Конспект по математике по темеРешение задач № 19 для сдачи ЕГЭ базового уровня
19(база)
1) При ве ди те при мер ше сти знач но го на ту раль но го числа, ко то рое за пи сы ва ет ся толь ко циф ра ми 1 и 2 и де лит ся на 24. В от ве те ука жи те ровно одно такое число.
По яс не ние.
Если число де лит ся на 24, то оно также де лит ся на 3 и на 8.
Число де лит ся на 8 тогда и толь ко тогда, когда три его по след ние цифры об ра зу ют число, ко то рое де лит ся на 8. Пе ре брав трёхзнач ные числа из 1 и 2, по лу чим, что толь ко 112 де лит ся на 8. Это число об ра зу ет по след ние три цифры ис ко мо го числа.
Число де лит ся на 3 тогда и толь ко тогда, когда сумма его цифр де лит ся на 3. По след ние три цифры 112 дают к сумме 4. Рас смот рим пер вые три цифры. Их сумма может быть от 3 до 6. Усло ви ям за да чи удо вле тво ря ет сумма цифр, рав ная 5. Троек с дан ной сум мой цифр три: 122, 212, 221.
Таким об ра зом, под хо дят числа: 122112, 212112, 221112.
2) При ве ди те при мер ше сти знач но го на ту раль но го числа, ко то рое за пи сы ва ет ся толь ко циф ра ми 2 и 0 и де лит ся на 24. В от ве те ука жи те ровно одно такое число.
По яс не ние.
Если число де лит ся на 24, то оно де лит ся на 3 и на 8.
Если число де лит ся на 8, то число, об ра зо ван ное по след ни ми его тремя циф ра ми, тоже де лит ся на 8. Трёхзнач ных чисел из 0 и 2, де ля щих ся на 8, два: 000 и 200. Это окон ча ния ис ход но го числа.
Если число де лит ся на 3, то сумма его цифр тоже де лит ся на 3.
000 даёт к сумме 0, то есть сумма пер вых цифр долж на рав нять ся 6, то есть это 222.
200 даёт к сумме 2, то есть сумма пер вых цифр долж на рав нять ся 4, то есть 220 или 202 (022 не может быть, так как это пер вые цифры, а пер вая цифра в числе не может рав нять ся 0).
Таким об ра зом, ис ко мые числа: 220200, 202200, 222000.
3) При ве ди те при мер ше сти знач но го на ту раль но го числа, ко то рое за пи сы ва ет ся толь ко циф ра ми 1 и 2 и де лит ся на 72. В от ве те ука жи те ровно одно такое число.
По яс не ние.
Если число де лит ся на 72, то но де лит ся на 8 и на 9.
Если число де лит ся на 8, то число, об ра зо ван ное по след ни ми его тремя циф ра ми, тоже де лит ся на 8. Ше сти знач ных чисел из 1 и 2, де ля щиеся на 8 долж ны за кан чи вать ся трой кой цифр 112.
Если число де лит ся на 9, то сумма его цифр тоже де лит ся на 9.
112 даёт к сумме 4, то есть сумма пер вых цифр долж на рав нять ся 5, то есть долж на со сто ять из пе ре ста но вок двух двоек и еди ни цы.
Таким об ра зом, ис ко мые числа: 122112, 212112, 221112.
Ответ: 122112, 212112 или 221112.
4) При ве ди те при мер трёхзнач но го на ту раль но го числа, боль ше го 500, ко то рое при де ле нии на 8 и на 5 даёт рав ные не ну ле вые остат ки и пер вая слева цифра ко то ро го яв ля ет ся сред ним ариф ме ти че ским двух дру гих цифр. В от ве те ука жи те ровно одно такое число.
По яс не ние.
По мо ду лю 5 и 8 число имеет оди на ко вые остат ки. Оно будет иметь тот же оста ток и при де ле нии на 40. Этот оста ток боль ше нуля и мень ше пяти. Пусть наше число имеет вид xyz, тогда имеем:
5< x <9?
