси сечения бруса до приложения нагрузки остаются плоскими и нормальными после приложения нагрузки (Гипотеза Бернулли или гипотеза плоских сечений).
Принцип суперпозиции. Результат действия на конструкцию суммы нагрузок равен сумме результатов действия каждой нагрузки отдельно (рис. 5.1).
Рис. 5.1 Принцип суперпозиции
Принцип Сен-Венана. На расстоянии равном размеру поперечного сечения бруса способ приложения нагрузки не оказывает влияния на напряженно деформированное состояние бруса (рис. 5.2).
Рис. 5.2 Принцип Сен-Венана
Деформации конструкции малы и не влияют на взаимное положение точек приложения внешних сил и изменение размеров конструкции.
6. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии
Растяжение – такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникают только нормальные силы N, а все остальные внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.
Приложение нормальных сил к стержню может быть различным, но в любом случае система внешних сил образует равнодействующую Р, направленную вдоль оси стержня, то есть во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N, равные силе Р: N=P.
При расчетах в сопротивлении материалов сжатие отличается от растяжения формально только знаком силы N.
Таким образом, при рассмотрении задач сохраняется единство подхода к вопросам растяжения и сжатия.
Если для нагруженного по концам растянутого однородного стержня напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, то такое напряженное состояние называется однородным.
Рассмотрим задачу о распределении напряжений 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при растяжении (сжатии) в поперечном сечении стержня (рис. 6.1).
Три стороны задачи о растяжении и сжатии стержня.
1. Статистическая сторона задачи
Рис. 6.1 Растяжение стержня
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2. Геометрическая сторона задачи
Применим гипотезу плоских сечений:
Волокна при растяжении (сжатии) по высоте в поперечном сечении бруса деформируются одинаково 13 EMBED Equation.3 1415(3).
Выделим два сечения стержня до приложения нагрузки и рассмотрим их положение в нагруженном состоянии (рис. 6.2).
aa((bb до приложения нагрузки
a1a1((b1b1 при нагружении
Рис. 6.2 Деформация стержня
3. Физическая сторона задачи
Заключается в применении закона Гука.
13 EMBED Equation.3 1415 (4) где ( - 13 LINK \l "отн_деформ" 14относительная деформация15,
Е – модуль упругости 1 рода = 2(105 МПа
Объединяем все три стороны задачи
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
подставляем в интеграл (2)
13 EMBED Equation.3 1415 => 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (6) ( - нормальное напряжение
Найдем растяжение стержня при удлинении, сжатии.
Рис. 6.3 Нормальное напряжение при растяжении
13 EMBED Equation.3 1415 E(F – жесткость бруса при растяжении, сжатии.
13 EMBED Equation.3 1415
Абсолютная деформация бруса длинной l=((dz равна
13 EMBED Equation.3 1415 где (l – 13 LINK \l "абс_деформ" 14абсолютная деформация.15
13 EMBED Equation.3 1415
Условия прочности:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 - допускаемое нормальное напряжение.
Материалы
Пластичные материалы
Хрупкие материалы
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415- предел текучести материала
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 - предел прочности материала
n – коэффициент запаса прочности
n – вводится по следующим причинам:
неточное определение внешних нагрузок
приближенные методы расчета
отклонения в размерах деталей
разброс в механических характеристиках материала.
Для хрупких материалов n больше чем для пластичных материалов, так как у хрупких материалов большая неоднородность структуры.
13 EMBED Equation.3 1415
если N(z) = const, F(z) = const
13 EMBED Equation.3 1415
Условие жесткости (l ( [(l]
7. Типы задач сопротивления материалов
Мы выполняем расчет по допускаемым напряжениям, при этом вся конструкция считается прочной, если напряжение в опасной точке (max не превосходит [(] – допускаемого значения (рис. 7.1).
Рис. 7.1 Эпюра напряжений (
1. Проверочный расчет
Дано:
Размеры стержня, внешняя нагрузка.
13 EMBED Equation.3 1415 ?
2.Проектировочный расчет
Дано:
Внешняя нагрузка, [(]
13 EMBED Equation.3 1415 (max = [(] условие экономичности
13 EMBED Equation.3 1415
3.Определение допустимой внешней нагрузки
Дано:
размеры стержня, (((
(max = 13 EMBED Equation.3 1415 = (((
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4. Расчет на жесткость.
Условия жесткости: (l = 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пример (Р-1)
все величины заданы в системе СИ
Рис. 39 Пример решения задания Р-1
Рис. 7.2 Пример решения задачи Р-1
Решение
Найдем реакции связей
13 EMBED Equation.3 1415
Построим эпюру нормальных сил
13 EMBED Equation.3 1415
Построим эпюру нормальных напряжений
13 EMBED Equation.3 1415
Построим эпюру перемещений
13 EMBED Equation.3 1415
8. Кручение стержней
Это такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникают только крутящие моменты, отличные от 0. а N = Qx = Qy = Mx = My = 0.
Стержень, работающий на кручение, называется валом.
8.1 Кручение круглых стержней
Три стороны задачи о кручении.
Рассмотрим вал, находящийся под действием крутящих моментов (рис. 8.1).
