Конспект по математике по темеРешение задач № 20 для сдачи ЕГЭ базового уровня

Задачи на смекалку № 20.
1) На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым 5 кусков, а если по зелёным 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
Решение:
Если распилить палку по красным линиям, то получится 15 кусков, следовательно, линий 14. Если распилить палку по желтым 5 кусков, следовательно, линий 4. Если распилить по зеленым 7 кусков, линий 6. Всего линий: 14 + 4 + 6 = 24 линии, следовательно, кусков будет 25. Ответ: 25

2) Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за один прыжок. Кузнечик начинает прыгать из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 11 прыжков?
Решение:
Заметим, что кузнечик может оказаться только в точках с нечётными координатами, поскольку число прыжков, которое он делает, нечётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает одиннадцати. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках:
·11,
·9,
·7,
·5,
·3,
·1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек.  Ответ: 12.

3) В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
Решение:

Согласно условию задачи: (40 -17) + 1 = 24 - должно быть рыжиков. (40 – 25) + 1 = 16 - должно быть груздей. Таким образом, рыжиков в корзине [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Ответ: 24.


4) Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Решение:
Поскольку в первых 7 подъездах не меньше 462 квартир, в каждом подъезде не меньше 462 : 7 = 66 квартир. Следовательно, на каждом из 7 этажей в подъезде не меньше 9 квартир.
Пусть на каждой лестничной площадке по 9 квартир. Тогда в первых семи подъездах всего
9 · 7 · 7 = 441 квартира, и квартира 462 окажется в восьмом подъезде, что противоречит условию.
Пусть на каждой площадке по 10 квартир. Тогда в первых семи подъездах 10 · 7 · 7 = 490 квартир, а в первых шести 420. Следовательно, квартира 462 находится в седьмом подъезде. Она в нем 42-ая по счету, поскольку на этаже по 10 квартир, она расположена на пятом этаже.
Если бы на каждой площадке было по 11 квартир, то в первых шести подъездах оказалось бы
11 · 7 · 6 = 462 квартиры, то есть 462 квартира в шестом подъезде, что противоречит условию.
Тем самым, Саша живёт на пятом этаже. Ответ: 5

5) Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в двенадцатом подъезде в квартире № 465, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Решение:
Поскольку в первых 12 подъездах не меньше 465 квартир, в каждом подъезде не меньше 465 : 12 = 38,75 квартир. Следовательно, на каждом из 5 этажей в подъезде не меньше 7 квартир.
Пусть на каждой лестничной площадке по 7 квартир. Тогда в первых двенадцати подъездах всего 12 · 7 · 5 = 420 квартир, и квартира 465 окажется в тринадцатом подъезде, что противоречит условию.
Пусть на каждой площадке по 8 квартир. Тогда в первых двенадцати подъездах
12 · 8 · 5 = 480 квартир, а в первых одиннадцати 440. Следовательно, квартира 465 находится в двенадцатом подъезде. Она в нем 25-ая по счету, поскольку на этаже по 8 квартир, она расположена на четвертом этаже.
Тем самым, Саша живёт на четвертом этаже. Ответ: 4.

6) Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 15 минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на 7 минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать советам тренера?

Ответ: 5.
7) Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток?
Решение:
Среди 10 подряд идущих чисел одно из них обязательно будет делиться на 7, поэтому произведение этих чисел кратно семи. Следовательно, остаток от деления на 7 равен нулю.
 
Ответ: 0.

8) В бак объёмом 38 литров каждый час, начиная с 12 часов, наливают полное ведро воды объёмом 8 литров. Но в днище бака есть небольшая щель, и из неё за час вытекает 3 литра. В какой момент времени (в часах) бак будет заполнен полностью.

Решение:
К концу каждого часа объём воды в баке увеличивается на 8
· 3 = 5 литров. Через 6 часов, то есть в 18 часов, в баке будет 30 литров воды. В 18 часов в бак дольют 8 литров воды и объём воды в баке станет равным 38 литров.
Ответ: 18.

9) В меню ресторана имеется 6 видов салатов, 3 вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида десерта. Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта могут выбрать посетители этого ресторана?

