Методическая разработка учебного занятия по математике Применение производной к исследованию функции на монотонность и экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции
Методическая разработка учебного занятия
по учебной дисциплине «Математика»
Климова Елена Васильевна,
преподаватель математики
ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум»
Тема учебного занятия: Применение производной к исследованию функции на монотонность и экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Образовательные цели: организовать работу по изучению применения понятия производной для исследования функций на монотонность и экстремумы, нахождению наибольшего и наименьшего значений функции.
Развивающие цели: содействовать формированию навыков мыслительной деятельности (сравнение, анализ, вывод, обобщение); развивать познавательную активность, память, внимание, логическое мышление, математически грамотную речь, навыки самостоятельной работы и навыки работы в команде.
Воспитательные цели: содействовать воспитанию положительного отношения к знаниям и процессу обучения, уверенности в своих силах, аккуратности при выполнении записей, изображении рисунков.
Формируемые компетенции:
1) учебно-познавательные компетенции:
- умение логически мыслить;
- умение соотносить полученные знания с конкретно поставленной задачей;
- умение планировать учебную деятельность с целью достижения прогнозируемого результата;
- осуществление анализа собственной деятельности, способность к самооценке и рефлексии;
2) коммуникативные компетенции:
- владение различными видами речевой деятельности (монолог, диалог);
- умения и навыки использования в речи терминологической лексики;
- выбор ценностных, целевых, смысловых установок для своих действий, опыт самопознания;
3) информационные компетенции:
- владение навыками работы с различными источниками информации;
- умение ориентироваться в информационных потоках, уметь выделять в них главное, необходимое.
Тип учебного занятия: урок усвоения новых знаний.
Вид учебного занятия: комбинированное.
Технологии обучения: элементы технологии кооперативного обучения, информационно-коммуникационные технологии, элементы технологии развития критического мышления.
Форма организации учебной деятельности: индивидуальная, работа в парах и в малых группах.
Методы и приемы обучения: частично-поисковый, объяснительно-иллюстративный, работа в парах и в малых группах; АМО «От слов к делу».
Оборудование: интерактивная доска, компьютер, мультимедийный проектор, пакет заданий, оценочные листы.
Структура учебного занятия:
1. Организационный этап. 3 мин
2. Актуализация опорных знаний и способов действий. 15 мин
3. Введение в тему занятия и постановка цели учебного занятия. 3 мин
Мотивация учебной деятельности.
4. Этап усвоения новых знаний и способов действий. 24 мин
5. Релаксационная пауза. 3 мин
Выполнение упражнения для снятия усталости глаз с помощью графиков функций y=sin x, y=соs x.
6. Первичная проверка понимания, осмысления и закрепления нового материала. 10 мин
7. Закрепление изученного материала. 27 мин
8. Подведение итогов. Рефлексия. 3 мин
9. Домашнее задание. Инструктирование по выполнению домашнего задания. 2 мин.
Сценарий учебного занятия
1. Организационный этап. 3 мин
Преподаватель Добрый день! Я рада новой встрече с вами. Мы продолжаем изучение раздела «Начала математического анализа».
И сегодня я хотела бы вас познакомить с тремя высказываниями выдающихся людей.
Американский специалист по теории чисел Нивен Айвен говорил: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед».
Любимыми словами русского писателя Василия Шукшина были: «Кто смолоду делает и думает сам, тот становится затем надёжнее, крепче и умнее».
Доктор философских наук из Венгрии Сандра Л. Ренегар о работе в группах сказал: «Вместе мы знаем больше, чем каждый из нас».
Скажите, пожалуйста, какой смысл в совокупности для нас несут эти высказывания?
Преподаватель И я надеюсь, что мы сегодня все вместе и каждый в отдельности включимся в процесс изучения новой темы и добьёмся хороших результатов.
Для учета своей деятельности на занятии у вас имеются листы самоконтроля, в которых вы будете отмечать свои правильные ответы. Затем, в конце занятия, согласно критериям вы выставите себе отметку.
2. Актуализация опорных знаний и способов действий. 15 мин
Преподаватель Итак, давайте повторим ранее пройденный материал, который нам поможет при изучении нового.
