по теме Решение задач с практическим содержанием (№ 19) в ЕГЭ по математике
Практические задачи № 19
1. Задание 19 № 506090. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
2. Задание 19 № 506948. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом и, наконец, 12,5% в месяц. известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на Определите срок хранения вклада.
3. Задание 19 № 506949. В начале года 5/6 некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось — в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у.е., к концу следующего — 749 у.е. Если первоначально 5/6 суммы было бы вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у.е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.
4. Задание 19 № 506950. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?5. Задание 19 № 506951. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку а% до (а + 40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?
6. Задание 19 № 506952. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
7. Задание 19 № 506953. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года — у % годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.
8. Задание 19 № 506954. В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?
9. Задание 19 № 506955. Транcнациональная компания Amako Inc. решила провести недружественное поглощение компании First Aluminum Company (FAC) путем скупки акций миноритарных акционеров. Известно, что Amako было сделано три предложения владельцам акций FAC, при этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась на 1/3. В результате второго предложения Amako сумела увеличить число выкупленных акций на 20%, а в результате скупки по третьей цене — еще на 20%. Найдите цену третьего предложения и общее количество скупленных акций FAC, если начальное предложение составляло $27 за одну акцию, а по второй цене Amako скупила 15 тысяч акций.
10. Задание 19 № 506956. Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?
11. Задание 19 № 506957. Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?
12. Задание 19 № 506959. Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Зпербанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Зпербанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Зпербанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Зпербанке Баба Валя сняла половину образовавшей суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» И открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния.
Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Зпербанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?..»
Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без навара!
А каков в Зпербанке процент годовых для пенсионеров?13. Задание 19 № 507208. 31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
14. Задание 19 № 507212. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
15. Задание 19 № 507214. 1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?
16. Задание 19 № 507227. Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
17. Задание 19 № 507278. 1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платёж. НА какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей?
18. Задание 19 № 507280. 31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
19. Задание 19 № 507284. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
20. Задание 19 № 507714. Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?
21. Задание 19 № 507890. Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?
22. Задание 19 № 508214. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
23. Задание 19 № 508215. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
24. Задание 19 № 508217. 31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий Переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
25. Задание 19 № 508236. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
26. Задание 19 № 508257. В 1-е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
27. Задание 19 № 508626. Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. руб. и не больше 60 тыс. руб. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
28. Задание 19 № 508627. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
29. Задание 19 № 508629. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?30. Задание 19 № 508975. Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
31. Задание 19 № 509004. Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
32. Задание 19 № 509025. Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
33. Задание 19 № 509046. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
34. Задание 19 № 509067. В 1-е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
35. Задание 19 № 509095. Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.
Вид начинки Себестоимость(за 1 тонну) Отпускная цена(за 1 тонну) Производственныевозможности
ягоды 70 тыс. руб. 100 тыс. руб. 90 (тонн в мес.)
творог 100 тыс. руб. 135 тыс. руб. 75 (тонн в мес.)
Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц.
36. Задание 19 № 509124. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.
Вид тары Себестоимость,1 ц. Отпускная цена,1 ц.
стеклянная 1500 руб. 2100 руб.
жестяная 1100 руб. 1750 руб.
Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).
37. Задание 19 № 509162. Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
38. Задание 19 № 509183. 1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300000 рублей?
39. Задание 19 № 509184. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме Гбайт входящей в него информации выходит Гбайт, а с сервера №2 при объёме Гбайт входящей в него информации выходит Гбайт обработанной информации; 25 < t < 55. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?
40. Задание 19 № 509205. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.
Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
41. Задание 19 № 509824. Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производт t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.
Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Практические задачи № 19 Ответы
1. Задание 19 № 506090. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение.
Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m = 1 + 0,01k. После первой выплаты сумма долга составит: a1 = am − x. После второй выплаты сумма долга составит:
После третьей выплаты сумма оставшегося долга:
По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому откуда При a = 9 930 000 и k = 10, получаем: m = 1,1 и
Ответ: 3 993 000 рублей.
Приведём другое решение.
Пусть — один из трёх разовых платежей. Тогда сумма долга после оплаты в первом году составит: После внесения второго платежа сумма долга станет равной Сумма долга после третьего платежа: Третьим платежом Сергей должен погасить долг, то есть долг станет равным нулю:
2. Задание 19 № 506948. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом и, наконец, 12,5% в месяц. известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на Определите срок хранения вклада.
Решение.
Известно:
1. Проценты на вклад начислялись ежемесячно.
2. Каждая последующая процентная надбавка по истечении календарного месяца начислялась с учетом вновь образованной суммы вклада и с учетом предыдущих надбавок.
Если первоначальная сумма вклада при ежемесячной 5%-ной ставке начисления процентов продержалась месяцев, то вклад ежемесячно увеличивался в раз, и этот коэффициент будет сохранен до тех пор, пока ставка не изменится.
При изменении процентной надбавки с 5% на 12% (ставка 12% продержалась месяцев) первоначальная сумма вклада за месяцев увеличится в раз.
Предположим, что процентная ставка продержалась месяцев, а процентная ставка продержалась месяцев. Тогда соответствующие коэффициенты повышения составят:
и
Таким образом, коэффициент повышения суммы вклада в целом за весь период хранения вклада в банке составит:
Это — с одной стороны. Но с другой стороны, согласно условию задачи первоначальная сумма вклада за это же время увеличилась на т.е. в
( раз).
