Факультативное занятие по математике для 5-8 классов Принцип Дирихле
«Принцип Дирихле на факультативных занятиях по математике в школе»
В 5-8 КЛАССАХ
проект разработала
учитель математики
в МБОУ ООШ № 2
х.Дукмасов
Башко Ирина Николаевна
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
§1. Принцип Дирихле и его формулировки. 4
§2. Применение принципа Дирихле при решении 10
задач на размещение.
§3. Применение принципа Дирихле при 12
решения геометрических задач.
§4. Применение принципа Дирихле при решении 16
задач раскраски.
§5. Применение принципа Дирихле при решении 20
задач делимости.
§6. Разработки факультативных занятий по теме 25
«Принцип Дирихле» для учащихся 6, 7, 8, 9 классов
средней школы.
§7. Разработка факультативного занятия по теме 45
«Принцип Дирихле» на интерактивной доске.
Список использованной литературы 51
ВВЕДЕНИЕ
В математике большое значение имеют так называемые доказательства существования. Самый простой способ доказать существование объекта с заданными свойствами - это указать его и, разумеется, убедиться, что он действительно обладает нужными свойствами. Например, чтобы доказать, что уравнение имеет решение достаточно привести какое его решение. Доказательства существования такого рода называют прямыми или конструктивными. Но бывают и косвенные доказательства существования, когда обоснование факта, что искомый объект существует, происходит без прямого указания на один объект. Одним из способов косвенно доказать существование является логический прием назван принципом Дирихле - по имени Петера Густава Дирихле, немецкого математика. Принцип устанавливает связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определенных условий. В простой и несерйозниший форме он выглядит так: «Нельзя посадить семь кроликов в три клетки так, чтобы в каждой клетке находились не более двух кроликов». Действительно, если в каждой клетке не более двух зайцев, то всего зайцев не более 2 ∙ 3 = 6, что не удовлетворяет условию. Несмотря на совершенную очевидность этого принципа, его употребление весьма эффективным методом решения задач, дает во многих случаях наиболее простое и изящное решение.
В работе розглягуто принцип Дирихле в нескольких формах и примеры его применения. Разработан ряд уроков для внеклассной работы с учащимися 6-9 классов на тему «Принцип Дирихле», также предлагается разработка урока с использованием интерактивной доски.
§1. Принцип Дирихле и его формулировки.
Принцип Дирихле, на первый взгляд, очевиден и прост, но его применение в математике очень широкое. Принцип назван в честь немецкого математика Дирихле (1805-1859), который успешно применял его к доказательству арифметических утверждений. В основе принципа Дирихле лежит понятие множества. Этот принцип утверждает, что если множество из N элементов разбита на n подмножеств, не имеют общих элементов, где N> n, то, по крайней мере, в одной подмножестве будет более чем один элемент, или если есть n ящиков, в которых находится в общей сложности не менее n + 1 предмета, то непременно есть ящик, в котором лежат, по крайней мере, 2 предмета. Задачи на принцип Дирихле воспитывают у учащихся умение устанавливать соответствие между элементами множеств. Изучать принцип Дирихле можно уже с 6-го класса, так как он не требует глубоких математических знаний.
В общей формулировке принцип Дирихле выглядит так:
Если n кроликов сидят в k клетках, то найдется клетка, в которой не менее n / k кроликов.
Не надо бояться дробного числа кроликов: например, если получается, что в ящике не менее 7/3 кроликов, значит, их больше двух.
Доказательство принципа Дирихле в этой формулировке очень простое, но заслуживает внимания. Предположим, что в каждой клетке число кроликов менее n / k. Тогда в к клетках кроликов менее k ∙ n / k = n. Получили противоречие.
Принцип Дирихле известный также как принцип голубей и ящиков, когда объектами являются голуби, а клетками - ящики. Это название распространена в английском и некоторых других языках.
Зная принцип Дирихле, можно догадаться, в каких случаях его применять. Например, если каждому элементу множества А соответствует ровно один элемент множества В, то элементы А можно назвать кроликами, а элементы B - клетками. Проиллюстрируем применение принципа Дирихле к решению различных задач.
Задача 1. В мешке лежат шарики двух разных цветов ¬¬- черного и белого. Какое наименьшее количество шариков нужно вынуть из мешка, чтобы среди них точно два шарика оказались одного цвета?
Решение.
Понятно, что взяв три шарика, мы обнаружим, что две из них одного цвета. В данном случае роль кроликов играют шарики, а роль клеток - черный и белый цвета.
Конечно, задача 1 очевидна и легко может быть решена без помощи принципа Дирихле. Далее мы увидим, что некоторые задачи не так очевидны при непосредственном решении, но в то же время достаточно просто решаются с помощью принципа Дирихле. Простота решения в значительной степени зависит от того, насколько удачно будут выбраны «ящики» и «предметы» (или «клетки» и «кролики») и установлено соответствие между этими множествами.
Понятие множества играет важную роль во всех разделах современной математики. Отметим, что множества могут быть различного характера. Можно говорить, например, о множестве учеников определенной школы, о множестве читателей книги, о множестве натуральных чисел, которые делятся нацело на 3, о множестве корней данного уравнения и т. Д.
Пусть есть две конечные множества А = {а1, а2, ..., аm} и В = {b1, b2, ..., bn}. Если каждому элементу а из множества А поставлен в соответствие некоторый элемент b множества В, тогда говорят, что задано отображение множества А в множество В, при этом элемент b называют образом элемента а.
Если А - множество кроликов, а В - множество клеток, в которых надо разместить кроликов, то, определив клетку для каждого кролика, получим отображение множества А в множество В. В терминах теории множеств принцип Дирихле можно сформулировать так:
Пусть m> n и А = {а1, а2, ..., аm}, В = {b1, b2, ..., bn}, тогда при любом отображении множества А в (на) множество В найдутся два элемента множества А, которые имеют один и тот же образ .
Принцип Дирихле рассматривают в школе на факультативных занятиях отдельной темой. Его изучение предполагает самостоятельную работу учащихся. Несмотря на полную очевидность принципа Дирихле, его применение является очень эффективным методом решения задач, который дает в большинстве случаев проще и изящное решение. Но во всех этих задачах иногда трудно догадаться, что считать «кроликом», а что «клеткой», и как использовать наличие двух «кроликов», которые попали в другой клетки. С помощью принципа Дирихле конечно доказывают существование некоторого нового объекта, не указывая, вообще говоря, алгоритмы его нахождения или построения. Это дает неконструктивное доказательство - мы не можем сказать, в какой именно клетке сидят два кролика, но знаем только, что такая клетка есть. Поэтому на первых этапах изучения принципа нужно четко розмежиты, что считать «кроликом», что - «клеткой».
Задача 2. Вдоль круглого стола равномерно размещены таблички с фамилиями дипломатов, участвующих в переговорах. После начала переговоров оказалось, что каждый из дипломатов не сидит напротив своей таблички. Можно вернуть стол так, чтобы, по крайней мере, двое дипломатов сидели напротив своих табличек?
Решение.
Заметим, что среди всех возможных n положений стола всегда можно выбрать одно, когда какой дипломат сидит напротив своей таблички. Тогда при условии, что при таком положении стола такого дипломата нет, согласно принципу Дирихле, можно вернуть стол так, чтобы, по крайней мере, двое дипломатов сидели напротив своих табличек. Дипломаты играют роль «кроликов», «клетки» - положение стола.
Условие о том, что сначала ни один из дипломатов не находятся круг своей таблички несущественная. На самом деле первоначальное положение также «клеткой», но эта клетка при условии сознательно окажется пустой. Так что можно считать, что всего «клеток» на одну меньше, чем «кроликов».
Задача 3. В городе более 8000 тысяч жителей. Ученые считают, что у каждого человека менее 200000 волос на голове. Докажите, что существует, по крайней мере, 41 житель с одинаковым количеством волос на голове.
Решение.
