Брошюра по теме:Ряды по дисциплине Элементы высшей математики для ССУЗов
Министерство образования Республики Коми
Государственное автономное образовательное учреждение
среднего профессионального образования Республики Коми
“Воркутинский политехнический техникум”
СЕРИЯ
Учебных изданий В ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Часть 4. Ряды
для специальностей среднего профессионального образования
технического профиля
г. Воркута, 2012
Печатается по решению методического совета ГАОУСПО РК «Воркутинского политехнического техникума»
Составитель: Ризванова Н.А., преподаватель математики ГАОУСПО РК ВПТ, высшая квалификационная категория
В помощь студентам ГАОУСПО РК «Воркутинского политехнического техникума»-Элементы высшей математики. Часть 4. Ряды./ сост.:Н.А.Ризванова-2012г.
ГАОУСПО РК «Воркутинский
политехнический техникум», 2012 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
TOC \o "1-3" \h \z \u ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПЛАН PAGEREF _Toc197663938 \h 4ЛИТЕРАТУРА PAGEREF _Toc197663939 \h 5ПЕРЕЧЕНЬ УМЕНИЙ PAGEREF _Toc197663940 \h 6ТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР PAGEREF _Toc197663941 \h 91. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ PAGEREF _Toc197663942 \h 91.1. Определение ряда. Сходимость. Сумма ряда. Примеры PAGEREF _Toc197663943 \h 91.2. Необходимый признак сходимости ряда PAGEREF _Toc197663944 \h 141.3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов PAGEREF _Toc197663945 \h 161.4. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница PAGEREF _Toc197663946 \h 231.5. Сходимость произвольных рядов PAGEREF _Toc197663947 \h 252. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА PAGEREF _Toc197663948 \h 262.1. Функциональные ряды PAGEREF _Toc197663949 \h 262.2. Степенные ряды PAGEREF _Toc197663950 \h 302.3. Ряды Тейлора PAGEREF _Toc197663951 \h 352.4. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Маклорена PAGEREF _Toc197663952 \h 392.5. Биномиальный ряд PAGEREF _Toc197663953 \h 402.6. Приложение рядов к приближенным вычислениям PAGEREF _Toc197663955 \h 433. РЯДЫ ФУРЬЕ PAGEREF _Toc197663956 \h 473.1. Периодические функции PAGEREF _Toc197663957 \h 473.2. Определение ряда Фурье PAGEREF _Toc197663959 \h 53ГЛОССАРИЙ PAGEREF _Toc197663969 \h 109
ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПЛАНЧисловые ряды. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимый признак сходи-мости ряда. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Функциональные ряды. Равномерно сходя-щиеся ряды и их свойства. Степенные ряды. Область сходимости ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Формула Тейлора. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций ех, cosх, sinх. Логарифмический ряд. Биномиальный ряд. Приложения рядов Тейлора и Маклорена.
Ряды Фурье.
ЛИТЕРАТУРАБугров, Я. С. Высшая математика [Текст] : в 3 т / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Дрофа, Т. 1, 2006. Т. 2, 2007. Т. 3, 2005. (Гриф МО РФ)
Данилов Ю.М., Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н. Математика. Гриф МО РФ [Текст]: Учеб. пособие - ("Высшее образование") / Данилов Ю.М., Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н. - М.: ИНФРА-М,-2009. - ISBN: 978-5-16-002673-2
Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах. Гриф МО РФ [Текст]: Учеб. пособие - ("Высшее образование") / Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Дегтярева О.М. - М.: ИНФРА-М,-2009. - ISBN: 978-5-16-003449-2
Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов. Гриф МО РФ [Текст]: Учеб. пособие - ("Учебники РУДН") / Клюшин В.Л. - М.: ИНФРА-М,-2009. - ISBN: 978-5-16-002752-4
Кудрявцев, Л. Д. Краткий курс математического анализа [ЭР] / Л. Д. Кудрявцев. - М. : Физматлит, 2005. Т. 2. (с грифом УМО) Электронная библиотека "Мир книг" (www.mirknig.su)
Кудрявцев, Л. Д. Математический анализ [Текст] : в 3 т / Л. Д. Кудрявцев. - М. : Дрофа, Т. 1, 2004. Т. 2, 2004, Т. 3, 2006. (с грифом МО РФ)
Малыхин В.И. Высшая математика. Гриф МО РФ [Текст]: Учебное пособие - 2-е изд.,перераб. и доп. - ("Высшее образование") / Малыхин В.И. - М.: ИНФРА-М,-2009. - ISBN: 5-16-002625-8
Пискунов, Н. С. Дифференциальные и интегральные исчисления [Текст] : в 2 т / Н. С. Пискунов. – М. : Интеграл-Пресс, 2007. (Гриф МО РФ)
Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] : в 3 т / Г. М. Фихтенгольц. - М. : Физматлит, Т. 1, 2007. Т. 2 , 206. Т. 3, 2008. (Гриф МО РФ)
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ1.1. Определение ряда. Сходимость. Сумма ряда. ПримерыНачнем со следующей задачи. Рассмотрим отрезок длины 2. Разделим его на два равных отрезка (каждый длины 1). Не трогая левого отрезка, разделим правый на два равных отрезка (каждый длины ). Правый из них разделим на два равных отрезка (каждый длины ). Продолжая этот процесс до бесконечности, приходим к разбиению отрезка длины 2 на отрезки длины 1, , , , , … и т.д. Поэтому
1 + + + + + … = 2. (1)
Это рассуждение было известно еще древним грекам, и философ Зенон, известный нам своими парадоксами (апориями), сохранившимися в трудах других писателей, оспаривал его законность. [Зенон Элейский (ок. 490 г. до н.э.) был последователем философа элейской школы Парменида, учившего, что бытие в своей сущности неизменно. Парадоксы Зенона можно интерпретировать как попытку доказать иллюзорность движения].
Один из парадоксов (“Быстроногий Ахиллес не догонит черепаху”) утверждает, что бегущий человек никогда не сможет достичь цели, поскольку он должен сначала пробежать половину требуемой дистанции, затем половину оставшейся части дистанции, затем снова половину оставшейся части и т.д. Таким образом, он должен пробежать бесконечное множество расстояний, а это будет продолжаться вечно.
Конечно, Зенон видел бегунов, достигавших финиша, поэтому нам остается лишь догадываться, что он хотел сказать этим и другими своими парадоксами. Но если Зенон имел в виду, что сложение бесконечного множества чисел нельзя трактовать как процесс, аналогичный сложению конечного числа их, то он был, разумеется, прав.
Если бы мы попытались вычислить сумму (1), последовательно выполняя все указанные в ней сложения, то это, конечно, никогда бы не окончилось. И все же мы чувствуем, что равенство (1) в некотором смысле верно. В чем же заключается его точный смысл?
Вычислим сумму n первых членов левой части, пользуясь формулой для суммы членов геометрической прогрессии. Имеем
1 + = , 1 + + = , 1 + + + = ,
и вообще,
1 + + + + … + = = .
Таким образом, разность между суммой n первых членов левой части (1) и числом 2 есть число, предел которого равен нулю Можно рассматривать формулу (1) как сокращенную запись только что сделанного утверждения.
Приведем пример того, что с бесконечными суммами надо обращаться не так, как с конечными. Обозначим через S бесконечную сумму
1 – + – + – + – + – + … = S. (2)
Бесконечная сумма
1 + – + + – + + – + … (3)
содержит те же члены, что и (2), и, по-видимому, должна иметь ту же сумму S. Но, с другой стороны, из (2) следует, что
– + – + – … = S.
Запишем (2) и только что полученное соотношение рядом друг с другом
1 – + – + – + – + – + – … = S;
– … = S
и затем сложим их. Получаем
1 + – + + – + + – + … = S.
Каково же истинное значение суммы (2): S или S? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо дать точное определение суммы в случае бесконечного числа слагаемых.
Пусть дана последовательность вещественных (действительных) чисел а1, а2, а3, …, аn, … .
Числовым рядом называется выражение
а1 + а2 + … + аn + … (4)
Числа а1, а2, …, аn, … называются членами ряда, в частности а1 – первый член ряда, а2 – второй член ряда, аn – n-й или общий член ряда.
Ряд считается заданным, если известен общий член ряда аn как функция его номера: аn = f(n).
Приведем несколько примеров рядов:
1 + + + + … + +…общий член ряда аn = ; (5)
3 + 12 + 48 + … + 3 4n–1 + …общий член ряда аn = 3 4n–1; (6)
1 – 1 + 1 – 1 + … + (–1)n–1 + …общий член ряда аn = (–1)n–1; (7)
1+ 1 + 1 + … + 1 + …общий член ряда аn = 1. (8)
В дальнейшем мы часто будем записывать ряды в более компактном виде, используя символ (греческая буква “сигма”):
…
Например, первый из написанных выше рядов можно записать в виде
Введем суммы конечного числа членов ряда
S1 = а1, S2 = а1 + а2, …, Sn = а1 + а2 + … аn.
Сумма Sn первых n членов ряда называется n-й частичной (частной) суммой ряда (4). Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм при неограниченном возрастании номера n, т.е.
Замечание. Для исследования сходимости последовательности {Sn} можно использовать ранее доказанные критерии сходимости последовательности.
Предел последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой числового ряда. Если число S является суммой сходящегося ряда а1 + а2 + … + аn + …, то пишут
а1 + а2 + … + аn + … = S
или
Если конечный предел последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.
Пример 1. Найти сумму ряда
(9)
Решение. n-я частичная сумма ряда равна
Учитывая, что
= 1 – , = – , = – , …, = –
имеем
Sn = (1 – ) + ( – ) + ( – ) + … + ( – ) = 1 – .
Отсюда
Таким образом, данный ряд (9) сходится и сумма его равна 1.