Значит,
Согласно основной теореме арифметики каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственное с точностью до порядка их следования. В таком случае:
Решим эту систему относительно натуральных и
Из последнего уравнения системы имеем: При этих значениях и система примет вид:
Итак, вклад в банке на хранении был 7 месяцев. При найденных значениях и действительно равно нулю.
Ответ: 7.
3. Задание 19 № 506949. В начале года 5/6 некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось — в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у.е., к концу следующего — 749 у.е. Если первоначально 5/6 суммы было бы вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у.е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.
Решение.
Пусть в банк А, у которого исходя из годовой процентной ставки коэффициент повышения вклада равен вложено у.е. денег. Тогда в банк Б, у которого аналогичный коэффициент равен вложено у.е денег.
В соответствии с условием задачи будем иметь:
Если бы те же суммы были вложены в банки Б и А соответственно, то имели бы уравнение (3)
А искомая сумма будет равна значению выражения
Рассмотрим систему уравнений (1) и (3):
Отсюда:
Подставим найденное значение y в уравнение (2):
Искомая сумма имеет вид:
Ответ: 841.
4. Задание 19 № 506950. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?Решение.
Общая сумма, причитающаяся вкладчику, включая дополнительные вклады в течение четырех лет и все процентные начисления, к концу пятого года хранения денег составляет 825 (100+725) процентов от первоначального (3900 тыс. руб.). Эта сумма равна:
(тыс.руб.)
Некоторая часть найденной суммы образована хранением первоначально вложенной суммы (3900 тыс.руб.) Вычислим эту часть. Поскольку процентная надбавка начислялась в размере 50% годовых, то за 5 лет хранения этой части вклада вложенная сумма увеличилась в раза. То есть стала:
(тыс. руб.)
Теперь найдем другую часть образованной суммы с учетом дополнительных вкладов в течение четырех лет, а также процентных начислений на эту сумму. Эта часть равна разности двух сумм, вычисленных выше.
(тыс. руб.)
Это — с одной стороны. С другой же стороны эта сумма образовалась так:
Пусть вкладчик в конце года и еще три раза в следующие годы вносил дополнительный вклад в сумме тыс. руб.
В конце первого года хранения этой суммы (к концу второго года от открытия вклада) она выросла до тыс. руб.
Вкладчик дополнительно внес еще тыс. руб. На начало следующего календарного года эта часть суммы стала:
(тыс.руб.)
Через год эта сумма выросла до:
(тыс.руб.)
Но вкладчик внес на счет еще тыс.руб. Сумма стала:
(тыс. руб.)
Через год эта сумма выросла до:
(тыс. руб.)
Вкладчик вновь внес на счет тыс. руб. Часть вклада становится равной:
(тыс.руб.)
К концу последнего года хранения всего вклада эта часть вырастает до:
(тыс. руб.)
Теперь решим уравнение:
Итак, искомая сумма равна 210 тыс. руб.
Ответ: 210 000.
5. Задание 19 № 506951. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку а% до (а + 40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?
Решение.
Пусть банк первоначально принял вклад в размере у.е. под годовых. Тогда к началу второго года сумма стала у.е.
После снятия четверти накопленной суммы на счету осталось у.е.
С момента увеличения банком процентной ставки на 40% к концу второго года хранения остатка вклада накопленная сумма стала
у.е.
По условию задачи эта сумма равна у.е.
Решим уравнение
;
Этот корень не подходит по смыслу задачи: Новые годовые составляют 20 + 40 = 60 %.
Ответ: 60.
6. Задание 19 № 506952. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Решение.
Пусть сумма кредита составляет у.е., а процентная ставка по кредиту К концу первого года сумма долга фермера в банк с учетом начисленных процентов составила у.е.
После возвращения банку 3/4 части от суммы долга долг фермера на следующий год составил у.е.
На эту сумму в следующем году вновь начислены проценты. Сумма долга фермера к концу второго года погашения кредита с учетом процентной ставки составила у.е. По условию задачи эта сумма равна у.е.
Решим уравнение на множестве положительных чисел.
Ответ: 120.
7. Задание 19 № 506953. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года — у % годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.
Решение.
Пусть в январе 2000 года вкладчик положил на счет у.е. Тогда в январе 2001 года на счету сумма станет у.е. Но в январе же 2001 года вкладчик снял у.е. На счету осталось:
у.е.
В январе 2002 года сумма на счету будет равна:
Функция является квадратичной от .
У нее есть наибольшее значение при
Ответ: 25.
8. Задание 19 № 506954. В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?
Решение.
Пусть сумма, которой первоначально располагала администрация края, составляла у.е., а цена барреля сырой нефти у.е. Тогда первоначально возможный объем закупок составлял баррелей. Этот объем примем за 100 процентов. За 2 месяца хранения в банке положенная сумм выросла до у.е., а цена барреля сырой нефти за это же время убыла до у.е. Следовательно, 1 ноября 2001 г. руководство края на эту сумму могла закупить баррелей сырой нефти. Процентное отношение этого объема к первоначально возможному объему закупок составит:
% то есть % = %.