Рис. 8.1 Вал
1. Статическая сторона задачи:
Mкр (z) = M,
Mкр = 13 EMBED Equation.3 1415((( dF (2)
Mx = 13 EMBED Equation.3 1415((y(dF = 0
My = 13 EMBED Equation.3 1415( (x(dF = 0 (3)
N = 13 EMBED Equation.3 1415((dF = 0
Анализируя формулы (3), приходим к выводу, что нормальные напряжения в нормальных сечениях ( = 0.
Найдем закон изменения касательных напряжений “(” в поперечном сечении бруса.
2. Геометрическая сторона задачи.
Она связана с применением гипотезы Бернулли (плоских сечений)
Экспериментально установлено, что при кручении круглого бруса ось стержня не меняет своей длины и формы, а поперечные сечения, плоские и нормальные к плоскости бруса до приложения крутящего момента, остаются такими же после приложения крутящего момента, и поворачиваются друг относительно друга. Физическая модель резинового бруса: поперечные сечения закручиваются друг относительно друга.
Выделим участок бруса длиной dz и имеющего радиус ( (рис. 8.2).
Рис. 8.2 Участок бруса
Пусть левая часть неподвижна.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
( - абсолютный угол поворота
( - относительный угол закручивания (поворота), приходящийся на единицу длины
( - угловая деформация
3. Физическая сторона задачи
Заключается в применении закона Гука.
Закон Гука для угловых деформаций:
( = ((G (5), G – модуль сдвига (модуль упругости II–го рода)
Gстали = 8(104 МПа = 8(1010 Па
Объединяя три стороны задачи, получаем:
Рис. 8.3 Эпюра касательных напряжений
из (4), получаем ( = ((( => (5) Mкр = 13 EMBED Equation.3 1415((( dF
( = (((( G (6) => (2) Mкр = 13 EMBED Equation.3 1415(2(((G dF (2) = ((G 13 EMBED Equation.3 1415(2 dF
const Ip
Ip = 13 EMBED Equation.3 1415(2 dF – полярный момент инерции
Ix = Iy = ((D4/64; Ip = 2(Ix = 2(Iy = ((D4/32
( = Mкр/ (G(Ip) (7)
(7)((6) => ( = (Mкр(((G)/Ip= (Mкр(()/Ip
( = (Mкр((i)/Ip (8)
Анализируя формулу (8), делаем вывод, что касательные напряжения при кручении распределяются по нормальному закону (рис. 8.3).
(max возникают при ( = 13 EMBED Equation.3 1415
Wp = Ip/(D/2) – полярный момент сопротивления
Для круглого сплошного сечения: Wp = (((D3)/16
Тогда (max = Mкр/Wp; Мкр/Wк 13 EMBED Equation.3 1415(((, где Wк – момент сопротивления при кручении, равный в данный момент Wp.
(max = Mкр/Wк( ((( – условие прочности при кручении.
8.1.1 Геометрические характеристики Ip и Wp
характеристики
Ip
Wp
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Анализируя эпюру (, мы видим, что в центре сечение не нагружено, т.о. рациональным сечением является не сплошной вал, а кольцо.
Задача: сопоставить по металлоемкости два равноправных сечения (рис. 8.4).
Рис. 8.4 Полое и сплошное сечения вала
Равнопрочные:
(max1 = (max2
(max1 = Мкр/Wp1
(max2 = Мкр/Wp2
Мкр/Wp1 = Мкр/Wp1( 1/Wp1 = 1/Wp1
(((D31)/16 = ((((D32)/16(((1–(d24/D24))(1/D13 = 1/(D23(1–0.84));
0.59 D23 = D13;
D1 = D(0.839.
Сопоставляем сечения 1 и 2 по металлоемкости:
F1/F2 = ((((D12)/4(/(((((D22)/4)–(1–d22/D22)( = 1.9.
8.2 Кручение прямоугольных стержней
При кручении прямоугольных стержней гипотеза плоских сечений не выполняется, так как сечения искривляются ( депланируют. Задача о кручении прямоугольных стержней решается в теории упругости.
Готовые формулы
h>b
Рис. 8.5 Эпюра касательных напряжений для некруглых стержней
В углах и центре тяжести 0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
где Wk = ((b2(h - момент сопротивления при кручении
Ik = ((b3(h -
(, (, ( -коэффициенты, зависят от соотношения 13 EMBED Equation.3 1415
Некоторые значения коэффициентов (, (, (.
13 EMBED Equation.3 1415
1
1,5
1,75
2
2,5
3
10
(
0,208
0,231
0,239
0,246
0,256
0,267
0,313
(
0,141
0,196
0,214
0,229
0,249
0,263
0,313
(
1
0,869
0,82
0,795
0,766
0,753
0,742
Абсолютный угол закручивания вала, состоящего из n участков - (.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пример (К-1)
Дано (рис. 8.6)
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
первый участок
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
второй участок
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
третий участок
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
так как мы приняли за диаметр трубки диаметр D1, то пересчитаем момент сопротивления
13 EMBED Equation.3 1415
найдем угол закручивания стержня
13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 8.6 Эпюра крутящих моментов
Рис. 8.7 Эпюра касательных напряжений для различных сечений стержня
9. Геометрические характеристики плоских сечений
Рассмотрим произвольное плоское сечение (рис. 9.1). Выделим элементарную площадку dF и определим ее характеристики.