Пример 2. Исследовать сходимость геометрического ряда, т.е. ряда, члены которого составляют геометрическую прогрессию
а + aq + aq2 + … + aqn–1 + … = . (10)
Постоянное число а 0 называется первым членом прогрессии, а множитель q – знаменателем прогрессии.
Решение. Выясним, при каких значениях q геометрический ряд (10) сходится, а при каких – расходится. Из школьного курса известно, что сумма первых n членов геометрической прогрессии равна (при q 1)
Возможны следующие случаи:
1. Если |q| < 1, то qn 0 при n и
(11)
Таким образом, при |q| < 1 геометрический ряд (10) сходится и сумма его равна .
2. Если |q| > 1, то qn и
Следовательно, в этом случае ряд расходится.
3. Если q = 1, то ряд (10) имеет вид
а + а + а + … + а + …
и для него Sn = n а и при а 0 , т.е. ряд расходится.
4. Если q = –1, то ряд (10) примет вид
а – а + а – а + … + (–1)n–1а + …
и в этом случае Sn = 0 при четном n и Sn = а при n нечетном. Значит, при а 0 предел не существует и ряд расходится.
Геометрический ряд сходится тогда и только тогда, когда |q| < 1.
Например, в силу установленного правила рассмотренный выше ряд (5) сходится, а ряды (6)-(8) расходятся.
Пример 3. Показать, что ряд
сходится.
Решение. Этот ряд является геометрическим рядом с q = 0,25 = 1/4. Поэтому его сумма равна:
Отметим связь между геометрическим рядом и разложением действительного числа в десятичную дробь. Например, дробь 0,333333… определяется следующим образом
0,333333 … =
Геометрический ряд позволяет выразить произвольную периодическую десятичную дробь как рациональное число. Например,
0,3232… =
Замечание. Начальный индекс суммирования не обязательно должен начинаться с 1, иногда удобно рассматривать с индекса n = m (m = 0, 1, 2, …):
Установим простейшие свойства сходящихся рядов.
1. Если ряд а1 + а2 + … + аn + … сходится к сумме S, то и ряд а1 + а2 + … + аn + … , где – заданное число, также сходится и сумма его равна S.
2. Если ряды
а1 + а2 + … + аn + … (12)
и
b1 + b2 + … + bn + … (13)
сходятся и имеют соответственно суммы S и , то ряд
(а1 + b1) + (a2 + b2) + … + (an + bn) + …,
получающийся почленным сложением данных рядов, также сходится и имеет сумму S + .
Свойства 1 и 2 непосредственно вытекают из определения суммы ряда и свойств пределов числовых последовательностей.
Например, для частичных сумм последнего ряда имеем
(а1 + b1) + (a2 + b2) + … + (an + bn) =Sn + ,
где Sn и – частичные суммы рядов (12) и (13) соответственно.
3. Если ряд (4) сходится, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием (или приписыванием) конечного числа членов.
Доказательство. Пусть в сходящемся ряде
а1 + а2 + … + аk–1 + ak + ak+1 + … + an–1 + an + … (14)
отброшено k членов:
ak+1 + ak+2 + … + an–1 + an + … (15)
Обозначим через Sn сумму n первых членов ряда (14), через Sk – сумму k отброшенных членов (k < n) и через tn–k = ak+1 + ak+2 + … + an. Тогда
Sn = Sk + tn–k,
причем Sk – некоторое число, не зависящее от n. Отсюда следует, что при фиксированном k конечный предел существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел Это и означает, что ряд (15) сходится. Свойство доказано.
На сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.
Замечания:
1. Конечно, если отбросить конечное число членов сходящегося ряда, то сумма его меняется.
2. В принципе можно отбрасывать члены с любыми номерами, лишь бы их было конечное число.
3. Ряд, полученный из данного отбрасыванием его первых n членов, называется n-м остатком числового ряда, т.е.
(16)
4. Для того чтобы ряд (4) сходился, необходимо и достаточно, чтобы
Действительно, если ряд (4) сходится и сумма его равна S, то
S = rn + Sn, rn = S – Sn.
Поэтому, если , то , и обратно, если , то .
5. В дальнейшем нас будет интересовать вопрос – сходится данный ряд или расходится, а не вычисление суммы ряда.
Выяснение сходимости (или расходимости) ряда путем вычисления обычно приводит к принципиальным сложностям.
Поэтому задача будет ставиться следующим образом: найти эффективные условия для общего члена ряда, при которых данный ряд сходится или расходится.
1.2. Необходимый признак сходимости рядаТеорема. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.
(1)
– сходится
Доказательство. Обозначим через S сумму данного сходящегося ряда
= S.
Рассмотрим его частичные суммы
Sn = а1 + а2 + … + аn–1 + an
и
Sn–1 = a1 + a2 + … + an–1.
Отсюда
аn = Sn – Sn–1.
Так как и , то получаем необходимый признак сходимости ряда
,
т.е. если ряд сходится, то предел его общего члена стремится к нулю при n ∞, что и требовалось доказать.
Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если общий член ряда не стремится к нулю, т.е. то ряд расходится.
Доказательство. Действительно, если бы данный ряд сходился, то по утверждению теоремы его общий член должен был бы стремиться к нулю, что противоречит условию теоремы. Это противоречие и доказывает утверждение.
Рассмотрим ряды:
2 5 + 2 52 + … + 2 5n + …
Так как пределы их общих членов
не равны нулю, то данные ряды расходятся.
Замечание. Условие (1) является необходимым для сходимости числового ряда, но не является достаточным. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых
Пример 1 (гармонический ряд). Рассмотрим ряд
(2)
у которого каждый член является средним гармоническим для двух соседних членов.
Ясно, что
.
Покажем, что гармонический ряд является расходящимся.
Докажем, что
1 + k (3)
для каждого k.
Для доказательства (3) отметим, что:
;
;
В общем случае разобьем слагаемые в на группы и затем подставим наименьшее значение в каждой группе. Тогда получим, что сумма в каждой группе равна 1/2:
Поскольку отсюда следует неограниченность частичных сумм гармони-ческого ряда, значит,
гармонический ряд расходится.
Замечание. В дальнейшем мы покажем (см. интегральный признак сходимости), что следующий ряд (обобщенный гармонический ряд)
(4)
сходится.
1.3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядовРассмотрим ряд
(1)
у которого все члены положительны аn > 0 (n = 1, 2, …). Такие ряды будут называться знакополо-жительными.
Сформулируем следующее предложение из теории пределов.
Лемма 1 (о пределе монотонной последовательности). Если числовая последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел.
Переходя к достаточным признакам сходимости, предварительно докажем следующее утверждение, которое будет использовано в дальнейшем.
Лемма 2. Для того чтобы знакоположительный ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
Доказательство.
Необходимость. Пусть ряд (1) сходится. По определению последовательность его частичных сумм имеет предел. Но если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Достаточность. Прежде всего отметим, что так как все члены ряда (1) положительны, то последовательность его частичных сумм является возрастающей
Sn < Sn+1 (n = 1, 2, …).
В силу леммы 1 последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел и, значит, ряд сходится.
Рассмотрим некоторые наиболее часто используемые признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.
Теорема 1 (признак сравнения). Даны два знакоположительных ряда:
а1 + а2 + … + аn + … (an > 0); (2)
b1 + b2 + … + bn + … (bn > 0). (3)
Пусть члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда
an bn (n = 1, 2, …). (4)
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если сходится ряд (3), то сходится и ряд (2);
2) если расходится ряд (2), то расходится и ряд (3).
Доказательство. Обозначим через Sn и частичные суммы рядов (2) и (3) соответственно. Из неравенства (4) следует оценка Sn (n = 1, 2, …).
Докажем утверждения теоремы.
1. Если ряд (3) сходится к сумме , то в силу леммы 2 его частичные суммы ограничены. Ясно, что . Поэтому частичные суммы ряда (2) ограничены и, следовательно, ряд (2) сходится, и сумма его не превосходит .
2. Ряд (2) расходится и частичные суммы его возрастают, поэтому Значит, и, следовательно, ряд (3) расходится.
Замечания.
1. Ряд (3) называется мажорантным рядом по отношению к ряду (2).
2. Для применения признака сравнения необходимо иметь стандартный набор сходящихся и расходящихся рядов. В нашем случае можно использовать, например, геометрический ряд, гармонический ряд и обобщенный гармонический ряд.
Пример 1. Показать, что ряд
сходится.
Решение. Геометрический ряд сходится (). Поэтому сходимость исходного ряда следует из признака сравнения и неравенства (для n 1).
Пример 2. Показать, что ряд расходится.
Решение. Расходимость исходного ряда вытекает из расходимости гармонического ряда и неравенства (n 1), если воспользоваться признаком сравнения.
Теорема 2 (предельный признак сравнения). Предположим, что для рядов с положи-тельными членами (2) и (3) выполняется предельное соотношение , где К – положительное число.
Тогда эти ряды ведут себя одинаково, т.е.:
а) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (3);
б) если расходится ряд (2), то расходится и ряд (3).
Доказательство. Поскольку , то существует натуральное число N такое, что при n N. Отсюда Следовательно, и для n N. Из этих неравенств и признака сравнения следует, что если ряд сходится, то сходятся и ряды , ,
Аналогично, если то и
Пример 3. Показать, что ряд сходится.
Решение. Найдем ряд, сравнимый с данным рядом, сходимость которого известна. Так как нас интересует поведение членов ряда при n , то основную роль играют старшие члены в числителе и знаменателе. Поэтому сравним данный ряд с рядом, у которого общий член равен Поскольку сходится [ряд (4) §1.2 при р = 2], то в силу признака сравнения а) осталось вычислить
В силу пункта а) доказанной теоремы получим сходимость исходного ряда.
Пример 4. Показать, что ряд расходится.
