Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. Система уроков повторения по теме: «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»

Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике
Система уроков повторения по теме:
«Отбор корней в тригонометрических уравнениях»
Работа выполнена
Морозовой Ириной Сергеевной
Учителем математики
ГБОУ гимназии №1748 «Вертикаль»
Москва
Тематическое планирование
№ Содержание учебногоматериала Количество часов Характеристика основных видов деятельности ученика
(на уровне учебных действий)
1 Решение простейших тригонометрических уравнений 1 Формулировать определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса. Находить значения обратных тригонометрических функций для отдельных табличных значений аргумента. Используя понятия арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса, решать простейшие тригонометрические уравнения.
Формулировать свойства обратных тригонометрических функций. Строить графики функций на основе графиков четырёх основных обратных тригонометрических функций. Упрощать выражения, содержащие обратные тригонометрические функции.
Распознавать тригонометрические уравнения и неравенства.
Решать простейшие тригонометрические неравенства. Решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим уравнениям, в частности решать однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени, а также решать тригонометрические уравнения, применяя метод разложения на множители.
Осуществлять отбор корней по заданным условиям. Применять для отбора корней различные способы.
2 Основные виды тригонометрических уравнений:
а) сводящиеся к квадратным,
б) однородные,
в) линейные,
г) вынесение общего множителя за скобки,
д) замена переменной;
2
3 Отбор корней
а) используя область определения уравнения,
б) на заданном промежутке (подбором, через двойное неравенство, по единичной окружности, на числовом луче);
Решение уравнений с отбором корней. 4
Контрольная работа «Тригонометрические уравнения» 1 Итого 8 Планируемые результаты
Предметные результаты:
Выпускник научится:
решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства,
решать алгебраические уравнения на множестве комплексных чисел,
составлять уравнения и неравенства по условию задачи;
применять различные методы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств,
находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;
приемам решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Выпускник получит возможность научиться:
приемам решения уравнений (разложения на множители, подстановка и замена переменной, применений функции к обеим частям, тождественные преобразования обеих частей), а также общим приемам решения систем.
уверенно применять аппарат уравнений для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики;
применять графические представления для исследования уравнений, систем уравнений, содержащих параметр;
составлять план и последовательность действий в связи прогнозируемым результатом;
осуществлять контроль, коррекцию, оценку действий партнера.
Личностные результаты:
формирование мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики;
ответственное отношение к обучению, готовность и способность к саморазвитию и самообразованию на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;
умение контролировать, оценивать и анализировать процесс и результат учебной и математической деятельности;
умение управлять своей познавательной деятельностью;
критичность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.
Метапредметные результаты:
умение самостоятельно определять цели своей деятельности, ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе;
умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата, определять способы действий в рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией;
умение самостоятельно принимать решения , проводить анализ своей деятельности, применять различные методы познания;
умение самостоятельно осуществлять поиск в различных источниках, отбор, анализ, систематизация и классификацию информации, необходимой для решения математических проблем, представлять ее в понятийной форме; принимать решение в условиях неполной или избыточной, точной или вероятностной информации; критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;
умение использовать математические средства наглядности (графики, таблицы, схемы) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;
умение выдвигать гипотезы при решении задачи, понимать необходимость их проверки;
понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.
План – конспект одного из уроков
Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации изученного материала.
Цель и задачи урока:
совершенствовать навыки решения простейших тригонометрических уравнений;
закрепить умение выполнять отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности, перебором по параметру и с помощью решения неравенства;
стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения тригонометрических уравнений;
развивать логическое мышление; умение выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы;
 воспитывать качества характера: настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.
Оборудование урока: проектор, ноутбук, доска
Технологическая карта урока
№ Этап урока Деятельность учителя Деятельность ученика УУД
1 Организационный момент Приветствие учащихся, проверка готовности. Сообщается тема и структура урока Приветствие учителя, демонстрация готовности к уроку. Постановка целей урока. Личностные УУД: развитие умения организовать рабочее пространство, формировать представления об этикетных нормах поведения в процессе работы.