Рис. 9.1 Произвольное плоское сечение тела
Статистический момент инерции сечения.
Называется Sx и Sy относительно осей x и y
13 EMBED Equation.3 1415 интегральная сумма произведения элементарных площадок на их расстояние до оси.
13 EMBED Equation.3 1415 => [S] = м3
Используется для определения центра тяжести касательных напряжений при изгибе.
Координаты центра тяжести сечения
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Если фигура состоит из нескольких простых
13 EMBED Equation.3 1415
Осевой момент инерции сечения.
13 EMBED Equation.3 1415 [м4]
13 EMBED Equation.3 1415 [м4]
Главная характеристика при расчетах на изгиб.
Центробежный момент инерции скольжения – интегральная сумма произведения элементарных площадок на расстояние до осей.
13 EMBED Equation.3 1415 [м4]
Полярный момент инерции.
13 EMBED Equation.3 1415 [м4]
13 EMBED Equation.3 1415
Радиус инерции.
13 EMBED Equation.3 1415
Осевой момент сопротивления.
Wx, Wy [м2]
Для сечения, имеющего две оси симметрии:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Для сечения, имеющего одну ось симметрии:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 полярный момент сопротивления
Пример
13 EMBED Equation.3 1415 dF = b(dy
Ix = ?
тогда 13 EMBED Equation.3 1415
9.1 Геометрические характеристики простых сечений
Вид сечения
Координата ц.т.
Ixc
Iyc
Ixc,yc центробежн момент ин-и
Примечания
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED E
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Параллельный перенос осей
Рис. 9.2 Параллельный перенос осей
Дано: F, a, b, Ix, Iy, Ixy; (рис. 9.2)
Найти: Ix1, Iy1, Ix1y1;
Решение:
Если оси x и y ( центральные, то Sx=Sy=0 и формулы имеют вид:
13 EMBED Equation.3 1415
В общем виде формулы параллельного переноса имеют вид:
13 EMBED Equation.3 1415 n ( число составных частей
9.3 Поворот осей
Рис. 9.3 Поворот осей
Дано: Ix, Iy, Ixy, ( (рис. 9.3)
Найти:Ix1, Ix2, Ix1y1
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Исследуем на экстремум Ix1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - ось максимума
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 - ось минимума
13 EMBED Equation.3 1415 - сумма осевых моментов инерции при повороте осей инвариантна (=const)
13 EMBED Equation.3 1415
Оси, относительно которых центробежный момент равен 0, называются главными. Моменты инерции относительно этих осей принимают максимальные и минимальные значения:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - главные моменты инерции
Главные оси, u, v, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными.
13 EMBED Equation.3 1415
Главные центральные моменты сечения:
13 EMBED Equation.3 1415
Если сечение обладает симметрией, то оси симметрии и являются главными осями.
10. Изгиб. Расчеты на прочность и жесткость при изгибе
10.1 Чистый изгиб
Расчетные формулы для определения нормальных напряжений при изгибе обычно выводят из рассмотрения плоского чистого изгиба, который является наиболее простым случаем изгиба (рис.10.1).
Рис. 10.1 Плоский чистый изгиб
Чистый изгиб – такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты Мх, а Q=0.
Чистый изгиб характерен тем, что из шести компонентов внутренних усилий только изгибающий момент не равен 0, а поперечные и нормальные силы отсутствуют. Для тех участков стержня, где соблюдается это условие, изгибающий момент остается постоянным (М = const). Изгибающий момент численно равен сумме моментов всех внешних сил, действующих на отсеченную часть балки относительно оси Ох. Эпюра изгибающих моментов строится на сжатом волокне. При этом изгибающий момент в балках считается положительным, если сжаты верхние волокна, т. е. элемент изгибается выпуклостью вниз.
Рассмотрим три стороны задачи об изгибе:
1. Статическая сторона задачи:
Условия чистого изгиба могут возникать при различных внешних нагрузках. Характерный пример показан на рисунке (простейший двухопорный стержень, нагруженный силами Р) (рис. 10.2).
Чистый изгиб
Рис. 10.2 Напряжения при чистом изгибе
Рассмотрим условие равновесия, связывающее напряжения и внутренние усилия в поперечном сечении балки (рис. 10.3), опуская индекс x y момента, получим
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Рис. 10.3 Поперечное сечение балки
2. Геометрическая сторона задачи:
При изгибе под действием моментов М ось балки искривляется (установлено экспериментально).
Рис. 10.4 Сетка, предварительно нанесенная на балку
Наблюдая за деформацией сетки, предварительно нанесенной на балку (рис. 10.4), можно заметить, что продольные линии при чистом изгибе искривляются по дуге окружности, контуры поперечных сечений остаются плоскими кривыми, пересекая продольные линии под прямыми углами (рис. 10.5). Это говорит о том, что при чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими и, поворачиваясь, становятся нормальными к изогнутой оси балки.