Поскольку 40 ∙ 200000 = 8000000 (количество волос у человека колеблется от 0 до 199 999, всего 200 000 вариантов), то, согласно принципу Дирихле найдется, по крайней мере, 41 житель, имеющий одинаковое количество волос на голове. Здесь роль «кроликов» играют жители, а роль «клеток» - все возможные варианты количества волос на голове.
Докажем принцип Дирихле в обобщенной форме.
Теорема. Если k ∙ n + 1 предмет разложен в k ящиков, то, по крайней мере, в одном из ящиков лежит не менее n + 1 предмет.
Доказательство.
Доказательство проведем методом математической индукции (ниже рассмотрим доказательство теоремы другим образом).
1. Докажем верность утверждения при k = 1. В этом случае всего будет n ∙ 1 + 1 = n + 1 "предметов". Если их разложить в k = 1 «ящиков», то в этом ящике будет n + 1 «предмет».
2. Предположим теперь, что при размещении p ∙ n + 1 "предметов" в k = p «ящиках» найдется ящик, в котором не менее n + 1 «предмет».
3. Докажем верность утверждения при k = p + 1. В этом случае число «предметов» равна (p + 1) • n + 1 = (n • p + 1) + n, а число «ящиков» равна p + 1.
Если в одном из этих «ящиков» больше, чем n "предметов", то есть не меньше, чем n + 1 предмет, то утверждение доказано. Если в этом «ящике» не более, чем n "предметов", то в последних p «ящиках» находятся не менее n ∙ p + 1 «предмет». А тогда, по предположению 2, найдется «ящик», в котором не менее n + 1 «предмет».
Итак, в обоих случаях подтвердилась истинность утверждения для k = p + 1. Это означает, что утверждение верно для любого натурального значения k. Принцип Дирихле доказана.
Задача 4. На пяти полочкам книжного шкафа 161 книга, причем на одной из полок - 3 книги. Докажите, что найдется полочка, на которой не менее 40 книг.
Решение.
Предположим, что на каждой из остальных четырех полочек не более 39 книг. Тогда на всех пяти полках не более 3 + 4 ∙ 39 = 160 книг, противоречит условию. Итак, на одной из полочек не менее 40 книг. В этом случае книги - «предметы», полочки - «ящики».
Приведем некоторые формулировки принципа Дирихле, которые применяются при решении задач.
1. Если в n клетках сидят не более n-1 кроликов, то есть пустая клетка.
Утверждение доказывается методом «от противного»: если пустой клетки нет, то в каждой клетке сидит хотя бы 1 кролик. Тогда кроликов не менее клеток. Значит, пустая клетка есть.
2. Если в n клетках сидят ровно n кроликов, то либо в каждой клетке сидит ровно один кролик, или есть и пустая клетка, и клетка, в которой не менее двух кроликов.
Действительно, если не в каждой клетке сидит ровно 1 кролик, то либо (а) есть пустая клетка, или (б) является клетка, в которой не менее 2 кроликов. В случае (а) у нас n кроликов оказываются рассаженных в n-1 клетку, поэтому, по принципу Дирихле, есть и клетка, в которой не менее 2 кроликов. В случае (б) у нас не более n-2 кроликов оставшиеся оказываются рассаженных в n-1 клетку, следовательно, по п.1, есть и пустая клетка.
3. Если в n клетках сидят не менее n ∙ (k-1) +1 кроликов, то вкакой-то из клеток сидят не менее k кроликов.
Действительно, если в каждой клетке сидит не более k-1 кролика, то во всех клетках сидит не более n ∙ (k-1) кроликов, а это не удовлетворяет условию утверждения.
4. Если в n клетках сидят не более n ∙ (k + 1) -1 кроликов, то вкакой-то из клеток сидят не более k кроликов.
Действительно, если в каждой клетке сидит не менее k + 1 кролика, то во всех клетках сидит не меньше n ∙ (k + 1) кроликов, а это не удовлетворяет условию утверждения.
§2. Применение принципа Дирихле при решении задач на размещение.
Принцип Дирихле широко используется в различных разделах математики. Поэтому его можно рассматривать в контексте соответствующей темы. В нашем случае «школьного рассматривания» задач, материал сцелях принципа Дирихле, можно разделить на подтипы. Для начала рассмотрим задачи на размещение.
Задача 5. Можно вывезти из каменоломни 50 камней, массы которых соответственно равны 370, 372, 374, ..., 468 кг, на семи трехтонка?
Решение.
Если бы это удалось осуществить, то на какую-нибудь трехтонку нагрузили бы 8 камней, поскольку 7 ∙ 7 + 1 = 50, потому по принципу Дирихле даже при равномерном распределении по 7 камней на каждую трехтонку получим в избытке 1 камень. Но даже 8 легких камней составляют в сумме
S = 370 + 372 + 374 + ... + 384 = 3016 кг> 3т. Нельзя.
Отметим, что общая масса всех камней, как не трудно подсчитать, составляет 20950 кг, а на семь трехтонных можно нагрузить одновременно 21т. Поэтому складывается впечатление, что ответ на вопрос задачи должна быть положительной. Однако это было бы возможно, если бы мы раздробили камни.
Довольно часто задачи на размещение встречаются в геометрической интерпретации.
Задача 6. Какое наибольшее количество точек можно разместить в квадрате со стороной 1 таким образом, чтобы все расстояния между этими точками были не менее 0,5? («В квадрате» означает «внутри квадрата или на его границе»).
Решение.
Решение этой задачи должно состоять из двух частей: доказательства того факта, что некоторое количество точек размещать должным образом возможно, а также того факта, что большего количества точек размещать таким образом уже нельзя. Достаточно легко понять, как можно разместить 9 точек в соответствии с требованием условия задачи: одну точку разместить в центре квадрата, четыре - в его вершинах и еще четыре - на серединах сторон квадрата.
К размещению, показанного на рисунке, десятую точку добавить уже не
можно. В этом не трудно убедиться, ведь круги радиуса 0,5 с центрами в первых девяти точках накрывают весь квадрат. Однако приведенные соображения нельзя считать решение задачи.
Действительно, не исключена возможность того, что существуют и другие способы размещения девяти точек. При этом может случиться, что один из этих способов размещения девяти точек позволяет добавить к ним еще и десятую, не нарушая при этом условие задачи. Именно здесь пригодятся соображения, связанные с принципом Дирихле.
Действительно, разобьем квадрат на девять равных квадратиков со стороной.
Если в единичном квадрате размещено 10 точек, то по меньшей мере две из них попадут в одного и того же квадратика. Расстояние между любыми двумя точками квадрата не превышает длины диагонали этого квадрата, то есть не превышает числа <.
§3. Применение принципа Дирихле при решении геометрических задач.
Для большего количества задач, в геометрии на принцип Дирихле, существуют свои формулировки. В зависимости от того, какими объектами мы оперируем, меняются объекты и формулировки.
1. Если на отрезке длины l расположено несколько отрезков, сумма длин которых больше l, тогда, по крайней мере, два отрезка имеют общую точку.
2. Если внутри фигуры площадью S расположены фигуры, сумма плоскостей которых больше S, то среди существуют, по крайней мере, две фигуры, которые имеют общую точку.
3. Если фигуры F1, F2, ..., Fn (S1, S2, ..., Sn - соответственно их площади) расположены в фигуре F площадью S и S1 + S2 + ... + Sn> k ∙ S, тогда k + 1 из фигур F1, F2 ..., Fn имеют общую точку.
Задача 7. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими по плоскости его равносторонними треугольниками.
Решение.
Разумеется, чем меньше равносторонний треугольник может покрывать максимум одну вершину данного равностороннего треугольника. Поэтому данный равносторонний треугольник можно покрыть, по крайней мере, тремя меньше.
Задача 8. На газоне в форме правильного треугольника со стороной 3 метра растет 10 гвоздик. Докажите, что найдутся две гвоздики, находящихся друг от друга на расстоянии, не превышающем 1 метр.
