Контрольно-оценочные средства по математике

Комплект
контрольно-оценочных средств
учебной дисциплины

ЕН.01 Математика
основной профессиональной образовательной программы
по специальности СПО
190631-Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

Рассмотрено на ПЦК
Протокол № ______
От «____»_________2014 г.

Согласовано:
Зам. директора по УПР
«_____»_______2014 г.





Математика: комплект контрольно-оценочных средств по специальности среднего специального образования 190631-Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

Организация разработчик: Государственное автономное образовательное учреждение Республики Хакасия среднего профессионального образования " Аграрный техникум"
Разработчик: Несивкина Галина Анатольевна





















Шира-2014 г.
1. Общие положения

Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины Математика.
КОС включают контрольные материалы для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета.
КОС разработаны на основании положений:
- основной профессиональной образовательной программы по направлению подготовки специальности СПО 190631-Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта;
- программы учебной дисциплины Математика.
Результаты обучения
(освоенные умения, усвоенные знания)

Уметь:

- решать задачи на отыскание производной сложной функции, производных второго и высших порядков;

- применять основные методы интегрирования при решении задач;

- применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности.

Знать:

- основные понятия и методы математического анализа;

- основные численные методы решения прикладных задач.






2. Результаты освоения дисциплины, подлежащие проверке
Результаты обучения
(освоенные умения, усвоенные знания)

Уметь:

- решать задачи на отыскание производной сложной функции, производных второго и высших порядков;

- применять основные методы интегрирования при решении задач;

- применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности.

Знать:

- основные понятия и методы математического анализа;

- основные численные методы решения прикладных задач.







3. Распределение оценивания результатов обучения по видам контроля



Наименование элемента умений или знаний
Виды аттестации


Текущий контроль


У1. Умение решать задачи на отыскание производной сложной функции, производных второго и высших порядков
Анализ и оценка результатов выполнения практических работ № 1, 2.3,4,5,6,7,8.


У2. Умение применять основные методы интегрирования при решении задач
Анализ и оценка результатов выполнения практических работ № 3, 4, 5, 6.


У3.Умение применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности
Анализ и оценка результатов выполнения практической работ № 4,6.11,12.


З1. Знать основные понятия и методы математического анализа
Анализ и оценка результатов выполнения практических работ № 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9,10,11,12.


З2. Знать основные численные методы решения прикладных задач
Анализ и оценка результатов выполнения практической работ №11,12.



















Перечень практических работ по математике 2 курс по СПО
Специальность:190631-Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

Наименование разделов и тем
Практические занятия
Часы

Раздел 1. Математический анализ

10

Тема1.1. Дифференциальное и интегральное исчисление
.Практическая работа №1
Функции одной переменной
2


Практическая работа№2
Предел последовательности и предел функции. Замечательные пределы

1


3. Практическая работа №3 Непрерывность функции, точки разрыва.

1


Практическая работа№4 Производная и ее геометрический смысл. Правило Лопиталя.

2


Практическая работа№5
Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл.

2


Практическая работа№6 Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин и объемов фигур.
2





Тема 1.5Комплексные числа
Практическая работа №7
.Комплексные числа.
4


.










Раздел 2. Линейная алгебра

10

Тема 2.1 Основы линейной алгебры
Практическая работа №8
.Матрицы и действия над ними. Определитель матрицы.
5


Практическая работа№9
Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения.
5

Раздел 3. Дискретная математика

4

Тема3.1 Основы дискретной математики
Практическая работа №10
Множества и операции над ними.
4





Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
.
6

Тема 4.1 элементы теории вероятностей и математической статистики
Практическая работа №11
.Элементы теории вероятностей и математической статистики. Классическое определение вероятности события, формула полной вероятности. Формула Байеса, формула Бернулли. Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.
6

Всего:

34































4. Распределение типов контрольных заданий по элементам знаний и умений (текущий контроль)

Содержание учебного материала по программе УД
Тип контрольного задания


У1
У2
У3
З1
З2








Раздел 1. Тема 1.1 Дифференциальное и интегральное исчисление
Пр.
1.2,3,4,5,6

Пр.
5,6

Пр1,2,3,4,5,6


Раздел 2. Тема 2.1. Основные численные методы
Пр.
7,8


Пр7 ,8,.


Раздел 3. Тема 3.1. Основы линейной алгебры



Пр.
9,10


Раздел 4. Тема 4.1Основы дискретной математики



Пр11


Раздел 5.. Тема 5.1 элементы теории вероятностей и математической статистики


Пр.12

Пр.
12


Условные обозначения:
ПР- практическая работа




































5.Структура контрольного задания

Практическая работа №1
Функции одной переменной и их свойства
Время на выполнение: 90 минут
Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов контроля и оценки
Основные показатели оценки результата
Оценка

У1. Сформировать умения использовать
свойства функции для ее исследования, решать задачи и упражнения по данной теме.
- Нахождение области определения функции
- Установить четность или нечетность функции


1 балл за каждое задание

З1. Основные понятия и методы математического анализа
- Формулировка определения области определения и значения функции, свойства функции.