Фактически это есть доказательство того, что все сечения однородной балки при чистом изгибе не искривляются, а лишь поворачиваются. Это утверждение, будучи точным, для чистого изгиба, в общем случае является приближенным и именуется гипотезой плоских сечений (Бернулли).
Рис. 10.5 Деформация участка балки при чистом изгибе
Поворот плоских поперечных сечений одного относительно другого является результатом образования деформаций при чистом изгибе.
В сжатой области (сверху) волокна укорачиваются, а в зоне растяжения удлиняются. Зона растяжения в сечении балки разделяются нейтральным слоем с радиусом кривизны
·. Длина нейтрального слоя при изгибе остается неизменной.
Рассмотрим два смежных сечения a и b, расположенных между собой на расстоянии dz (рис. 10.6).
Предположим, что левая часть неподвижна, а правая поворачивается относительно левого участка.
Рис. 10.6 Поворот правого участка относительно левого
При чистом изгибе найдем из рассмотрения деформации участка балки длиной dz относительное удлинение некоторого волокна, находящегося на расстоянии у от нейтрального слоя 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (5) -относительное удлинение участка
3. Физическая сторона задачи:
При чистом изгибе вводится предположение о ненадавливаемости продольных слоев (рис.10.7).
Рис. 10.7 Деформация участка балки длиной dz
( = 0 – касательное напряжение
((0 – нормальное напряжение
Так как ( = 0, то это значит, что волокна балки находятся в линейно напряженном состоянии
13 EMBED Equation.3 1415 (6) - применяем закон Гука
4. Объединяем три стороны задачи:
(5)((6) ( 13 EMBED Equation.3 1415 (7)
13 EMBED Equation.3 1415
(7)((2)( 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - осевой момент инерции, зависит от формы, размеров.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (8), где Е
·Ix - жесткость сечения при изгибе
Изменяется ( по высоте сечения по линейному закону:
13 EMBED Equation.3 1415
Напряжения при изгибе:
13 EMBED Equation.3 1415 (9) – нормальные напряжения при изгибе.
Рис. 10.8 Сечение не имеющее горизонтальной оси симметрии
Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - осевой момент сопротивления сечения
(9)((4)( 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - статический момент инерции
Значит, ось х – центральная. Таким образом, центр инерции проходит через центр тяжести сечения.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - центробежный момент инерции
13 EMBED Equation.3 1415
Через ось у проходит силовая плоскость, значит, оси x и у – главные центральные оси.
Мы получили условия существования прямого изгиба (когда деформирование бруса происходит в силовой плоскости).
Для сечений с двойной симметрией унижн=уверхн=уmax
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - условие прочности при изгибе.
Рис. 10.9 Эпюра нормальных напряжений и сечение с горизонтальной осью симметрии
Пример (Рис. 10.10)
Подобрать номер двутавра
Рис. 10.10 Расчетная схема
Дано:
P=40 кН
A=1 м
[(]=160 МПа
Решение:
Растяжение – сжатие:
13 EMBED Equation.3 1415
Кручение:
13 EMBED Equation.3 1415
Изгиб:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - условие «экономичности»
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Строим эпюры Q и M (рис. 10.11)(эпюра М строится на сжатых волокнах)
Рис. 10.11 Построение эпюр Q и M
Для этого определяем реакции RA,RB, используя уравнения равновесия
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Опасное сечение над опорой В
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Двутавр №22, 13 EMBED Equation.3 1415
Для №22 перегрузка
13 EMBED Equation.3 1415
Пример (И-1)
Для балки (Рис. 10.12) из расчета на прочность по нормальным напряжениям подобрать сечение в двух вариантах а) двутавровое б) полый прямоугольник. Проверить прочность балки по касательным напряжениям для двух вариантов. Построить эпюру касательных напряжений для прямоугольного сечения. Определить вертикальное перемещение сечения С. сравнить вес балок с прямоугольным и двутавровым сечением.
Рис. 10.12 Прямоугольное полое сечение и расчетная схема
Рис.10.13 Построение эпюр Q и M
Дано:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Y: 13 EMBED Equation.3 1415
(у правой) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(MD правой) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
На третьем участке определяем максимум для момента:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Находим величину момента сопротивления:
1)для двутавра
13 EMBED Equation.3 1415
подбираем номер двутавра №22 Wx.22=232·10-6
13 EMBED Equation.3 1415
Проверка: 13 EMBED Equation.3 1415% (недонапряжение)
Подбираем номер двутавра №20а Wx.20а=203·10-6
13 EMBED Equation.3 1415
Проверка: 13 EMBED Equation.3 1415% (перенапряжение)
Т.к. на практике допускаются перенапряжения до 5 %,
то выбираем № 22
2)для специального сечения
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 м
13 EMBED Equation.3 1415
Определим площадь этого сечения:
13 EMBED Equation.3 1415 м2
13 EMBED Equation.3 1415
Проверим прочность балки по касательным напряжениям для двух вариантов сечений:
1)для двутавра
13 EMBED Equation.3 1415 м
13 EMBED Equation.3 1415 м
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Па (меньше
·доп)
Двутавр удовлетворяет требованиям прочности
2)для прямоугольника
·1=0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Па
13 EMBED Equation.3 1415 Па
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Па
13 EMBED Equation.3 1415 Па
Определим вертикальное перемещение в сечении с:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Па
13 EMBED Equation.3 1415 Па
1-й участок
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2-й участок
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3-й участок
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4-й участок
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
5-й участок
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Определяем металлоемкость:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, балка двутаврового сечения обладает меньшей металлоемкостью, чем балка в виде прямоугольника(рис.10.14 и рис.10.15).