Решение. Действительно, сравним с гармоническим рядом В силу пункта б) доказанной теоремы получаем расходимость исходного ряда.
Применение признаков сравнения иногда бывает затруднительно ввиду необходимости составлять вспомогательный ряд с известным поведением. Не существует универсальных рядов, с помощью которых можно судить о сходимости и расходимости конкретного ряда.
Поэтому мы рассмотрим ряд достаточных условий, позволяющих исследовать поведение ряда в зависимости от скорости стремления общего члена к нулю.
Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть для знакоположительного ряда (2) существует предел отношения последующего члена к предыдущему
(возможно и бесконечность), тогда:
а) если d < 1, то данный ряд сходится;
б) если d > 1, то ряд (2) расходится;
в) если d = 1, то данный признак не дает ответа: ряд (2) может как сходиться, так и расходиться, требуется дополнительное исследование.
Доказательство.
а. Пусть d < 1. Покажем, что ряд сходится. Действительно, так как , то в силу определения предела последовательности для любого >0 можно подобрать натуральное число N (зависящее от ) так, что выполняется
(n N).
Отсюда
или (n N).
Положим d + = q, получим Так как d < 1, а – произвольно мало, то его можно подобрать столь малым, что q = d + < 1. Значит, выполняется , т.е.
aN+1 < aNq, aN+2 < aN+1q < aNq2, aN+3 < aN+2q < aNq3, …
Рассмотрим два ряда:
aN + aN+1 + aN+2+aN+3 + … (5)
и
aN + aNq + aNq2+aNq3 + … (6)
Ряд (6) является геометрическим со знаменателем q < 1, поэтому он сходится. Но так как сходится мажорантный ряд, то сходится и ряд (5) в силу признака сравнения а). Но ряд (5) получен из данного ряда (2) отбрасыванием конечного числа членов а1 + а2 + … + аN–1, следовательно, в силу свойства 3 сходящихся рядов (см. §1) ряд (2) сходится.
б. Пусть теперь d > 1. Покажем, что ряд расходится. Так как то при достаточно больших n N, поэтому аn+1 > аn (n N), члены ряда возрастают и необходимое условие сходимости ряда не выполняется. Следовательно, в силу следствия из необходимого условия данный ряд (2) расходится.
в. Проиллюстрируем на примерах, что в случае в) ряд (2) может как сходиться, так и расходиться.
Действительно, ряд расходится, для него
ряд сходится (это обобщенный гармонический ряд при р = 2), но для него
Пример 5. Показать, что ряд расходится.
Решение. Имеем
Осталось применить признак Даламбера, так как d = 3>1.
Пример 6. Показать, что ряд сходится.
Решение. Напомним, что n! (n – факториал) определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n : n! = 1 2… n и справедливо (n+1)! = (n+1)n!. Поэтому
Отсюда вытекает сходимость данного ряда.
Замечания.
1. Признак Даламбера обычно применяют, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.
2. Отношение называют вариантой Даламбера.
Теорема 4 (радикальный признак Коши). Пусть для знакоположительного ряда (2) сущест-вует предел (может быть и бесконечность), тогда:
а) если < 1, то ряд (2) сходится;
б) если > 1, то ряд (2) расходится;
в) если = 1, то ничего определенного сказать нельзя – ряд может как сходиться, так и расходиться.
Доказательство. Пусть < 1. Выберем число так, что < <1. Так как то существует натуральное число N такое, что для n N имеем , или эквивалентно аn n. Поскольку геометрический ряд сходится (s < 1), то по признаку сравнения получаем сходимость ряда , и первая часть утверждения доказана. Случай б) аналогичен признаку Даламбера в). Примеры, приведенные в признаке Даламбера в), применимы и в данном случае, так как
Пример 7. Показать, что ряд сходится.
Решение. Вычислим Так как то исходный ряд сходится по доказанной теореме.
Пример 8. Показать, что ряд расходится.
Решение. Действительно, в этом случае
Замечание. Радикальный признак Коши “сильнее” признака Даламбера: если применим признак Даламбера, то поведение ряда исследуется и с помощью радикального признака Коши. С другой стороны, существуют ряды, о сходимости или расходимости которых можно судить по признаку Коши, но признак Даламбера приводит к случаю в).
Приведем следующий эффективный признак, опирающийся на понятие несобственного интеграла.
Теорема 5 (интегральный признак Коши-Маклорена). Пусть члены знакоположительного ряда (2) являются значениями при х = 1, 2, …, n, … некоторой положительной, непрерывной и убывающей на промежутке [1, ) функции f(х):
а1 = f(1), а2 = f(2), …, аn = f(n), …
Тогда
а) если сходится несобственный интеграл , то сходится и ряд (2);
б) если расходится, то ряд (2) также расходится.
Замечание. Функция f(х) называется порождающей для ряда (2).
Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции у = f(х) с основанием от х = 1 до х = n.
Впишем в эту трапецию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из вписанных и описанных прямоугольников, основаниями которых служат промежутки [1, 2], [2, 3], [3, 4], …
Высотами прямоугольников вписанной фигуры служат функции f(2), f(3), …, f(n), а высотами прямоугольников описанной фигуры – значения f(1), f(2), …, f(n – 1) (рис. 1).
Рис. 1
Как видно из рисунка, площадь криволинейной трапеции, выражаемая интегралом , заключается между площадями вписанной и описанной ступенчатых фигур. Поэтому
f(2) 1+ f(3) 1+ … + f(n) 1 < < f(1) 1+ f(2) 1+ … + f(n – 1) 1
или
а2 + а3 + … + аn < < а1 + а2 + а3 + … + аn–1.
Отсюда
Sn – а1 < < Sn – аn.
Следовательно,
Sn < а1 + (7)
и
Sn > аn + . (8)
а. Докажем первую часть теоремы. Пусть несобственный интеграл сходится. Тогда Так как f(х)>0, Из неравенства (7) следует Sn < a1 + A. Итак, последовательность частичных сумм ряда ограничена, в силу леммы 2 из §3 ряд (2) сходится.
б. Пусть несобственный интеграл расходится. В этом случае
Поэтому из неравенства (8) следует, что последовательность частичных сумм ряда (2) является неограниченной, следовательно, исходный ряд (2) расходится.
Следствие. Обобщенный гармонический ряд
сходится тогда и только тогда, когда р > 1.
Доказательство. Так как при р 0 не выполняется необходимое условие, то мы рассмотрим случай р > 0. При этом порождающая функция f(х) = (1 х < ) является положительной, монотонно убывающей функцией.
Исследуем сходимость несобственного интеграла при различных значениях р.
При р = 1 находим
Имеем при р 1
Так как равен нулю при р>1 и равен бесконечности при р < 1, то интеграл существует тогда и только тогда, когда р>1, и осталось применить интегральный признак.
Замечание. Доказанный признак не дает возможность вычислять сумму сходящегося обобщенного гармонического ряда. В середине XVIII столетия Л.Эйлер доказал, что
(9)
Пример 9. Показать, что ряд расходится.
Решение. В этом случае полагаем f(х) = для х 2. Тогда f(х) непрерывна, убывает на [2, ) и f(n) = для n 2.
Далее, отметим, что
Таким образом, несобственный интеграл расходится. Следовательно, по интеграль-ному признаку данный ряд также расходится.
1.4. Знакочередующиеся ряды. Теорема ЛейбницаДо сих пор мы рассматривали ряды с положительными членами. Рассмотрим теперь знакоче-редующиеся ряды, члены которых поочередно имеют то положительные, то отрицательные знаки. Такие ряды удобно записывать в виде
а1 – а2 + а3 – а4 + … + (–1)n+1 аn + … = , (1)
где аn > 0, n = 1, 2, … (конечно, можно начинать и с отрицательного члена).
Докажем следующее утверждение, дающее достаточное условие сходимости таких рядов.
Теорема. Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают по абсолютной величине
а1 > а2 > … > аn > аn+1 > … (2)
и стремятся к нулю
, (3)
то ряд (1) сходится и сумма его не превосходит первого члена.
Доказательство. Рассмотрим четную частичную сумму S2m ряда (1)
S2m = а1 – а2 + а3 – а4 + … + а2m–1 – а2m.
Запишем ее в виде
S2m = (а1 – а2) + (а3 – а4) + … + (а2m–1 – а2m).
Так как ввиду (2) каждая скобка положительна, то последовательность S2m монотонно возрастает. С другой стороны, переписав ее в виде
S2m = а1 – (а2 – а3) – (а4 –а5) – … – (а2m–2 – а2m–1) – а2m,
видим, что S2m ограничена сверху
S2m < а1 (m = 1, 2, …).
В силу утверждения о пределе монотонной последовательности (лемма 1 §1.3) частичная сумма S2m имеет конечный предел
(4)
Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного порядка
S2m+1 = S2m + а2m+1.
В силу (3) и (4)
Итак, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов имеют общий предел S.
Отсюда следует, что число S будет суммой ряда (1). Вторая часть утверждения следует из неравенства (4).
Следствие (оценка остатка знакочередующегося ряда). Остаток знакочередующегося ряда (2) по абсолютной величине не превосходит модуля первого из отброшенных членов.
Действительно, остаток ряда (1)
rn = ±(аn+1 – an+2 + an+3 – …)
является знакочередующимся рядом и, следовательно, его сумма в силу теоремы по абсолютной величине меньше первого члена аn+1: |rn| аn+1.
Простейшими примерами знакочередующихся рядов, известными еще Лейбницу, являются следующие ряды.
Пример 1.
. (5)
Пример 2. Рассмотрим ряд Лейбница.
. (6)
Сходимость этих рядов вытекает из доказанной теоремы. Ниже (см. §2.2 и 2.4) будет показано, что сумма первого ряда равна ln2, а ряд (6) сходится к .
Пример 3. Вычислить сумму ряда с ошибкой меньше 0,001.
