Проект по математике Принцип Дирихле

Городская научно-практическая конференция школьников
«День науки»
Принцип Дирихле
секция Физико-математические дисциплины
тип работы Практико-ориентированный проект
Автор работы Иванников Даниил,
6 класс МБОУ «СОШ №6»
Руководитель Лобова Ольга Дмитриевна,
учитель математики МБОУ «СОШ №6»
Курчатов, 2016 г.
Аннотация
Проект - учебный, практического применения. Проект направлен на развитие логического, творческого и нестандартного мышления учеников, воспитание их эстетического восприятия математики, развитие сообразительности и смекалки, что станет хорошим подспорьем в жизни ребят вне зависимости от того, какой жизненный путь они изберут. Приведены исторические сведения, формулировки принципа Дирихле и их доказательства. В работе показана теоретическая значимость принципа Дирихле как основного метода формирования теории чисел. Подтверждена практическая значимость неконструктивного доказательства, которое лежит в основе этого принципа. Задачи классифицированы по содержанию и по формулировкам. 
Содержание
I. Введение
1.Актуальность темы
2. Гипотеза
3. Цель
4.Задачи
II. Описание работы
1. Исторические сведения
2.Теоретическая часть
3.Задачи:
1 тип «Сколько нужно взять?..»
2 тип «Докажите, что найдутся...»
3 тип. Обобщенный принцип Дирихле
Геометрические задачи
III. Заключение
IV. Литература
VI. Приложение
Введение
1.Способность четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясноизлагать свои мысли в настоящее время необходимы каждому. Совершенствовать эти два дара необходимо всю жизнь. Слова «Математика ум в порядок приводит» принадлежат великому М. В. Ломоносову. Что он имел в виду? Дело в том, что наше мышление, перерабатывая ощущения, восприятия и представления о предметах и явлениях, как бы предвосхищает будущее, указывает нам, как поступить, что сделать в создавшейся ситуации. Поэтому от того, как «работает» наше мышление, зависят наши поступки. Одним из наиболее важных качеств мышления является его логичность, то есть способность делать из правильных посылок правильные выводы, находить правильные следствия из имеющихся фактов. Поскольку сейчас объем необходимых для человека знаний резко и быстро возрастает, поэтому необходимо каждому научиться самостоятельно пополнять свои знания.
2.Роль олимпиад с каждым годом становится все более значимой. И не случайно многие вузы стали проводить свои олимпиады для будущих абитуриентов, преследуя цель - привлечь школьников в данный вуз. Победители, занявшие призовые места, имеют преимущества при зачислении абитуриентов в вуз. Решая олимпиадные задания, я заметил, что для решения некоторой группы задач используется определённый способ, называемый принципом Дирихле, я решил изучить его подробнее.
Актуальность работы. Принцип Дирихле не рассматривается в учебниках математики, поэтому знакомство с новыми методами расширяет для обучающихся круг решаемых задач, учит мыслить, развивает сообразительность.
Гипотеза. Применение соответствующих формулировок принципа Дирихле – наиболее рациональный подход при решении задач олимпиадного уровня.
Объект исследования - принцип Дирихле
Предмет исследования - различные формулировки принципа Дирихле и их применение при решении задач.
Цель работы - изучить, один из основных методов математики, принцип Дирихле.
Задачи работы:
- изучить литературу по данной теме;
- научиться решать задачи на принцип Дирихле;
- выступить перед обучающимися 6-х классов для ознакомления их с данным принципом
Описание работы
Исторические сведения
Дирихле Петер Густав Лежен немецкий математик. Родился 13.02.1805г в вестфальском городе Дюрене в семье почтмейстера. В 12 лет Дирихле начал учиться в гимназии в Бонне, В 1829 году он перебирается в Берлин, где проработал непрерывно 26 лет, сначала как доцент, затем с 1831 года как экстраординарный, а с 1839 года как ординарный профессор Берлинского университета. В 1855 году Дирихле становится в качестве преемника Гаусса профессором высшей математики в Гёттингенском университете.
Петер Густав Лежён–Дирихле внёс существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел. Значительные работы Дирихле посвящены механике и математической физике.
Его научное наследие и его лекции значительно продвинули вперед развитие математических знаний в Германии.
5 мая 1859 года, он умер в Гёттингене от сердечного приступа, Мозг Дирихле хранится в отделе физиологии в Гёттингенском университете, наряду с мозгом Гаусса.
Теоретическая часть
Принцип Дирихле утверждает, что если множество из M элементов разбито на N непересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где M > N, то по крайней мере в одной части будет более одного элемента.
В комбинаторике при́нцип Дирихле́ («принцип ящиков») - утверждение, устанавливающее связь между объектами («зайцами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий. В английском и некоторых других языках утверждение известно как «принцип голубей и ящиков», когда объектами являются голуби, а контейнерами - ящики.
Наиболее часто принцип Дирихле формулируется в одной из следующих форм:
Формулировка 1.
Если в n клетках сидит n+1 зайцев или больше зайцев, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два зайца .
(«Если в n клетках сидят не более n-1 "зайцев", то есть пустая клетка»)
Например. Если в 4(или n) клетках сидит 5 (или n+1) зайцев, то хотя бы в одной клетке находится более одного зайца (2 зайца).