Значит, руководство края смогло пополнить 1 ноября 2001 г. нефтяные запасы края на 96% больше, чем 1 сентября того же года.
Ответ: 96.
9. Задание 19 № 506955. Транcнациональная компания Amako Inc. решила провести недружественное поглощение компании First Aluminum Company (FAC) путем скупки акций миноритарных акционеров. Известно, что Amako было сделано три предложения владельцам акций FAC, при этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась на 1/3. В результате второго предложения Amako сумела увеличить число выкупленных акций на 20%, а в результате скупки по третьей цене — еще на 20%. Найдите цену третьего предложения и общее количество скупленных акций FAC, если начальное предложение составляло $27 за одну акцию, а по второй цене Amako скупила 15 тысяч акций.
Решение.
Предложения Цена одной акции ($)Количество выкупленных акций
При данном предложении Общее количество выкупленных акций
1 27 75 000
2 36
15 000 90 000
3 48
108 000
Ответ: цена третьего предложения составила $48 за одну акцию; всего было выкуплено 108 000 акций.
10. Задание 19 № 506956. Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?
Решение.
Первый способ (близкий к арифметическому решению).
Пусть первый брокер купил акций, а второй — акций. Тогда первый продал акций, второй — акций.
То, что сумма от продажи акций, полученных вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером, означает: сумма, полученная вторым брокером, больше суммы, полученной первым, в 2,4 раза:
Так как цена одной акции у обоих брокеров одинакова, а полученные суммы прямо пропорциональны количеству акций, проданных каждым брокером, то
Если — коэффициент пропорциональности количества акций, купленных брокерами, то ими приобретено акций на сумму 3640 р. Следовательно, на тот момент цена каждой акции составляла:
р.
Первый брокер продал акций, второй акций. Всего было продано акций. К моменту продажи цена одной акции стала
(р), т.е. на (р) выше.
Значит, цена одной акции возросла на 37,5%
Второй способ (преобладает алгебраический подход).
Пусть р. — первоначальная цена одной акции, — количество акций, купленных первым брокером, — количество акций, купленных вторым брокером. И пусть цена одной акции возросла на %. Тогда: (1)
Со временем цена одной акции выросла до рублей.
Первый брокер продал акций на сумму рублей, а второй брокер — на рублей.
Согласно условию задачи имеем: т.е.
(2)
Так как сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером, то
Подставив полученное значение в уравнение (1), будем иметь:
Подставим то же значение в уравнение (2):
А значение нами найдено выше.
Следовательно,
Ответ: 37,5.
11. Задание 19 № 506957. Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?
Решение.
Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Сергей взятую сумму возвращал равными долями.
Общая сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита, обусловлена только применением процентной ставки.
В первом месяце эта часть заплаченной суммы составляла , во втором — в третьем — в восьмом — наконец, в последнем —
Всего за 9 месяцев:
Искомое процентное отношение есть 60
Ответ: 60.
12. Задание 19 № 506959. Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Зпербанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Зпербанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Зпербанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Зпербанке Баба Валя сняла половину образовавшей суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» И открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния.
Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Зпербанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?..»
Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без навара!
А каков в Зпербанке процент годовых для пенсионеров?Решение.
Пусть Баба Валя внесла в Зпербанк у. е. под годовых. Тогда за год хранения вклада в Зпербанке внесенная сумма выросла до у. е. Баба Валя сняла со счета у. е. и поместила эту сумму в коммерческий банк. За год хранения вклада в коммерческом банке сумма выросла до у.е. А эта сумма по условию задачи составляет у. е.
Решим уравнение
По условию задачи нам подходит только положительный корень Значит, в Зпербанке процент годовых для пенсионеров равен 10.
Ответ: 10.
13. Задание 19 № 507208. 31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
Решение.
Пусть — сумма кредита. Обозначим ежегодные платежи и соответственно. Сумма долга каждый год увеличивается на то есть сумма долга умножается на коэффициент После первой выплаты сумма долга станет равной после второй выплаты: после третье выплаты: после четвёртой выплаты: Причём долг будет погашен полностью, получаем, то есть Аналогично получаем уравнение для случая, когда выплаты совершаются платежами размером Имеем систему уравнений:
Подставим выражение для в первое уравнение: Преобразуем это уравнение:
Подставляя числовые значения получаем:
Отрицательные корни не подходят по условию задачи, значит, откуда то есть Пётр взял деньги в банке под 20%.
Ответ: 20%.
14. Задание 19 № 507212. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Решение.
Пусть сумма кредита равна а годовые составляют Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент После первой выплаты сумма долга составит После второй выплаты сумма долга составит
После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна
После четвертой выплаты сумма оставшегося долга равна
По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому
При и получаем: и
Ответ: 2 296 350.
15. Задание 19 № 507214. 1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?
Решение.
Ясно, что чем больше месячные выплаты, тем быстрее будет выплачен долг. Значит, срок кредита будет минимален в том случае, когда выплаты составляют 220 тыс. рублей. Составим таблицу, в первом столбце которой будем указывать долг на первое число месяца, а во втором — долг в том же месяце, но уже после выплаты. Для упрощения расчётов будем сохранять только два знака после запятой, представляя суммы долга в тыс. рублей.
