ПОНЯТИЕ ОБЪЕМА. ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА.

Тема: Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда.
Цель урока: Ввести понятие объема тела, рассмотреть свойства объемов, теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствие об объеме прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник.
Преподаватель: Шлыкова Елена Сергеевна
ХОД УРОКА
I. Понятие объема тела
– Величина части пространства. Занимаемого геометрическим телом называется объемом этого тела.
II. Актуализация знаний
– В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел.
Среди них английские меры:
Бушель – 36,4 дм3
Галлон – 4,5 дм3
Баррель (сухой) – 115,628 дм3
Баррель (нефтяной) – 158,988 дм3
Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм3.
Меры когда-то, применявшиеся в России:
Ведро – 12 дм3
Бочка – 490 дм3
Штоф – 1,23 дм3 = 10 чарок
Чарка – 0,123 дм3=0,1 штофа = 2 шкалика
Шкалик – 0,06 дм3 = 0,5 чарки.
– Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог.
В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды.
Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике.
На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том, что объемы этих тел относятся как 3 : 2.
Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.
III. Постановка целей и задач урока
– Наша задача на уроке – найти для объема выражение в виде некоторого числа, измеряющего эту величину. При этом мы будем руководствоваться следующими исходными положениями:
Равнее тела имеют равные объемы. (Понятие определяется на основе понятия наложения).
Объем тела, состоящего из некоторых частей, равен сумме объемов этих частей.
IV. Объяснение нового материала
– Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. Число измерения (единичных кубов) и частей единицы, содержащихся в данном теле, принимается за числовое значение объема при выбранной единице измерения. Это число может быть как рациональным (в частности, целым), так и иррациональным.
Доказать важное следствие: Объем куба с ребром a равен Vк = a3
Доказать теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда.
Дано: параллелепипед,. а, b, c его измерения.
V – объем параллелепипеда.
Доказать: V = abc.
_________________
Доказательство:
1. Пусть а, b, c – конечные десятичные дроби ( n > 1).
Числа а . 10n , b . 10n, c . 10n – целые.
Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные части длины и через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные к этому ребру.
Параллелепипед разобьется на abc·103n равных кубов с ребром . Т.к. объем каждого такого куба равен , то объем всего параллелепипеда равен .
Итак, V = abc.
2. Хотя бы одно из измерений a, b, c – бесконечная десятичная дробь. Пусть аn, bn, cn – конечные десятичные дроби, полученные из чисел a, b, c отбрасыванием в каждом из них всех цифр после запятой, начиная с (n + 1). Тогда an < a < an’, где (аналогично для b, c). Перемножим эти неравенства anbncn < abc < an’bn’cn’.
По доказанному в п. 1., левая часть – Vn, а правая Vn’. Т.к. параллелепипед Р содержит в себе параллелепипед Рn, а сам содержится в параллелепипеде Pn’, то объем V параллелепипеда Р заключен между Vn = anbncn и V’n = an’bn’cn’ т.е. anbncn < V < an’bn’cn’. При неограниченном увеличении n числобудет становиться сколь угодно малым, и потому числа anbncn и an’bn’cn’ будут сколь угодно мало отличаться друг от друга. Следовательно, число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Значит они равны: V = abc. Ч.т.д.
V. Закрепление
№3 (разобрать самостоятельно)
VI. Решение задач
№ 1
№ 2
№ 3
VII. Итог урока
VIII. Домашнее задание
п.65 п.66. №4 № 5