За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов
За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов











Теоретические сведения к практической работе

Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу f поставлен в соответствие элемент у множестваY, то говорят, что на множестве Х определена функция со значениями в множестве Y, и записывают y=f(х).
Множество Х называется областью определения функции D(f), а множество Y – областью значений функции E(f)

Пример 1. Найти область определения функции
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Основные свойства функции:
Четность и нечетность. Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-x)=f(x), и называется нечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функция y=f(x) называется функцией общего вида.
Пример 2. Установить четность или нечетность функции.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Монотонность. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х из области определения, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Ограниченность. Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке Х из области определения, если существует число М>0, такое, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для любого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Периодичность. Функция y=f(x) называется периодической с периодом Т>0, если для любых значений х из области определения f(x+T)=f(x-T)=f(x).

Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q – количество товара, которое потребители готовы купить по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция спроса, и пишут q=f(p).
Эта функция определена для тех значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, для которых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и множество ее значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
График функции спроса называют кривой спроса.
Пример 3. Функция спроса на некоторый товар имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:
Область определения и множество значений этой функции
Функцию цены в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Объем спроса при ценах на товар: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Цену за единицу товара, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
Выручку продавцов в каждом из этих случаев.
Решение: 1) Получим систему неравенств:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Выразим значение p через q:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Из закона спроса следует, что с увеличением цены р от нуля до 3500 руб. спрос должен падать. В нашем случае функция q убывает в промежутке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, следовательно, множество значений функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Функция цены имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Выручка от продажи составляет 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, следовательно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q – количество товара, которое производители готовы продать по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция предложения, и пишут q=
·(p).
Эта функция определена для тех значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, для которых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и множество ее значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 4. Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:
Область определения и множество значений функции q
Объем предложения при ценах за единицу товара: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение: 1) Найдем область определения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Множество значений функции q при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будет 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
При 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найдем функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415






Содержание практической работы:
Задание 1. Найти область определения функции
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 2. Установить четность или нечетность функции.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 3. а) Функция спроса на некоторый товар имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:
Область определения и множество значений этой функции
Функцию цены в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Объем спроса при ценах на товар: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Цену за единицу товара, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

б) Функция спроса на некоторый товар имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:
Область определения и множество значений этой функции
Функцию цены в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Объем спроса при ценах на товар: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Цену за единицу товара, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

Задание 4. а) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:
Область определения и множество значений функции q
Объем предложения при ценах за единицу товара: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:
Область определения и множество значений функции q
Объем предложения при ценах за единицу товара: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415



















Практическая работа №2
Предел последовательности и предел функции. Замечательные пределы.

Время на выполнение: 45 минут
Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов контроля и оценки
Основные показатели оценки результата
Оценка

У1Сформировать умение находить пределы последовательностей и пределы функций, использовать замечательные пределы для нахождения пределов.
Определения предела, предела последовательности, предела функции, теоремы о пределах, определения 1-го, 2-го замечательных пределов.
1 балл за каждое задание

З1. Основные понятия и методы математического анализа
- Формулировка определения области определения и значения функции, свойства функции.


За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов
За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов
Теоретические сведения к практической работе
Пусть существует последовательность действительных чисел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Число а называется пределом последовательности
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 1. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 3. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 4. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Число А называют пределом функции f(x) при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (и пишут 13 EMBED Equation.DSMT4 1415), если для любого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 найдется число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 зависящее от , такое, что для всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, удовлетворяющих условию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, выполняется неравенство 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теоремы о пределах.
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (c=const).
2. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 то:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Первый замечательный предел: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Второй замечательный предел (число е = 2,718):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Замечательные пределы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 5. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 6. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 7. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 8. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Чтобы найти предел элементарной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х=х0 принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х=х0.
При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415если13 EMBED Equation.DSMT4 1415если a>1.
Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями; к ним относятся неопределенности видов:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 9. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 10. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 11. Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415




Содержание практической работы
Задание 1. Вычислить пределы последовательностей:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 2. Вычислить пределы функций:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 3. Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415









Практическая работа №3
Непрерывность функции, точки разрыва.
Время на выполнение: 90 минут
Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов контроля и оценки
Основные показатели оценки результата
Оценка

У1Сформулировать умение исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва, определять род точек разрыва.
Доказывать непрерывность функции ,находить точки разрыва функции и устанавливать их тип,
1 балл за каждое задание

З1. Основные понятия и методы математического анализа
Формулировка функции непрерывной в точке, на некотором промежутке, определение точки разрыва


За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов
За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов

о

Теоретические сведения к практической работе
Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется непрерывной в точке х0, если она: 1) определена в точке х0; 2) имеет конечный предел при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) этот предел равен значению функции в этой точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Функция называется непрерывной, если:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Функция называется непрерывной на некотором промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Пример 1: Доказать, что функция13 EMBED Equation.DSMT4 1415 непрерывна на (-
·;+
·)
Решение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Точка х0 называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполнено хотя бы одно из условий 13 непрерывности функции. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.
Классификация точек разрыва:
х0 – точка устранимого разрыва, если а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) в точке х0 функция не определена
х0 – точка разрыва I рода, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - скачок функции
х0 – точка разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует
Пример 2:
Найти точки разрыва функции и установить их тип
13 EMBED Equation.DSMT4 1415






Содержание практической работы
Задание 1. Доказать, что функция является непрерывной
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 2. Найти точки разрыва и установить их тип
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
































Практическая работа №4
Производная и ее геометрический смысл. Правило Лопиталя.