Решение. Найдем значение n, для которого аn+1 0,001, тогда в силу следствия частичные суммы Sn будут приближать сумму ряда S с точностью Так как , то надо найти n такое, что Беря n = 10, находим, что Тогда требуемое приближение равно
Замечание. Если в случае знакоположительных рядов сходимость ряда вытекала из ограниченности частичных сумм, то сходимость знакочередующихся рядов следует из наложения положительных и отрицательных членов.
1.5. Сходимость произвольных рядовИзучим вопрос о сходимости рядов
(1)
члены которых могут иметь произвольные знаки.
Рассмотренные выше знакочередующиеся ряды являются частным случаем таких рядов.
Докажем следующий признак сходимости рядов (1), сводящий исследование сходимости ряда (1) к изучению ряда с положительными членами.
Теорема (достаточный признак сходимости числового ряда). Пусть дан ряд (1) с членами произвольных знаков. Если сходится ряд
(2)
составленный из абсолютных величин его членов, то сходится и данный ряд (1).
Доказательство. Обозначим через Sn и n суммы первых n членов рядов (1) и (2). Пусть – сумма всех положительных, а – сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых n членов ряда (1), тогда
По условию, последовательность n имеет предел Поэтому и – положи-тельные возрастающие последовательности, ограниченные числом . Следовательно, они имеют пределы S и S. Значит, из соотношения Sn = – вытекает, что и последовательность Sn имеет предел, равный S – S, что и требовалось доказать.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
, (3)
где – любое число.
Решение. Рассмотрим ряды
(4)
и
(5)
Члены ряда (4) не больше соответствующих членов ряда (5). Но ряд (5) сходится. Значит, ряд (4) также сходится, и в силу доказанной теоремы ряд (3) сходится.
Доказанный признак сходимости произвольного ряда является лишь достаточным, но не необходимым: существуют ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин членов ряда, расходятся.
Пример 2. Знакочередующийся ряд (5) из §4 сходится, а ряд из абсолютных величин (гармонический ряд) – расходится.
Пример 3. Знакочередующийся ряд (6) из §1.4 сходится, а ряд из абсолютных величин расходится. Действительно, это непосредственно вытекает из неравенства , теоремы сравнения и расходимости гармонического ряда.
Если ряд (1) сходится вместе с рядом, составленным из абсолютных величин его членов, то говорят, что ряд (1) сходится абсолютно (признак абсолютно сходящегося ряда).
Из доказанной теоремы вытекает, что одной сходимости ряда (2) уже достаточно для абсолютной сходимости ряда (1).
Если ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда, расходится, то данный ряд (1) называется условно сходящимся (неабсолютно сходящимся).
Возвращаясь к рассмотренным выше примерам, можно сказать, что ряд (3) является абсолютно сходящимся, а ряды (5) и (6) из §1.4 будут условно сходящимися.
С абсолютно сходящимися рядами можно оперировать как с конечными суммами. Например, имеет место следующее свойство.
Сумма абсолютного сходящегося ряда не меняется при любой перестановке его членов.
Это переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Оно не сохраняется для условно сходящихся рядов.
Пример 4. Обозначим через S сумму условно сходящегося ряда
Как показано в §1.1, перестановкой членов этого ряда можно добиться изменения его суммы. Имеет место следующая теорема.
Теорема Римана. Если ряд (1) условно сходится, то какое бы ни взять наперед число А (конечное или равное +), можно так переставить члены в этом ряду, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно А.
Замечание. Обращение с рядами требует известной осторожности. Приведем следующий пример.
Пример 5. Найти ошибку в рассуждениях.
Обозначим а = 1 + 2 + 4 + 8 + …
Тогда 2а = 2 + 4 + 8 + 16 + … = (1 + 2 + 4 + 8 + …) – 1 = а – 1.
Поэтому а = –1, что абсурдно.
2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА2.1. Функциональные рядыРяд
u1(х) + u2(x) + … + un(x) + … = (1)
называется функциональным, если члены его являются функциями от переменной х. Давая переменной х определенные числовые значения, получаем сходящиеся или расходящиеся числовые ряды.
Если в точке х0 ряд u1(х0) + u2(x0) + … + un(x0) + … = сходится, то точка х0 называется точкой сходимости ряда (1). Если этот ряд расходится, то х0 – точка расходимости ряда (1).
Совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд (1) сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Областью сходимости функциональных рядов часто бывает какой-нибудь промежуток числовой оси.
Пример 1. Ряд
1 + х + х2 + … + хn + … = (2)
сходится в интервале (–1, 1), так как при любом |х| < 1 соответствующий числовой ряд есть геометрический ряд со знаменателем q = х. При |х| 1 этот ряд расходится. Следовательно, область сходимости ряда (2) есть интервал (–1, 1).
Сумма функционального ряда является некоторой функцией от х, определенной в области сходимости. Обозначим ее через S(х).
Так, в приведенном примере сумма ряда равна
(–1 < х <1). (3)
Обозначим через Sn(х) – n-ю частичную сумму ряда (1), а через rn(х) остаток ряда.
Если ряд сходится при некотором значении х, то
(см. §1.1).
Как известно, сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Кроме того, производная и интеграл от суммы конечного числа функций равны соответственно сумме производных и интегралов от этих функций. Возникает вопрос: переносятся ли данные свойства на суммы бесконечного числа функций, т.е. на функциональные ряды?
Покажем на примере, что для произвольных функциональных рядов эти свойства могут оказаться несправедливыми.
Пример 2. Рассмотрим ряд
.
При х = 0 все члены ряда равны нулю и сумма его равна нулю. При х 0 ряд представляет собой сходящуюся геометрическую прогрессию со знаменателем Сумма ряда равна (см. §1.1)
Таким образом, сумма ряда, состоящего из непрерывных функций, оказалась разрывной функцией. Она имеет разрыв в точке х = 0 : S(х) = 1 (х 0) и S(0) = 0.
Сейчас мы выделим класс функциональных рядов, для которых справедливы утверждения о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости.
Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся в области D, если для любого числа > 0 можно указать такое число N, зависящее от и не зависящее от х, что при всех номерах n N неравенство |rn(х)| < справедливо для всех точек D.
Поясним вкратце смысл данного определения. Пусть в точке х1 ряд сходится. Тогда для остатка ряда выполняется
Это значит, что для любого > 0 можно указать такое число N1, что при всех n N1 справедливо неравенство |rn(х1)| < . Возьмем в области сходимости другую точку х2, в ней ряд тоже сходится и .
Если взять то же самое число > 0, то неравенство |rn(х2)|< будет выполняться, начиная с некоторого другого номера N2, например, большего, чем N1. Если бы речь шла только о двух точках, то можно было бы взять наибольшее из двух номеров N1, N2, и тогда оба остатка были бы по абсолютной величине меньше при всех n max (N1, N2). Так же мы могли бы поступить, если бы у нас было конечное число точек. Но если область сходимости есть интервал, то в нем бесконечное число точек, и хотя каждой точке соответствует свое число N (, х) [его обозначают N (, х), подчеркивая зависимость от и от х] такое, что при n N (, х) остаток |rn(х)| < , но числа N, общего для всех точек области сходимости, может и не найтись.
Рассмотрим геометрический смысл введенного понятия. Если S(х) – сумма равномерно сходящегося ряда (1), а Sn(х) – его частичные суммы, то по определению для заданного > 0 существует номер N такой, что для всех х и n N выполняется условие
|S(х) – Sn(х)| < ,
т.е. частичные суммы Sn(х) (n N) все лежат в полосе: S(х) – < Sn(х) < S(x) + (рис. 2).
Рис. 2
Приведем простой, но эффективный признак равномерной сходимости функционального ряда.
Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Если члены функционального ряда (1) удовлетворяют в области D неравенствам
|un(х)| аn (n = 1, 2, …), (4)
где аn – члены некоторого сходящегося знакоположительного ряда
, (5)
то ряд (1) сходится равномерно в D.
Доказательство. По определению сходимости числового ряда (5) для любого > 0 можно указать такое число N = N(), что при всех n N справедливо неравенство . Тогда для остатка функционального ряда (1) получаем оценку .
При n N, где N = N() зависит лишь от > 0, отсюда по определению и следует равномерная сходимость ряда (1).
Пример 3. Тригонометрические ряды
(6)
и
(7)
сходятся равномерно в любом интервале числовой оси, так как |cos nx| 1, |sin nx| 1 и ряд сходится.
Замечание. Ряды, для которых выполняются условия теоремы Вейерштрасса, называются правильно сходящимися.
Теорема 2. Если члены равномерно сходящегося в D функционального ряда (1) непрерывны, то:
– сумма ряда (1) также непрерывна на D;
– ряд (1) можно интегрировать почленно.
Последнее утверждение состоит в том, что если a и b – любые две точки из D, то
Теорема 3. Пусть функциональный ряд (1) сходится в D и его члены имеют непрерывные производные . Тогда, если ряд, полученный после почленного дифференцирования, является равномерно сходящимся на D, то его сумма равна производной от суммы данного ряда
Пример 4. Ряд
(8)
и ряд, составленный из производных , правильно сходятся в любом интервале числовой оси, так как они мажорируются соответственно сходящимися числовыми рядами , (обобщенные гармонические ряды при р = 3 и р = 2). Следовательно, сумма ряда (8) непрерывна на всей числовой оси, и этот ряд можно дифференцировать и интегрировать при всех х.
В настоящем курсе будут рассмотрены только важнейшие классы функциональных рядов: степенные и тригонометрические.
2.2. Степенные рядыРяд вида
а0 + а1х + а2х2 + … + anxn + … = (1)
называется степенным рядом.
Это функциональный ряд по степеням 1, х, х2,…, хn,…, поэтому ряд начинается с члена а0, который называется свободным членом. Для удобства n-м членом степенного ряда называют член anxn несмотря на то, что он стоит на (n + 1)-м месте. Свободный член ряда а0 считается нулевым членом степенного ряда.