Коммуникативные УУД: планируют учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками
2 Актуализация опорных знаний Организация устного счета и повторения основных тем по слайдам презентации «Решение тригонометрических уравнений» слайды №2-8 (Приложение1) Учувствуют в работе по повторению. Отвечают на вопросы. Заполняют таблицу ответов. Выполняют задания в тетрадях. Анализируя и сравнивая предлагаемые задания, извлекают необходимую информацию для решения последующих заданий. Регулятивные УУД: фиксация индивидуального затруднения
Коммуникативные УУД: выражение своих мыслей, аргументация своего мнения
Познавательные УУД: формулировать информационный запрос
3 Практическая работа по выполнению заданий стандартного типа и упражнений, требующих переноса знаний в изменённые ситуации Организация деления класса на группы, работы в группах по заданиям презентации «Решение тригонометрических уравнений» слайды №9-11 (Приложение 2)
Осуществляет контроль за процессом решения задач. Работают в парах и группах над поставленными задачами. Применяют полученные знания. Самостоятельно планируют свою деятельность, применяют способы решения и прогнозируют результат. Выстраивают в процессе решения задач логическую цепь рассуждений Коммуникативные УУД : управление поведением партнера, контроль и коррекция, оценка действий партнера
Познавательны УУД: формирование интереса к текущей теме
Личностные УУД: формирование готовности к самообразованию
Регулятивные УУД: контроль за работой своей и партнера, оценка и коррекция деятельности
4 Самостоятельная работа. Контроль усвоения, корректировка допущенных ошибок Организация самостоятельной работы учащихся по заданиям презентации «Решение тригонометрических уравнений» слайд №12 (Приложение 3)
Выявление качества и уровня усвоенных знаний и способов действий, установление причин выявленных недостатков.
Индивидуально-дифференцированная работа. Учащиеся выбирают сами какие уравнения по уровню сложности и сколько они успеют сделать. Регулятивные УУД: контроль, коррекция, выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения
Познавательные УУД: анализ, подведение под понятие, выполнение действий по алгоритму
5 Подведение итогов урока. Рефлексия Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся
Инициировать рефлексию детей по поводу мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми. Проводят рефлексию способов и условий своих действий . Оценивают степень достижения цели, определяют круг вопросов и задач для дальнейшей работы. Оценивают свою степень включенности в урок. Познавательные УУД: рефлексия способов и условий действия, адекватное понимание причин успеха и неудач, контроль и оценка процесса и результатов деятельности
Коммуникативные УУД: умение выражать свои мысли, аргументация
6 Домашнее задание Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания Записывают домашнее задание:
1.Решить оставшиеся уравнения
1 уровень Выполни задание, используя один из способов отбора корней
2 уровень Выполни отбор корней всеми тремя способами, которые повторили на уроке
2. Подобрать и решить одно из заданий №13 профильного ЕГЭ по математике.
Приложение 1
Устная работа по слайдам презентации
Какому выражению соответствует значение ?
а) sin30; б) cos; в) tg
Какой из углов является углом IIIчетверти?
а) ; б) –1540 ; в)
Каким выражением можно заменить ?
а) cos ; б) sin ; в) - sin.

Определить верны ли
утверждения – устно
Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:
Уравнение Способы решения
1 2 3 4 5
а)2sinxcosx – sinx = 0 б)3 cos²x - cos2x = 1 в)6 sin²x + 4 sinx cosx = 1 г)4 sin²x + 11sinx = 3 д) sin3x = sin17x Для этого надо вспомнить методы решения тригонометрических уравнений, учащиеся вспоминают и называют способы
1)приведение к квадратному;
2)приведение к однородному;
3)разложение на множители;
4)понижение степени;
5)преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
Два задание на установление соответствия между уравнениями и их корнями
Первое выполняется устно
-57150027368500Второе письменно с последующей проверкой
22860015875000
5. Найти всеми способами все корни, если
на промежутке . Повторяем основные способы отбора корней и их особенности.