Рис. 10.14 Эпюра касательных напряжений для прямоугольного сечения
Рис. 10.15 Двутаврное сечение балки
10.2 Поперечный изгиб
Поперечный изгиб – это такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают не только изгибающие моменты Мх, но и поперечные силы Qу. Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения. В этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.
13 EMBED Equation.3 1415
Возникновение касательных напряжений
· сопровождается появлением угловых деформаций. Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения dF получает еще некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом (рис. 10.16).
Рис. 10.16 Искривление поперечных сечений
Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно, поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения не остаются плоскими.
Найдем закон изменения касательных напряжений (zy=( при поперечном изгибе.
Для этого сначала рассмотрим случаи поперечного изгиба
(рис. 10.17):
Рис. 10.17 Эпюры Q и M при поперечном изгибе
Вычислить касательные напряжения проще всего через парные им напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Выделим из бруска элемент длиной dz (рис. 10.18).
Нейтральный
слой
Рис. 10.18 Распределение касательных напряжений элемента бруска
При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на dM. Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтрального слоя, разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части. Равнодействующая нормальных сил 13 EMBED Equation.3 1415 в левом сечении в пределах заштрихованной площади (отсеченной части) равна
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Полагая, что справедливо распределение в виде:
13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
где через у обозначена текущая ордината площадки dF. Разность нормальных сил в правом и левом сечении должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента (рис. 10.19)
Рис. 10.19 Распределение касательных напряжений
·(у) на участке dz
Полученный интеграл представляет собой статистический момент относительно оси х части площади, расположенной выше продольного сечения. Обозначим этот статистический момент через 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Полученная формула носит название формулы Журавского. Она позволяет вычислить касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня.
13 EMBED Equation.3 1415
Полный расчет балки на прочность при поперечном изгибе:
13 EMBED Equation.3 1415
и 13 EMBED Equation.3 1415,
где Iх – осевой момент инерции сечения относительно центральной оси х;
b(y) – ширина живого сечения на уровне у;
Sхотсеч – статический момент площади, отсеченной уровнем у.
Пример
Найти закон изменения касательного напряжения ((у( на уровне у (рис. 10.20).
Рис. 10.20 Расчетная схема
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Закон изменения ( представляет собой параболу.
13 EMBED Equation.3 1415
F
11. Определение перемещений в рамах и балках
На основе определения перемещений созданы общие методы определения внутренних силовых факторов в статически определимых системах.
Наиболее просто перемещения можно найти при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии нагруженного стержня. Определению потенциальной энергии предшествует анализ внутренних силовых факторов, возникающих в стержне. Этот анализ проводят при помощи метода сечений с построением эпюр изгибающих и крутящих моментов, а в тех случаях, когда это необходимо, - также эпюр нормальных и поперечных сил.
Во всех случаях эпюры внутренних силовых факторов строят на осевой линии стержня. Силовой фактор откладывают по нормали к оси. Для пространственного стержня осевую линию вычерчивают обычно в перспективе, а эпюры изгибающих моментов изображают в соответствующих плоскостях изгиба.
11.1 Потенциальная энергия деформации системы
При прямом поперечном изгибе бруса его ось, искривляясь, остается в силовой плоскости. Ось изогнутого бруса, или, как условно называют, изогнутая ось, представляет собой геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса, ее называют также упругой линией.
В результате деформации бруса каждое из его поперечных сечений переходит в новое положение: центр тяжести получает вертикальное v и горизонтальное u линейные перемещения, а само сечение поворачивается на некоторый угол
· вокруг своей нейтральной оси (рис. 11.1).
Рис. 11.1 Деформация бруса
При малых деформациях горизонтальные перемещения ничтожно малы и их не учитывают, считая, что центры тяжести поперечных сечений получают лишь вертикальные перемещения, называемые обычно прогибами.
Определение линейных и угловых перемещений необходимо для расчетов на жесткость при изгибе и нахождения так называемых «лишних» неизвестных в статически неопределимых балках (рис.11.2).
Рис. 11.2Перемещение точки приложения силы Р по направлению ее действия
Если в системе бесконечно медленно прикладывается сила, эта нагрузка называется статической (т.е. ускорением, возникающим в балке можно пренебречь).
Рис. 11.3 Приращение силы
·Р
Работа силы P на перемещении (p
13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 11.3)
Найдем работу внутренних сил для плоского наряженного состояния.
Для плоского напряженного состояния мы имеем N, Q, M.
Рис. 11.4Работа системы сил, действующих на стержень
Найдем работу сил на элементарном отрезке:
1.Работа нормальных сил N (рис. 11.5)
Рис. 11.5 Работа нормальных сил N на элементарном отрезке
13 EMBED Equation.3 1415
- часть работы, которая приходится на отрезок dz.
