Конспект урока по математике на тему Золотое сечение в искусстве

Конспект урока по теме: «Золотое сечение» и его использование в изобразительном искусстве»
Тип урока: интегрированный (математика + изобразительное искусство), 8 класс
Содержание
«Золотое сечение», «золотой треугольник», «золотой прямоугольник», «золотая спираль». Числовое значение золотого отношения. Деление отрезка в золотом отношении. Золотое сечение в природе. Использование золотого сечения в изобразительном искусстве.
Цели изучения:
Расширить кругозор учащихся, способствовать развитию познавательного интереса. 
Показать школьникам общеинтеллектуальное значение математики.
Способствовать познанию законов красоты и гармонии окружающего мира.
Показать значение золотого сечения для изобразительного искусства.
Развивать умение применять в творческих работах принципы золотого сечения.
Оборудование: интерактивная доска, проектор, компьютер.
Наглядные материалы: мультимедийная презентация в программе Power Point.
Ход урока.
Учитель математики.
Окружающий нас мир многообразен. Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное, а предметы и явления, которым свойственны мера, целесообразность воспринимаются как красивое.
Люди с древних времен задумывались, а подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония каким-либо математическим расчетам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» - как сказал А.С.Пушкин.
Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько математических формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного. Сегодня на уроке я познакомлю вас с одним математическим соотношением, и там, где оно встречается, ощущается гармония.
Итак, тема нашего урока «Золотое сечение и его использование в живописи». Запишите число и тему урока в тетрадь.
Эпиграфом урока будут слова немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера: «Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем…».
Теорему Пифагора знают многие, а вот что такое «золотое сечение» - далеко не все. Сегодня на уроке я познакомлю вас с этим понятием, научу делить отрезок в золотом отношении, увидим, где оно встречается в природе, как используется в технике и произведениях искусства.
Что же такое «золотое сечение»?
Рассмотрим отрезок АВ. А В
С
Его можно разделить точкой С на две части бесконечным множеством способов. Но говорят, что точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если длина всего отрезка так относится к длине большего, как длина большего к длине меньшего отрезка: АВАС = АССВ. Другими словами, отрезок АВ во столько же раз больше отрезка АС, во сколько раз отрезок АС больше отрезка СВ.
Термин «золотое сечение» ввел великий художник, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи. В истории утвердились три названия: золотое сечение, золотое отношение и деление отрезка в крайнем и среднем отношениях.
Чтобы и вы смогли увидеть золотое сечение в природе, в произведениях искусства, я научу вас сейчас делить отрезок в золотом отношении.
Начертите отрезок АВ. Восстановите перпендикуляр из точки В. На нем отложите отрезок ВD, равный половине отрезка АВ. Соедините точки А и D. У нас появился прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. С помощью циркуля на отрезке АD отложите отрезок DЕ, равный DВ, а на отрезке АВ – отрезок АС, равный АЕ. Точка С – искомая.
Золотое сечение записывается с помощью пропорции, а пропорция – это равенство двух отношений. Вам, я думаю, интересно узнать численное значение этих отношений. Сейчас мы его найдем.
Пусть точка С делит отрезок АВ в золотом отношении и пусть АВ = а, АС = в, тогда CВ = а – в.
Запишем пропорцию, соответствующую золотому сечению: ав = ва-в. Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних: а(а – в) = в2; а2 – ав – в2 = 0 / в2; а2/в2 – а/в – 1 = 0. Получили квадратное уравнение относительно а/в. Обозначим это отношение буквой Ф и решим уравнение Ф2 – Ф – 1 = 0. D = 1 - 4∙1∙(-1) = 5. Ф1 = 1- 52 (т.к. 5 > 1, то Ф1 < 0 и Ф1 нам не подходит, т.к. отношение длин отрезков не может быть отрицательным). Ф2 = 1+ 52. Это значение и есть нужное нам отношение. Т.е. золотое сечение – это иррациональное число и приблизительно оно равно 1,62. Т.о. один из двух отрезков, находящихся в золотом отношении, больше другого в 1,62 раза. В соответствии с этим части золотого сечения составляют 62% и 38% всего отрезка.
А В
62% С 38%
А сейчас я познакомлю вас с некоторыми «золотыми» фигурами. На уроках геометрии мы изучали равнобедренные, равносторонние треугольники. Существуют еще т.н. «золотые» треугольники. Золотым называется равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона и основание находятся в золотом отношении. А золотым прямоугольником называется прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении.
Продолжим работу с золотым прямоугольником. Если построить в нем квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то получим золотой прямоугольник меньших размеров. В нем опять можно построить квадрат со стороной, равной меньшей стороне. Если продолжать эту работу, то наш прямоугольник будет составлен из вращающихся квадратов. И если теперь соединить противоположные квадраты плавной кривой, то получим фигуру, которая называется золотой спиралью.
Прослушаем сообщение ученика 9 класса о золотом сечении и золотой спирали в природе.
«Золотое сечение, золотая спираль – это новые для вас понятия, но оказывается в окружающей нас жизни очень многое с ними связано. Интерес человека к природе привел к открытию ее математических закономерностей. И, оказывается, один из основополагающих принципов природы – золотое сечение. Рассматривая, например, расположение листьев на стебле растений можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения. Золотое сечение проявляется в пропорциях частей тела многих животных, например, длина хвоста ящерицы относится к длине остального тела, как 62 к 38. Золотое отношение проявляется в природных формообразованиях, например, в яйце птицы.
В строении легких человека также существует золотое сечение. Бронхи, составляющие легкие, состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых длиннее, а другой короче. Соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение.