Приложение 2
Работа в группах (класс делится на 3 группы). Каждая группа получает задание: решить уравнение с последующим отбором корней, способ отбора корней для каждой группы свой и какой это способ указано на слайде.


8870952794000
Приложение 3

Проверочная работа
Вариант 1
Решить уравнение cosπx4=0. В ответ записать наименьший положительный корень уравнения.
Решить уравнение sin2x=2sinxа) Решите уравнение 2cos2x-π2-3sin2x=0б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -5π2;-πа) Решите уравнение 2sin4x+3cos2x+1=0б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку π;3πа) Решите уравнение 9sinx+9-sinx=103б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -7π2;-2πВариант 2
Решить уравнение tgπx6=-1. В ответ записать наибольший отрицательный корень уравнения.
Решить уравнение 4sin2x-12sinx+5=0а) Решите уравнение 2sin2π2-x+sin2x=0б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5π2;4πа) Решите уравнение 4sin4x-11sin2x+6=0б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -9π2;-3πа) Решите уравнение (25)cosx+(52)cosx=2б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -3π;-3π2Вариант 3
Решить уравнение sinπx12=-0,5. В ответ записать наибольший отрицательный корень уравнения.
Решить уравнение 4sin2x=tgxа) Решите уравнение 2cos23π2+x=sin2xб) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -9π2;-3πа) Решите уравнение 4sin4x+3cos2x-1=0б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку π;3π2а) Решите уравнение 12sinx=4sinx∙3-3cosxб) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5π2;4πВариант 4
Решить уравнение ctgπx4=0. В ответ записать наименьший положительный корень уравнения.
Решить уравнение 6cos2x-5sinx-2=0а) Решите уравнение 2sin2π2-x+2cosx=0б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -4π;-5π2а) Решите уравнение 4cos4x-3cos2x-1=0б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -7π2;-2πа) Решите уравнение 4cosx+4-cosx=52б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -3π;-3π2Краткий анализ знаний учащихся, полученных на уроках повторения по теме: «Отбор корней в тригонометрических уравнениях».
Результаты показывают, что тема «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» представляет сложность для многих учащихся. Тригонометрия традиционно относится к наиболее трудному для школьников материалу. Главной причиной этой трудности является большое количество формул и различных фактов, которые школьники должны не только помнить наизусть, но и уметь гибко и широко варьировать их применимость. Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична.
При этом контрольно-измерительные материалы ЕГЭ содержат задание, состоящее из двух частей: а) решите тригонометрическое уравнение, б) найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку. Процент успешного выполнения этого задания на экзамене не высокий, многие учащиеся даже не приступают к нему. Ошибки допускаются как при решении уравнения (не верное применение тригонометрических формул, ошибки в формулах простейших тригонометрических уравнений, плохое знание различных способов решения тригонометрических уравнений), так и при отборе корней (при получении ответа не учитывается область определения уравнения, плохое владение способами отбора корней принадлежащих промежутку).
Класс, выполнявший работу, изучает математику на профильном уровне. 92% верно выполнили решение тригонометрических уравнений. Несмотря на это только 62% учащихся выполнявших работу верно отобрали корни, что в конечном счете приведет к потере значимых баллов на ЕГЭ по математике. Учащихся, в основном выбрали способ отбора корней по единичной окружности, так как этот способ наиболее полно представлен в УМК по которому они обучаются .
Поэтому необходимо продолжить работу по закреплению навыков преобразовывать тригонометрические выражения, используя формулы; решать простейшие тригонометрические уравнения; решать тригонометрические уравнения разными способами; отбора корней в тригонометрических уравнениях, применяя при этом способы, которые являются предпочтительнее для обучающихся.
Литература:
1.Учебник "Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс" А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов;
2.Задачник Учебник "Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс" А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов;
3."Математика. Подготовка к ЕГЭ. Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней." А.А. Прокофьев, А.Г. Корянов;
4."Комплект материалов для подготовки к ЕГЭ по математике" под редакцией Е.А. Семенко
5. Модульный курс «Я сдам ЕГЭ». Методика подготовки