Проверим вначале насколько хорошо мы знаем формулы и правила дифференцирования. На слайде будут появляться функции, вы должны будете назвать их производную.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Мы на прошлых занятиях мы выполняли практические работы по нахождению производных функций. Были допущены ошибки. Давайте мы проведем анализ данных ошибок, выполнив работу по их нахождению и устранению. Для этого вам предлагается задание «Найди ошибку и исправь её». В заданиях приведены решённые примеры, в которых вы должны найти ошибки и по возможности их исправить, указать какие правила дифференцирования были применены. Работаем в парах.
Вариант 1
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
1. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415.
Согласно критериям оценок, студенты выставляют баллы за данный вид деятельности в оценочные листы.
И, наконец, повторим геометрический смысл производной для этого выполним следующее задание.
На рисунках изображены графики функций, к которым в некоторых точках проведены касательные и отмечены углы наклона касательных к положительному направлению оси абсцисс. Необходимо найти значение производной функции в абсциссах точек касания.
- Итак, согласно геометрическому смыслу, значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.
13 EMBED Equation.3 1415
3. Введение в тему занятия и постановка учебной цели. 3 мин
Преподаватель При выполнении задания вы нашли тангенсы угла наклона касательных к оси х, а значит нашли и значения производной функции в точках касания. Что вы можете сказать о знаке производной функции?
(На рисунке 1 производная больше или равна нуля, а на рисунке 2 меньше или равна нуля).
- В чем причина такой разница?
(В том, что функции по монотонности различны).
- И какой же вывод мы можем сделать? Монотонность функции связана как-то с производной функции?
- Да, действительно связаны. Данная связь для новая. И как же вы думаете, чему будет посвящено сегодняшнее занятие?
(Изучению того, как производная применяется для исследования функции на монотонность).
- И не только на монотонность. Запишем полную тему занятия в тетрадь: «Применение производной к исследованию функции на монотонность и экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции».
- Давайте подумаем насколько значимо изучение данного вопроса.
На слайде вы видите график функции, характер монотонности которого меняется несколько раз. Назовите промежутки возрастания и убывания функции.
(Студенты по графику функции называют промежутки возрастания и убывания функции).
- А теперь вашему вниманию предлагается функция, заданная аналитически, с помощью формулы. Назовите промежутки возрастания и убывания данной функции. Сделать это невозможно. А ведь многие процессы в природе, производстве и экономике задаются функциональными зависимостями, выраженными аналитически. И для их исследования используется аппарат математического анализа. Его применение к исследованию функции на монотонность опирается на связь, существующую между поведением функции и её производной.
4. Этап усвоения новых знаний и способов действий. 24
· мин
Преподаватель Мы установили, что между характером монотонности функции и знаком её производной есть определённая связь: если функция возрастает на промежутке и имеет на нём производную, то производная неотрицательна; если функция убывает на промежутке и имеет на нём производную, то производная неположительна. Верны и обратные утверждения. Давайте их сформулируем с помощью данного шаблона.
(C помощью шаблона студенты формулируют признаки возрастания и убывания функции).
Преподаватель А теперь решим ранее поставленную задачу. Найдем промежутки возрастания и убывания функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 1)Найдем производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Определим знак производной на всей области определения функции. Для этого используем метод интервалов.
а)13 EMBED Equation.3 1415,
б)13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Отмечаем данные точки на числовой прямой.
Ответ: функция возрастает на13 EMBED Equation.3 1415, функция убывает на13 EMBED Equation.3 1415.
Преподаватель Посмотрите на график функции и скажите, чем интересны точки, отмеченные красным цветом?
(При переходе через эти точки характер монотонности функции меняется).
Преподаватель Если мы рассмотрим некоторую окрестность точки х2, то каким словом её можно выделить по сравнению с другими точками этой окрестности.
(Точкой минимума)
Преподаватель Почему?
(Потому, что значение функции в данной точке меньше значений функции в остальных точках).
Преподаватель А какое же название мы дадим точке х3, рассмотрев её окрестность?
(Точка максимума. Потому, что значение функции в данной точке больше значений функции в остальных точках).
Преподаватель А в целом точки минимума и максимума мы будем называть точками экстремумами. Дадим определение данных точек по шаблону.
(Студенты формулируют определения по шаблону и записывают их в тетрадь).
Преподаватель Проведите касательные в каждой точке, в которой меняется характер монотонности функции. Сделайте вывод о расположении данных касательных. Работаем в группах по четыре человека.
(Касательные параллельны оси абсцисс).
Преподаватель Аналогичное задание выполним для другого графика функции. Проведём касательные в точках, в которых меняется характер монотонности функции.