Решение.
Разделим газон на 9 равносторонних треугольника со стороной 1 метр. Тогда, согласно принципу Дирихле, по крайней мере две точки содержатся в одном из них. Поэтому расстояние между этими точками не превышает 1
метра. Заметим, что после размещения 10 гвоздик в вершинах разбиения все расстояния между ними равны 1 метра.
Задача 9. Докажите, что у каждого многогранника найдутся две грани с одинаковым количеством сторон.
Решение.
Пусть Г - грань, содержит наибольшее количество сторон. Тогда данный многогранник имеет, по крайней мере, n + 1 грань, причем количество сторон на каждой из них изменяется от 3 до n. Тогда, согласно принципу Дирихле, знайдиться две грани с одинаковым количеством сторон.
Задача 10. Пять точек А1, А2, ..., А5 лежат одной плоскости, и их координаты - целые числа. Докажите, что среди всех треугольников с вершинами в данных точках есть по крайней мере три, площади которых выражаются целыми числами.
Решение.
Пусть А (х1; у1), В (х2; у2), С (х3; у3) - вершины некоторого треугольника с целыми координатами. Заметим, что если одну из координат изменить на четное число, то площадь соответствующего треугольника изменится на целое число. Таким образом, заменив координаты точек А1, А2, ..., А5 числами 0 или 1 в зависимости от их четности, согласно принципу Дирихле, некоторым двум точкам отвечать одинаковые координаты. Пусть это будут точки А1 и А2. Тогда площади треугольников А1А2А3, А1А2А4, А1А2А5 выражаются целыми числами.
Задача 11. В круге радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых больше 7. Докажите, что найдется диаметр, который пересекает не менее 8 хорд.
Решение.
Поскольку длина хорды больше длины соответствующей
дуги, то сумма дуг также больше 7. Рассмотрим произвольный диаметр круга и отразим симметрично относительно центра О одно из полукругов. Итак, второе полукруг будет покрыто дугами, которые будут иметь суммарную длину, превышающую 7. Тогда, согласно принципу Дирихле,
одна из точек полукруга покрывается по крайней мере 8 раз. Поэтому соответствующий диаметр, проходящий через эту точку, пересекает 8 хорд.
Задача 12. Докажите, что в выпуклый n-угольник с площадью S и периметром Р можно поместить круг, радиусом.
Решение.
Пусть АВСД - фрагмент данного многоугольника. Относительно каждой стороны многоугольника построим прямоугольник с высотой АА1 =. Поскольку некоторые из этих прямоугольников пересекаются, а их суммарная площадь равна S, то, согласно принципу Дирихле, найдется такая точка многоугольника, не покрыта семьей построенных прямоугольников.
Понятно, что круг с центром в этой точке, радиусом, полностью размещен внутри данного многоугольника.
Задача 13. Попарные расстояния между точками А1, А2, ..., Аn больше чем 2. докажите, что произвольную фигуру, площадь которой меньше, можно сдвинуть на вектор, длиной, не более чем 1 так, что она не будет содержать точек А1, А2, ..., Аn.
Решение.
Пусть F - данная фигура, а S1, S2, ..., Sn - круги с центрами в точках А1, А2, ..., Аn, радиусом 1. Поскольку круги S1, S2, ..., Sn попарно непересекающихся, то фигуры V и = F ∩ СИ также попарно не пересекаются. Поэтому сумма площадей V и (i = 1, ..., n) меньше. Возьмем произвольную точку О и сдвинем каждую фигуру V и на вектор. Тогда образы этих фигур при параллельном переносе полностью не покроют круг с центром в точке О, радиусом 1. Пусть В - непокрытая точка этого круга. Тогда вектор будет искомым.
§4. Применение принципа Дирихле при решении задач раскраски.
Задача 14. Дано девьятикутну пирамиду, все 9 боковых ребер и все 27 диагоналей основания которой окрашено или в красный, либо в синий цвет. Доказать, что существуют три вершины пирамиды, которые одновременно являются вершинами треугольника, все стороны которого окрашены в одинаковый цвет. Правильно ли для восьмиугольной пирамиды?
Решение.
Среди девяти боковых ребер обязательно не менее пяти окрашены в один цвет, например красный. Пусть А1, А2, А3, А4, А5 - концы этих ребер, занумерованных подряд. Одна из сторон пятиугольника является диагональю основания, пусть для определенной это будет А1А2.
Рассмотрим А1А2А4: его стороны есть диагоналями основания. Если они окрашены в один цвет, то задача доказана. Если нет, то одна из его сторон (диагоналей основания) - красная, и поэтому одноцветным будет треугольник, образованный этой диагональю и боковыми ребрами, которые соединяют ее концы с вершиной пирамиды S.
Аналогичное утверждение для восьмиугольной пирамиды неправильное. Приведем пример, когда четыре последовательных ребра окрашены в красный цвет, а остальные - в синий, причем концы красных ребер соединены синими диагоналями, концы синих - красными.
Эта задача демонстрирует наглядный пример использования принципа Дирихле в геометрии с элементами раскраска. Известная задача Гутри или проблема четырех красок: сколько красок понадобится для раскрашивания карты, если закрашивать соседние государства, граничащие, разным цветом. Решая эту задачу, мы сталкиваемся с понятием внешних и внутренних точек геометрической фигуры, с понятием границы. Не все сразу находят способ раскрашивания, некоторые из учеников настойчиво считают, что такое невозможно. И только получен положительный результат, подтверждающий теоретические выкладки, способный убедить самых упрямых. Вообще задачи раскраски встречаются довольно распространено. Чаще всего их решения содержат в себе элементы комбинаторики, принцип четности, графы, таблицы. Поэтому предлагать эти задачи к решению школьникам нужно после изучения соответствующих тем. В некоторых задачах раскраски целесообразно использовать при решении принцип Дирихле. Рассмотрим примеры таких задач, начиная с элементарных.
Задача 15. Плоскость разрисованная двумя цветами. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
Решение.
Рассмотрим три точки, являются вершинами равностороннего треугольника. Тогда среди них есть две точки одного цвета.
Задача 16. Плоскость разрисованная тремя цветами. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
Решение.
Докажем утверждение от противного. Если вершины равностороннего треугольника АВС будут раскрашены разными цветами, тогда точка А ', которая симметрична точке А относительно прямой ВС, будет разрисованная тем же цветом, что и А. Поскольку расстояние между А и А 'равен, то все точки окружности с центром в точке А радиуса будут закрашены одним цветом. Понятно, что на этом кругу можно выбрать две точки на расстоянии 1.
Задача 17. Каждая клетка прямоугольной таблицы 5 41 закрашена белым или черным цветом. Докажите, что можно выбрать 3 столбца и 3 линейки так, что все их 9 ячеек пересечения будут окрашены одним цветом.
Решение.
Поскольку при каждом раскрашивания таблицы по крайней мере 3 ячейки будут одного цвета, то в соответствии с принципом Дирихле, среди 41 столбца таблицы крайней мере 21 будет 3 клетки того же цвета. Поскольку три клетки одного цвета можно разместить на 5-ти позициям способами, то опять же, согласно принципу Дирихле, с 21 такого набора по крайней мере 3 будут одинаковыми.
Задача 18. Узлы бесконечной решетки в клеточку разрисованные двумя цветами. Докажите, что существуют 2 горизонтальные и 2 вертикальные прямые, на пересечении которых лежат четыре точки одного цвета.
Решение.
Выделим из этой решетки лишь один фрагмент, размером 3 9. Поскольку набор можно разрисовать двумя цветами
2 * 2 * 2 = 8 способами (для каждого узла есть только две возможности для его раскрашивания), то среди 9-ти вертикальных наборов есть два, которые разрисованные одинаково. Заметим, что в наборе есть по крайней мере два узла одного цвета. Поэтому среди узлов фрагмента решетки является, по крайней мере, 4 одного цвета, образующие прямоугольник.