Практическая работа№5
Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл


Время на выполнение: 90минут ПР №4. ПР №5-90 минут
Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов контроля и оценки
Основные показатели оценки результата
Оценка

Сформировать умение находить производные функций , заданных в явном, логарифмическом и параметрическом виде, находить производные сложных функций, знать геометрический смысл производной, применять правило Лопиталя.
2.Сформировать умение вычислять неопределенные интегралы и определенные, используя различные методы интегрирования.
Вычислять интегралы( заменой переменной, по частям).
1 балл за каждое задание

З1. Основные понятия и методы математического анализа
Определения первообразной для функции. Неопределенного интеграла , операция интегрирования, свойства неопределенного интеграла. Таблицу неопределенных интегралов ,алгоритм замены переменной. Определение определенного интеграла и его свойства


За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов
За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов
Теоретические сведения к практической работе
Производной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется конечный предел отношения приращения функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к приращению независимой переменной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при стремлении последнего к нулю:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
Обозначения производной в точке х0:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и другие.
Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).
Процесс отыскания производной называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной.
Если кривая задана уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке (13 EMBED Equation.DSMT4 1415).
Уравнение касательной к кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точке х0 (прямая М0Т) имеет вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2)
а уравнение нормали (М0N):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3)
Правила дифференцирования
№ пп
U = u(x), V=V(x) дифференцируемые функции
№ пп
U = u(x), V=V(x) дифференцируемые функции

I
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
VI
Производная сложной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

II
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
VII
Функция задана параметричес-кими уравнениями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

III
13 EMBED Equation.DSMT4 1415



IV
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
VIII
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 взаимно обратные функции, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

V
13 EMBED Equation.DSMT4 1415




Формулы дифференцирования основных элементарных функций
№ пп
с=const, х независимая переменная, u = u(x) дифференцируемая функция

1
С’= 0
9
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

2
x’= 1
10
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

3
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
11
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

4
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
12
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

5
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

6
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
14
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

7
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
15
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

8
13 EMBED Equation.DSMT4 1415



Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.
Производная второго порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Производная третьего порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и т. д.
Пример 1. Найти производные функций:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t=1, получим:(
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v, т. е. v=1;( используя формулу (3), получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III и формулы (3), (14), учитывая, что t=1, получим:(
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415в точке с абсциссой х0=2.
Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Подставим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в уравнения и получим: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 уравнение касательной.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 уравнение нормали.
Пример 3. Найти производную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если функция задана парамет-рически: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Используем правило VII 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 4. Найти дифференциалы функций:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Для дифференциала функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 справедлива формула 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.
Решение.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 5. Найти производную второго порядка функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поэтому найдём производную первого порядка, а затем второго.

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 6. Найти производную функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 логарифмическим дифференцированием
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или б.б. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5)
Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и затем использовать формулу (5).
Пример 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, определим предел числителя и знаменателя.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 т. к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Аналогично: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Используем правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415







Содержание практической работы
Задание 1. Найти производные 1-го порядка данных функций
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 14
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·15
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415

Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х0.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 3. Найти производную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функции y=у(x), заданной параметрически: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6)13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 4. Найти дифференциалы функций:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 5. Найти производную второго порядка функции y=f(x).
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 6. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

 Практическая работа №6
Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин и объемов фигур.
Время на выполнение: 90минут
Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов контроля и оценки
Основные показатели оценки результата
Оценка

У1. Сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления площадей, длин и объемов фигур.
Определения определенного интеграла, его свойства, формулы площадей плоских фигур, формулы объема фигур.
1 балл за каждое задание

З1. Основные понятия и методы математического анализа
Вычислять площади плоских фигур в декартовой системе координат ,площади фигур , ограниченными линиями, вычислить длину дуги кривой, найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ


За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов
За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов


Теоретические сведения к практической работе
Площади плоских фигур
1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат
Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и прямыми 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то ее площадь вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (8)



Рис. 1
Рис. 2


Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:
x
0
1
–1
2
–2
3
–3
4
–4

y
–2
–1
–1
2
2
7
7
14
14

Для построения прямой достаточно двух точек, например 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найдем координаты точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 пересечения параболы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Для этого решим систему уравнений
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Итак, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Площадь полученной фигуры найдем по формуле (8), в которой
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поскольку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями, заданными параметрически
Если функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеют непрерывные производные первого порядка для всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то площадь плоской фигуры, ограниченной линией 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 прямыми x = a, x = b, где a = x(t0),
b = x(t1), и осью OX, вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (9)
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. Для построения фигуры составим таблицу значений координат (x, y) точек кривой, соответствующих различным значениям параметра 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
t
0
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

x
2
0
–2
0
2

y
0
3
0
–3
0




Рис. 3

Нанесем точки (x, y) на координатную плоскость XOY и соединим плавной линией. Когда параметр 13 EMBED Equation.DSMT4 1415изменяется от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 до 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, соответствующая точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 описывает эллипс (известно, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 параметрические формулы, задающие эллипс с полуосями a и b). Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей OX и OY, найдем её площадь S, умножив на 4 площадь криволинейной трапеции AOB. Согласно формуле (9) получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Длина дуги плоской кривой
1. Вычисление дуги плоской кривой в декартовых координатах


