Основания геометрии Гильберта, становление геометрии, как формальной дисциплины.

Основания геометрии Гильберта, становление геометрии, как формальной дисциплины.
Давида Гильберта (1862-1943) называют последним всесторонним математиком и самым замечательным учителем математиков 20 века. Он родился в столице Пруссии Кенигсберге незадолго до того, как Пруссия под руководством Бисмарка объединила все немецкие государства в новую (вторую) Германскую империю. Гильберт пережил взлет этой державы, а затем ее распад в конце первой Мировой войны. Потом возникла недолговечная Веймарская республика; за нею последовали Гитлеровская империя и вторая Мировая война. Этих потрясений хватило бы на много жизней; но до поры, до времени Гильберт ухитрялся избегать участия в политике и войнах. Вундеркиндом он не был, а был типичным "классиком". То есть, Гильберт поочередно старался понять каждую область математики на всю ее глубину и решить в ней те задачи, которые его интересовали. После первых алгебраических увлечений интерес Гильберта сместился в геометрию. В евклидовой геометрии Гильберт хотел просто навести порядок. Ведь за 23 столетия требования к строгости рассуждений значительно выросли, и пробелы в тексте Евклида сделались нетерпимы. В 1899 году Гильберт предложил новую систему из 20 аксиом, среди которых явно не было ни одной лишней и (казалось) не было пробелов. Гильберт подчеркнул логическое совершенство своей конструкции шутливой фразой: "Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины "точка, прямая, плоскость" другими, столь же условными: "стул, стол, пивная кружка"! Этот успех внушил Гильберту надежду, что в каждой области математики можно ввести полную и строгую систему из необходимых и достаточных определений и аксиом. Вывод всех прочих утверждений из этих основ можно будет формализовать так, что он станет доступен вычислительной машине. Правда, она будет медленно ползти к той цели, которой человеческий разум нередко достигает одним дерзким прыжком. Зато каждую догадку можно будет проверить медленно, но надежно. Греки представляли себе геометрию как дедуктивную науку, которая занимается чисто логическими выводами из небольшого количества заранее установленных аксиом. Этой программы придерживались как Евклид, так и Гильберт. Однако список аксиом Евклида был далеко не полным, у Гильберта же он полон и его рассуждения не содержат логических пробелов. Евклид пытался дать описательное определение основных пространственных объектов и соотношений, участвующих в его аксиомах; Гильберт же отказался от такого подхода. Всё, что нам надо знать об этих основных понятиях, содержится в аксиомах. Аксиомы, каковы они есть, являются, по сути дела, их неявными (и по необходимости неполными) определениями. Евклид считал аксиомы очевидными, его интересовало реальное пространство физического мира. Однако в дедуктивной системе геометрии очевидность и даже истинность аксиом несущественны; они служат лишь предположениями, из которых выводятся логические следствия. В самом деле, существует много различных материальных интерпретаций основных понятий, для которых аксиомы становятся верными. Свой аксиоматический подход Гильберт изложил в книге «Основания геометрии», которая появились в первом издании в 1899 году. Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида. Предложенная им система аксиом считается полной. Она состоит из пяти групп: аксиомы связи, аксиомы порядка, аксиомы конгруэнтности (т. е. равенства), аксиомы непрерывности и аксиома параллельности. Неопределяемые понятия. Неопределяемыми в этой системе аксиом понятиями являются: точка, прямая линия, плоскость. Есть также 3 элементарных бинарных отношения: • Лежать между, применимо к точкам; • Содержать, применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям; • Конгруэнтность (геометрическое равенство), применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам, и обозначается инфиксным символом ≅. Все точки, прямые и плоскости предполагаются различными, если не оговорено особое. Под точками, прямыми, плоскостями и под отношениями принадлежит, между, конгруэнтен мы понимаем некоторые вещи и отношения, относительно которых известно только то, что они удовлетворяют аксиомам. Аксиомы. Система из 20 аксиом поделена на 5 групп: • аксиомы принадлежности: • планиметрические:  Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.  Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.  Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой. • стереометрические:  Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.  Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.  Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.  Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обеим этим плоскостям.  Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости. • аксиомы порядка: • линейные:  Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С — различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.  Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В.  Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. • Аксиома Паша. Пусть A, B, C — три точки, не лежащие на одной прямой, и a — прямая в плоскости (ABC) этих трех точек, не проходящая ни через одну из точек A, B, C; если при этом прямая проходит через одну из точек отрезка AB, то она должна пройти через одну из точек отрезка AC или через одну из точек отрезка BC. • аксиомы конгруэнтности: • конгруэнтность отрезков:  Если А и В — две точки на прямой а, А’ — точка на той же прямой или на другой прямой а’, то по данную от точки А’ сторону прямой а’ найдется, и притом только одна, точка В’ такая, что отрезок А’B’ конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА.  Если отрезки А’B’ и А"B" конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой.  Пусть АВ и ВС — два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А’B’ и B’C’ — два отрезка той же прямой, или другой прямой а’, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B’C’, то отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’. • конгруэнтность углов: если даны угол ∠ABC и луч B’C', тогда существует ровно два луча, B’D и B’E такие, что ∠DB’C' ≅ ∠ABC и ∠EB’C' ≅ ∠ABC. • конгруэнтность треугольников: треугольники ΔABC ≅ ΔA’B’C', если AB ≅ A’B', AC ≅ A’C', и ∠BAC ≅ ∠B’A’C'. • аксиомы непрерывности • Аксиома Архимеда. Если даны отрезок CD и луч AB, то существует число n и n точек A1,…,An на AB таких, что: AjAj+1 ≅ CD, 1≤j<n, и B лежит между A1 and An. • «Полнота линии». Добавление хотя бы одной дополнительной точки в прямую линию вызовет противоречие с одной из аксиом принадлежности, порядка, первыми двумя аксиомами конгруэнтности или аксиомой Архимеда. Иначе эта аксиома формулируется так: точки прямой образуют систему, которая при сохранении линейного порядка, первой аксиомы о конгруэнтности и аксиомы Архимеда не допускает никакого расширения, то есть к этой системе точек невозможно прибавить еще точки так, чтобы в системе, образованной первоначальными и добавленными точками, выполнялись все приведенные аксиомы. • аксиома параллельности. Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей. Более распространена следующая формулировка: пусть a - произвольная прямая и A – точка, лежащая вне прямой; тогда в плоскости, определяемой ими, через точку A можно провести не более одной прямой, не пересекающей a. Эта формулировка принадлежит Плейферу. (Отрицание этой аксиомы приводит к геометрии Лобачевского). 21-я аксиома. Гильберт изначально (1899) включил 21-ю аксиому: «Любым четырём точкам на прямой можно присвоить имена A, B, C, и D так, чтобы точка B лежала между точками A и C, а также между A и D; точка C — между A и D, а также между B и D.» Э.Х. Мур доказал в 1902 году, что эта аксиома избыточна. Гильберт подвергнул предложенную им систему аксиом глубокому и всестороннему исследованию. В частности, он доказал, что его система непротиворечива (см. ниже), если непротиворечива теория действительных чисел. Далее, Гильберт доказал независимость некоторых аксиом, помимо аксиомы параллельных. Наконец, Гильберт исследовал вопрос о том, как далеко можно развить геометрию, если класть в её основание те или иные группы аксиом, на которые расчленяется система. Работой Гильберта были в основном завершены многовековые исследования по обоснованию элементарной геометрии. Эта работа получила очень высокую оценку современников и в 1903 году была отмечена премией имени Н. И. Лобачавского. Исследования Гильберта дали ни с чем несравнимый могучий толчок исследованиям об основах геометрии. Не будет преувеличением сказать, что едва ли после 1899 года вышла хотя бы одна работа по этому вопросу, которая в той или иной степени не опиралась бы на работы Гильберта. Основная заслуга Гильберта, благодаря которой его труд становится классическим, заключается в следующем, Гильберту удалось сконструировать аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становится совершенно прозрачной. Это расчленение аксиоматики позволяет, во-первых, формулировать аксиомы наиболее простым и кратким образом и, во-вторых, исследовать, как далеко можно развивать геометрию, если класть в ее основу не всю аксиоматику, а те или иные группы аксиом, на которые естественным образом расчленяется аксиоматика. Такого рода логический анализ, выясняющий роль отдельных групп аксиом, действительно проведен Гильбертом в ряде интересных исследований, которые и составляют, в сущности, большую часть его книги.