По золотым спиралям закручены раковины улиток, рога архаров, чешуйки сосновых шишек, ячеек ананаса и подсолнечника. Пауки плетут паутину, закручивая нити по золотым спиралям. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спиралям. Молекулы ДНК закручены двойной спиралью. Природа повторяется как в малом, так и большом. По золотым спиралям закручиваются галактики, в т.ч. и галактика Солнечной системы.
Гете назвал спираль «кривой жизни». Кстати, в гидротехнике по золотым спиралям изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наибольшей производительностью.
.Законы золотого сечения Природы объективны и отражают стремление природных структур к «оптимизации», «целесообразности», экономии вещества и энергии».
Как уже было сказано, основной принцип природообразования – золотое сечение. Человек – венец творения природы. Установлено, что золотые отношения можно найти в пропорциях человеческого тела.
Выполните практическое задание. На столах лежат листы с изображениями головы человека. Измерьте соответствующие отрезки и найдите их отношения. (Ответы записать на доске). Подведем итоги. Оказывается, у большинства людей верхняя точка уха делит высоту головы вместе с шеей в золотом отношении. Нижняя точка уха делит в золотом отношении расстояние от верхней части уха до основания шеи. Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до основания шеи в золотом отношении.
Пропорции лица также соответствуют золотому сечению. Это вы можете увидеть на слайде.
Перейдем к пропорциям тела. Пупок делит высоту человека в золотом отношении. На второй иллюстрации мы уже не видим пропорций золотого деления, а наблюдаем дисгармоничные тела существ. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Нам сегодня еще пригодятся эти знания.
Золотое сечение проявляется и в творениях человека: музыке, литературе, скульптуре, архитектуре, изобразительном искусстве.
О золотом сечении в музыке можно говорить, если измерять музыкальное произведение по времени его исполнения. На точку “золотого сечения” часто приходится кульминация. Это может быть так же самый яркий момент или самый тихий, или самое звуковысотное место.
Пропорции золотого сечения использовались при проектировании архитектурных сооружений. Например, на иллюстрациях Парфенона – древнегреческого храма, здания собора Парижской Богоматери отношения длин белых и голубых линий равны золотому сечению.
Подробнее остановимся на использовании золотого сечения в живописи.
Ученик. Золотое сечение в картине И. И. Шишкина"Корабельная роща".
На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.
Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.
Ученик. Золотая спираль в картине Рафаэля "Избиение младенцев".
В отличии от золотого сечения ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой геометрической фигуре - спирали. Многофигурная композиция «Избиение младенцев» Рафаэля как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета.
На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается ...золотая спираль! Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.В композиции "Избиение младенцев" прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает вихревой характер спирали, а гармоничность - выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали.
Группа учеников. Рассматривая примеры «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».
Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в. Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».
Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.
Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо дель Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.
«Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: «Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя». Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи.
Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями – ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула. Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: «Ты должна быть моей женой». Но женщина ответила: «Ты меня создал – будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил – будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь».
Закончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись ото сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество.
Трудно сказать, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, о выразительности отдельных частей картины. Не последнюю роль здесь сыграло то, что композиция картины основана на золотых треугольниках, а лицо и тело превосходным образом вписываются в золотые прямоугольники.
Учитель ИЗО.
Чтобы передать свой замысел, художник использует различные композиционные приемы, в зависимости от характера и настроения, которого надо добиться. В картине смысловой центр художники часто располагают в пропорции золотого сечения. Причем форма золотых пропорций могут быть линейные, треугольные, прямоугольные, спиральные композиции в золотом сечении.
Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали. Спирали очень распространены в природе. Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в Золотой пропорции, принимает спиральную форму умирающего листа, когда сжимается. Вечность времени и световые годы космоса разделяют сосновую шишку и спиральную галактику, но строение остается тем же самым: коэффициент 1.618. Таким образом, Золотая спираль развертывается перед нами в символической форме, как один из величественных замыслов природы, образ жизни в бесконечном расширении и сжатии, статический закон, управляющий динамическим процессом, подкрепленный и изнутри, и снаружи пропорцией 1.618, Золотым сечением.
Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Увеличение ее шага всегда равномерно. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем.
Построение спиральной линии(10мин)
На листе бумаги чертится прямоугольник со сторонами, равными 13 и 8 см. Внутри прямоугольника с левой стороны выделяется квадрат 8 X 8 см. Справа образуется уменьшенный золотой прямоугольник со сторонами 8 и 5 см. В этом прямоугольнике также строится квадрат со сторонами 5 см. Далее строим соответственно квадраты со сторонами 3 и 2 см. В конце остаются два квадрата со сторонами 1 см. Всего получается шесть равномерно уменьшающихся квадратов, вписанных в золотой прямоугольник. Затем, последовательно устанавливая циркуль в точки 1, 2, 3, 4, 5, проводим дуги в каждом из квадратов.
Творческое задание
На основе рисунка спирали, сделайте набросок графической композиции «Золотая спираль». Учащиеся выполняют задание, затем представляют свои творческие работы на стенде
Вывод
И в древности и сегодня, наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т.е. пытались вывести формулу красоты. Ряд “формул красоты” известен. Это правильные геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний треугольник и т. д. Эстетическое наслаждение, получаемое человеком при наблюдении совершенных форм, объясняется “божественным отношением” или “золотым сечением”. Соблюдение определенных отношений в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных отношений между размерами отдельных частей растений, скульптуры, здания “Золотое сечение” являлось критерием гармонии и красоты . Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине. Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли по разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом", "золотой серединой".
Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он – мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее – нет, известен. “Золотое сечение” – это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.