-3810-190500
«Если в n клетках сидят не более (n-1) "голубей", то есть пустая "клетка"».
Формулировка 2.
Предположим, m зайцев рассажены в n клетках. Тогда если m > n, то хотя бы в одной клетке содержится не менее m:n зайцев, а так же хотя бы в одной другой клетке содержится не более m:n зайцев.
Обобщенный принцип Дирихле: “Если в n клеток посадить kn+1 зайцев, то найдется хотя бы одна клетка, в которой находятся не менее чем k+1 заяц”.
("Если в n клетках сидят не более nk-1 "зайцев", то в какой-то из клеток сидят не более k-1 "зайцев ".)
Докажем обобщенный принцип Дирихле. Доказательство от противного. Предположим, что не найдется такой клетки. Значит, в каждой клетке находится не более чем k зайцев. Тогда в n клетках не более чем kn зайцев. Но по условию у нас было kn+1 зайцев. Получилось противоречие, значит наше предположение неверно. Следовательно, найдется хотя бы одна клетка, в которой находятся не менее чем k+1 заяц.
Порядок применения принципа Дирихле
1.Определить, что в задаче является "клетками", а что-"зайцами".
2.Применить соответствующую формулировку принципа Дирихле:
Если в n клетках сидят не более (n-1) "зайцев", то есть пустая "клетка".
Если в n клетках сидят (n+1) «зайцев", то есть клетка, в которой не менее 2-х "зайцев".
Если в n клетках сидят не более (nk-1) "зайцев", то в какой-то из клеток сидят не более (k-1) "зайцев".
Если в n клетках сидят не менее (nk+1) "зайцев", то в какой-то из клеток сидят не менее k+1 "зайцев".
Рассмотрим примеры задач, решаемых с помощью принципа Дирихле.
Задачи можно разбить на типы по постановке вопроса
1 тип «Сколько нужно взять?..»
Задача. В коробке лежат карандаши: 7 красных и 5 синих. В темноте берут карандаши. Сколько карандашей надо взять, чтобы среди них было не менее 2 красных и не менее 3 синих?
Решение. Если предположить, что сначала будут попадаться только красные карандаши, то для того, чтобы было 3 синих, нужно взять 7(красные)+3(синие)=10. Это «худший» вариант развития событий, т.к. красных карандашей больше.
2тип «Докажите, что найдутся...»
Задача 1. Дано 11 различных целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых делится на 10.
Решение. При делении чисел на 10 могут получиться остатки: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, всего 10, а чисел 11, значит по крайней мере, два числа из 11 дают одинаковый остаток при делении на10. Пусть это будут числа
А = 10а + с и В = 10b + с. Тогда их разность делится на 10:
А - В =10a+c-10b-c=10a-10b= =10(а -b). Так как один из множителей делится на 10, то и всё произведение разделится на 10.
3 тип. Обобщенный принцип Дирихле
Задача. На олимпиаде 10 школьников решили в сумме 35 задач, причем среди них были решившие ровно 1 задачу, ровно 2 задачи и ровно 3. Доказать, что кто-то из них решил не менее пяти задач.
Решение. Т.к. трое школьников в сумме решили 6 задач (1+2+3=6), то останется еще 7 школьников, решивших в сумме 29 задач. Задачи – это «зайцы», «клетки» -ученики 29:7=4(ост1), 29=7 * 4 + 1.В каждую «клетку» (ученику) мы можем посадить 4 «зайца» (задачи) и ещё одна останется. Значит её решил один из учеников, т.е. один ученик решил 5 задач.
Геометрическая задача
Задача. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено 5 точек. Доказать, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5.
left-28575000Решение. 
Средние линии правильного треугольника со стороной 1 разбивают его на четыре правильных треугольничка со стороной 0,5. Назовём их "клетками", а точки будем считать "зайцами". По принципу Дирихле из пяти точек хотя бы две окажутся в одном из четырёх треугольничков. Расстояние между этими точками меньше 0,5, поскольку точки не лежат в вершинах треугольничков.
Задание 20. ЕГЭ 2016 (базовый уровень). В корзине лежат 30 грибов – рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?
Решение