13 EMBED Equation.3 1415,
где F – площадь поперечного сечения,
E – модуль упругости первого рода,
E·F – жесткость поперечного сечения при растяжении/сжатии.
2.Работа изгибающих моментов М (рис. 11.6)
Рис. 11.6 Работа изгибающих моментов на элементарном отрезке dz
13 EMBED Equation.3 1415,
Где 13 EMBED Equation.3 1415
- осевой момент инерции сечения,
E·Ix – жесткость сечения при изгибе.
3. Работа поперечных сил Q (рис. 11.7)
Рис. 11.7Работа поперечных сил на элементарном отрезке dz
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - закон Гука при сдвиге, где G–модуль упругости 2-го рода,
Gст = 8·104 МПа
Eст = 2·105 МПа
(ст = 0.25.0.3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Т.к. касательные напряжения распределены неравномерно, то вводится поправочный коэффициент (, зависящий от формы сечения, учитывающий, что 13 EMBED Equation.3 1415. ( очень близок к 1.
Для прокатных сечений (=1.1.1.2
11.2 Обобщенные силы и обобщенные перемещения
Внешние нагрузки весьма разнообразны и обычно представляют собой группу сил. Работу группы постоянных сил можно представить в виде произведения двух величин
13 EMBED Equation.3 1415,
в котором множитель Р зависит только от сил группы и называется обобщенной силой, а
·р зависит от перемещений и называется обобщенным перемещением.
Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, распределенные нагрузки), которая способна совершать работу на соответствующем обобщенном перемещении.
Так, рассматривая работу системы сил, действующих на стержень, получаем
13 EMBED Equation.3 1415,
где Р- обобщенная сила;
13 EMBED Equation.3 1415 - обобщенное перемещение.
Рис. 11.8 Полный прогиб
Обычно принято обозначать обобщенные перемещения (как линейные так и угловые) буквами
· и
· с соответствующими двойными индексами. Первый индекс указывает точку и направление перемещения, второй – силовой фактор, вызвавший это перемещение.
Например (рис. 11.9):
Рис. 11.9 Обозначение перемещений
Таким образом, обобщенная сила – это любая нагрузка, приложенная к стержневой системе (например, P или Q) (рис.11.10)
Рис. 11.10 Прогиб свободного конца балки, под действием приложенной нагрузки
Формула потенциальной энергии деформации всей системы
13 EMBED Equation.3 1415,
где U – потенциальная энергия деформаций системы,
А – работа внутренних сил,
Для прокатных сечений (=1.1.1.2
11.3 Теорема о взаимности работ и перемещений (теорема Бетти)
Рассмотрим балку, находящуюся под действием системы сил P1,P2 (рис.11.11).
Рис. 11.11 Балка, находящаяся под действием системы сил
Первое состояние системы. Сначала прикладываем силу P1 (рис.11.12).
Рис. 11.12 Балка, вначале находящаяся под действием силы13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Затем прикладываем силу P2 (рис.11.13):
Рис. 11.13 Балка, находящаяся под действием поочередно приложенных сил
13 EMBED Equation.3 1415, т.к. сила не меняется
Работа внешних сил:
13 EMBED Equation.3 1415
Затем к балке сначала приложим силу P2 (рис.11.14):
Рис. 11.14 Балка, вначале находящаяся под действием силы Р2
13 EMBED Equation.3 1415
Приложим к этому состоянию силу Р1 (рис.11.15):
Рис. 11.15 Балка, находящаяся под действием поочередно приложенных сил
13 EMBED Equation.3 1415
Т.к. конечные состояния в первом и втором случаях одинаковы, то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 - теорема о взаимности работ и перемещений.
Теорема: работа сил первого состояния на перемещении по их направлению от сил второго состояния равна работе сил второго состояния по их направлению от сил первого состояния.
Если Р1 = Р2 = 1, то 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415(рис.11.16)
Рис. 11.16 Балка, находящаяся под действием единичных сил Р1 и Р2
11.4 Интеграл Мора
Метод Мора представляет собой универсальный способ для определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах, состоящих из шарнирно или жестко соединенных прямых или кривых брусьев.
При отыскании линейного перемещения к системе, освобожденной от заданных нагрузок, в направлении искомого перемещения прикладывается безразмерная единичная сила.
Ограничиваясь рассмотрением плоских систем – балок и плоских рам и учитывая только энергию деформации, связанную с изгибающими моментами, получают следующую формулу для определения перемещений, правую часть которой называют интегралом Мора,
13 EMBED Equation.3 1415,
где
·кр – искомое перемещение (линейное или угловое).Первый индекс К указывает точку и направление, в которых определяется перемещение, а второй индекс – причину, вызывающую это перемещение. Индекс Р означает, что определяется перемещение от заданных нагрузок;
Мр и М1 – аналитические выражения изгибающих моментов соответственно от заданной нагрузки и единичной силы (момента).
Рассмотрим балку, находящуюся под действием произвольной системы сил (рис. 11.17).
Рис. 11.17 Балка, находящаяся под действием системы сил
Р1 = 1 – фиктивная сила, приложенная к балке (рис.11.18).