Рис. 4

Если кривая задана уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет непрерывную первую производную при всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то длина дуги 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис. 4) этой кривой, заключенной между точками 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (10)


2. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически
Если кривая задана параметрически 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеют непрерывные производные 1-го порядка при всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то длина дуги 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, соответствующей изменению параметра от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 до 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (11)
Пример. Найти длину дуги кривой
а)13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (10). Найдем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и подставим в (10):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Кривая задана параметрически, поэтому воспользуемся формулой (11). Найдем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415и подставим в (11):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вычисление объемов тел вращения
Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, осью OX и прямыми 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис. 5), то его объем вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (12)



Рис. 5
Рис. 6

Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 6).
Чтобы получить объем тела вращения из объема 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 тела, полученного вращением фигуры ОАВ. Тогда искомый объем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По формуле (12) найдем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (ед. объема);
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (ед. объема);
13 EMBED Equation.DSMT4 1415(ед. объема).




















Содержание практической работы
Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 3. Найти длину дуги кривой.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415




Практическая работа № 7
Комплексные числа и действия с ними.
Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.
Теоретические сведения к практической работе
Комплексное число – это выражение вида
13 EMBED Equation.3 1415, (1.1)
где x, y – вещественные числа, а 13 EMBED Equation.3 1415 – мнимая единица. Первое из вещественных чисел, x, называется вещественной (действительной) частью комплексного числа (используется обозначение 13 EMBED Equation.3 1415); второе, y, - мнимой частью (13 EMBED Equation.3 1415). Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.
Числом, сопряженным к 13 EMBED Equation.3 1415, называют число вида 13 EMBED Equation.3 1415. Используя формулу разности квадратов, получаем, что 13 EMBED Equation.3 1415. Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.
Пример 1. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Дискриминант данного уравнения: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Справедливы следующие правила арифметических действий над комплексными числами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 (осуществляется сложение или вычитание алгебраических двучленов и приведение подобных);
2) 13 EMBED Equation.3 1415 (осуществляется перемножение алгебраических двучленов и приведение подобных с учетом того, что 13 EMBED Equation.3 1415);
3) 13 EMBED Equation.3 1415 (эта операция возможна только в случае, когда 13 EMBED Equation.3 1415).
Пример 2. Вычислить13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.
Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа 13 EMBED Equation.3 1415, а на оси OY – чисто мнимые числа 13 EMBED Equation.3 1415).
Модулем комплексного числа назовем длину отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Аргументом комплексного числа (13 EMBED Equation.3 1415) назовем угол, который вектор 13 EMBED Equation.3 1415 образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию 13 EMBED Equation.3 1415. При этом выражение вида
13 EMBED Equation.3 1415 (1.2)
называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Преобразуем (1.1)
13 EMBED Equation.3 1415
и, сравнивая с (1.2), получаем, что аргумент z можно найти, решив систему
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 (1.3.)
Пример 3. Записать комплексное число в тригонометрической форме 13 EMBED Equation.3 1415, указать модуль и аргумент комплексного числа.
Решение. По определению 13 EMBED Equation.3 1415. Для определения аргумента воспользуемся формулой: 13 EMBED Equation.3 1415. Получаем, что 13 EMBED Equation.3 1415. Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой 13 EMBED Equation.3 1415, то справедлива формула Муавра
13 EMBED Equation.3 1415. (1.4)
Для извлечения корня n-й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:
13 EMBED Equation.3 1415, k=0,1,,n-1. (1.5)
Пример 4. Вычислить: a) 13 EMBED Equation.3 1415; b) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. В задании a), чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме. Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EM
·BED Equation.3 1415 (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (в силу (1.4)). Учитывая что 13 EMBED Equation.3 1415 и используя свойства тригонометрических функций, получаем:
13 EMBED Equation.3 1415.
В задании b) тригонометрическая форма заданного числа имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415 (|z|=1), поэтому в силу (1.5)
13 EMBED Equation.3 1415, k=0,1,2.
Выписываем три искомых корня:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.























Содержание практической работы
Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
7) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 2. Запишите предложенные комплексные числа в тригонометрической форме: 1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 7) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задание 3. Найти все корни уравнений:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 7) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415






Практическая работа № 8
Матрицы и действия с ними. Определитель матрицы.
Время на выполнение: 4 часа 15 минут
Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов контроля и оценки
Основные показатели оценки результата
Оценка

У1. Сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами, находить определители матриц.
. Выполнение арифметических действий с матрицами. Вычислять определители матриц
1 балл за каждое задание

З1. Основные понятия и методы математического анализа
Определение матрицы, ее запись, обозначения, арифметические действия с матрицами. Эквивалентные матрицы, ранг .Вычисление определителей матрицы.