§5. Применение принципа Дирихле при решении задач делимости.
Если рассматривать задачи на делимость целых чисел, то принцип Дирихле целесообразно сформулировать в следующей форме: Среди p + 1 целых чисел найдутся два числа, которые дают одинаковые остатка при делении на p.
Действительно, при делении на р можно получить р различных остаток: 0, 1, 2, 3, ..., р-1. Если мы возьмем р + 1 целое число, то обязательно хотя бы два числа дают одинаковые остатка при делении на р. В этой формулировке принципа Дирихле числа - «зайцы», а остатка - «клетки».
Задача 19. Дано 11 различных целых чисел. Доказать, что из них можно выбрать два числа, разность которых делится на 10.
Решение.
По крайней мере два числа с 11 избранных дают одинаковые остатка при делении на 10 (по принципу Дирихле). Пусть это будут числа А и В, тогда по теореме деления с остатком мы можем записать равенства:
A = 10a + r, B = 10b + r.
Тогда их разность A - B = 10 (а - b) делится на 10.
Задача 20. Доказать, что среди чисел вида 7k найдется число, заканчивается на 0001.
Решение.
Рассмотрим числа 70, 71, 72, 73, ..., 710000. Всего этих цифр 10001, тогда среди них найдутся два числа, разность которых делится на 10000. Представим эту разницы в виде:
7m - 7n = 7n ∙ (7mn - 1),
где m и n - целые неотрицательные числа, для определенности предполагаем, что m> n. Числа 7n и 10000 является взаимно простыми, так множитель 7mn - 1 делится на 10000, то есть число 7mn имеет четыре последние цифры 0001, что и требовалось доказать.
Принцип Дирихле широко используется при изучении вопросов делимости чисел. В частности, при рассмотрении остаток, которые дают при делении на заданное число последовательных степени некоторого фиксированного числа.
Теорема. При любых натуральных a и m остатка от деления чисел a, a2, a3, ..., am, am + 1, ... на m периодически повторяются (возможно, не с самого начала).
Доказательство.
Рассмотрим первые m + 1 степени числа a: a, a2, a3, ..., am, am + 1 и рассмотрим остатка этих чисел при делении на m. Поскольку различных остаток при делении на m может быть равно m, а цифр m + 1, то по принципу Дирихле найдется два числа, которые дают одинаковые остатка при делении на m. Пусть это будут числа ak и ak + n, где n> 0. Тогда ak - ak + n = mt, t - целое.
Пусть s ≥ k, умножим обе части равенства на as-k и получим as - as + n = mt ∙ as-k, то есть разность этих чисел делится на m. Итак, начиная с числа ak остатка периодически повторяются. Отметим, что, начиная с числа ak, будем получать n различных остаток при делении на m, которые потом будут периодически повторяться. Теорема доказана.
Эта теорема позволяет легко решать задачи следующего содержания.
Задача 21. Найти последнюю цифру числа 2251.
Решение.
Выпишем последовательные степени числа 2, пока не произойдет «зацикливание».
21 - последняя цифра 2
22 - последняя цифра 4
23 - последняя цифра 8
24 - последняя цифра 6
25 - последняя цифра 2
Видим, что произошло за циклевка. Длина цикла Т = 4, поэтому
2251 = (24) 62 ∙ 23.
Число 2251 заканчивается той же цифрой, что и число 23, то есть цифрой 8.
Задача 22. Верно утверждение: сумма (8 ∙ 357 + 1420) делится на 5?
Решение.
Число делится на 5 тогда и только тогда, если его последняя цифра 0 или 5. Таким образом, наша задача заключается в определении последней цифры числа.
Повторим рассуждения задачи 21:
31 - последняя цифра 3
32 - последняя цифра 9
33 - последняя цифра 7
34 - последняя цифра 1
35 - последняя цифра 3
Т = 4; 357 = (34) 14 ∙ 3, число 357 заканчивается цифрой 3.
141 - последняя цифра 4
142 - последняя цифра 6
143 - последняя цифра 4
Т = 2; 1420 = (142) 10, число 1420 заканчивается цифрой 6, а число 8 ∙ 357 + 1420 заканчивается цифрой 0, то есть данное число делится на 5.
Число, которое можно представить в виде, где - целое число, - натуральное число, называется рациональным числом. Рациональное число можно представить в виде:
1) конечного десятичной дроби;
2) бесконечного периодической десятичной дроби.
Теорема. Несократимая дробь можно представить в виде конечного десятичной дроби, тогда и только тогда, когда число b не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5.
Доказательство.
Пусть число b не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5. Это означает, что b = 2α ∙ 5β, где α и β - целые неотрицательные числа.
Пусть α ≤ β. Умножим числитель и знаменатель дроби на 2β-α. Тогда, где. Деления целого числа на 10β сводится к постановке запятой на соответствующем месте в десятичной записи этого числа. Таким образом, число представлено в виде конечного десятичной дроби.
Случай α> β рассматривается аналогично (числитель и знаменатель дроби надо умножить на 5α-β).
Если дробь можно представить конечным десятичной дробью, то имеем равенство
, Где 0 ≤ Си ≤ 9, i = 1, 2, ..., m.
Если дробь - несократимая, то. Тогда из условия НОД (, 10) = 1 и НОД () = 1 следует, что.
Если дробь - сократимых, то сократив его, приходим к выводу, что число имеет вид 2α ∙ 5β. Заметим, что число цифр после запятой равно max (α, β).
Теорема доказана.
Например, преобразуем обычный дробь в десятичную.
.
Это означает, что дробь вращается в конечный десятичный, который имеет три цифры после запятой:
.
Докажем обобщающую теорему.
Теорема.Рациональное число, где и - натуральные числа, можно изобразить в виде периодического бесконечного десятичной дроби.
Доказательство.
Докажем теорему в общем случае. Рассмотрим дробь. Разделим число на «столбиком». В процессе деления все время диставатимемо отличные от нуля остатка, потому что в противном случае число записывали бы в виде конечного десятичной дроби. Таким образом, каждый раз при нахождении следующей цифры доли диставатимемовостатка одно из чисел 1, 2, ...,. Выпишем последовательно остатка, которые получили при делении, и рассмотрим первые из них. Поскольку каждый раз выписываем одно из чисел 1, 2, ..., то по принципу Дирихле существуют такие натуральные числа и и j, 1 ≤ и ≤ j <, что на местах с номерами и и j вписано одинаковые числа, то есть и-и и j та остатка при делении на одинаковые. Однако тогда процесс деления, начиная с j-й остатка, повторять процесс деления после i-той остатка. Итак, начиная с i-го места в бесконечной десятичной дроби повторяться та же комбинация с r = j и цифр. В результате деления получим бесконечный периодический десятичную дробь, период которого содержит не более r = j и ≤ цифр. Теорема доказана.
Например, преобразуем обычный дробь в десятичную. Здесь. Это означает, что дробь превращается в бесконечный периодический дробь, к периоду две цифры:
.
§6. Разработки факультативных занятий по теме «Принцип Дирихле» для учащихся 6, 7, 8, 9 классов средней школы.
Ориентация современной школы на гуманизацию процесса образования и разностороннее развитие личности ребенка предполагает, в частности, необходимость гармоничного сочетания собственно учебной деятельности, в рамках которой формируются базовые знания, умения и навыки, с деятельностью творческой, связанной с развитием индивидуальных задатков учащихся, их познавательной активности , способности самостоятельно решать нестандартные задачи и т. д. Активное введение в учебный процесс разнообразных развивающих занятий, специально направленных на развитие личностно-мотивационной и аналитико-синтетических сфер ребенка, памяти, внимания, пространственного воображения и ряда других важных психических функций, является одной из важнейших задач школы. Значимость таких занятий обусловлена, прежде всего, тем обстоятельством, что только репродуктивная деятельность без развития творческих способностей не обеспечивает высокого уровня общего развития детей. Решение только типичных, стандартных задач обедняет личность ребенка, поскольку в этом случае высокая самооценка учащихся и оценка их способностей зависят, главным образом, от усердия и не учитывают проявления ряда индивидуальных интеллектуальных качеств, таких как сообразительность, способность к творческому поиску, логического анализа и синтеза.