Месяц Долг на первое число
месяца (тыс. руб) Долг после выплаты
(тыс. руб)
1 1122 902
2 920,04 700,04
3 714,04 494,04
4 503,92 283,92
5 289,60 69,60
6 70,99 0
Заметим, что в последний месяц выплата составит менее 220 тыс. руб. Из таблицы видно, что минимальный срок кредита в условиях задачи составляет 6 месяцев.
Ответ: 6.
16. Задание 19 № 507227. Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
Решение.
Ясно, что чем больше годовые выплаты, тем быстрее будет выплачен долг. Значит, срок кредита будет минимален в том случае, когда выплаты составляют 330 тыс. рублей. Составим таблицу, в первом столбце которой будем указывать долг после начисления процентов, а во втором — долг после выплаты. Для упрощения расчётов будем сохранять только два знака после запятой, представляя суммы долга в тыс. рублей.
Годы Долг до выплаты
(тыс. руб) Долг после выплаты
(тыс. руб)
1 1540 1210
2 1331 1001
3 1101,1 771,1
4 848,21 518,21
5 570,03 240,03
6 264,03 0
Заметим, что в последний год выплата составит менее 330 тыс. руб. Из таблицы видно, что минимальный срок кредита в условиях задачи составляет 6 лет.
Ответ: 6 лет.
17. Задание 19 № 507278. 1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платёж. НА какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей?
Решение.
Ясно, что за 8 месяцев Павел Витальевич не справится с выплатой долга, так как он вернет банку не более рублей, а общий долг будет больше миллиона рублей, так как банк еще начисляет проценты. Покажем, что на 9 месяцев кредит брать можно. Пусть ежемесячный платеж будет равен 125000 рублей. Через месяц задолженность Павла Витальевича перед банком составит 1010000 рублей, затем Павел Витальевич выплачивает 125000 и долг составляет 885000. Затем банк начисляет процент, но 1 процент от оставшейся суммы будет уже меньше, чем 10000 рублей, и в дальнейшем будет тем более меньше. Поэтому задолженность через два месяца будет меньше 895000, а после очередного платежа - меньше 770000 рублей. Аналогично, через 3 месяца задолженность будет меньше 780000, а после платежа - меньше 655000 рублей. Через 4 месяца задолженность будет меньше 665000, а после платежа - меньше 540000 рублей. Через 5 месяцев задолженность будет меньше 550000, а после платежа - меньше 425000 рублей. Через 6 месяцев задолженность будет меньше 435000, а после платежа - меньше 310000 рублей. Через 7 месяцев задолженность будет меньше 320000, а после платежа - меньше 195000 рублей. Через 8 месяцев задолженность будет меньше 205000, а после платежа - меньше 80000 рублей. Таким образом, через 9 месяцев задолженность заведомо не будет превышать 90000 рублей, и своим последним платежом Павел Витальевич полностью расплатится с банком.
Ответ: на 9 месяцев
18. Задание 19 № 507280. 31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Решение.
Решение: Заметим сначала, что увеличить число на 12,5% это тоже самое, что умножить это число на . Пусть Ярослав взял в банке N рублей, а его ежегодный платеж равен a (в данном случае а = 2132325). Тогда из условия следует уравнение: Раскрывая скобки, получаем следующее: . Отсюда Складывая дроби и упрощая, получаем: Подставляя , получаем: .
Ответ: 6409000р.
19. Задание 19 № 507284. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Решение.
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a. После первой половины выплаты сумма долга составит S1 = Sb − X. После второй выплаты сумма долга составит
После третей выплаты сумма оставшегося долга равна
По условию тремя выплатами Тимофей погасил кредит полностью, поэтому откуда
Рассуждая аналогично, находим, что если бы Тимофей гасил долг двумя равными выплатами, то каждый год он должен был бы выплачивать рублей. Значит, он отдал банку на больше.
При S = 7 007 000 и a = 20, получаем: b = 1,2 и
(рублей).
(рублей).
Значит, 3X−2Y = 806400.
Ответ: 806400.
20. Задание 19 № 507714. Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?
Решение.
Через лет 1 сентября на первом счёте будет сумма
В это же время на втором счёте будет сумма
Приравняем эти суммы и решим полученное уравнение:
Таким образом, суммы на счетах сравняются через 11 лет после открытия первого вклада то есть в в 2019 году.
Ответ: 2019.
21. Задание 19 № 507890. Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?
Решение.
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a %. Тогда в последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a Составим таблицу выплат.
Год Долг банку (руб.) Остаток доли после выплаты (руб.)
0 100000 –
1 110000 86000
2 94600 70600
3 77660 53660
4 59026 35026
5 38528,6 14528,6
6 15981,46 0
Значит, Оля погасит кредит за 6 лет.
Ответ: 6.
22. Задание 19 № 508214. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение.
Заметим, что за 4 месяца Александр Сергеевич выплатит 1,1 млн рублей. Таким образом, он не покроет долг с процентами. Каждый месяц долг увеличивается не более, чем на 1 100 000 · 0,01 = 11 000 рублей. Значит, за пять месяцев Александр Сергеевич должен будет выплатить не более 1 100 000 + 5 · 11 000 = 1 155 000 рублей, что менее чем 5 · 275 000 = 1 375 000 рублей. Таким образом, Александр Сергеевич сможет выплатить кредит за 5 месяцев.