За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов
За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов


Теоретические сведения к практической работе
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:
13 EMBED Equation.3 1415.
Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись « матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица 13 EMBED Equation.3 1415 имеет размер 2x3. Далее, bij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b23=5).
При ссылке на i-ю строку матрицы A используют обозначение Ai, при ссылке на j-й столбец – обозначение Aj.
Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a11 , a22 ,, ann квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3x3
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.
Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.
Арифметические действия с матрицами.
Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:
13 EMBED Equation.3 1415.
Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1. Найти 2A-B, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:
13 EMBED Equation.3 1415
Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Произведение AB можно определить только для матриц A размера mxn и B размера nxp, при этом AB=C, матрица C имеет размер mxp, и ее элемент cij находится как скалярное произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B: 13 EMBED Equation.3 1415 (i=1,2,,m; j=1,2,,p). Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева) умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).
Пример 2. Найти произведение матриц 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Размер матрицы A 3x2, матрицы В 2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
Матрицей, транспонированной к матрице A размера mxn, называется матрица AT размера nxm, строки которой являются столбцами исходной матрицы.
Например, если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3. Найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Воспользовавшись вычислениями, проведенными при решении примера, а также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:
13 EMBED Equation.3 1415.
Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.
Рангом матрицы A в дальнейшем будем считать число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы, используя обозначение r(A). Так, в рассмотренном выше примере 3.4 r(A)=3, r(B)=2. Можно доказать, что ранг матрицы A (размера mxn) не может быть больше 13 EMBED Equation.3 1415 (например, для матрицы А размера 2x3 13 EMBED Equation.3 1415). Кроме того, ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни от проводимых преобразований. Это свойство можно использовать при проверке. Так, в примере 3.4 после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b12, а затем вычеркнуть третью строку, пропорциональную второй (13 EMBED Equation.3 1415):
13 EMBED Equation.3 1415
Вычисление определителей. Определитель матрицы A размера 2x2 (определитель 2-го порядка) – это число, которое можно найти по правилу:
13 EMBED Equation.3 1415
(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).
Определитель матрицы A размера 3x3 (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. Найти: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. При нахождении определителя воспользуемся сначала формулой 13 EMBED Equation.3 1415, а затем (для вычисления определителей 2-го порядка) формулой 13 EMBED Equation.3 1415.





Содержание практической работы
Задание 1. Выполнить арифметические действия с матрицами:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ;
6)13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
7) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задание 2. Доказать равенство (AB)C=A(BC) для матриц:
1) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
Задание 3. Найти: 1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задание 4. Вычислить определители:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

7) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
























Практическая работа № 9
Система линейных алгебраических уравнений и методы их решения.
Время на выполнение: 4 часа 15 минут
Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов контроля и оценки
Основные показатели оценки результата
Оценка

У1. Сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Знать классификацию (СЛАУ), определения и основные теоремы.
Теорему Кронекера-Капелли,
Теорему о качестве решений,
Алгоритм метода Гаусса, теорема Крамера,
1 балл за каждое задание

З1. Основные понятия и методы математического анализа
Рассмотреть системы линейных алгебраических уравнений(СЛАУ)
Выписывать матрицу коэффициентов и столбец свободных членов для ( СЛАУ)



За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов
За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов

Теоретические сведения к практической работе
Рассмотрим системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) произвольной размерности, состоящие из m уравнений с n неизвестными:
13 EMBED Equation.3 1415. (*)
Матрица 13 EMBED Equation.3 1415, составленная из коэффициентов системы (*), называется матрицей системы (ее размер – mxn), а вектор 13 EMBED Equation.3 1415 (m-мерный)- столбцом (вектором) свободных членов. Матрицу вида 13 EMBED Equation.3 1415 называют расширенной матрицей системы (*). Любой набор значений неизвестных 13 EMBED Equation.3 1415, образующих n-мерный вектор 13 EMBED Equation.3 1415, является решением системы (*), если эти числа удовлетворяют всем уравнениям системы (т.е. превращают их в тождества). Очевидно, что 13 EMBED Equation.3 1415 при каждом i=1,2,,m (i-е уравнение представляет собой скалярное произведение i-й строки матрицы системы на вектор X), и (*) можно переписать в виде
13 EMBED Equation.3 1415. (**)
Запись (**) называется "матричной (векторной) формой записи" системы (*).
Пример 1. Выписать матрицу коэффициентов и столбец свободных членов для СЛАУ 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Очевидно, что 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Записать СЛАУ, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Введем в рассмотрение вектор X и с каждым столбцом мысленно сопоставим неизвестное: с первым столбцом - 13 EMBED Equation.3 1415, со вторым - 13 EMBED Equation.3 1415, с третьим - 13 EMBED Equation.3 1415, с четвертым - 13 EMBED Equation.3 1415. Окончательно нужная система линейных алгебраических уравнений имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Классификация систем линейных алгебраических уравнений. Определения и основные теоремы. Если СЛАУ (*) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной (соответственно, система несовместная, если она вообще не имеет решений). Совместная система (*) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения (в последнем случае у нее бесконечно много решений).
Матрицу системы (*) будем называть приведенной (а саму систему канонической), если в каждой i-й строке (i=1,2,,m) есть элемент 13 EMBED Equation.3 1415, а все остальные элементы j-го cтолбца равны нулю. Такие элементы (и соответствующие им неизвестные) будем называть ведущими, а оставшиеся неизвестные назовем свободными.
Теорема 1 (Кронекера-Капелли). СЛАУ (*) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы, т.е выполняется равенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Для совместной системы число 13 EMBED Equation.3 1415 назовем рангом системы.
Теорема 2 (о количестве решений). Пусть СЛАУ (*) совместна. Если ее ранг равен числу неизвестных (13 EMBED Equation.3 1415), то система является определенной; если ранг системы меньше числа неизвестных (13 EMBED Equation.3 1415), то исходная система – неопределенная.
Неопределенная система, как было отмечено, имеет бесконечное множество решений. Совокупность всех решений называется общим решением системы.
Алгоритм метода Гаусса. Цель рассуждений – путем элементарных преобразований свести исходную систему к равносильной, решение которой можно выписать непосредственно. Основными шагами метода Гаусса являются следующие.
I. Прямой ход. Выписать расширенную матрицу системы, путем элементарных преобразований свести ее к эквивалентной ступенчатой и определить ранги матрицы и расширенной матрицы системы. Если они различны, то исходная система несовместна, т.е. не имеет решений. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то переходим к следующему этапу.
II. Сравнить ранг системы и число неизвестных, сделать вывод о количестве решений, учитывая теорему 2.
III. Обратный ход. Ступенчатую матрицу преобразовать к эквивалентной ей приведенной. Определить, какие неизвестные являются ведущими, какие – свободными.
IV. Выписать по полученной матрице систему, записать ответ (выразив, в случае неопределенной системы, ведущие элементы через свободные для построения общего решения).
Пример 3. Решить СЛАУ 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:
13 EMBED Equation.3 1415
Последняя матрица – ступенчатая. Ведущими неизвестными для нее являются 13 EMBED Equation.3 1415 в первой строке, 13 EMBED Equation.3 1415 во второй и 13 EMBED Equation.3 1415 в третьей. Очевидно, что система совместна и ее ранг равен 3: 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку число неизвестных также равно 3, исходная система является определенной.
Переходим к проведению преобразований по обратному методу Гаусса (теперь необходимо получать нули НАД ведущими элементами).
13 EMBED Equation.3 1415
Теперь составляем по последней матрице систему 13 EMBED Equation.3 1415 и выписываем значения неизвестных в порядке их номеров: X=(3;1;1)T. Это и есть ответ.
Пример 4. Для СЛАУ13 EMBED Equation.3 1415 найти общее и два частных решения.
Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатой.
13 EMBED Equation.3 1415
Очевидно, что 13 EMBED Equation.3 1415, число неизвестных n=4 и в соответствии с теоремой 6.2 исходная система является неопределенной. Ведущие неизвестные: 13 EMBED Equation.3 1415 в первой строке, 13 EMBED Equation.3 1415 во второй, 13 EMBED Equation.3 1415 в третьей. Свободное неизвестное - 13 EMBED Equation.3 1415. Обратным ходом преобразуем матрицу к приведенному виду:
13 EMBED Equation.3 1415
Выписываем полученную систему и ведущие неизвестные выражаем через свободные: 13 EMBED Equation.3 1415. Общее решение записываем в порядке нумерации неизвестных: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - любое вещественное число.
Частное решение можно получить, если придать свободному неизвестному 13 EMBED Equation.3 1415 конкретное числовое значение. Например, при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, а при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема Крамера. Рассмотрим «квадратную» систему линейных уравнений (число неизвестных совпадает с числом уравнений) вида
13 EMBED Equation.3 1415. (*)
Теорема 3 (теорема Крамера). Если определитель матрицы системы (*) отличен от нуля (13 EMBED Equation.3 1415), то данная система имеет единственное решение, причем значения неизвестных находятся по формулам
13 EMBED Equation.3 1415, i=1,2,,n
где 13 EMBED Equation.3 1415- определитель матрицы, полученной из исходной матрицы системы путем замены i-го столбца на столбец свободных членов.
Пример 5. Решить систему 13 EMBED Equation.3 1415 методом Крамера.
Решение. Выписываем A - матрицу системы и B - столбец свободных членов: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Далее вычисляем определители:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
По теореме Крамера 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в каждое уравнение системы: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Все уравнения обратились в тождества, значит, решение найдено верно.







































Содержание практической работы
Задание 1. По расширенной матрице выписать СЛАУ.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

3)13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Задание 2. Решить системы уравнений методом Крамера и методом Гаусса.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415

3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415


Задание 3. Решить СЛАУ (в случае неопределенной системы выписывать общее и два любых частных решения).
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415

3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415











Практическая работа №10
Множества и операции над ними.
Время на выполнение: 3 часа.
Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов контроля и оценки
Основные показатели оценки результата
Оценка

У1.Сформировать умение выполнять операции с множествами.
Решение задач на нахождение пересечения. Объединения , равенств множеств.
1 балл за каждое задание

З1. Основные понятия и методы математического анализа
Определение множества, Элементы множества, пересечение множеств, равенство, объединение.