Решение:
Салат можно выбрать шестью способами, первое тремя, второе пятью, десерт четырьмя. Следовательно, всего 6 · 3 · 5 · 4 = 360 вариантов обеда. Ответ: 360.

10) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;2) за 7 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 42 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы?
РЕШЕНИЕ:

Ответ: 30.
11) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;
за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Решение:
Пусть Николай сделал сначала [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] операций второго типа, а затем [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] операций первого типа. Тогда имеем:
 

13 EMBED Equation.3 1415 
Тогда серебряных монет стало на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] больше, то есть на 10 меньше.
Ответ: 10.

12) Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны A, B и C. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
ПРИМЕР ЗАДАЧИ:
№ 1. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 18 и 30. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
РЕШЕНИЕ:
Для удобства дадим название каждой стороне прямоугольника (см. рисунок). [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
И распишем, чему равна площадь каждого маленького прямоугольника по часовой стрелке:
S1 = a
· c = 12 (1)
S2 = b
· c = 18 (2)
S3 = b
· d = 30 (3)
S4 = a
· d = ? (4)
Выразим стороны a и d из первой и третьей площади и подставим их в площадь четвертого прямоугольника:
a = 12 / c
d = 30 / b
S4 = 12 / c
· 30 / b
Мы также можем выразить сторону b через вторую площадь, чтобы площадь четвертого прямоугольника была выражена только через одну сторону:
b = 18 / c
S4 = 12 / c
· 30 / 18
· c = 12
· 30 / 18 = 20
В результате все неизвестные сократились и была найдена площадь четверного прямоугольника, равная 20. ОТВЕТ: 20

В общем виде решение данной задачи на смекалку выглядит следующим образом:

ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА = A
· C / B где A , B и C – площади трех других прямоугольников, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке. Осталось лишь подставить все значения и получить ответ.
№ 20 (2) ПРИМЕР ЗАДАЧИ:
13) На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б 50 км, между А и В 40 км, между В и Г 25 км, между Г и А 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
РЕШЕНИЕ:
Данную задачу проще всего решать графически. Рассмотрим всевозможные варианты расположения бензоколонок по кольцевой дороге, но перед этим посчитаем количество различных вариантов (начиная с точки А по часовой стрелке):

АВГБ и АБГВ
АГБВ и АВБГ
АБВГ и АГВБ

Всего разных вариантов получается 3, рассмотрим каждый из них. 
Вариант 1.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Отмечаем местоположение бензоколонки А. Бензоколонку Б расположим на расстоянии 50 км против часовой стрелки относительно А. Бензоколонку В – на расстоянии 40 км по часовой стрелке относительно А. Бензоколонку Г – на расстоянии 25 км по часовой стрелке относительно В. Тогда расстояние от А до Г равно 65 км (40 + 25 через В) или более 50 км (через Б), а оно должно быть равно 35. Значит, данный вариант не подходит.
Вариант 2
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Отмечаем местоположение бензоколонки А. Бензоколонку Б расположим на расстоянии 50 км против часовой стрелки относительно А. Бензоколонку В – на расстоянии 40 км против часовой стрелки относительно А. Бензоколонку Г – на расстоянии 25 км против часовой стрелки относительно В. Тогда расстояние от А до Г через В и Б равно 65 км, а по часовой стрелке оно вполне может быть равно 35 км. В этом случае расстояние между Б и В равно 10 км.

Вариант 3
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Отмечаем местоположение бензоколонки А. Бензоколонку Б расположим на расстоянии 50 км против часовой стрелки относительно А. Бензоколонку В – на расстоянии 40 км против часовой стрелки относительно А. Бензоколонку Г – на расстоянии 25 км по часовой стрелке относительно В. Тогда расстояние от А до Г по кратчайшей дуге равно 15 км, а оно должно быть равно 35 км. Значит, данный вариант не подходит. Все остальные варианты будут совпадать с предыдущими. Получается, что расстояние между бензоколонками Б и В равно 10 км. ОТВЕТ: 10

14) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:1) за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;2) за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
15)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
16) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;
2) за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.
У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы? Ответ 10. Решение: в тетради









13PAGE 15


13PAGE 14415




Root Entry