Нас будет интересовать нахождение области сходимости степенного ряда.
Отметим, прежде всего, что степенной ряд (1) сходится в точке 0.
Докажем важную теорему Абеля, на которой основано изучение области сходимости рядов (1).
Теорема 1.
а. Если степенной ряд (1) сходится в точке х0 0, то он сходится, и притом абсолютно, в интервале (–|х0|, |х0|), т.е. при всех х, удовлетворяющих неравенству |х| < |х0|.
б. Если степенной ряд (1) расходится при х = х1, то он расходится и при всяком х, большем по абсолютной величине, чем |х1|, т.е. при |х| > |х1|.
Доказательство. Отметим, что в силу сходимости числового ряда его общий член стремится к нулю (необходимое условие) ; поэтому все члены этого ряда ограничены, т.е. существует такое постоянное положительное число М, что при всяком n имеет место оценка
Запишем ряд (1) в виде
и составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда
В силу установленного выше неравенства данный ряд мажорируется геометрическим рядом со знаменателем q =
Если |х| < |х0|, то q < 1, и геометрический ряд сходится, что и доказывает первую часть утверждения теоремы (воспользоваться признаком сравнения).
Второе утверждение непосредственно вытекает из первой части. Действительно, если бы ряд (1) сходился при |х| > |х1|, то в силу доказанной части а) он абсолютно сходился бы и при всех меньших по абсолютной величине значениях х, в частности, при х = х1, что противоречит условию. Теорема Абеля полностью доказана.
Теорема Абеля показывает, что все точки сходимости степенного ряда (1) расположены ближе к началу координат, чем точки расходимости.
Кроме того, при исследовании сходимости степенных рядов можно воспользоваться одним из признаков сходимости знакоположительных числовых рядов (например, признаком Даламбера), так как выясняется абсолютная сходимость ряда.
Для степенного ряда (1) имеют место следующие утверждения:
а) область сходимости ряда (1) состоит только из одной точки х = 0, т.е. ряд расходится для всех значений х 0;
б) область сходимости ряда (1) состоит из всех точек оси Ох, т.е. ряд сходится при всех х;
в) область сходимости состоит больше, чем из одной точки, причем на числовой оси имеются как точки сходимости, так и точки расходимости. В этом случае существует такое положительное число R, что для всех х, по модулю меньших R(|х| < R), ряд абсолютно сходится, а для всех х, по модулю больших R, ряд расходится.
Проиллюстрируем эти утверждения на примерах.
Пример 1. (напомним, что 0! = 1).
Если х 0, то
По признаку Даламбера данный ряд расходится при всех х 0.
Пример 2. Рассмотрим ряд
.
Если х 0, то
По признаку Даламбера данный ряд сходится при всех х.
В силу необходимого условия сходимости ряда отсюда вытекает следующее соотношение
(– < х < ). (2)
Пример 3. Рассмотренный в §2.1 ряд 1 + х + х2 + х3 + … = сходится к при |х| < 1 и расходится при |х| 1.
Назовем число R, фигурирующее в пункте в), радиусом сходимости степенного ряда (1). В примере 3 R = 1. Если ряд (1) сходится лишь в точке 0, то положим R = 0. В случае б) будем считать R = .
Совокупность всех х, при которых степенной ряд (1) сходится, назовем интервалом сходимости ряда.
Областью сходимости степенного ряда (1) является интервал (–R, R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть добавлены концевые точки R, –R.
Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда
. (3)
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда .
С помощью признака Даламбера получим
Таким образом, ряд (3) абсолютно сходится при |х| < 1, т.е. в интервале (–1,1), расходится при |х|>1. Радиус сходимости ряда R=1. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках х = 1 и х = –1.
Подставляя в ряд (3) значение х = 1, получаем расходящийся гармонический ряд.
В точке х = –1 получим знакочередующийся ряд
,
который сходится на основании признака Лейбница.
Таким образом, областью сходимости ряда (3) является промежуток [–1, 1).
Укажем способ определения радиуса сходимости степенного ряда. Пусть задан ряд (1) а0 + а1х + а2х2 + … + аnхn + … и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов |а0|+ |а1||х| +|а2||х|2 + … + |аn||х|n + …
Для определения интервала сходимости данного знакоположительного ряда применим признак Даламбера
.
По признаку Даламбера ряд (1) сходится абсолютно при и расходится при (так как расходимость ряда в данном случае есть нарушение необходимого условия).
Итак, интервал есть интервал сходимости степенного ряда (1), т.е.
Замечание. При нахождении интервала сходимости редко пользуются последней формулой, а обычно непосредственно применяют признак Даламбера. Если ряд (1) содержит бесчисленное множество коэффициентов, равных нулю, то отношение не имеет предела, и формулу для радиуса сходимости применять нельзя.
Выясним свойства степенных рядов.
Чтобы применить к степенным рядам результаты §2.1, докажем следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть степенной ряд а0 + а1х + а2х2 + … + аnxn + … = имеет интервал сходимости (–R,R), тогда он равномерно сходится внутри интервала сходимости, т.е. ряд равномерно сходится на любом промежутке [–r,r], где 0 < r < R.
Доказательство. Пусть х = r. Так как степенной ряд сходится абсолютно в любой точке интервала сходимости, то сходится ряд
|а0| +|а1|r +|а2|r2 + … + |аn|rn + … . (4)
Если |х| r, то |anxn| |an|rn. Поэтому ряд |а0| +|а1х| +|а2х2| + … + |аnxn| + … мажорируется сходящимся числовым рядом (4). Это означает, согласно теореме 1 §2.1, что данный степенной ряд (1) равномерно сходится на промежутке [–r, r]. Теорема доказана.
Теорема 3 (о непрерывности суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда (1) является непрерывной функцией в каждой точке его интервала сходимости.
Доказательство. Пусть х0 (–R,R). Тогда существует число 0 < r < R такое, что х0 [–r,r]. По теореме 2 ряд (1) равномерно сходится в [–r,r]. Поэтому на основании теоремы 2 §1 его сумма непрерывна в любой точке из [–r, r], в частности, в точке х0.
Теорема доказана.
Замечание. Если степенной ряд (1) имеет интервал сходимости (–R,R) и сходится на границе (например, при х = R), то сумма ряда непрерывна в точке сходимости (в точке х = R).
Теорема 4 (о дифференцировании степенного ряда). Степенной ряд (1) можно дифферен-цировать почленно в любой точке его интервала сходимости. При этом полученный ряд
а1 + 2а2х + 3а3х2 + … + nanxn–1 + … (5)
имеет тот же интервал сходимости, что и исходный ряд.
Доказательство. Применяя признак Даламбера к рядам, составленным из абсолютных величин рядов (1) и (5), и предполагая при этом, что существует, легко убедиться, что ряды (1) и (5) имеют одинаковый интервал сходимости.
Пусть х0 – произвольная точка интервала сходимости. Рассмотрим промежуток [–r, r] (r < R), лежащий внутри интервала сходимости и содержащий точку х0 (|х0| < r). По теореме 2 продифференцированный степенной ряд (5) – равномерно сходящийся в промежутке [–r, r].
Следовательно, на основании теоремы 2 предыдущего параграфа его сумма равна производной от суммы данного ряда.
Следствие. Если степенной ряд (1) сходится в интервале (–R, R), то его сумма представляет собой функцию, имеющую в интервале сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, получающегося в результате почленного дифференцирования данного ряда соответствующее число раз.
Говорят, что сумма степенного ряда бесконечно дифференцируема в интервале сходимости.
Аналогичными рассуждениями можно доказать следующее утверждение.
Теорема 5 (об интегрировании степенного ряда). Степенной ряд (1) можно почленно интегрировать в интервале сходимости, т.е. если х1 и х2 – точки, принадлежащие интервалу сходимости, то
При этом полученный ряд имеет тот же интервал сходимости (–R, R).
Следствие. Для любого х (–R, R) имеет место формула
. (6)
Теоремы 4 и 5 являются важным инструментом, используемым для разложения многих функций в степенные ряды.
Пример 5. Показать, что логарифмический ряд
. (7)
Решение. Воспользуемся соотношением (3) §1
1 + х + х2 + … + хn + … = (–1 < х <1).
Заменим в этом отношении х = –t, получим
(–1 < t < 1).
Используя (6), находим
для |t|<1, откуда и следует формула (7).
Отметим, что в силу сходимости полученного ряда в точке х0 = 1 и замечания к теореме 3 его сумма непрерывна в точке х0 = 1 и потому
.
Мы рассмотрели степенные ряды вида (1), расположенные по степеням х.
Если исключить всюду расходящиеся (кроме точки 0) ряды, то для каждого такого ряда существует промежуток сходимости с центром в точке х=0 от –R до R, где R – радиус сходимости. Концы этого промежутка включаются или нет, смотря по случаю.
Рассматривают и степенные ряды более общего вида
расположенные по степеням двучлена х – х0 (вместо х). Такой ряд не отличается существенно от ряда вида (1), ибо приводится к нему простой заменой х – х0 = у с точностью до обозначения переменной.
Для этого ряда, если он не будет всюду расходящимся (кроме точки х0), также существует промежуток сходимости, но на этот раз с центром в точке х0: от х0 – R до х0 + R.
Концы его, как и в случае ряда (1), могут принадлежать, но могут и не принадлежать области сходимости.
Все свойства, указанные в теоремах 1-4, сохраняются (с соответствующими изменениями). В частности, такие степенные ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз в интервале сходимости, причем полученные ряды имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд.