За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов
За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов

Теоретические сведения к практической работе
Множество – одно из основным понятий математики.
Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x
· Х (
· принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А
· В (
· содержится).
Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А
· В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А
· B = {1,2,3,4,5,6}
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А
· В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А
· В = {2,4}
Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}
Симметричной разностью множеств А и В называется множество А
· В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А
· В = (АВ)
· (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А
· В = {1,2}
· {5,6} = {1,2,5,6}
Свойства:
Свойства перестановочности:
A
· B = B
· A
A
· B = B
· A
Сочетательное свойство:
(A
· B)
· C = A
· (B
· C)
(A
· B)
· C = A
· (B
· C)
Круги Эйлера (Эйлера-Вена) геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
Пример: Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?
Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Получаем:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

























Содержание практической работы
Задание 1. 1) Найти множества А
·В, АUВ, А/В, В/А, если:
а) А={е, о, р, х} В={х, у}
б) А={х: -3<х<4} В={х: 0
·х
·6}
в) А={2n+1}, B={n+1} nєN
2) Найти множества А
·В, АUВ, А/В, В/А, если:
а) А={12, 13, 14, 15} В={12, 14, 16}
б) А={х: 0<х<2} В={х: 1
·х
·4}
в) А={3-(n+1)}, B={n+5} nєN
Задание 2. 1) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:
а) только один язык?
б) испанский язык?
в) только немецкий язык?
г) знают английский и немецкий, но не знают французский?
2) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:
а) ровно два языка?
б) только французский язык?
в) знают немецкий и французский, но не знают английский?
г) не знают испанский язык?





Практическая работа №11
Элементы теории вероятностей и математической статистики: классическое определение вероятности события, формула полной вероятности, формула Байеса, формула Бернулли, дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.
Время на выполнение: 4 часа 50 минут
Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов контроля и оценки
Основные показатели оценки результата
Оценка

У1. Сформировать умение решать задачи на нахождение вероятностей.
Решать задачи, используя классическое определение вероятности события.
Используя формулы полной вероятности и Байеса, решать задачи.
Решать задачи, используя формулы Бернулли.
Находить числовые характеристики дискретных случайных величин.



1 балл за каждое задание

З1. Основные понятия и методы математического анализа
Классическое определение вероятности.
Аксиомы вероятностей.
Свойства вероятностей.
Полная вероятность. Формула Байеса.
Формула Бернулли.
Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.




За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов
За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов


Теоретические сведения к практической работе
Классическое определение вероятности
Раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называется теорией вероятностей.
Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называют отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числуn всех исходов испытания.

Пример 1: В партии из 30 миксеров 2 бракованных. Найти вероятность купить исправный миксер.


Аксиомы вероятностей:
Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.
Если события А1, А2 попарно несовместны, то Р(А1+А2+)=Р(А1)+Р(А2)+
Свойства вероятностей:
Вероятность невозможного события равна нулю Р=0.
Вероятность достоверного события равна единице Р=1.
Вероятность произвольного случайного события А заключается между 0 и 1: 0<Р(А)<1.
Пример 2: Из 34 экзаменационных билетов, пронумерованных с помощью чисел от 1 до 34, наудачу извлекается один. Какова вероятность, что номер вытянутого билета есть число, кратное трем.
Решение: Найдем количество чисел от 1 до 34, кратных трем. Это числа 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. Всего таких чисел 11. Таким образом, искомая вероятность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
События А и В называются совместными, если они могут одновременно произойти, и несовместными, если при осуществлении одного события не может произойти другое.
События А и В называются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или нет.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Пример 3: Вероятность поражения одной мишени – 0,7, а другой – 0,8. Какова вероятность, что будет поражена хотя бы одна мишень, если по ним стреляют независимо друг от друга.
Решение: Т.к. события совместны, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Р(А)+Р(13 QUOTE 1415)=1
Условная вероятность – вероятность одного события, при условии, что другое событие уже произошло.
Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: Р(АВ)=Р(А)
·Р(А/В) или Р(ВА)=Р(А)
·Р(В/А)
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей сомножителей: Р(АВ)=Р(А)
·Р(В).
Пример 4: В двух коробках лежат ручки разного цвета. В первой коробке – 4 красных и 6 черных, во второй – 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимают по одной ручки. Найти вероятность, что обе ручки красные.
Решение: Найдем вероятности вытащить красную ручку из каждой коробки
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тогда вероятность того, что обе ручки красные: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Полная вероятность. Формула Байеса
Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий Н1, Н2, , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Если выполняются все условия, имеющие место для формулы полной вероятности, и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то выполняется равенство, называемое формулой Байеса:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 1: В первой партии 20 ламп, во второй – 30 ламп и в третьей – 50 ламп. Вероятности того, что проработает заданное время, равна для первой партии 0,7, для второй – 0,8 и для третьей партии – 0,9. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа проработает заданное время? Найти вероятность, что эта лампа принадлежит первой партии?
Решение: Пусть событие А – наудачу взятая лампа проработает заданное время.
Тогда, пусть Н1 – лампа из первой партии, Н2 – лампа из второй партии и Н3 – лампа из третьей партии. Тогда событие А/Н1 – лампа из первой партии проработает заданное время, А/Н2 – лампа из второй партии проработает заданное время и А/Н3 – лампа из третьей партии проработает заданное время. Найдем вероятности
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теперь, используя формулу Байеса найдем вероятность того, что эта лампа принадлежит первой партии
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2: Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 5 белых и 7 черных шаров, во второй – только белые и в третьей – только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар белый?
Решение: Пусть событие А – извлекается белый шар.
Тогда, пусть Н1 – шар из первой урны, Н2 – шар из второй урны и Н3 – шар из третьей урны. Тогда событие А/Н1 – белый шар из первой урны, А/Н2 – белый шар из второй урны и А/Н3 – белый шар из третьей урны. Найдем вероятности
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Формула Бернулли
Вероятность того, что событие А наступит ровно m раз при проведении n независимых испытаний, каждый из которых имеет ровно два исхода вычисляется по формуле Бернулли 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 1: Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,2. Найти вероятность, что из 6 приобретенных билетов 2 окажутся выигрышными.
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2: Прибор состоит из шести элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за определенное время равна 0,6. Для безотказной работы прибора необходимо, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность, что за данное время прибор будет работать безотказно?
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, наступит не менее m1 и не более m2 раз вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 3: Найти вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Наивероятнейшее значение m0 числа наступления события А при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 4: Магазин получил 50 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,05. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в партии.
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики
Случайная величина Х – это числовая функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, определенная на пространстве элементарных событий. Случайные величины, имеющие счетные множества возможных значений, называются дискретными. Дискретная случайная величина определена, если известны все ее значения и соответствующие им вероятности. Соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями называют распределением вероятностей случайной величины. Для дискретной случайной величины это соответствие может быть записано в виде таблицы: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
xi
x1
x2