В современной методической системе обучения наметился перенос акцентов с увеличения объема информации, предназначенной для усвоения учащимися, на формирование у школьников общелогических умственных умений. В связи с этим в школе перед учителем стоит задача научить детей анализировать, сравнивать и обобщать информацию, полученную в результате взаимодействия с объектами и явлениями не только действительности, но и абстрактного мира. Ничто так, как математика, не способствует развитию мышления, особенно логического, поскольку предметом ее изучения являются отвлеченные понятия и закономерности, которыми в свою очередь, занимается математическая логика. Математика обладает уникальным развивающим эффектом. Она наилучшим образом формирует приемы мыслительной деятельности и качества ума, способствует развитию памяти, речи, воображения, эмоций, формирует настойчивость, терпение, творческий потенциал личности. Главной задачей изучения математики является обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни, а также достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Специфическое значение внеклассных занятий для развития творческого, абстрактного и логического мышления заключается в том, что на них всегда хватает времени для выявления самобытности мышления каждого ученика, для индивидуального подхода, для испытания различных дорог поиска решения проблемы. Дети, которые хорошо учатся, смогут в еще большей степени развернуть свои способности, а слабо успешные дети, решая нестандартные задачи, посильные для них, смогут обрести уверенность в своих силах, научиться управлять своими поисковыми действиями, подчинять их определенному плану. В этих условиях у детей развиваются такие важные качества мышления, как глубина, критичность, гибкость, которые являются сторонами его самостоятельности. Современные ученые сходятся во мнении, что и дети, и взрослые успешнее решают те задачи, предложенные им в интересной, игровой форме.
Проведение внеклассной работы по математике осуществляется на основе общих педагогических принципов, а также тех, которые отражают ее особенность.
Именно в проведении различных внеклассных мероприятий по математике учитель должен больше возможностей раскрыть диалектический характер математики, показать источники возникновения и движущие силы ее развития, подчеркнуть драматических страницах ее истории, когда прогресс приобретался цене настоящего героизма отдельных ученых. Те знания, которые ученик приобретать как участник внеклассных мероприятий, должны базироваться на достоверных, проверенных фактах науки. Они должны стать отдельными этапами, ступенями познания окружающей среды, средствами математики. Важно также соблюдение принципов добровольности, интереса, самодеятельности.
Учитель не должен заставлять учеников участвовать во внеклассной работе по математике, осуждать тех, кто не принимает в ней участия. Привлекать к внеклассной работе по математике следует разными, но педагогическое оправданными средствами. Соблюдение принципа связи с жизнью стимулировать учащихся к участию в этой работе, поскольку они будут понимать, что приобретенные знания и практические навыки потребуются им в будущем. Соблюдение принципа заинтересованности раскрывает ученикам своеобразную красоту математики, позволяет им ощутить радость познания, первых научных поисков и побед.
В проведении внеклассной работы по математике надо учитывать возрастные особенности учащихся. Так в V-VI классах целесообразно рассматривать интересные вопросы теоретико-числового и геометрического содержания. Однако следует помнить, что развлечение - не самоцель, а только один из дидактических приемов, который стимулирует познавательную активность учащихся. Развлекательный материал возбуждает внимание, вызывает определенные положительные эмоции и ситуационный, эпизодический интерес. Задача учителя - превратить этот интерес в устойчивое, активный. Используя развлекательный материал, надо обращать внимание учеников не на внешние факты, а на суть вопроса, будить мысль, развивать любознательность.
Важной формой дифференциации обучения в школе является факультативные занятия. Их основная цель заключается в том, чтобы, учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить изучение программного материала; ознакомить учащихся с некоторыми общими математическими идеями и методами; развивать математические способности учащихся прививать учащимся интерес и вкус к самостоятельным занятиям по математике; воспитывать и развивать инициативу и творчество, показать применение математики на практике.
В педагогической науке достаточно основательно раскрыто существенные признаки факультативов, отличающие их от обычных занятий:
- Новые формы общения учителя и учеников;
- Высокий мотивационный уровень формирования юной личности;
- Необязательность оценивания знаний;
- Работа с группами учащихся, имеющих неплохую подготовку и интересующихся математикой.
Ученики выбирают тот или иной факультатив добровольно, но если кто уже записался, то должен заниматься. Нередко факультативные занятия проводят на нулевых или седьмых уроках; чтобы не переутомлять учащихся, домашних заданий нельзя не задавать или давать их на длительное время. Традиционно факультативные занятия по математика проводятся в форме лекций, семинаров, дискуссий, прослушивании докладов учащихся как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач, примерно половину времени желательно отводить на решение задач и упражнений.
Часто факультативные занятия проводят по следующему плану:
1. Знакомство с материалом (докладывает учитель или кто-то из учеников).
2. Самостоятельная работа учащихся с задачами теоретического и практического характера (задания даются всем одинаковые).
3. Коллективное обсуждение решений задач, сравнение способов решений, обобщения поиска новых путей, перенос усвоенных приемов и методов на другой учебный материал программного или факультативного курса по математике или смежных предметов.
4. Решение задач повышенной сложности.
Активизируют работу факультативов ученические конференции, конкурсы по решению задач «Кто больше ...», а в младших и средних классах конкурсы на самостоятельное составление лучшей задачи по какой-то темой. Интересуются ученики и коллективным обсуждением решений олимпиадных задач. Внеклассные занятия по математике призваны решить целый комплекс задач по углублению математического образования, всестороннего развития индивидуальных способностей учащихся и максимального удовлетворения их интересов и запросов. Для непрерывного обучения и самообразования особо важное значение имеют развитие самостоятельности и творческой активности учащихся и воспитание навыков самообразования по математике. Поэтому обучение математике в школе надо строить так, чтобы оно представлялось для ученика серией маленьких открытий. По любому разделу по математике можно составить задания, выполнение которых действительно бы содержало элементы творчества. Знание же учеников будут прочными, если они добыты не только одной памятью, НЕ заученные механически, а явились следствием собственных соображений, закрепились в последствии его собственной деятельности с учебным материалом.
Факультативный курс по математике решает следующие цели:
- Пробудить у ребенка любовь и интерес к занятиям математикой в легкой и приятной форме, на интересных задачах, которые требуют сообразительности;
- Научить ее нестандартно, оригинально мыслить;
- Развить упорство и сообразительность, умение находить оригинальные решения, принимать верные решения в сложных жизненных ситуациях;
- Побудить ребенка к самостоятельному творческому мышлению.
Задачами факультативного курса являются следующие условия:
- Научить детей анализировать, сравнивать и обобщать информацию, полученную в результате взаимодействия с объектами и явлениями;
- Научить детей управлять поисковыми действиями, подчинять их определенному плану;
- Формировать настойчивость, терпение;
- Развивать логическое, поисковое, творческое мышление;
- Развивать личностно-мотивационную и аналитико-синтетическую сферы ребенка, память, внимание, пространственное воображение и ряд других важных психических функций;
- Расширять, дополнять и углублять математические знания, умения и навыки.
Далее предложены конспекты для факультативных занятий по математике по теме «Принцип Дирихле» 6-9 классов.
Занятия в 6 классе.
Тема урока: Принцип Дирихле.
Цель урока: Познакомить учащихся с принципом Дирихле.формирование умения
решать задачи с помощью принципа Дирихле.
Тип урока: Урок изучения нового материала.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
ИИ. Изучение нового материала.
На доске закреплены четыре конверта, на столе лежат пять карточек с изображением зайцев. Ученикам предлагается разместить зайцев в конверты произвольным образом. На доске записаны результаты размещения:
1 заяц 1 заяц 1 заяц 2 зайца - 1 ученик
2 зайца 1 заяц 2 зайца 0 - 2 ученик
4 зайца 0 1 заяц 0 – 3 ученик и т. д.