Так как среди любых 12 грибов хотя бы один – рыжик, то груздей не больше 11. Так как среди любых 20 грибов хотя бы один – груздь, то рыжиков не больше 19. А так как всего в корзине 30 грибов, то груздей ровно 11, а рыжиков ровно
Заключение
Изучив литературу по теме принцип Дирихле, проанализировав виды и типы задач, которые решаются с использованием данного принципа, я сделал следующие выводы:
- Принцип Дирихле важен и полезен, этот принцип является мощным логическим методом, с помощью которого решаются не только арифметические задачи, но и задачи с геометрическим содержанием, комбинаторные задачи. Его можно применять в повседневной жизни, что развивает логическое мышление.
- Многие олимпиадные задачи решаются на основе этого специального метода, поэтому его целесообразно изучать самостоятельно или во внеурочной деятельности.
- Моё выступление перед одноклассниками показало, что данный метод решения задач понятен и интересен обучающимся 6-х классов.
Гипотеза, высказанная в начале работы, полностью подтвердилась. Действительно, принципа Дирихле – наиболее рациональный подход при решении многих задач, особенно олимпиадного уровня. Наиболее применяема формулировка: "Если в n клетках сидят n + 1 "кроликов", то есть клетка, в которой не менее 2-х "кроликов».
Я считаю, что проделанная мною работа, дала положительные результаты. Элементы моей работы можно использовать для ознакомления с принципом Дирихле среди одноклассников, при подготовке к олимпиадам, на занятиях математического кружка, к подготовке к экзаменам. В процессе исследовательской деятельности мною были подобраны задачи, решаемые с помощью принципа Дирихле.
По итогам проекта мною составлен сборник задач для самостоятельной работы всех тех, кто заинтересовался этим методом решения задач.
Для тех, кто заинтересовался данной темой рекомендую литературу и Интернет-ресурсы, которые вы видите на слайде.
ЛИТЕРАТУРА.
1.Андреев А.А., Горелов Г.Н., Люлев А.И., Савин А.И. "Принцип Дирихле", Самара "Пифагор", 1997.
2.Д. X. Муштари. Подготовка к математическим олимпиадам: задачи, темы, методы. Казанский ун-т, 1990.
3.В. Г. Болтянский. Шесть зайцев в пяти клетках. // Ж-л «КВАНТ», 1977,No2.
4.Ю. Ф. Фоминых. Принцип Дирихле. // Ж-л «Математика в школе», 1996, No3.
5.http://stud-baza.ru/printsip-dirihle-referat-matematika http://math4school.ru/princip_Dirihle.html http://tsnttum.narod.ru/index/0-26 http://ermine.narod.ru/MATH/STAT/DIRIHLET/sect1.htm
Городская научно-практическая конференция школьников
«День науки»
Принцип Дирихле
Сборник задач
(приложение к проекту)
Составитель Иванников Даниил,
6 класс МБОУ «СОШ №6»
Курчатов, 2016 г.
Глава I
Задачи с решениями.
Задача1. В коробке лежат шарики двух разных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно взять из коробки, чтобы среди них обязательно оказались два шарика одного цвета?
241998526289000Решение: здесь роль «зайцев» играют шарики (М=?), роль «клеток»- цвета (N=2). Предположим, вышел худший случай: мы достали 2шарика разных цветов. Тогда если взять третий шарик, какого цвета он ни был, сделает пару любому цвету из взятых ранее. Значит шариков должно быть больше двух, т.е. М=3
Ответ: 3
Задача 2. Маугли положил 3 различных типа фруктов в мешок, всего в мешке 30 штук этих фруктов. Чтобы наверняка вынуть из мешка апельсин, (не заглядывая в мешок), Маугли должен вынуть из него 19 фруктов.
Чтобы наверняка вынуть из мешка кокос, Маугли должен вынуть 24 фрукта.
Сколько фруктов должен вынуть из мешка Маугли (не заглядывая в него), чтобы быть уверенным, что он вынет по крайне мере один фрукт каждого вида?
Решение: Если, чтобы наверняка вынуть из мешка апельсин, надо вытащить 19 фруктов (и 19-ый -апельсин), то в мешке (30-18=12)12 апельсинов. По такому же правилу можно вычислить, что в мешке 7 кокосов. (30-23=7). А других фруктов 30-12-7=11. Чтобы вынуть по одному фрукту каждого вида, надо вытащить 12+11+1=24 фрукта. И даже если не очень повезет, и мы вынем сначала 12 апельсинов, потом 11 "других" фруктов, то все равно будет хотя бы 1 кокос!