Пример 6. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда, исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда , и применим к нему признак Даламбера
Имеем
И, следовательно, интервал сходимости есть (–1, 5), а радиус сходимости R = 3. Исследуем данный ряд на концах интервала сходимости. В точке х0 = 1 получаем расходящийся ряд
Аналогично в точке х0 = 5 ряд расходится
2.3. Ряды ТейлораПерейдем теперь к рассмотрению следующей задачи.
Пусть задана функция f(х). Когда можно утверждать, что она является суммой некоторого степенного ряда? Из свойств степенных рядов следует прежде всего то, что эта функция должна быть бесконечно дифференцируема.
Оказывается, что это условие не является достаточным.
В дальнейшем, если заданную функцию f(х) можно представить в виде суммы степенного ряда, то будем говорить, что функция f(x) разложена в степенной ряд, а f(x) – порождающая функция.
Важность такого разложения видна хотя бы из того, что мы получаем возможность приближенно заменить функцию суммой нескольких первых членов степенного ряда, т.е. многочленом. При этом вычисление значения функции сводится к вычислению значений многочлена, что можно сделать, производя только простейшие арифметические операции. Кроме того, мы сможем оценить точность получаемых приближенных значений. Замена функции таким простым выражением, как многочлен, оказывается удобной в ряде задач математического анализа. Например, при вычислении определенных интегралов.
Пусть функция f(х) является суммой степенного ряда
f(x) = а0 + а1(х – х0) + а2(х – х0)2 + … + аn(x – x0)n + …, (1)
интервал сходимости которого (х0 – R1, х0 + R).
Вычислим коэффициенты этого ряда. В интервале сходимости степенной ряд можно дифференцировать почленно любое число раз, причем полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости (х0 – R, х0 + R) (следствие из теоремы 4 предыдущего параграфа).
Последовательно дифференцируя ряд (1), получим следующие тождества, справедливые при всех х их интервала сходимости:
f(х) = а0 + а1(х – х0) + а2(х – х0)2 + а3(х – х0)3 + а4(х – х0)4+ … + аn(х – х0)n + …
f (х) = а1+ 2а2(х – х0) + 3а3(х – х0)2 + 4а4(х – х0)3+ … + nаn(х – х0)n–1 + …
f(х) = 2а2 + 2 3а3(х – х0) + 3 4а4(х – х0)2+ … + (n – 1)nan (х – х0)n–2 + …
f(х) = 2 3а3 + 2 3 4а4(х – х0) + … + (n – 2)(n – 1)nan (х – х0)n–3 + …
……………………………………………………………….
f(n)(х) = 2 3… (n – 1)nan + 2 3… n(n+1)an+1(х – х0) + …
……………………………………………………………….
Положим в полученных равенствах х = х0, имеем:
f(х0)=а0, f(x0) = a1, f(x0) = 2a2, f(x0) = 2 3a3…
f(n)(x0) = 2 3 … (n – 1) nan …
Отсюда находим коэффициенты степенного ряда:
а0 = f(х0), , , ,…, ,…
Подставляя найденные выражения в равенство (1), получим ряд
Итак, если функция f(х) разлагается в степенной ряд по степеням х – х0, то этот ряд имеет следующий вид:
(2)
Полученный ряд называется рядом Тейлора функции f(х), а его коэффициенты – коэффициентами Тейлора функции f(х) в точке х0.
В частном случае, при х0 = 0, ряд (2) принимает вид
(3)
и называется рядом Маклорена функции f(х).
Таким образом, установлено следующее утверждение.
Теорема 1. Если функция f(x) разлагается в степенной ряд по степени х – х0, то этот ряд обязательно является ее рядом Тейлора (или Маклорена в случае х0 = 0).
Следствие. Пусть R > 0 и предположим, что и – степенные ряды, сходящиеся при –R < х < R. Если (–R < х < R), то an = bn (n = 0, 1, 2,…).
Действительно, если , то по теореме 1 (n = 0, 1, 2, …).
Рассмотрим обратную задачу. Пусть функция f(х) бесконечно дифференцируема в точке х0. Составим для нее ряд Тейлора
.
Будет ли построенный ряд сходиться к порождающей его функции f(х)?
Оказывается, это может не быть справедливым. В следующем примере ряд Тейлора сходится на всей числовой прямой, но не сходится к порождающей его функции.
Пример. Рассмотрим функцию (рис. 3)
(4)
Рис. 3
Можно показать, что эта функция бесконечно дифференцируема на всей числовой оси, причем все ее производные в точке х = 0 равны нулю. Действительно, при х 0
fў(x)=
и
Заменим , тогда
Здесь использовано правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида (см. [10]). Аналогично доказываются соотношения f(n)(0) = 0 (n = 2, 3,…).
Поэтому ряд Маклорена для этой функции имеет вид
0 + 0 х + 0 х2 + 0 х3 + … + 0 хn + … .
Этот ряд всюду сходится, его сумма не совпадает с порождающей функцией.
Обозначим через частичную сумму ряда Тейлора
Эта частичная сумма называется многочленом Тейлора функции f(х). Назовем дополнительным (остаточным) членом ряда Тейлора разность
f(x) – Sn(x) = Rn(x). (5)
Сходимость ряда Тейлора к порождающей его функции f(х) в точке х означает, что или Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в точке х функция f(х) являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора (Маклорена), необходимо и достаточно, чтобы дополнительный член Rn(х) стремился к нулю при n, стремящемуся к бесконечности.
Величина Rn(х) дает ту ошибку, которую мы делаем, заменяя функцию f(х) многочленом Sn(х).
Структура остаточного (дополнительного) члена ряда Тейлора содержится в следующем утверждении.
Лемма. Если функция f(х) во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х0, имеет (n + 1) производную f(n+1)(x), то остаточный (дополнительный) член Rn(х) ряда Тейлора для любой точки этого интервала имеет вид:
(6)
где точка заключена между х и х0.
Выражение дополнительного члена по формуле (6) называется остаточным (дополни-тельным) членом в форме Лагранжа, а формула
f(x) =
– формулой Тейлора. Частный случай ее при х0 = 0
f(х) =
( между 0 и х) называется формулой Маклорена.
Вопрос о разложимости функции в ряд Тейлора решается следующим утверждением.
Теорема 3. Если в некотором интервале, содержащем точку х0, абсолютные величины всех производных функции f(х) ограничены одним и тем же числом
|f(n+1)(x)| M (M не зависит от n и х), (7)
то функция f(х) в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.
Доказательство. Нужно установить соотношение
(8)
для всех точек интервала. В силу соотношений (6) и (7) получаем оценку
Но [см. предельное равенство (2) из §2.2]
откуда и вытекает утверждение теоремы 3.
2.4. Разложение некоторых элементарных функций в ряды МаклоренаВо многих задачах теории и практики важнейшую роль играют разложения классических элементарных функций в ряды Маклорена.
1. Разложение в ряд Маклорена функции ех. Все производные функции ех также равны ех и в точке х0 = 0 равны 1. Тогда ряд Маклорена этой функции имеет вид:
. (1)
Как было показано в примере 2 §2.2, ряд (1) сходится на всей числовой оси. Для того чтобы установить, что ряд (1) имеет своей суммой ех при всех х, покажем выполнение соотношения (8) §3. Рассмотрим промежуток [–N, N], где N > 0 – любое фиксированное число. Функция ех монотонно возрастает, поэтому для всех значений х[–N,N]: ех < eN. Значит, все производные в этом промежутке ограничены одним и тем же числом М = еN.Из доказанной теоремы 3 §3 вытекает, что суммой ряда (1) является ех. Но по предположению N – любое число. Следовательно, при всех х имеет место разложение
(–< х < ).
2. Разложение в ряд Маклорена функции sin х. Находим производные функции f(х) = sin х: f (x) = cos x, f(x) = –sin x, f(x) = –cos x, f(IV)(x) = sin x, f(V)(x) = cos x, f(VI)(x) = –sinx, …, f(n)(x) = sin(x + np/2). При х = 0 имеем f(0) = 0, f(0)=1, f(0)=0, f(0)=–1, f(IV)(0) = 0, f(V)(0) = 1, …, f(2n–1)(0) = (–1)n–1, f(2n)(0) = 0, … .
Поэтому для функции sin х получаем следующий ряд Маклорена:
(3)
По признаку Даламбера
и, следовательно, ряд (3) сходится абсолютно на всей числовой оси. Покажем, что он сходится к порождающей его функции.
Это следует из теоремы 3 §2.3, так как при всех х(–, ) выполняются
|(sinx)(n)| 1.
Итак, для функции sin х на всей числовой прямой справедливо разложение (рис. 4)
(4)
Рис. 4
3. Разложение в ряд Маклорена функции cos х. Оно может быть получено дифференци-рованием степенного ряда (4)
(5)
Отметим, что, как и для sin х, разложение (5) просто исследуется с помощью теоремы 3 §2.3.
Доказательство возможности разложения ех, sin х, cos х в ряд Маклорена было простым, так как производные этих функций легко вычислялись. Кроме того, они были ограниченными на любом интервале оси Ох, поэтому полученные ряды представляют разлагаемые функции на всей числовой оси.
Обычно исследование остаточного члена ряда Тейлора (Маклорена) представляет затруд-нение, поэтому поступают следующим образом.
Сначала вычисляют производные в точке и составляют ряд Тейлора (Маклорена) данной функции. Для полученного степенного ряда находят интервал сходимости и затем исследуют остаточный член в интервале сходимости.
Другим способом получения новых разложений являются почленное интегрирование и дифференцирование известных разложений.
Продемонстрируем ниже эти способы.
2.5. Биномиальный рядРазложим в ряд Маклорена функцию f(х) = (1+х)m, где m – любое действительное число, отличное от нуля.