xn

pi
p1
p2

pn


Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формулам:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называют корень квадратный из дисперсии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если случайная величина Х имеет биномиальное распределение вероятностей, то
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 1: Случайная величина Х задана таблицей распределения вероятностей. Найти М(Х), D(Х),
·(Х).
хi
2
5
8
9

рi
0,1
0,4
0,3
0,2

Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2: Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0,05.
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Содержание практической работы
Задание 1. Используя классическое определение вероятности события, решить следующие задачи:
1. В коробке 4 красных, 5 зеленых, 8 желтых, 7 белых и 1 черный шар. Найти вероятность вытащить: красный шар; синий шар; белый шар; цветной шар; или зеленый или белый шар; не красный шар; шар одного из цветов светофора.
2. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – девочка, если известно, что в семье есть дети обоего пола?
3. Мастер, имея 10 деталей, из которых 4 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?
4. В одном ящике 3 белых и 7 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 8 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
5. Издательство отправило газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,9, во второе - 0,7, в третье - 0,85. Найти вероятность следующих событий:
а) только одно отделение получит газеты вовремя;
б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
6. В первой урне находятся 12 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 10 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми?
7. В партии из 25 деталей находятся 8 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.
8. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна шестерка.
9. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, большее 4.
10. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, не меньшее 2 и не большее 5.
Задание 2. Используя формулы полной вероятности и Байеса, решить следующие задачи:
1. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 2 урны?
2. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру =0,5, ко второму =0,6. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером =0,94, а вторым =0,92. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная равна 0,9, а второго – 0,8. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь – стандартная.
4. Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 6 синих и 4 черных шаров, во второй – только синие и в третьей – только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар синий?
5. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 1 урны?
Задание 3. Используя формулу Бернулли, решить следующие задачи:
1. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
2. Найти вероятность осуществления от одного до трех разговоров по телефону при наблюдении шести независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,6.
3. Прибор состоит из пяти элементов, включенных в цепь параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за время Т равна 0,5. Для безаварийной работы прибора достаточно, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность того, что за время Т прибор будет работать безотказно?
4. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету =0,3. Какова вероятность того, что из семи приобретенных билетов три билета окажутся выигрышными?
5. Магазин получил 40 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,04. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии.
6. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найдя вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных, найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных, указав его вероятность.
7. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?
8. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек =0,3. Какова вероятность того, что при шести бросках 3 кольца окажутся на колышке?
9. На самолете имеются 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полете равна р. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе.
10. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга?
11. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии не будет?
Задание 4. Найти числовые характеристики дискретных случайных величин:
1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:
хi
3
5
2

рi
0,1
0,6
0,3

2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:
хi
1
2
5

рi
0,3
0,5
0,2


4.Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:
хi
2
3
5

рi
0,1
0,6
0,3


5. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появления события в этих испытаниях.



Рекомендуемая литература
Основные источники
Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. – М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011
Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. – М: Издательский центр «Академия», 2011
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2009
Дадаян А.А. Математика: учеб.- М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005
Дополнительные источники
Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2007
Математика и информатика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В./ - М.: Издательский центр «Академия», 2009
Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для образовательных учреждений нач. и сред. образования / В.А. Гусев, С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина. – М.: Издательский центр «Академия», 2011
Спирина М.С. дискретная математика: учеб. – М.: Издательский центр «Академия», 2006
Омельченко В.П. Математика. – Ростов-на-Дону.: Феникс, 2006





13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

N

13 EMBED Equation.DSMT4 1415



 $rtvx‚„†€’єТФЦкмор
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·|Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativenEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1349Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1350Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1376Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativetEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1412Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native3Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1508Рисунок 1511Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native