(В первой точке касательная не существует, а во второй она перпендикулярна оси абсцисс).
Преподаватель Поэтому для точек экстремума справедлива теорема:
Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке х0, то в этой точке производная функции равна нулю, либо не существует.
Преподаватель По графику отыскать точку максимума или минимума нетрудно, а как же определить точки экстремума функции, заданной аналитически. Давайте вспомним о связи монотонности функции и знака производной.
(С помощью графика функции студенты расставляют знаки производной функции в соответствии с характером монотонности функции).
Преподаватель Сформулируем теорему, пользуясь которой мы будем находить точки экстремума функции.
(С помощью шаблона студенты формулируют теорему и записывают её в тетрадь).
Преподаватель Вернемся к примеру 1 и определим алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.
Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы
1. Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найти стационарные и критические точки.
3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
4. С помощью теорем 1,2,4 сделать выводы о монотонности функции и её точках экстремума.
Преподаватель Вопрос о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции вам известен из школьного курса алгебры. Вы его повторите самостоятельно, мы будем отдельно останавливаться на этом вопросе при выполнении практической работы. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции с помощью производной у вас имеется.
5. Релаксационная пауза. 3 мин
Выполнение упражнения для снятия усталости глаз с помощью графиков функций y=sin x, y=соs x.
После выполнения упражнения блиц-опрос:
1. Сколько точек экстремума имеется на заданном участке графика функции y=sin x?
2. Назовите точки максимума, имеющиеся на заданном участке графика функции y=соs x?
3. Назовите промежутки возрастания функции y=sin x на заданном участке графика.
4. Назовите промежутки убывания функции y=соs x на заданном участке графика.
6. Первичная проверка понимания, осмысления и закрепления нового материала. 10 мин
Теперь пользуюсь багажом полученных знаний, давайте выполним два задания.
1. Назовите по следующим данным промежутки возрастания, убывания, точки максимума и минимума.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
-
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
-
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2. На рисунке изображён график производной функции 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума.
7. Закрепление изученного материала. 27 мин
Студенты выполняют задания в малых группах, пользуясь консультацией преподавателя.
1. Определите промежутки монотонности функции:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Найдите наименьшее и набольшее значения функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
8. Подведение итогов. Рефлексия. 3 мин
Преподаватель Интересно узнать, как вы оцените нашу совместную работу? Предлагаю сделать это так: окончите одну из фраз, которую вы видите на экране.
Сегодня я узнал
Я теперь умею
Мне понравилось
Я не совсем понял
Мне ещё стоит разобраться
У меня получилось
Экстремумы мне напоминают
Далее студенты подсчитывают заработанные на занятии баллы и выставляют отметку согласно критериям.
9. Домашнее задание. Инструктирование по выполнению домашнего задания. 2 мин.
Домашнее задание:
изобразите эскиз графика производной функции, если известно, что функция y=f(x) возрастает на луче 13 EMBED Equation.3 1415 и убывает на луче 13 EMBED Equation.3 1415;
- творческое задание на дополнительную отметку – сочинить стихотворение о монотонности функции и её точках экстремума.
Литература
1. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: Учебное пособие: В 2 кн. Кн. 1. – М.: «Издательство Новая Волна», 2004.
2. Мордкович А.Г., Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл. – М.: Мнемозина, 2001.
Приложение 1
Оценочный лист
Фамилия, Имя
Вид деятельности
Баллы
Повторение формул дифференцирования
«Найди ошибку и исправь её»
Повторение геометрического смысла производной функции
Решение примера
Блиц-опрос
Выполнение устных упражнений
Самостоятельная работа
Дополнительные вопросы
Всего
Критерии оценок:
24 и более набранных баллов – отметка «5»,
23 – 16 набранных баллов – отметка «4»,
15 - 9 набранных баллов – отметка «3»,
менее 9 набранных баллов – отметка «2»
13PAGE 15
13PAGE 14115
Критерии оценок:
все ошибки найдены и исправлены верно –5 баллов;
одна ошибка не найдена и не исправлена – 4 балла,
две ошибки не найдены и не исправлены – 3 балла,
более двух ошибок не найдено и не исправлено – 2 балла.
y=f(x)
x
y
0
450
x1
x2
x3
600
y=f(x)
x
y
0
1350
x1
x2
x3
1500
х
0
4
+
+
-
f(x)
f/(x)
y=f(x)
x
y
0
x1
у
х
-4
-2
0
2
4
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native