Ответ: 5.
23. Задание 19 № 508215. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение.
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01а. После первой выплаты сумма долга составит S1 = Sb − X. После второй выплаты сумма долга составит
По условию двумя выплатами Дмитрий должен погасить кредит полностью, поэтому откуда
При S = 4 290 000 и а = 14,5, получаем: b = 1,145 и
(рублей).
Ответ: 2 622 050.
24. Задание 19 № 508217. 31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий Переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Решение.
Заметим, что увеличение долга на 12,5% есть увеличение его в раза.
Дата Долг при условии, что Савелийвыплатил долг за 3 равных платежа Долг при условии, что Савелийвыплатил долг за 2 равных платежа
31.12.2014 Долг: 7 378 000 руб. Долг: 7 378 000 руб.
31.12.2015 Долг увеличен,стал руб. Долг увеличен,стал руб.
До 31.12.2016 Савелий перевел в банк х руб.Долг уменьшился и стал руб. Савелий перевел в банк у руб.Долг уменьшился и стал руб.
31.12.2016 Долг увеличен в раза,стал руб. Долг увеличен в раза,стал руб.
До 31.12.2017 Савелий перевел в банк х руб. Долг уменьшился и стал руб., т. е. руб. Савелий перевел в банк у руб. Долг уменьшился и стал руб., т. е. руб. Савелий расплатился за 2 равных платежа. Долга нет. Т. е.
31.12.2017 Долг увеличен в раза,стал руб. Долг 0 руб.
До 31.12.2018 Савелий перевел в банк х руб. Долг уменьшился и стал руб., т.е. руб. Савелий расплатился за 3 равных платежа. Долга нет. Т.е. Долг 0 руб.
Из таблицы получаем, что ежегодные платежи в первом случае: Во втором случае: Найдём насколько рублей меньше отдал бы Савелий банку, если бы выплачивал долг двумя равными платежами:
Ответ: 506 250.
25. Задание 19 № 508236. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
Решение.
Решение 1. Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю девочек ― очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждая девочка в классе из 22 человек составляет от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 23 человек ― от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из большего класса и мальчика из меньшего, суммарный процент девочек вырастет. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из девочек, а в большем классе ― 3 девочки и 20 мальчиков.
Решение 2. Пусть в меньший класс распределено х девочек (где ), тогда в больший класс попало девочек. Значит, суммарная доля девочек в двух классах равна и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [2; 22], то есть при Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из девочек, а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков.
Ответ: В одном классе ― 22 девочки, в другом ― 3 девочки и 20 мальчиков.
26. Задание 19 № 508257. В 1-е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
Решение.
Решение 1. Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю мальчиков ― очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждый мальчик в классе из 22 человек составляет от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 21 человек ― от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из меньшего класса и мальчика из большего, суммарный процент мальчиков вырастет. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из мальчиков, а в большем классе ― 20 девочек и 2 мальчика.
Решение 2. Пусть в меньший класс распределено х мальчиков (где ), тогда в больший класс попало () мальчиков. Значит, суммарная доля мальчиков в двух классах равна и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [1; 21], то есть при Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из мальчиков, а в большем классе должно быть 20 девочки и 2 мальчика.
Ответ: В одном классе ― 21 мальчик, в другом ― 20 девочек и 2 мальчика.
27. Задание 19 № 508626. Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. руб. и не больше 60 тыс. руб. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Решение.
Введём обозначения так, как показано в таблице (выделено цветом), и затем заполним оставшиеся ячейки по данным из условия:
Первый пакет Второй пакет Третий пакет
Цена одной акции, тыс. руб. Количество акций в пакете, шт
Цена пакета, тыс. руб.
Заметим, что цена одной акции из второго пакета равна тыс. руб., а цена одной акции из третьего пакета равна тыс. руб., причем из условия следует, что Требуется определить наибольшее и наименьшее значение величины выраженное в процентах. Из условия имеем:
Отрезки [a; b] и [c; d] пересекаются тогда и только тогда, когда а ≤ d и с ≤ b одновременно, поэтому полученная система имеет решения тогда и только тогда, когда:
Решим эту систему на интервале (1; 4):
Тем самым,
т. е. искомая доля меняется от 12,5% до 15%.
Ответ: 12,5% и 15%.
Примечание.
Заметим, что при найденных значениях l существует такие значения цены акций первого пакетах, что цены акций второго и третьего пакетов подчиняются указанным в условии ограничениям. При этом количество акций в первом пакете может быть любым натуральным числом: ни условие, ни решение от этого количества не зависят. С другой стороны, для решения задачи существенно, что цены всех акций в каждом пакете одинаковы. Об этом авторам следовало написать в условии более отчетливо.
Приведём решение И. В. Фельдман.
Будем считать, что общая стоимость акций фиксирована. Давайте для начала введем переменные:
Первый пакет Второй пакет Третий пакет
Количество акций n m n + m
Стоимость акций x y z
Тогда стоимость первого пакета акций равна nx, второго my, третьего (n + m)z.
Теперь внимательно читаем задачу:
1. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, следовательно, 4nx = my.
2. Суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета, следовательно, 4nx + my = z(n + m).
3. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. р. до 20 тыс. р., следовательно, 16 ≤ y − x ≤ 20.
4. Цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. р. и не больше 60 тыс. р., следовательно, 42 ≤z ≤ 60.
Получили систему условий:
В первую очередь разберемся с неравенствами. По условию задачи нам нужно найти, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Этот процент равен
Сначала найдем, при каких условиях этот процент будет наименьшим. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Поэтому чем меньше акций в третьем пакете, тем меньше суммарное количество акций в первых двух пакетах. Акций в третьем пакете тем меньше, чем больше их стоимость. Следовательно, чтобы получить наименьший процент акций из первого пакета, мы должны взять наибольшую стоимость акций из третьего, то есть берем z = 60.
Далее. Чем дешевле акции из второго пакета, тем их больше, и тем меньше остается акций в первом пакете (суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете). Следовательно, разность между стоимостью акции из первого пакета и акции из второго пакета должна быть наименьшей. Поэтому берем y − x = 16.
Получили систему уравнений:
В этой систем 4 уравнения и 5 неизвестных, поэтому мы не можем найти значение каждой неизвестной величины. Но мы можем найти их соотношение. Для этого вернемся вернемся к вопросу задачи. Нам нужно найти значение выражения Рассмотрим дробь Обратная ей дробь равна То есть если мы найдем отношение , то задача будет решена. Из первого, второго и четвертого уравнений системы получим Из третьего уравнения выразим y через x, получим Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и m:
Подставим это выражение для x в уравнение (2). Получим:
Разделим обе части равенства на 20 и умножим на . Получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим: Разделим обе части равенства на и решим квадратное уравнение относительно :
Получим 2 значения и
Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только То есть . Подставим это соотношение в выражение (1):
Итак, наименьший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете, равен 12,5%. Аналогичным образом найдем наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете. Получим систему уравнений:
Из первого, второго и четвертого уравнений получим Из третьего уравнения выразим y через x, получим Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и m. Получим: Подставим это выражение для x в уравнение (3). Получим: Разделим обе части равенства на 2 и умножим на . Получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим: Разделим обе части равенства на умножим на −1 и решим квадратное уравнение относительно
Получим 2 значения: и Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только То есть Подставим это соотношение в выражение (1):
Итак, наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете, равен 15%.
Ответ: 12,5% и 15%.
28. Задание 19 № 508627. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Решение.
Пусть фермер взял сумму под годовых. Через год он стал должен банку сумму вернул в банк три четверти долга — сумму и остался должен Еще через год фермер стал должен банку внес в банк сумму 1,21 чем рассчитался с банком полностью. Отсюда имеем:
Тем самым, банк выдал фермеру кредит под 120% годовых (это ограбление).
Ответ: 120.
29. Задание 19 № 508629. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?
Решение.
Пусть сумма денег, которые Степан положил в два разных банка, составляет х руб. Коэффициент повышения суммы, обусловленный годовой процентной ставкой на вклад, составляет в первом банкеu, во втором v (это — не процентная ставка).
Тогда к концу первого года хранения (60% процентов в первом банке и 40% во втором банке) вся сумма вклада стала (руб.).
Если бы Степан первоначально положил 60% всей суммы во второй банк, а 40% — в первый банк, то вся сумма была бы равна (руб.).
Решим систему уравнений относительно xu и xv.
Для удобства в расчетах заменим число 590 000 выражением 590t, 610 000 — выражением 610t, t = 1000.
Тогда приведенная система уравнений после некоторых преобразований будет выглядеть так:
Решим ее относительно xu и xv.
Теперь воспользуемся тем, что к концу второго года сумма вкладов (в реале) стала 701 000 руб., т.е. 701t руб.
При
Теперь нетрудно найти и искомую сумму.
(руб.)
Ответ: 749 000.
30. Задание 19 № 508975. Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть сумма кредита равна По условию долг Алексея должен уменьшаться до нуля равномерно:
К концу каждого месяца к сумме долга добавляется Пусть Тогда последовательность сумм долга вместе с процентами такова:
Следовательно, выплаты должны быть следующими:
Всего следует выплатить:
Общая сумма выплат оказалась на 13% больше суммы, взятой в кредит, поэтому:
Откуда получаем, что
Ответ: 2.
31. Задание 19 № 509004. Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть сумма кредита равна По условию долг Алексея должен уменьшаться до нуля равномерно:
К концу каждого месяца к сумме долга добавляется Пусть Тогда последовательность сумм долга вместе с процентами такова:
Следовательно, выплаты должны быть следующими:
Всего следует выплатить:
Общая сумма выплат оказалась на 27% больше суммы, взятой в кредит, поэтому:
Откуда получаем, что
Ответ: 3.
32. Задание 19 № 509025. Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Решение.
Если Алексей продаст бумагу в течение k-го года, то через тридцать лет после покупки сумма на его счёте будет равна Таким образом, нам нужно найти номер максимального члена
последовательности , где k пробегает целые значения от 1 до 30. Рассмотрим приращение
Отсюда при и при Следовательно, наибольшее значение последовательность принимает при
Ответ: в течение восьмого года.
---------------------------------------------------------
Приведем другое решение.
Продать ценную бумагу нужно в том момент, когда 10% от стоимости станут составлять не меньше чем 2 тыс. рублей, что возможно при стоимости бумаги не менее 20 тыс. рублей.
