Билеты к зачету по геометрии (8 класс, 2 полугодие)

Билеты к зачету по геометрии
8 класс
2 полугодие
Учитель: Рыбина О.С.
МОБУ «СОШ №72 с углубленным изучением математики»
Билет 1:
1) Сформулировать и доказать теорему о вписанном угле.
2) Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О,
проведёнными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.
3) Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.
______________________________________________________________________________________
Билет 2:
1) Что такое отношение отрезков АВ и СD? В каком случае два отрезка пропорциональны двум другим? Когда и какие стороны треугольников называют сходственными? Дать определение подобных треугольников и коэффициента подобия.
Сформулировать и доказать теорему об отношении площадей подобных треугольников.
2) В треугольнике ABC сторона AB равна a, а высота СН равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник АВС так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне АВ, а две другие – соответственно на сторонах АС и ВС.
3) Точки P и Q – середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника APQ равен 21 см.
______________________________________________________________________________________
Билет 3:
1) Что такое средняя линия треугольника? Сформулировать и доказать теорему о средней линии.
2) Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если угол ОАВ=30°, АВ=5см.
3) (№ 667) Диаметр АА1 окружности перпендикулярен в хорде ВВ1 и пересекает её в точке С. Найдите ВВ1, если АС=4см, СА1=8см.
_____________________________________________________________________________________
Билет 4:
1) Сформулировать и доказать первый признак подобия треугольников.
2) Найдите углы ромба с диагоналями 2√3 и 2.
3) Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
______________________________________________________________________________________
Билет 5:
1) Найти значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60° и заполнить таблицу:
2) Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если ОА = 2 см, а
r = 1,5 см.
a 30° 45° 60°
sin α cos α tg α 3) Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС – дугу в 43°. Найдите угол ВАС (рассмотреть два случая).
_________________________________________________________________
Билет 6:
1) Что такое касательная к окружности и точка касания? Доказать теорему о касательной к окружности и теорему о двух отрезках касательных к окружности, проведённых из одной точки.
2) Найдите:
А) sinα и tgα, если cosα = ½ Б) sinα и tgα, если cosα = 2/3
В) cosα и tgα, если sinα = √3/2 Г) cosα и tgα, если sinα = ¼3) Прямые а и b пересечены параллельными прямыми АА1, ВВ1, СС1, причём точки А, В и С лежат на прямой а, а точки А1, В1, С1 – на прямой b. Доказать, что АВ:BC = A 1B1: B 1C 1.
______________________________________________________________________________________
Билет 7:
1) Сформулировать и доказать второй признак подобия треугольников.
2) Через точку М, взятую на медиане AD треугольника ABC, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите отношение АК:KC, если М – середина отрезка AD.3) Хорды AB и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если:
А) АЕ=5, ВЕ=2, СЕ=2,5 Б) АЕ=16, ВЕ=9, СЕ=ЕD B) AE=0,2 , BE=0,5 , CE=0,4.
______________________________________________________________________________________
Билет 8:
1) Что такое синус , косинус, тангенс? Чему будет равен sin, cos, tg угла A в треугольнике ABC
(угол А – острый, угол С=90°). Доказать основное тригонометрическое тождество.
2) Через точку М, взятую на медиане AD треугольника ABC, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите отношение АК:KC, если AM:MD = 1:2.
3) Докажите, что четырёхугольник – ромб, если его вершинами являются середины сторон:
А) Прямоугольника Б) Равнобедренной трапеции
______________________________________________________________________________________
Билет 9:
1) Рассмотреть взаимное расположение прямой и окружности (3 случая). Что такое секущая, касательная?
2) Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка А1В1.
3) Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а большая точкой М делится в отношении 6:5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.
______________________________________________________________________________________
Билет 10:
1) Сформулировать и доказать третий признак подобия треугольников.
2) В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.
3) Точки М, N и P лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС, причем MN II AC, NP II AB. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если
АВ = 10 см, АС = 15 см, PN : MN = 2:3
______________________________________________________________________________________
Билет 11:
1) Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит вершину в отношении 2:1, считая от вершины.
2) В треугольнике АВС медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S.
3)Стороны прямоугольника равны 3 см и √3 см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.
______________________________________________________________________________________
Билет 12:
1) Напишите два следствия теоремы о вписанном угле, сделайте к ним рисунки. Докажите теорему о произведениях хорд.
2) Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В1, С1, а другая – в точках В2, С2. Докажите, что АВ1*АС1 = АВ2*AC2.
3) Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла. Доказать, что ОВ _I_ ОМ.
___________________________________________________________________________________
Билет 13:
1) Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.Какой отрезок называется средним пропорциональным для двух других отрезков?
Для треугольника АВС(угол С=90°, СD – высота) докажите следующие утверждения:
1. CD = √AD*DB 2. AC = √AB*AD
2) Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если
боковая сторона равна b.
3) Через точку М, взятую на медиане AD треугольника ABC, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите отношение АК:KC, если М – середина отрезка AD._____________________________________________________________________________________
Билет 14:
1) Что такое синус , косинус, тангенс? Чему будет равен sin, cos, tg угла A в треугольнике ABC (угол А – острый, угол С=90°). Доказать, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого, то sin, cos, tg этих углов равны.
2) Точки М, N и P лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС, причем MN II AC, NP II AB. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если: AM=AP, AB = a, AC = b.
3)Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если основание равно а.
______________________________________________________________________________________
Билет 15:
1) Что такое вписанная окружность? Доказать, что в любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
2) Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону BC на отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника АВС равен 42 см.
3) В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если дуга ВС = 102°.
______________________________________________________________________________________
Билет 16:
1) Доказать теорему о биссектрисе угла и теорему, обратную ей.
2) Докажите, что четырёхугольник – ромб, если его вершинами являются середины сторон:
А) Прямоугольника Б) Равнобедренной трапеции
3) В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
______________________________________________________________________________________
Билет 17:
1)Что такое описанная окружность? Докажите, что около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну.
2) Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.
3) Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ ( В – точка касания ) и секущая АD, проходящая через центр О (D – точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите угол BAD и угол ADB, если дуга BD = 110°20’.
____________________________________________________________________________________
Билет 18:
1) Доказать теорему о высотах треугольника. Что такое «Четыре замечательные точки треугольника»?
2) В треугольнике АВС медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S.
3) Высоты АА1 и ВВ1 равнобедренного треугольника АВС, проведённые к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямая МС – серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
____________________________________________________________________________________
Билет 19:
1) Что такое серединный перпендикуляр к отрезку? Доказать теорему о серединном перпендикуляре к отрезку и теорему, обратную ей.
2) В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если дуга ВС = 102°.
3) На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е. Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найти:
А) EF и FC, если DE = 8 см, EC = 4 см, ВС = 7 см, АЕ = 10 см.
Б) DE и EC, если АВ = 8 см, AD = 5 см, CF = 2 см.
_____________________________________________________________________________
Билет 20:
1) Доказать теорему о биссектрисе угла. Сформулировать следствие о биссектрисах треугольника.
2) Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла. Доказать, что ОВ _I_ ОМ.
3) Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.
_____________________________________________________________________________
Билет 21:
1) Каким свойством должны обладать стороны описанного четырёхугольника? Каким свойством должны обладать углы вписанного четырёхугольника? Докажите эти свойства.
2) Найдите:
А) sinα и tgα, если cosα = ½ Б) sinα и tgα, если cosα = 2/3
В) cosα и tgα, если sinα = √3/2 Г) cosα и tgα, если sinα = ¼3) Докажите, что можно описать окружность:
А) Около любого четырёхугольника;
Б) Около любой равнобедренной трапеции.
______________________________________________________________________________________
Билет 22:
1) Что такое отношение отрезков АВ и СD ? Когда и какие стороны треугольников называют сходственными? Дать определение подобных треугольников и коэффициента подобия. Доказать, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
2) Найдите углы ромба с диагоналями 2√3 и 2.
3) Треугольники АВС и А1В1С1 подобны, и их сходственные стороны относятся как 6:5. Площадь треугольника АВС больше площади треугольника А1В1С1 на 77 см2.
Найдите площади треугольников.
______________________________________________________________________________________
Билет 23:
1) Сформулировать и доказать теорему о вписанном угле.
2) Хорды AB и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если:
А) АЕ=5, ВЕ=2, СЕ=2,5 Б) АЕ=16, ВЕ=9, СЕ=ЕD B) AE=0,2 , BE=0,5 , CE=0,4.
3) Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а большая точкой М делится в отношении 6:5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.