Рис. 11.18 Балка, находящаяся под действием фиктивной силы Р1
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - выражения для внутренних факторов от 13 EMBED Equation.3 1415 (черта вверху обозначает единичную силу);
Мр, Np, Qp, - выражения внутренних усилий от внешней нагрузки.
Порядок определения перемещения с помощью интеграла Мора:
1.В сечении, перемещение которого требуется найти, прикладывается единичная обобщенная сила.
2.Выписываются выражения для M, Q, N, 13 EMBED Equation.3 1415 для каждого участка.
3.Вычисляют интегралы Мора удерживая необходимые слагаемые.
При получении положительного результата направление перемещения совпадает с направлением единичной силы, в противном случае направление противоположно. В случае пространственной стержневой системы можно записать 6 интегралов Мора: N, Qx, Qy, Mx, My, Mкр..
Пример (рис.11.19)
Определить вертикальное перемещение.
Рис. 11.19 Расчетная схема
Решение:
Влиянием поперечной силы Q и нормальной силы N можно пренебречь.
13 EMBED Equation.3 1415
Строим вспомогательную систему. Это заданная балка без внешней нагрузки. В заданной точке к этой балке прикладывается единичное усилие (рис.11.20).
Рис. 11.20 Балка, находящаяся под действием единичной силы Р1
Если требуется определить линейное перемещение, то прикладывают единичную силу, а если угол поворота – единичный момент (рис.11.21)
Рис. 11.21 Приложение единичного момента для определения угла поворота
Записываем выражение момента:
13 EMBED Equation.3 1415 - от внешних сил
13 EMBED Equation.3 1415 - от единичной силы
13 EMBED Equation.3 1415
Составляем интеграл Мора и вычисляем его:
13 EMBED Equation.3 1415
11.5 Графо – аналитический метод взятия интегралов (способ Верещагина)
Основным недостатком определения перемещений при помощи интеграла Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций. Это особенно неудобно при определении перемещений в стержне, имеющем большое количество участков. Однако, если он состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, операцию интегрирования можно упростить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках оказываются линейными.
Этот способ применим только для прямолинейных участков, т.к. в этом случае единичная эпюра всегда носит единичный характер.
Пусть имеется эпюра внешних сил Мр (грузовая эпюра), обозначим ее площадь
·р (рис.11.22).
Рис. 11.22 Эпюра внешних сил
Для определения перемещения необходимо вместо вычислений интеграла Мора умножить площадь грузовой эпюры Мр на ординату, взятую на единичной эпюре под центром тяжести грузовой (нелинейной) эпюры.
Согласно интегралу Мора:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
где (р – площадь грузовой эпюры,
13 EMBED Equation.3 1415 - ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры.
Пример
Определить перемещение.
Рис. 11.23 Эпюры Мр и М1
Перемножение эпюр:
13 EMBED Equation.3 1415
11.6 Универсальная формула трапеции
Рис. 11.24 Эпюра внешних сил
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - если есть распределенная нагрузка и 13 EMBED Equation.3 1415,
a, b, c, d
· ординаты эпюры.
В формуле трапеции все ординаты берутся с учетом знака.
Пример (рис. 11.25)
Рис. 11.25 Эпюры Мр и М1
13 EMBED Equation.3 1415
Замечание: если в результате вычислений перемещение получилось со знаком «
·», то направление перемещения противоположно направлению единичного усилия.
Заключение
Сопротивление материалов является одной из основных общеобразовательных инженерных дисциплин и играет существенную роль в формировании инженера почти любой специальности. Особенно большое значение сопротивление материалов имеет для механических, машиностроительных и строительных инженерных специальностей.
В связи с повышением энерговооруженности и быстроходности, уменьшением удельной материалоемкости машин, насыщением их гидро- и пневмомеханизмами возникла насущная необходимость повышения качества расчетных методов прикладной механики при разработке конструкций машин.
Настоящее пособие содержит ясную физическую трактовку явлений и логические выводы, задачи в четкой постановке; изложение опирается на строгий, но, по возможности, простой математический аппарат и строится на основе сведений, полученных при изучении естественнонаучных дисциплин.
Пособие будет полезно не только инженерам – конструкторам и производственникам всех специальностей, встречающимися в практической деятельности с расчетами на прочность, но будет с успехом использовано студентами, аспирантами, преподавателями и научными работниками.
13PAGE 15
13PAGE 15
13PAGE 14615
b
h
l
M
(P
h
(P
M=Ph/2
M
q
Р
b
q
M
Р
(P1
(P2
(P3
(P4
часть А
часть В
(P2
(P3
часть А
(P
z
y
y
M
(N
z
y
y
(Qx
(Qx
(N
z
y
y
(Qx
(Qx
Mx
My
Mz
Z2
Z1
z
P
3P
I
II
P
3P
-2P
P
II
I
Z1
Z2
z4
z3
z2
(RA
l
q
(P1
(P2
2(l
2(l
2(l
(P2
z1
yнижняя
Нейтральный слой
0
162
N
108
162
90
M
(P
(P
(P
Mi
Q
Mi
M
q
Q
M
Mmax
Q
M
q=f(z)
dz
z
dz
Q
dQ
M
dM
+
Q
M
Краевой эффект
(P
z
Mкр = Qx = Qy = Mx = My = Mz=0
a b
b1
a b
b1
(
dz
(
13 EMBED Equation.3 1415
dx+(dx
dy+(dнy
dx
dy
Под нагрузкой
Ненагруженное состояние
(l – абсолютная деформация
l
(l
(P
(P
(
(
(zx
(yz
z
(
x
y
a1
13 EMBED Equation.3 1415
z
(P4
((N
(F
x
y
(P1
((T
(P2
(P3
(F – площадь элементарной площаки
((N, ((T – равнодействующие сил, приложенных к площадке dF
((T - действует по касательной в плоскости поперечного сечения.