Имеем f(х) = m(1 + х)m–1, f(х) = m(m – 1)(1 + х)m–2, f(х) = m(m – 1)(m – 2)(1 + х)m–3,…, f(n)(х) = m(m – 1)(m – 2)…(m – n + 1)(1 + х)m–n,…
При х = 0 находим f(0) = 1, f(0) = m, f(0) = m(m – 1), f(0) = m(m – 1)(m – 2),…, f(n)(0) = m(m – 1)(m – 2)…(m – n + 1),…
Подставим найденные значения коэффициентов в ряд Маклорена (3) §2.3:
Этот ряд называется биномиальным.
Найдем его интервал сходимости. Применим признак Даламбера
Значит, ряд сходится при |х|<1 : –1 < х < 1.
Можно показать, что для данного ряда (–1 < х < 1) (доказательство опускаем ввиду сложности). Итак, биномиальный ряд представляет функцию (1 + х)m в интервале (–1,1):
(6)
(–1 < х < 1).
При |х| > 1, если только m не является натуральным числом, ряд расходится.
Если m – натуральное число, то, начиная с n = m + 1, все коэффициенты обращаются в нуль, и получаем формулу бинома Ньютона
.
Замечание. Поведение ряда (6) на концах интервала сходимости при различных m видно из следующей таблицы:
х = 1 m –1
–1 < m < 0
m > 0 Расходится
Сходится условно
Сходится абсолютно
х = –1 m < 0
m > 0 Расходится
Сходится абсолютно
Приведем несколько часто встречающихся биномиальных рядов:
;
;
;
.
3. РЯДЫ ФУРЬЕ3.1. Периодические функцииВо многих явлениях науки и техники встречаются периодические процессы, т.е. процессы, в которых явления воспроизводятся в прежнем виде по истечении некоторого промежутка времени Т, называемого периодом.
Примерами таких процессов могут служить вращение Земли вокруг Солнца, незатухающие колебания маятника, электрические колебания, установившееся движение паровой машины и т.д.
Различные величины, связанные с рассматриваемым периодическим явлением, по истечении периода Т принимают свои прежние значения.
Например, хотя на протяжении года расстояние Земли от Солнца меняется, по истечении года оно принимает первоначальное значение; сила и напряжение переменного тока принимают первоначальные значения и т.п. Все эти величины являются периодическими функциями времени.
Функция (t) называется периодической функцией с периодом Т(Т0), если для всех значений t выполняется равенство
(t + T) = (t).
Понятно, что если Т – один из периодов функции (t), то все числа вида kT, k = 0, ±1, ±2,…, также являются ее периодами. Среди положительных периодов непрерывной периодической функции (t) всегда есть наименьший. Он обладает тем свойством, что все остальные периоды являются его кратными.
Отметим, что если функция (t) имеет период Т, то достаточно построить график функции на любом промежутке длиной Т, а затем периодически продолжить его на всю числовую ось.
Простейшим периодическим процессом является гармоническое колебание. Отклонение точки от положения равновесия при гармоническом колебании задается формулой:
y = Asin(t + ). (1)
Число А называется амплитудой,
(2)
– частотой и -начальной фазой колебания. Наименьший период Т функции (1) определяется из (2): , а все остальные ее периоды задаются формулой , где k = 0, ±1, ±2,…
В дальнейшем мы будем называть функцию вида (1) синусоидальной функцией. График такой функции изображен на рис. 5.
Рис. 5
Синусоидальную функцию можно записать также в виде
y = acost + bsint,
что непосредственно вытекает из (1), при этом a = Asin, b = Acos.
Справедливо и обратное: любая функция вида acost + bsint является синусоидальной функцией.
Действительно,
acost + bsint = ,
откуда и следует
acost + bsint = А(sincost + cossint) = Asin(t + ),
где
, .
Из подобных простейших функций можно получить более сложные. Нетрудно видеть, что при сложении двух синусоидальных функций, имеющих одну и ту же частоту, получается снова синусоидальная функция с той же самой частотой. Но если синусоидальные величины имеют разные частоты (и соответственно различные периоды), то можно получить функции, по своему характеру значительно отличающиеся от синусоидальной функции.
Это справедливо для конечного числа слагаемых. Еще в большей степени это имеет место для суммы бесконечного ряда
Естественно поставить обратный вопрос: можно ли данную периодическую функцию (t) периода Т представить в виде суммы конечного или бесконечного множества синусоидальных функций
, (3)
где постоянные Аk(k = 0,1,…) и k(k = 1,2,…) определяются функцией , а частота задается формулой (2)?
Если это возможно, то сложное колебание, задаваемое периодической функцией (t), разлагается на отдельные гармонические колебания.
Процесс разложения периодической функции на гармонические составляющие называется гармоническим анализом.
Если за независимую переменную выбрать
то получится функция от х:
тоже периодическая, но со стандартным периодом 2. Разложение (3) примет вид:
f(x) = A0 + A1sin(x + 1) + A2sin(x + 2) + A3sin(x + 3) + … =
Отсюда
и, обозначая
a0 = 2A0, Aksink = ak, bk = Akcosk (k = 1, 2,…),
придем к окончательной форме тригонометрического разложения
(4)
Здесь функция от угла х, имеющая период 2, разлагается в тригонометрический ряд по косинусам и синусам углов, кратных х.
Как обычно, сходимость ряда (4) в точке х понимается следующим образом:
при этом функция
. (5)
называется тригонометрическим многочленом (полиномом).
Поэтому вопрос о сходимости ряда (4) в точке х тесно связан с проблемой приближения (аппроксимации) периодической функции тригонометрическими многочленами (5).
Для широкого класса функций такая задача решается положительно.
К. Вейерштрасс показал, что всякая непрерывная 2-периодическая функция f(x) может быть представлена в виде равномерно сходящейся последовательности тригонометрических многочленов (5).
Изучение тригонометрических рядов важно не только с точки зрения колебательных процессов, с которых мы начали. Необходимо отметить, что подобные разложения и их обобщения часто возникают и при исследовании функций, заданных в определенном конечном промежутке и совсем не связанных с колебательными процессами.
И хотя в таких случаях функции можно разложить в ряды Тейлора (или Маклорена), тем не менее разложения в тригонометрические ряды (и их обобщения) обладают рядом преимуществ (см. подробнее об этом в §3.4).
3.2. Определение ряда ФурьеДля заданной функции f(x), имеющей период 2, установим возможность тригонометри-ческого разложения
f(x) = (1)
т.е. найдем набор коэффициентов а0, а1, b1, a2, b2, …, ak, bk, … .
Воспользуемся ортогональностью тригонометрической системы, доказанной в примере 1 §3.2.
Будем предполагать функцию f(x) интегрируемой в промежутке [–, ] – в собственном или несобственном смысле; в последнем случае дополнительно будем считать, что функция абсолютно интегрируема.
Допустим, что разложение (1) имеет место и проинтегрируем его почленно от – до . Получим
В силу соотношений (3) и (4) предыдущего параграфа все члены под знаком суммы будут нулями, поэтому
. (2)
Для нахождения коэффициента an при n=1,2,… умножим обе части равенства (1) на cosnx и снова проинтегрируем почленно:
Первый член исчезает в силу (3) §3.2; все интегралы, стоящие под знаком суммы, обращаются в нуль [см. соотношения (5)–(7) предыдущего параграфа], кроме интеграла, при котором множи-телем стоит именно коэффициент an.
Следовательно, этот коэффициент вычисляется по формуле
(n = 1,2,…). (3)
Аналогично, умножая предварительно ряд (1) на sinnx и затем интегрируя почленно, определим коэффициент bn:
(n = 1,2,…). (4)
Формулы (2)–(4) называются формулами Эйлера-Фурье, вычисленные по этим формулам коэффициенты а0, а1, b1, a2, b2, … – коэффициентами Фурье периодической функции f(x), а ряд (1), в котором коэффициенты находятся по формулам (2)–(4), – рядом Фурье (тригоно-метрическим рядом Фурье) функции f(x).
Нетрудно видеть, что проведенные выше манипуляции с рядами (почленные интегрирования) справедливы, когда ряд (1) сходится равномерно (см. §2.1).
Поэтому справедливо следующее утверждение.
Теорема (о единственности ряда Фурье). Если функция, имеющая период 2, разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд (1), то коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам (2)–(4), то есть ряд (1) необходимо будет рядом Фурье функции f(x).
Замечания.
1. Интересно сравнить данное утверждение с теоремой 1 §2.3 о единственности ряда Тейлора.
2. Если не предполагать наперед равномерной сходимости, то приведенные выше рассуждения не доказывают разложимость в ряд Фурье.
Поэтому можно рассматривать лишь формальный ряд Фурье для периодической “порождающей” функции f(x):
; (5)
(k = 0,1,2,…); (6)
(k = 1,2,…). (7)
Используем изложенный выше прием для нахождения коэффициентов общих ортогональных разложений. Пусть в промежутке [a,b] дана ортогональная система {n(x)} (n = 0, 1, 2,…). Попытаемся разложить определенную в [a,b] функцию f(x) в ряд по системе {n(x)} (n = 0, 1, 2,…) вида
f(x) = c00(x) + c11(x) + … + cnn(x) + … . (8)
Для определения коэффициентов этого разложения, допуская его возможность, поступим так, как мы это сделали выше в частном случае. А именно, умножив обе части разложения (8) на n(х), проинтегрируем его почленно:
В силу ортогональности элементов системы {n} (n = 0,1,…) все интегралы справа, кроме одного, будут нулями, поэтому
(n = 0,1,2, …). (9)
Формулы (6) и (7) являются частными случаями (9).
Ряд (8), коэффициенты которого вычисляются по формулам (9), называется рядом Фурье данной функции f(x) по системе {n} (n = 0,1,…), cn – коэффициентами Фурье функции f(x) по системе {n} (n = 0,1,2,…):
(n = 0,1,2,…). (10)
Замечания.
1. Конечно, в общем случае разложение (8) следует понимать как формальный ряд Фурье по системе {n} (n = 0,1,2,…):
.
