Методическая разработка олимпиадных заданий по математике

ГБОУ АО СПО «Астраханский технологический техникум»


Рассмотрено на заседании
цикловой методической
комиссии
протокол №
от 2013г.
«УТВЕРЖДАЮ»
Зам. директора по УМР
/Трубицына Е.В./
Задания
Олимпиады по математике



Разработала и составила
ПреподавательУтешева Е.Ф.
Пояснительная записка
Цель: развитие интереса учащихся к математике, выявление и развитие математических способностей учащихся.
Олимпиада состоит из двух частей. В первой части 10 заданий, в которых требуется выбрать один ответ из четырех предложенных. Во второй части 4 заданий к которым необходимо дать полное решение.
Каждое задание 1 части оценивается в 1 балл, а задания
2 части –в 5 баллов. Участник набравший наибольшее количество баллов становится победителем олимпиады.
К предложенным заданиям в конце прилагается ключ правильных ответов.
Задания:
Часть 1

Какое из выражений равно степени 52-k?
а) 525-k; б) 52-5k; в) (52)k; г) 525kПрямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 4. Найдите его объем.
а) 512; б) 516; в) 64; г) 256
У цилиндра объем равен 36 дм3 м. Высоту цилиндра увеличили в 3 раза, а радиус уменьшили в 3раза. Найдите объем получившегося цилиндра.
а) 36; б) 12; в) 108; г) 6

В треугольнике АВС угол С равен 900, АВ =5, АС =4. Найдите sinA.
а) 0,3; б) 0,6; в) 0,2; г) 0,8
Решите неравенство: х+62х-3( х+1) ≤ 0
а) (-∞; - 6]U (-1; 1,5); б) (-6; - 1) U (1,5; ∞); в) (-1; 1,5]; г) (-6; -1).
Упростите выражение ва2-ав:в2а2-в2
а) а+вав; б) аа+в; в) а-вв ; г) ва-в Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: (16)х-11 ≤ 36
а) (- ∞; 9); б) (9; ∞); в) [9; ∞); г) (- ∞; 9].
8. Упростите выражение и найдите его значение:
-tg2 x cos2x, если sin x = 0,2
а) 1,96; б) 1,2; в) -1,6; г) -0, 04
9. Вычислите: 3-0,25 ·3-0,5а) -0,25; б) 0,25; в) 0,5; г) -0,5.
10.
Часть 2
Решите уравнение:
sin 2x = (cos x2 - sin x2)2
Решите неравенство:
25·2х- 10х +5х > 25
Решите уравнение:
log2 x + 4 logx2 x + log8 x = 16
Найдите производную функции:
f (x) =sin 5x sin 3x + cos 5x cos 3x
Решите задачу:
В класcе 35 учеников, из них 20 школьников занимаются в математическом кружке, 11- в литературном, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько литераторов увлекаются математикой?
Ключ к заданиям части 1:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
г
а б б нет в а а 184 900 б б в г в в
Решение заданий части 2:
Решение:
sin2x = (cos x2 - sin x2)2
sin2x = cos2 x2 - 2 cos x2 sin x2 + sin2 x2 1 - sin2x = 1- sin x
sin x - 2sin x cos x =0
sin x(1- 2cos x) = 0
sin x =0 1- 2cosx =0
x = πn, n ϵ Z cos x= 12
x= ±arccos12+2 πn , n ϵ Z
x=±π3 +2 πn , n ϵ Z
Ответ: πn, n ϵ Z; ±π3 +2 πn , n ϵ Z

Решение неравенства:
25·2х- 10х +5х > 25
25·2х- (5·2)х + 5х > 25
25·2х- 5х·2х + 5х – 25 > 0
(25·2х- 5х·2х)- (25- 5х) > 0
2х(25 -5х)- (25- 5х) > 0
(25 – 5х)(2х- 1) > 0
1 случай:
25 – 5х > 0 2х- 1 > 0
– 5х > -25 2х > 1
5х < 25 2х > 20
5х < 52 х > 0
Х < 2
2 случай:
25 – 5х < 0 2х- 1 < 0
– 5х < -25 2х < 1
5х > 25 2х < 20
5х > 52 х < 0
Х > 2
Ответ: (0; 2)
Решение:
log2 x + 4 logх2 x + log8 x = 16
применяя формулу: logap b = 1p loga b, получаем
2 log2 x + 2 logх x + 1 3log2 x = 16
73 log2 x = 16 -2
log2 x = 14· 37 log2 x = 6
x = 26
x = 64
ОДЗ: х > 0; х ≠ 1
Ответ: 64
Решение:
f ’ (x) = (sin 5x sin 3x + cos 5x cos 3x)’ = (cos(5x-3x))’= (cos 2x)’= -2 sin 2x
Ответ: -2 sin 2x.
Решение:
Всего 35 учеников. 10 кружки не посещают. Значит, посещают кружки 35-10=25 учеников.25 учеников посещают кружки. 20 учеников занимаются в математическом кружке. Значит, только литературный кружок посещают 25-20=5 человек. В литературном кружке 11 человек. Лишь 5 из них посещают только литературный кружок.Значит, 11-5 = 6 человек-литераторов посещают ещё и математический кружок.
Литература:
«Математические олимпиады школьников» Петраков И. С.
Тесты. Геометрия 11 класс.
«Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ»: 2011: Математика / Высоцкий И.Р. и др.
ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания. И.Р. Высоцкий и др.