Учитель: Итак, вы разложили карточки в конверты. Посмотрите, возможно так разместить зайцев, чтобы в каждом конверте было по одному зайцу?
Ученик: нет, зайцев больше, чем конвертов.
Учитель: То есть, если мы разместим зайцев по конвертам, то хотя бы в одном из конвертов окажется два зайца. А может оказаться в конверте более двух зайцев?
Ученик: Да, если в одном из конвертов зайцев не будет.
Учитель: Эту задачу рассматривали еще с древних издавна. Первым, кто достиг важных результатов был немецкий математик Петер Дирихле. И в его честь был назван принцип, который можно сформулировать так:
Если пять зайцев разместить в четыре клетки, то хотя бы в одной из них окажется два зайца.
Или такой результат получили мы, розкладуючы зайцев в конверты? Посмотрите на доску. При каждом размещении зайцев в одном из конвертов оказалось точно два зайца, но может быть и больше.
Рассмотрим следующую задачу. (На столе учителя стоит мешок, в него засыпаны шарики черного и белого цвета). В мешке шарики черного и белого цветов. Проверим, сколько шариков нужно достать из мешка, чтобы среди них оказалось точно два шарика одного цвета.
(К доске выходят ученики по одному и получают шарики, пока у них в руках не окажется два шарика одного цвета.Результаты записываются на доске).
И ученик: 1 белый шарик; 1 черный шарик; 1 черный шарик.
ИИ ученик: 1 белый шарик; 1 белый шарик.
ИИИ ученик: 1 черный шарик; 1 белый шарик; 1 белый шарик.
ИV ученик: 1 белый шарик; 1 черный шарик; 1 белый шарик.
Учитель: Посмотрите на запись внимательно и скажите, какое количество шариков нужно достать, чтобы среди них оказалось два одного цвета?
Ученик: Нужно достать три шарика, тогда точно две из них будут одного цвета.
Учитель: Можно сделать вывод, что ответ к задаче - три шарика. Возможно решить эту задачу с помощью принципа Дирихле? Если да, то что можно считать в задаче «зайцами», а что «клетками»?
Ученик: Да, возможно. Если принять шарики за «зайцев», а цвета этих шариков за «клетки», то по принципу Дирихле достаточно получить три шарика, чтобы среди них точно две были одного цвета.
Учитель: Верно, мы «разместили шарики по цветам».
Учитель: Действительно, эта задача решается гораздо проще с помощью принципа Дирихле. Итак, сформулируем принцип Дирихле для этой задачи:
Если доставать шарики произвольным образом, двух разных цветов из мешка, то при извлечении трех шариков, точно две из них одного цвета.
Учитель: Решим следующую задачу с помощью принципа Дирихле и запишем ее в тетради.
Задача. В саду растут 10 кустов роз, на каждом кусте не более 8 роз. Докажите, что есть хотя бы два куста роз с одинаковым количеством цветов.
Решение.
Учитель: Какое количество цветов может быть на кусте?
Ученик От 1 цветка до 8.
Учитель: Сколько всего кустов?
Ученик: 10 кустов.
Учитель: То есть кустов по количеству больше, чем вариантов количества цветов на них. Что считать «зайцами», а что «клетками»?
Ученик: «Зайцы» - это кусты, а «клетки» - это количество цветов.
Учитель: Если применить принцип Дирихле, то какое утверждение получим?
Ученик: Существует по крайней мере два куста с одинаковым количеством роз.
Учитель: Хорошо, решим следующую задачу.
Задача. На планету Альфа системы Омега запустили 20 космолитакив, на каждом из них не более 16 человек. Докажите, что хотя бы на двух из них одинаковое количество людей.
Решение.
(Ученик у доски решает задачу).
Ученик: Вообще имеем 20 космолитакив, на каждом не более 16 человек. То есть количество людей на каждом космолитаку от 1 до 16. По принципу Дирихле существует точно два космолитака с одинаковым количеством людей.
ИИИ. Закрепление нового материала.
Вопрос классу:
- Какой принцип мы изучили?
- Сформулируйте этот принцип.
- Сколько элементов участвуют в принципе Дирихле?
- Приведите примеры размещения элементов по принципу Дирихле.
ИV. Домашнее задание.
1. Решить задачу.
В коробке 82 шарики. Каждая из них разрисованная определенным цветом. Докажите, что существует 10 шариков одного цвета, или 10 шариков разного цвета.
Решение.
Если для раскрашивания 82 шариков использовано не менее 10 цветов, то понятно, что найдется 10 шариков разного цвета. Если же для раскрашивания 82 шариков использовано не более 9 различных цветов, то в соответствии с принципом
Дирихле, найдется по крайней мере 10 шариков одного цвета. Здесь в качестве «зайцев» выступают шарики, а в роли «клеток» - цвета.
2. Изучить формулировка принципа Дирихле.
3. Составить самостоятельно задачу на использование этого принципа.
Занятия по алгебре в 7 классе.
Тема урока: Принцип Дирихле.
Цель урока: Напомнить ученикам сущность принципа. Объяснить и показать важные применения принципа. Развивать логическое мышление учащихся. Воспитывать индивидуальность и самостоятельность при решении задач.
Тип урока: Урок изучения нового материала.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания и актуализация опорных знаний.
Учитель: В 6-м классе мы рассмотрели принцип Дирихле на простых задачах. Сформулируем этот принцип.
Ученик: Если пять зайцев разместить в четыре клетки, то хотя бы в одной из них окажется два зайца.
Учитель: важно количество зайцев - 5, а количество клеток - 4?
Ученик: Нет. Мы располагали большее количество зайцев в меньшее количество клеток.
Учитель: могли быть некоторые клетки пустыми?
Ученик: Да. Мы размещали зайцев произвольным образом.
ИИ. Объяснение нового материала.
Учитель: Сегодня мы рассмотрим принцип Дирихле в общем виде:
Если n ∙ k + 1 предмет размещать в n ящиков, то по крайней мере в одном окажется не менее k + 1 предмет.
Проиллюстрируем принцип на примере, для чего решим следующую задачу. Задача. Докажите, что если 13 зайцев разместить в 4 клетках, то хотя бы в одной из них окажется 4 зайца.
Решение.
Согласно условиям задачи имеем n = 4, а n ∙ k + 1 = 13. Тогда получим, что k = 3, поэтому согласно принципу Дирихле в одной из клеток будет точно k + 1 = 4 зайца.
Докажем теперь принцип Дирихле. Будем размещать n ∙ k + 1 предмет в n ящиков. Для определенности будем размещать, например, n ∙ k + 1 яблока в n корзин произвольным образом. Докажем, что по крайней мере в одной корзине окажется k + 1 яблоко.
Пусть в I корзине - х1 яблок
во II корзине - х2 яблок
........................... ..
в N корзине - хn яблок.
Известно, что сумма х1 + х2 + х3 + ... + хn = n ∙ k + 1. Если допустить, что предположение не является верным, то есть в каждой корзине лежите не более k яблок (х1 ≤ k, х2 ≤ k, ..., хn ≤ k), то в вместе в n корзинах лежало бы не более чем n ∙ k яблок , то есть х1 + х2 + х3 + ... + хn ≤ n ∙ k, что протиричить условии (всего n ∙ k + 1 предмет).
ИИИ. Решение задач на принцип Дирихле.
Задача 1. В городе более 8000 тысяч жителей. Ученые считают, что у каждого человека менее 200000 волос на голове. Докажите, что существует, по крайней мере, 41 житель с одинаковым количеством волос на голове.
Решение.
Сколько за условием жителей? - 8000000.
Сколько вариантов количества волос на голове у одного жителя? - 200 000 (от 0 до 199 999).
8000000 = 40 ∙ 200000
Согласно принципу Дирихле (k = 40, k + 1 = 41), найдутся по крайней мере 41 жителей с одинаковым количеством волос на голове.
