Урок по геометрии для 9 класса Правильные многоугольники в природе).
Урок геометрии в 9 классе
Тема: Правильные многоугольники в природе
Цели урока: 1)обобщение изученного материала; формирование умений и навыков применять формулы к решению задач;
2)развивать познавательный интерес, учить видеть связь между математикой и окружающим миром;
3)воспитывать любовь и интерес к природе.
Оборудование и материалы: шаблоны правильных многоугольников, рисунки с изображением пчелиных сот и др.
Ход урока:
I.Сообщения.
Учитель: Тема «Правильные многоугольники» интересна, привлекательна прежде всего тем, что побуждает к исследованию, к новым способам построения . Издавна ученые занимались этими вопросами. [Ученица рассказывает об ученых, посвятивших свои труды правильным многоугольникам и о наиболее интересных способах построения правильных многоугольников].
Учитель: Правильные многоугольники привлекательны еще и тем, что они встречаются в природе. Один из примеров - пчелиные соты, которые представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками. На этих шестиугольниках пчелы наращивают из воска ячейки, представляющие собой прямые шестиугольные призмы. В них пчелы и откладывают мед, а затем снова покрывают сплошным прямоугольником из воска.
Геометрия пчелиных сот, жизнь и деятельность пчел всегда привлекали внимание человека. «Странные общественные привычки и геометрические дарования пчел, - пишет известный математик Герман Вейль, - не могли не привлечь внимания и не вызвать восхищения людей, наблюдавших их жизнь и использовавших плоды их деятельности».
А сегодня рассмотрим задачи о пчелиных сотах, выполнив которые, вы будете еще больше восхищаться геометрическими дарованиями пчел.
II. Решение задач. (Класс разбит на 3 группы)
Задача 1: Пчелиные соты представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками («покрытый» - т.е. составленный без пробелов и наложений). Найти, какими еще правильными многоугольниками можно покрыть плоскость.
1 способ(практический) – каждой группе выдаются по 2 набора правильных многоугольников, шаблонов.
1 группа – правильные треугольники и пятиугольники;
2 группа – правильные квадраты и восьмиугольники;
3 группа – правильные шестиугольники и двенадцатиугольники.
Каждая группа покрывает плоскость многоугольниками и приходят к выводу: плоскость без пробелов и наложений можно покрыть лишь правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.
2 способ (аналитический):
Пусть плоскость покрыта правильными n-угольниками, причем сумма углов, сходящихся в одной вершине, равна 360є,
· - внутренний угол и
· = 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
·*х=360є
13 EMBED Equation.3 1415* х=360є
х=2+13 EMBED Equation.3 1415
Учитывая, что х - целое число, получим, что n=3; 4; 6.
Итак, плоскость можно покрыть только правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.
Учитель: Почему из треугольников, квадратов и шестиугольников пчелы выбрали именно шестиугольники? Для ответа на этот вопрос надо сравнить периметры этих многоугольников, имеющих одинаковую площадь.
Дано: правильные треугольник, квадрат и шестиугольник.
Найти: Р3 : Р4 : Р6
Решение: (Р3 находит 1 группа, Р4 – 2 группа, Р6 – 3 группа).
S3=S4=S6=S
1) S3= 13 EMBED Equation.3 1415; a2=13 EMBED Equation.3 1415; a=13 EMBED Equation.3 1415=213 EMBED Equation.3 1415; P3=613 EMBED Equation.3 1415
2) S4=a2; a=13 EMBED Equation.3 1415; P4=4a=413 EMBED Equation.3 1415
3) S6=13 EMBED Equation.3 1415; а2 =13 EMBED Equation.3 1415; a=13 EMBED Equation.3 1415; P6=13 EMBED Equation.3 1415
Р3 : Р4 : Р6=613 EMBED Equation.3 1415:413 EMBED Equation.3 1415:613 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415:4:613 EMBED Equation.3 1415
·4,6:4:3,7
Вывод: правильный шестиугольник имеет наименьший периметр, что позволяет наиболее экономно использовать площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.
III. Сообщения.
Каждая группа выступает с подготовленными сообщениями о жизни и деятельности пчел.
Учитель: На примере пчел мы убеждаемся, насколько гармонично устроен наш мир, как умна природа. Задача человека – беречь этот мир и разумно пользоваться его дарами.
IV. Практическая работа.
Можно ли покрыть плоскость многоугольниками, если этими многоугольниками являются:
1 группа – правильные шестиугольники и квадраты;
2 группа – восьмиугольники и квадраты;
3 группа – двенадцатиугольники и треугольники?
Вопрос: где человек может использовать умение покрывать плоскость правильными многоугольниками?
V. Подведение итогов.
VI. Домашнее задание (прокомментировать).