((N || Оz
q
(
Q
(3 – перемещение под действием момента М
(2 – перемещение под действием распределенной нагрузки q
(1 – перемещение под действием силы P
M
q
( = (1 +(2 +(3
P
(
(max
(P
(
z1
(P2
2(l
2(l
2(l
(P2
(P1
q
l
F2
F2
F1
(RA
z2
z3
z4
A
B
C
D
90
18
N, кН
18
0
-36
(, Па
5,6(107
2,25(107
1,12(107
1,12(107
-2,25(107
1,687
1,687
(, м-4
1,35
1,012
z1
M
M
М
z1
D
M
Mкр(z) = M
(
dz
Mкр
d(
(
(i - радиус произвольной точки
ц.т.
(i
Mкр
r
i
(i
Mкр
(
D
d
D
D1
d2
D2
у
Mкр
b
h
(max
x
(((max
-0.5qa2
b
1.62
0.72
d
l1
l2
l3
d
D
M1
M3
M2
D
D
0
1.12
h
b
h
1
2
38,47 МПа
28,11 МПа
80 МПа
80 МПа
3
4
70,4 МПа
dF
y
x
ymax
ymax
xmax
xmax
xmax
xmax
ц.т.
yниз
yверх
(max
x
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
y
h
b
y
x
h
b
y
x
D
y
x
r = D/2
y
x
r = D/2
xC
yC
x1
y1
x
x
y
b
y
a
y
y
x
x
y1
x1
x1
(
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
dy
dx
a1
-0.5qa2
-qa
0.5qa
M
-2qa
Q
M
z4
z3
z2
z1
A
(RB
B
(RA
(RA
q
(P
a
a
a
a
- М
- М
+ М
+ М
Сжатые волокна
+ М
+ М
- М
- М
Сжатые волокна
-(Q
-(Q
+(Q
+(Q
-(Q
-(Q
+(Q
+(Q
По часовой стрелке +
Против часовой стрелки -
(XA
(YA
A
MA
A
(XA
(XA
(YA
(YA
(RA
(RA
1.5(l
1.5(l
l
0
1.5M
z3
z2
z1
III
II
I
M=m(l
MA
-4M
-2M
-1.5M
-M
z4
z3
z2
z1
IV
III
II
I
3M
2M
MA
0.5M
M
M
x
M
z
y
О
13 EMBED Equation.3 1415
dy+(dy
P
q
M
yверхняя
(max
(max
a
a
a
2(P
A
B
(P
(RA = 0.5(P
(RB = 2.5(P
z1
z2
z3
Q
RA
2(P
RB
M
l
q
(P1
C
B
M
2(l
l
l
l
A
(YA
(XA
(YB
z1
z2
z3
z4
MA
D
5(a
6(a
4(a
3(a
Q, кН
29,17
24,17
19,17
9,16
-0,83
0,83
Ми, кН(м
-35
-21,67
-14,17
-3,33
0,83
0
0
0
0
0,333
0
М1
Mmax = 0,86 кН(м
0,917
0
0,166
0,5
0,666
y
(max
(max
4
1
4
1
3
3
2
2
2,3
2,4
4,2 МПа
y
(max
(max = 27.75Па
(max
(RA
(RB
A
B
(P
z
dz
Q
M
M
M+dM
y
Q
Q
dz
(
(
((y)
dz
h/2
h/2
y
Fотс
((y)
Q
(max
(P
(P
y
x
A = 1/2(P((P
(P
P
N
N
M
M
dz
dz
N
N
dz
d(
Нейтральный слой
M
M
dz
Нейтральный слой
Q
Q
((dz
yA
(P
(A
A
xA
(P2
A
(P1
(21
(12
(12
q
(P1
M
P общая
(1P
(P1
(P2
(2P
(P
1
2
(11
(P1
(21
1
2
(12
(P1
(22
1
2
(P2
(22
1
2
(P2
(11
(P1
(21
1
2
(P2
(P1 = 1
(21
1
2
(P2 = 1
(12
1
2
q
(P1
M
(P1 = 1
(P1
A
l
l
z2
z1
(P =1
A
l
z2
M
l
z
dz
Ц.т.
(P
MP
M1
yc
Mc
(
y
MP
P(l
l(P
P(l
M1
2/3(l
l/2
l
l
MP
b
-f
l
+f
a
d
c
Mi
MP
b = -P(l
l
d = 0
c = -l
M1
a = -2(P(l
Эмблема колледжа новая 2014Рисунок 1Эмблема колледжа новая 2014Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativedEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeIEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native0Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native