Задача 2. 15 мальчиков собрали 100 грибов. Докажите, что по крайней мере два мальчика собрали одинаковое количество грибов.
Решение.
Учитель: Для решения этой задачи нужно составить противоположное утверждение и доказать его неверность.
Ученик: Пусть каждый из 15 мальчиков собрали разное количество грибов.
1-й мальчик - 0 грибов,
2-й мальчик - 1 грибов,
.........................
15-й мальчик - 14 грибов.
Учитель: Как подсчитать, сколько всего собрано грибов?
Ученик: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 105 грибов.
Учитель: Но по условию собрано лишь 100 грибов, поэтому наше утверждение, что все мальчики собрали разное количество грибов неверна, поэтому можно сказать, что по крайней мере два мальчика собрали одинаковое количество грибов.
Следующую задачу учащиеся решают самостоятельно.
Задача 3. На полках книжного шкафа 160 книг, причем на одной из них - 3 книги. Докажите, что найдется полочка, на которой не менее 40 книг.
Решение.
Предположим, что на каждой из остальных 4 полочек не более 39 книг. Тогда на всех 5 полках не более 3 + 4 ∙ 39 = 159 книг, противоречит условию. Итак, на одной из полочек не менее 40 книг.
ИV. Домашнее задание.
1. Довести задачу по аналогии к доказательству принципа Дирихле:
Во дворе 36 детей школьного возраста, в районе 7 школ. Все дети 1 сентября пошли в школу. Докажите, что по крайней мере в одной школе учится не менее 5 детей из этого двора.
2. Решить задачу:
7 космонавтов отправляются в полет. Ракета выдерживает 497 кг. Известно, что вес первого космонавта 51 кг. Все остальные космонавты весят более 51 кг и во всех космонавтов вес разная. Выдержит их ракета?
Занятия по геометрии в 8 классе.
Тема урока: Принцип Дирихле.
Цель урока: Научить учащихся решать задачи по геометрии с помощью
принципа Дирихле. Развивать абстрактное и логическое мышление,
воспитывать самостоятельность рассуждений при решении задач.
Тип урока: Изучение нового материала.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
ИИ. Объяснение нового материала.
Учитель: В 6-м и 7-м классах мы начали рассматривать принцип Дирихле. В 6-м классе мы рассматривали упрощенный принцип Дирихле на примере задачи: располагали 5 зайцев в 4 клетки и получали, что по крайней мере в одной из них сидит 2 зайца. В 7-м классе мы рассмотрели обобщенный принцип Дирихле, который имеет следующую формулировку:
Если n ∙ k + 1 предмет размещать в n ящиков, то по крайней мере в одном окажется не менее k + 1 предмет.
Сегодня мы приспособим этот принцип к задачам геометрии.
Учитель: Какими основными понятиями оперирует геометрия?
Ученик: Точка, прямая, плоскость.
Учитель: Да. Пусть все наши действия происходят на плоскости. Переформулируем принцип Дирихле так, чтобы он имел силу на плоскости. Для этого главными элементами принципа должны быть геометрические фигуры.
Пусть А1, А2, ..., Аn, А - фигуры, для которых определено понятие плоскости, причем Аи А для всех i = 1, ..., n. Если k ∙ S (А) ≤ S (А1) + S (А2) + ... + S (Аn), то по крайней мере k +1 фигура из фигур Аи имеет общую внутреннюю точку. Другими словами, если внутри фигуры площади S находится несколько фигур, имеющих сумму площадей больше S, то хотя бы две из них имеют общую точку.
Поясним принцип в этом формулировки наглядном примере.
Пусть А - квадрат, Аи - части квадрата. Важно понять, что фигура (А1 + А2) - это тоже часть квадрата. Поэтому, если выбирать такие части: (А1 + А2), (А2 + А3), ..., (Ак + Аn), (А1 + А2 + А3), ..., (А1 + А2 + ... + Ак), то очевидно, что сумма площадей частей квадрата больше k ∙ S (А).
Поэтому легко понять, что существуют фигуры с общими внутренними точками, а принцип Дирихле утверждает, что таких фигур крайней мере k + 1. Этот принцип можно легко переформулировать для длин.
Если на отрезке длины l расположено несколько отрезков, сумма длин которых больше l, тогда по крайней мере два отрезка имеют общую точку.
Решим следующую задачу.
Задача. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими его равносторонними треугольниками.
Решение.
Учитель: Сколько вершин данного равностороннего треугольника может покрыть меньше равносторонний треугольник?
Ученик: Не более одной.
Учитель: Тогда сколько нужно меньших равносторонних треугольников, чтобы они покрыли настоящее?
Ученик: Нужно, по крайней мере, 3 равносторонних треугольника.
Учитель: Таким образом мы доказали, что двумя треугольниками мы не сможем покрыть данный.
Задача (к доске идет ученик). На газоне в форме правильного треугольника со стороной 3м растет 10 гвоздик. Докажите, что найдутся 2 гвоздики, которые находятся друг от друга на расстоянии не более чем 10 м.
Решение.
Начертим равносторонний треугольник. Разобьем каждую сторону на три равных отрезка длиной 1м. Соединим концы этих отрезков.
Учитель: Сколько треугольников мы получили?
Ученик: 9.
Учитель: Какие эти треугольники?
Ученик: равносторонний.
Учитель: Если применить принцип Дирихле, то согласно принципу сколько гвоздик точно есть в каждом треугольнике? Какая между ними расстояние?
Ученик: В каждом треугольнике минимум 2 гвоздики расположенных на расстоянии 1м.
Учитель: Тогда если расположить в каждой из вершин треугольников гвоздики, то расстояние между ними 1м.
Следующая задача предназначена для самостоятельного решения.
Задача. Докажите, что в каждом многограннике найдутся две грани с одинаковым количеством сторон.
Решение.
Пусть Г - грань, имеющей наибольшее количество сторон. Тогда данный многогранник имеет по крайней мере n + 1 грань, к тому же количество сторон на каждой из них колеблется от 3 до n. Тогда, согласно принципу Дирихле, найдутся две грани с одинаковым количеством сторон.
Проверяем решение задачи (устно).
Задача (к доске идет ученик). На листке тетради в клеточку обозначили 5 точек, расположенных в узлах клеток. Доказать, что хотя бы один из отрезков, соединяющих эти точки, проходит через узел клетки.
Решение.
Введем на листе систему координат с началом координат в одном из узлов, осями, направленными вдоль линий сетки, и единичным отрезком, равным стороне клетки. Тогда все отмеченные точки будут целочисленные координаты. Покажем, что найдутся две точки из пяти, в которых одна и та же четность координат x и y. «Зайцами» у нас будут точки, а «клетками» - пары (П, П) (П, ЧП) (ЧП, П) (НП, НП). Если, например, в выбранной точки (x, y) координата x парная, а координата у - нечетное, то мы ее поместим в «клетку» (П, ЧП). Итак имеем 5 зайцев и 4 клетки. Пусть (x1, y1) и (x2, y2) - две точки, попавшие в одну «клетку». Середина отрезка, соединяющего эти две точки, имеет координаты ([(x1 + x2) / 2], [(y1 + y2) / 2]), которые являются целыми числами из одинаковую четность x1 и x2, y1 и y2. Таким образом, середина этого отрезка лежит в узле сетки, то есть данный отрезок является искомым.
Вопрос к классу:
- Вспомните самое простое формулирование принципа Дирихле.
- Вспомните различные формулировки для принципа Дирихле (как алгебраические, так и геометрические).
ИИИ. Домашнее задание.
1. Составить формулировки принципа Дирихле для объемов.
2. Решить задачи.
В кругу радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых более 7. Докажите, что существует диаметр, который пересекает менее 8 хорд.
В единичном квадрате выбрали произвольно 51 точку. Доказать, что
какие три из них можно накрыть вокруг радиуса 1/7.