2. Тригонометрический ряд Фурье (5) можно рассматривать как ряд Фурье по ортонорми-рованной системе (8) §3.2. Действительно, подставим в формулы (8) и (10) их значения в случае тригонометрической системы [см. формулы (8) §3.2]. Имеем
что в силу (2)–(4) приводит к разложению (1).
Замечание. Разложения в ряды по ортогональным системам функций играют важную роль при решении многих важных задач математической физики.
ГЛОССАРИЙ№
п/п Новое понятие Содержание
1 2 3
1 n-й остаток числового ряда выражение
rn = an+1 + an+2 + an+3 + …,
которое получается из ряда
a1 + a2 + a3 + … + an + an+1 + an+2 + …,
если в нем отбросить первые n членов; ряд сходится тогда и только тогда, когда rn 0 (n )
2 Абсолютно сходящийся числовой ряд ряд
a1 + a2 + … + an + … (А)
с членами произвольных знаков, который сходится вместе с рядом
|a1| + |a2| + … + |an| + …,
составленным из абсолютных величин его членов
3 Биномиальный ряд формула
,
где m R
4 Гармонический ряд числовой ряд вида
;
гармонический ряд расходится
5 Геометрический ряд (геометрическая прогрессия) числовой ряд вида
a + aq + aq2 + … + aqn–1 + … ;
геометрический ряд сходится тогда и только тогда, когда
6 Знакочередующийся ряд числовой ряд вида
a1 – a2 + a3 – a4 + … + (–1)n–1an + …,
где an > 0 (n = 1,2,…).
7 Интегральный признак Коши-Маклорена сходимости рядов с положительными членами если ряд имеет форму
(А)
где f(n) есть значение при x = n (n = 1,2,…) непрерывной, положительной монотонно убывающей функции f(x), то из сходимости и расходимости несобственного интеграла следует, соответственно, сходимость и расхо-димость ряда (А)
8 Интервал сходимости степенного ряда если R – радиус сходимости степенного ряда, то интервал (R,R) – интервал сходимости этого ряда
9 Коэффициенты Фурье периодической функции f(x)по тригонометрической системе последовательность чисел
1 2 3
10 Логарифмический ряд формула
11 Необходимый признак сходимости ряда утверждение о том, что если ряд сходится, то предел его общего члена стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n
12 Неравенство Бесселя по ортонормированной системе {n} (n = 0,1,2,…) неравенство
где cn – коэффициенты Фурье функции f по системе
{n} (n = 0,1,2,…)
13 Область сходимости функционального ряда совокупность значений переменной x, при которых функциональный ряд
u1(х) + u2(х) + … + un(х) + …
сходится
14 Ортогональная система функций система ненулевых функций на промежутке [a,b]
0(х), 1(х), …, n(х),… ,
для которых выполняются равенства
(n m; n,m=0,1,2,...).
15 Ортонормированная (ортонормальная) система функций ортогональная система функций, для которой
16 Остаточный (дополнительный) член формулы Тейлора в форме Лагранжа дополнительный член формулы Тейлора в виде
где точка расположена между x и x0
17 Оценка остатка знакочередующегося ряда если члены знакочередующегося ряда
a1 – a2 + a3 – a4 + … + (–1)n–1an + … (А)
удовлетворяют условиям признака Лейбница, то для остатка ряда (А) справедлива оценка
rn an+1
18 Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов если ряд
a1 + a2 + … + an + …,
абсолютно сходится, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму
19 Предельный признак
сравнения числовых рядов с положительными членами если для рядов
a1 + a2 + … + an + … (an > 0) (A)
b1 + b2 + …+ bn + … (bn > 0) (B)
существует предел
то оба ряда сходятся или оба расходятся одновременно
20 Признак абсолютной сходимости числового ряда если сходится ряд
|a1| + |a2| + … + |an| + …,
составленный из абсолютных величин членов ряда
a1 + a2 + … + an + …, (А)
то ряд (A) является абсолютно сходящимся
1 2 3
21 Признак Даламбера сходимости числового ряда с положительными числами если для ряда
a1 + a2 + … + an + … (an > 0)
существует предел
то:
а) при d < 1 ряд сходится;
б) при d > 1 ряд расходится;
в) при d = 1 ряд может как сходиться, так и расходиться; в этом случае требуется дополнительное исследование
22 Признак Дирихле сходимости ряда Фурье если периодическая функция f(x) с периодом 2 является кусочно монотонной и ограниченной на промежутке [-,], то:
ее ряд Фурье сходится к порождающей функции во всех точках, где эта функция непрерывна;
в точках x0, где функция неразрывна, ряд Фурье сходится к значению ;
в точках - и ряд Фурье сходится к значению
23 Признак Лейбница для знакочередующихся рядов если члены знакочередующегося ряда
a1 – a2 + a3 – a4 + … + (–1)n–1an + …, (А)
монотонно убывают по абсолютной величине an+1 < an (n = 1,2,…) и то ряд (A) сходится
24 Признак сравнения
числовых рядов с положительными членами если для рядов
a1 + a2 + … + an + … (an > 0) (A)
b1 + b2 + …+ bn + … (bn > 0) (B)
выполняется an bn (n ≥ 1,2,…), то
из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A);
из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B)
25 Равенство Парсеваля-Стеклова для тригонометрической системы (уравнение замкнутости) равенство
в неравенстве Бесселя
26 Радикальный признак Коши сходимости числового ряда с положительными членами если для ряда
a1 + a2 + … + an + … (an > 0)
существует предел
то:
а) при < 1 ряд сходится;
б) при > 1 ряд расходится;
в) при = 1 ряд может как сходиться, так и расходиться; в этом случае требуется дополнительное исследование
27 Радиус сходимости степенного ряда если у степенного ряда есть точки сходимости и расходимости, то существует число R такое, что ряд сходится в (R,R); число R называется радиусом сходимости степенного ряда
1 2 3
28 Разложение в ряд Маклорена функции arctg x формула
29 Разложение в ряд Маклорена функции y = cos x формула
30 Разложение в ряд Маклорена функции y = ex формула
31 Разложение в ряд Маклорена функции y = sin x формула
32 Расходящийся ряд числовой ряд, для которого последовательность частичных сумм не имеет конечного предела
33 Ряд Лейбница знакочередующийся ряд
,
сходится условно к значению
34 Ряд Маклорена функции f(x) ряд
35 Ряд Тейлора функции f(x) ряд
36 Ряд Фурье для функции с периодом 2l ряд
где
1 2 3
37 Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) ряд
38 Ряд Фурье периодической функции f(x) по тригонометрической системе ряд вида
,
где an,bn – коэффициенты Фурье периодической функции f(x)
39 Ряд Фурье функции по ортонормированной системе функциональный ряд
40 Ряд Фурье четной периодической функции f(x) ряд
41 Среднее квадратичное отклонение функций f(x)
и g(x) на отрезке [a ,b] величина
42 Степенной ряд функциональный ряд вида
a0 + a1x + a2x2 + … + anxn + …,
где an (n = 0,1,2,…) – постоянные коэффициенты
43 Сумма числового ряда предел последовательности частичных сумм сходящегося ряда
44 Сходящийся ряд числовой ряд, для которого существует конечный предел S последовательности его частичных сумм
45 Теорема о дифференцировании степенного ряда степенной ряд можно дифференцировать почленно в интер-вале сходимости:
(–R < x < R)
46 Теорема Абеля об области сходимости степенного ряда а) если степенной ряд
a0 + a1x + a2x2 + … + anxn + …
сходится в точке х0 0, то он сходится, и притом абсо-лютно, в интервале (-х0,х0), т.е. при всех х, удовлет-воряющих неравенству х< х0;
б) если степенной ряд
a0 + a1x + a2x2 + … + anxn + …
расходится при х = х1, то он расходится и при всяком х, большем по абсолютной величине, чем х1, т.е. при х > х1
47 Теорема о непрерывности суммы степенного ряда утверждение о том, что сумма степенного ряда является непрерывной функцией в каждой точке его интервала сходимости
48 Теорема об интегрировании степенного ряда степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости:
(–R < x < R)
1 2 3
49 Условно (неабсолютно) сходящийся числовой ряд сходящийся ряд
a1 + a2 + … + an + …,
для которого ряд
|a1| + |a2| + … + |an| + …,
является расходящимся
50 Формула Тейлора если функция f(x) имеет все производные до (n+1)-го порядка включительно в окрестности точки х0, то
,
где Rn(x) – дополнительный (остаточный) член; при этомlim Rn(x) = 0 при x стремящемся к х0
51 Функциональный ряд ряд вида
u1(х) + u2(х) + … + un(х) + …,
члены которого являются функциями от переменной х
52 Частичная (частная) сумма ряда сумма Sn первых n членов ряда
Sn= a1 + a2 + …+ an (n = 1,2,…)
53 Частная сумма (частичная сумма) ряда Фурье по ортонормированной системе {n} (n = 0,1,...) выражение
ck – коэффициенты Фурье функции f(x) по системе {k}
54 Числовой ряд выражение a1 + a2 + …+ an +… = где an (n = 1,2,…) – числа ряда
55 Экстремальное свойство частных сумм ряда Фурье по ортонормированной системе {n} (n = 0,1,2,…) среди всех обобщенных полиномов порядка n по системе {n} наименьшее среднее квадратичное уклонение от функ-ции f(x) имеет частная сумма ряда Фурье по ортонор-мированной системе
Рабочий учебник в соответствии с балансовым методом проектирования образовательных программ содержит:
55 – приведенных понятий;
6 – дифференциальных компетенций.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЮНИТА 4
Ряды. Ряды Фурье
Ответственный за выпуск Е.Д. Кожевникова
Оператор компьютерной верстки А.А. Илюхин
___________________________________________________________________________________
НАЧОУ ВПО “Современная Гуманитарная Академия”