Это произойдет через семь лет после покупки ценной бумаги (7 + 7 · 2 = 21).
Таким образом ценную бумагу нужно продать в течении восьмого года (сразу по прошествии семи лет)
33. Задание 19 № 509046. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
Решение.
Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю девочек ― очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждая девочка в классе из 22 человек составляет 1/22 от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 23 человек ― 1/23 от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из большего класса и мальчика из меньшего, суммарный процент девочек вырастет. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из девочек, а в большем классе ― 3 девочки и 20 мальчиков.
Приведём другое решение.
Пусть в меньший класс распределено девочек (где ), тогда в больший класс попало девочек. Значит, суммарная доля девочек в двух классах равна и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [2; 22], то есть при Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из девочек, а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков.
Ответ: в одном классе — 22 девочки, в другом — 3 девочки и 20 мальчиков.
34. Задание 19 № 509067. В 1-е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
Решение.
Решение 1. Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю мальчиков ― очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждый мальчик в классе из 22 человек составляет 1/22 от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 21 человек ― 1/21 от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из меньшего класса и мальчика из большего, суммарный процент мальчиков вырастет. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из мальчиков, а в большем классе ― 20 девочек и 2 мальчика.
Решение 2. Пусть в меньший класс распределено х мальчиков (где ), тогда в больший класс попало () мальчиков. Значит, суммарная доля мальчиков в двух классах равна и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [1; 21], то есть при . Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из мальчиков, а в большем классе должно быть 20 девочки и 2 мальчика.
Ответ: В одном классе ― 21 мальчик, в другом ― 20 девочек и 2 мальчика.
35. Задание 19 № 509095. Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.
Вид начинки Себестоимость(за 1 тонну) Отпускная цена(за 1 тонну) Производственныевозможности
ягоды 70 тыс. руб. 100 тыс. руб. 90 (тонн в мес.)
творог 100 тыс. руб. 135 тыс. руб. 75 (тонн в мес.)
Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц.
Решение.
Пусть x — доля мощностей завода, занятых под производство блинчиков с ягодной начинкой, а y— доля мощностей, занятых под производство блинчиков с творожной начинкой. Тогда x + y = 1, при этом блинчиков с ягодной начинкой производится 90x тонн, а с творожной начинкой — 75y тонн. Кроме того, из условия ассортиментности следует, что откуда а откуда Прибыль завода с одной тонны продукции с ягодной начинкой равна 100 − 70 = 30 тыс. руб., прибыль с одной тонны продукции с творожной начинкой равна 135 − 100 = 35 тыс. руб., а общая прибыль с произведённой за месяц продукции равна 30 · 90x + 35 · 75y = 2700x + 2625y.
Таким образом, в переводе на математический язык, нам необходимо найти наибольшее значение выражения 75 · (36x + 35y) при выполнении следующих условий:
Чтобы найти те x и у, для которых достигается максимум выражения 36x + 35y при условиях (*), преобразуем систему (*), выразив у через x:
Подставляя у = 1 − x в выражение 36x + 35y, получаем: 36x + 35(1 − x) = 35 + x. Очевидно, что выражение 35 + x при условиях принимает наибольшее значение при
Значит, наибольшее значение выражения 36x + 35y при выполнении условий системы (*) достигается при Поэтому максимально возможная прибыль завода за месяц равна:
Ответ: 2685 тыс. руб.
36. Задание 19 № 509124. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.
Вид тары Себестоимость,1 ц. Отпускная цена,1 ц.
стеклянная 1500 руб. 2100 руб.
жестяная 1100 руб. 1750 руб.
Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).
Решение.
Пусть x — доля мощностей завода, занятых под производство компотов в стеклянной таре, а y — доля мощностей, занятых под производство компотов в жестяной банке. Тогда x + y = 1, при этом компотов в стеклянной таре производится 90x центнеров, а в жестяной таре — 80y центнеров. Кроме того, из условия ассортиментности следует, что Прибыль завода с 1 центнера продукции в стеклянной таре равна 2100 − 1500 = 600 руб., прибыль с 1 центнера в жестяной таре равна 1750 − 1100 = 650 руб., а общая прибыль с произведённой за день продукции равна 600 · 90+650 · 80 = 54000 + 52000.
Таким образом, в переводе на математический язык, нам необходимо найти наибольшее значение выражения 2000 · ( 27 + 26) при выполнении следующих условий:
Чтобы найти те x, у, для которых достигается максимум выражения 27x + 26y при условиях (*), преобразуем систему (*), выразив у через x:
Подставляя у = 1 − x в выражение 27x + 26y, получаем: 27x + 26(1 − x) = 26 + x. очевидно, что выражение 26 + x при условиях принимает наибольшее значение тогда, когда
Итак, нами получено, что наибольшее значение выражения 27x + 26y при выполнении условий системы (*) достигается тогда, когда Поэтому максимально возможная прибыль завода за день равна
руб.
Ответ: 53 500 руб.
37. Задание 19 № 509162. Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Решение.
Если Алексей продаст бумагу в течение k-го года, то через двадцать пять лет после покупки сумма на его счёте будет равна Таким образом, нам нужно найти номер максимального члена
последовательности где k пробегает целые значения от 1 до 25. Рассмотрим приращение
Отсюда при и при Следовательно, наибольшее значение последовательность принимает при
Ответ: в течение шестого года.