Занятия по алгебре в 9 классе.
Тема: Принцип Дирихле, графы и комбинаторика.
Цель: Связать принцип Дирихле с графами и комбинаторикой.
Тип урока: Обобщение изученного материала.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания и актуализация опорных знаний.
Вопрос к классу:
- Сформулируйте принцип Дирихле.
- Где мы встречали этот принцип?
- Какие элементы нужно выделить в задаче, если при ее решении мы применяем принцип Дирихле?
Сегодня мы рассмотрим задачи на применение принципа Дирихле в различных разделах математики.
- Что такое граф, с чего он состоит?
- Вспомните, что такое размещение, расстановка и сообщения?
- Запишите формулы для их нахождения.
Решим задачу:
Задача. В классе 25 человек. Известно, что среди любых трех из них есть двое друзей. Докажите, что существует ученик, у которого не менее 12 друзей.
Решение.
Выберем любых двух учеников класса, не дружат между собой (если таковых нет, то все ученики класса дружат между собой, значит, у каждого есть 24 друзья, и задача решена). С оставшихся 23 учеников каждый дружит с одним из двух, иначе мы должны тройку учеников, среди которых не было бы друзей. Тогда у одного из выбранных двух учеников не менее 12 друзей (23 «зайцы» рассаженных в двух «клетках»).
Задача. Узлы решетки размера 3 * 9 разрисованные двумя цветами. Докажите, что существуют 2 горизонтальные и 2 вертикальные прямые, на пересечении которых лежат четыре точки одного цвета.
Решение.
Учитель: Каким количеством цветов может быть разрисован фрагмент?
?
Ученик: Двумя цветами.
Учитель: Сколькими способами?
Ученик: 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.
Учитель: Сколько вертикальных наборов?
Ученик: 9.
Учитель: То есть вариантов раскрашивания 8, а наборов 9, что можно сказать?
Ученик: Согласно принципу Дирихле 2 набора будут раскрашены одинаково.
Учитель: Но в наборе минимум 2 узлы одного цвета, что из этого следует?
Ученик: Среди узлов решетки существует по крайней мере 4 узла одного цвета, которые образуют прямоугольник.
Задача (ученик идет к доске). Докажите, что среди любых 6 человек есть трое попарно знакомых, или трое попарно знакомых.
Решение.
Пусть А, В, С, D, Е, F - точки на плоскости, обозначающие людей.
Будем совмещать точки линией ________, если люди знакомы между собой, и - если не знакомы между собой. Из каждой точки выходит 5 линий, по крайней мере 3 из них однотипны. Если это отрезки, то найдутся 3 людей знакомы между собой, если волнистые,
наоборот.
Учитель: То есть не благодаря сложными логическим рассуждениям задача решена.
Задача (для самостоятельного решения). В ячейках таблицы 3 * 3 размещены числа 0; 1; -1. Докажите что по крайней мере две из 8 сумм по строкам, столбцам и диагоналям будут равны.
Решение.
Поскольку возможные суммы чисел могут варьироваться от -3 до 3, то согласно принципу Дирихле по крайней мере две из них будут равными.
Задача. Дано 20 натуральных чисел: а1<а2 <... <а20≤64. Докажите, что среди разностей аи - ак (и> к) найдутся по крайней мере 4 равных.
Решение.
Учитель: Сколько существует возможных положительных разниц данных чисел?
Ученик: С==190.
Учитель: Какой промежутке принадлежат эти 190 цифр?
Ученик: От 0 до 63.
Учитель: Что получится, если применить принцип Дирихле?
Ученик: n = 63, 190 = 63 ∙ 3 + 1, k = 3. Согласно принципу Дирихле хотя k + 1 = 4 из этих цифр совпадают.
ИИИ. Обобщение материала.
Вопрос к классу:
- Сформулируйте принцип Дирихле.
- В каких разделах математики применяется принцип Дирихле.
- Назовите в задачах предметы, которые играли роль «зайцев» и «клеток».
ИУ. Домашнее задание:
Решите задачи:
1. В таблице 10 * 10 размещены целые числа, причем любые два числа в соседних клетках отличаются не более чем на 5 Докажите что среди этих чисел есть по крайней мере два равных.
2. В работе международной конференции принимают участие 17 ученых. Каждые двое из них разговаривают между собой одной из трех языков. Докажите, что среди участников конференции найдутся трое, говорящих между собой на одном языке.
3. Докажите, что среди любых 10 различных двузначных чисел можно выбрать две различные группы цифр так, чтобы суммы чисел в обеих группах были одинаковыми.
§7. Разработка факультативного занятия по теме «Принцип Дирихле» на интерактивной доске.
Среди технических новинок, приходящих сегодня в школу, особое место занимают интерактивные доски - комплекс оборудования, позволяющий педагогу сделать процесс обучения ярким, наглядным, динамичным, варьировать индивидуальные решения с опорой на имеющиеся готовые «шаблоны», а также более эффективно осуществлять «обратную связь ». Использование в обучении электронных интерактивных досок обеспечивает успешное запоминание учащимся информации и ее воспроизведения. Записанные на электронной интерактивной доске комментарии после занятия могут быть распечатаны или отправлены по электронной почте. Таким образом у ученика появляются дидактические материалы, облегчающие процесс воспроизведения усвоенной информации.
Обращаем внимание на то, что невозможно строить весь процесс обучения исключительно на интерактивных методах. Следует сочетать различные методы работы - традиционные, инновационные, интерактивные методы, поиска и др. Доскональное знание предмета и современных методик позволяет творческом учителю найти целесообразную форму организации урока и представления учебного материала. Составляющие современного урока - непрерывное управление, контроль и коррекция знаний учащихся. Интерактивный метод обучения - один из многих приемов, которые помогают достичь цели и приносят результат только в сочетании с другими. К каждому занятию следует добросовестно готовиться. Легкое по форме интерактивное обучение чрезвычайно трудное для учителя, ведь добиться дисциплины и внимания за счет «сидите тихо!» Невозможно. Кроме того, нужно спланировать внедрение, делать его постепенно. Урок не должен быть перегруженным интерактивной работой. Приумелого внедрения интерактивные методы обучения позволяют привлечь к работе всех учащихся класса, способствуют выработке социально важных навыков работы в коллективе, взаимодействия, дискуссии, обсуждения.
Хочу поблагодарить учителю математики санатория «Зеленая Горка» (м. Одеса) Крисану Ирине Витальевне за помощь в работе с интерактивной доской.
Выполнив работу, я могу сделать следующие выводы:
1. Главной задачей изучения математики является обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни, а также достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.
2. Специфическое значение внеклассных занятий для развития творческого, абстрактного и логического мышления заключается в том, что на них всегда хватает времени для выявления самобытности мышления каждого ученика, для индивидуального подхода, для испытания различных дорог поиска решения проблемы.
Список использованной литературы
1. Андреев А.А., Горелов Г.Н., Люлев А.И., Савин А.И. Принцип Дирихле. - Самара: Пифагор, 1997.
2. Бахтина Т. П. Раз задача, два задача ... // Пособие для учителей. - Мн .: ООО «Асар», 2000..
3. Болтянский В. Г. Шесть зайцев в пяти клетках // Квант. - 1977. - №2. - С. 17-20.
4.Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для Внеклассное работы. - Киров: АСА, 1994..
5. Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: Кн. Для учителя. - М .: Просвещение, 1984.
6. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. - М .: Просвещение, 1986.
7. Гальперин Г.А. Московские математические олимпиады. - М .: Просвещение, 1986.
8. Орлов В. И. Принцип Дирихле // Квант. - 1971. - № 7. - С. 17-21.
9. Спивак А.В. Математический праздник. - М .: МЦНМО, 1995..
10. Фоминых. Ю. Ф. Принцип Дирихле. // Ж-л «Математика в школе». -1996. - №3.
11. Ядренко М.И. Принцип Дирихле и его применение. - К .: Высшая школа, 1985.