Ответ: 24
Задача 3.В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы 2 ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы?
Решение.

Обозначим 35 учеников за «зайцев», а буквы за «клетки». В русском алфавите 33 буквы. Фамилии не могут начинаться на Ъ и Ь. Так как 35 больше 31, то, по принципу Дирихле, найдете 2 ученика, у которых фамилии начинаются с одной буквы.

Задача 4. В коллекции имеется 25 монет по 1, 2, 5,10рублей. Имеется ли среди них 7 монет одинакового достоинства?
Решение:

483298555816500Имеем 4 «клетки» (монет разного достоинства), 25:4=6(ост.1), 25=4*6+1. В каждую «клетку» мы можем «посадить» 6 «зайцев» (монет одного достоинства) и еще останется одна монета. Значит, в какую-то «клетку» мы посадим еще одного «зайца» (монету). Таким образом, среди 25 монет, по крайней мере, имеется 7 монет одинакового достоинства.
Ответ: 7
Задача 5. В ковре размером 3х3 метра моль проела 8 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1х1 метр, не содержащий внутри себя дырок.
Решение:left000 из ковра размером 3х3 метра можно получить 9 ковриков размером 1х1 метр, так как ковриков- «клеток» 9, а дырок-«кроликов» 8, то найдется хотя бы одна пустая «клетка», то есть найдется коврик без дырок.
Задача 6.
1270317500 На площадке 20 собак восьми разных пород. Докажите, что среди них есть не менее трех собак одной породы.
left28511500Решение: Имеем 8 «клеток» (разные породы собак), 20:8=2(ост. 4), 20=8*2+4. В каждую «клетку» мы можем «посадить» 2 «зайцев» (собак) и еще останется 3 собаки. Значит, в какую-то «клетку» мы посадим еще одного «зайца» (собаку). Таким образом , среди 20собак, по крайней мере, имеется 3 собаки одной породы.

Глава II
Подумай и реши.
1. В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года.
  
2. На планете Земля океан занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки.
3. На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 самостоятельных работы. За каждую самостоятельную ставилась одна из оценок: 2,3,4 или 5. Верно ли, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на самостоятельных?

4. В магазин привезли 25 ящиков с грушами трех сортов, причем в каждом ящике лежат груши какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с грушами одного сорта?
5. В некотором городе живет более 5 миллионов человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое число волос на голове, если известно, что у любого человека на голове менее миллиона волос.
6. Докажите, что в любой футбольной команде есть два игрока, которые родились в один и тот же день недели.
7. Принесли 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого чемодана. Сколько проб придется сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому чемодану свой ключ?
8. В коробке лежат карандаши: 7 красных и 5 зеленых. В темноте берут карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не меньше 2-х красных и не меньше 3-х зеленых?
9.В ящике лежат цветные карандаши: 10 красных, 8 синих и 4 желтых. В темноте берем из ящика карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них заведомо было:
а) не менее 4-х карандашей одного цвета?
б) не менее 6-ти карандашей одного цвета?
в) хотя бы 1 карандаш каждого цвета?
г) не менее 6-ти синих карандашей?
10. В соревнованиях по вольной борьбе участвовало 12 человек. Каждый участник должен был встретиться с каждым из остальных по одному разу. Докажите, что в любой момент соревнования имеются два участника, проведшие одинаковое число схваток.
11. 100 человек сидят за круглым столом, причем более половины из них — мужчины. Докажите, что какие-то двое мужчин сидят друг напротив друга. 
12. Докажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5.
13. Докажите, что из любых семи натуральных чисел можно выбрать три числа, сумма которых делится на 3. 
14. Докажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5.
15.В шкафу лежат вперемежку 5 пар светлых и 5 пар темных ботинок одинакового размера и фасона. Какое наименьшее количество ботинок надо взять наугад из шкафа, чтобы среди них была хоть одна пара (левый и правый) одного цвета?
16. В классе 30 человек. В диктанте Витя сделал 12 ошибок, а каждый остальной не больше. Докажите, что по крайней мере трое сделали одинаковое количество (может быть ноль) ошибок.
17. При каком наименьшем количестве учеников школы среди них обязательно найдутся двое, у которых день и месяц рождения совпадает?
18. В квадрате со стороной 5 см размещено 126 точек. Докажите, что среди них существуют 6 точек, которые лежат в круге радиуса 1 м.
19.В классе 25 человек. 20 занимаются английским, 17 плаванием, 14 посещают математический кружок. Докажите, что найдется хотя бы один человек, посещающий все сразу.
20.В квадрат со стороной 1 м бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно покрыть квадратом со стороной 20 см.
21. На дискотеку в студенческое общежитие, в котором 42 комнаты. Пришло 36 гостей. Докажите, что найдется комната, в которую не пришел ни один гость.
22.В мешке лежат 10 черных и 10 белых шаров. Они тщательно перемешены и неразлечимы на ощупь. Какое наименьшеее количество шаров нужно вынуть из мешка, чтобы среди них наверняка оказались два шара
1) одного цвета, 2) разного цвета, 3) белого цвета.
23. В классе 27 учеников. Найдется ли месяц, в котором отмечают свои дни рождения не меньше, чем три ученика этого класса?