-------------------------------------------------------------------
Приведем другое решение.
Продать ценную бумагу нужно в том момент, когда 8% от стоимости станут составлять не меньше чем 1 тыс. рублей, что возможно при стоимости бумаги не менее 12,5 тыс. рублей.
Это произойдет через пять лет после покупки ценной бумаги (8 + 5 · 1 = 13).
Таким образом ценную бумагу нужно продать в течении шестого года (сразу по прошествии пяти лет)
38. Задание 19 № 509183. 1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300000 рублей?
Решение.
Минимизировать время выплат можно, только максимизироввав сами выплаты. Решим задачу в общем виде. Пусть S — сумма (в тыс. руб.) кредита; Sn — задолженность в n-й месяц; sn — выплата вn-й месяц, Sn = S; q — коэффициент ежемесячного повышения, q > 1. Тогда
После предпоследней выплаты останется и тогда в последний раз,. N-й раз, кредит будет погашен. Значит,
Относительно x = qN−1 получаем неравенство
По условию S = 900, s = 300, q = 1,01, т. е.
Так как 1,012 = 1,0201 < 1,0206..., 1,013 = 1,030301 > 1,0206..., то N − 1 = 3, N = 4.
Приведём другой вариант решения.
Если бы банк не брал процентов, то долг можно было бы вернуть за 3 месяца. Банк за 3 месяца возьмет меньше, чем 3% от первоначальной суммы в 900 тыс., т.е. меньше 27 тыс. Поэтому то, что забирает банк, точно можно будет оплатить в 4-й месяц, потратив меньше 300 тыс.
Ответ: 4.
39. Задание 19 № 509184. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме Гбайт входящей в него информации выходит Гбайт, а с сервера №2 при объёме Гбайт входящей в него информации выходит Гбайт обработанной информации; 25 < t < 55. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?
Решение.
Пусть на сервере №1 обрабатывается x2, а на сервере №2 обрабатывается y2 Гбайт из всей первичной информации. Тогда x + y = 3364, а обработано будет 20x + 21y Гбайт информации. Требуется найти максимум суммы 20x + 21y при условии
Так как 3364 = 582, то для некоторого угла Так как 202 + 212 = 292, то
для вспомогательного угла с Следовательно, наибольшее значение суммы 20x + 21y равно 58 · 29 = 1682. Оно достигается при т. е. для значений, удовлетворяющих условиям 25 < x < 55, 25 < y < 55.
Приведём другое решение.
Пусть на сервере №1 обрабатывается x2, а на сервере №2 обрабатывается y2 Гбайт из всей первичной информации. Тогда x2 + y2 = 3364, а обработано будет 20x + 21y Гбайт информации. Выразим y через x: Требуется найти наибольшее значение функции
Поэтому x = 40 единственная критическая точка и Условия
выполнены. Если x < 40, то x2 < 1600, и f'(x) > 0. Если x > 40, то f'(x) < 0. Поэтому x = 40 есть точка максимума. Значит, fнаиб = f(40) = 20 · 40 + 21 · 42 = 1682.
Приведём ещё один пример решения.
Пусть на сервере №1 обрабатывается x2, а на сервере №2 обрабатывается y2 Гбайт из всей первичной информации. Тогда x2 + y2 = 3364, а обработано будет 20x + 21y Гбайт информации.
Так как 3364 = 582, то x2 + y2 = 3364 задает окружностью радиуса 58 с центром в начале координат. Проведем целевой вектор а{20; 21) и перпендикулярную ему прямую l: 20x + 21y = 0, проходящую через начало координат. Луч, коллинеарный вектору a(20; 21), пересечёт окружность в точкеA(40; 42). Прямая m проходящая через точку A(40; 42) и перпендикулярная вектору a(20;21) будет касаться окружности и задаваться уравнением m: 20x + 21y = С со значением C, наибольшим среди всех прямых параллельных l и пересекающих . Условия 25 < x < 55, 25 < y < 55 для точки A(40; 42) выполнены. Значит,
Снаиб = 20 · 40 + 21 · 42 = 1682.
Ответ: 1682.
40. Задание 19 № 509205. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.
Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Решение.
Требуется найти максимум суммы при условии или Поскольку имеем уравнение откуда Полученное уравнение имеет решения, если неотрицателен его дискриминант, а значит, и четверть дискриминанта: Тем самым, наибольшее возможное значение равно 500.
41. Задание 19 № 509824. Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производт t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.
Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Решение.
Пусть на оплату труда рабочих первого завода выделено x руб., а второго — оставшиеся (900 000 − x) руб. Тогда на первом заводе можно оплатить часов работы, а на втором — часов работы. Количество произведённого за неделю товара равно квадратным корням из этих величин, поэтому для ответа на вопрос задачи требуется найти наибольшее значение функции
на отрезке Найдём производную:
Решая уравнение получаем:
Поскольку производная непрерывной функции f положительна на интервале (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и отрицательна на интервале (400 000; 900 000), функция f достигает наибольшего на отрезке [0; 900 000] значения в точке 400 000. Найдём его:
Тем самым, наибольшее возможное количество товара, которое могут произвести рабочие за неделю при заданном размере оплаты труда, равно 90 единицам.
Ответ: 90.