0 < y < 9
0 < z < 5
2x = y + z
За ме тим, также, что ис ко мое число долж но быть чётным. Пе ре берём все ва ри ан ты, их че ты ре: 564, 684.
Ответ: 564; 684.
5) При ве ди те при мер трёхзнач но го на ту раль но го числа боль ше го 500, ко то рое при де ле нии на 6 и на 5 даёт рав ные не ну ле вые остат ки и сред няя цифра ко то ро го яв ля ет ся сред ним ариф ме ти че ским край них цифр. В от ве те ука жи те ровно одно такое число.
По яс не ние.
Найдём все трёхзнач ные числа, боль шие пя ти сот, такие, что сред няя цифра равна сред не му ариф ме ти че ско му край них. Пусть пер вая цифра числа 5, тогда если по след няя цифра чётная, то сред няя не целое число. Сле до ва тель но, по след няя цифра долж на быть нечётной, тогда это 1, 3, 5, 7 или 9. Сред нюю цифру на хо дим как сред нее ариф ме ти че ское край них. По лу ча ем: 531, 543, 555, 567, 579.
Рас суж дая ана ло гич но, на хо дим остав ши е ся трёхзнач ные числа, об ла да ю щие этим свой ством: 660, 642, 654, 666, 678, 741, 753, 777, 789, 840, 852, 864, 876, 888, 951, 963, 975, 987, 999.
Опре де лим, какие из най ден ных чисел дают оди на ко вые остат ки при де ле нии на 5 и на 6. Это числа 543 (оста ток 3), 660 (оста ток 0), 642 (оста ток 2), 753 (оста ток 3), 840 (оста ток 0), 963 (оста ток 3).
Не ну ле вые рав ные остат ки дают числа 543, 753, 963.
6) Най ди те трёхзнач ное число A, об ла да ю щее всеми сле ду ю щи ми свой ства ми:
· сумма цифр числа A де лит ся на 4;
· сумма цифр числа (A + 2) де лит ся на 4;
· число A боль ше 200 и мень ше 400.
В от ве те ука жи те какое-ни будь одно такое число.
По яс не ние.
Пусть число имеет вид [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то сумма цифр в новом числе будет на 2 боль ше, чем в ис ход ном, и обе они не могут де лить ся на 4. Зна чит, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Рас смот рим те перь 2 слу чая:
1) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Число пе рейдёт в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) или в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]), сумма из ме нит ся на 16
2) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Число пе рейдёт в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], сумма из ме нит ся на 7.
Итак, усло ви ям за да чи удо вле тво ря ют числа вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Так как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], не слож но найти такие числа: 299, 398
Ответ: 299, 398.
7) Най ди те трёхзнач ное число A, об ла да ю щее всеми сле ду ю щи ми свой ства ми:
· сумма цифр числа A де лит ся на 8;
· сумма цифр числа A + 1 де лит ся на 8;
· в числе A сумма край них цифр крат на сред ней цифре.
В от ве те ука жи те какое-ни будь одно такое число.
По яс не ние.
Пусть число имеет вид аbс, если с< 9, то сумма цифр в новом числе будет на 1 боль ше, чем в ис ход ном, и обе они не могут де лить ся на 8. Зна чит с > или = 9. Рас смот рим те перь 2 слу чая:
1) аb9, b #9. Число пе рейдёт в а(b +1)(d- 9), сумма из ме нит ся на 8.
2) а99, а #9. Число пе рейдёт в (а + 1)(b – 9)(с – 9), сумма из ме нит ся на 18.
Итак, усло ви ям за да чи удо вле тво ря ют числа вида аb9 , b #9, где а + 9 крат но b. Одним из таких чисел яв ля ет ся 349.
Ответ: 349.
8) Сумма цифр трёхзнач но го числа A де лит ся на 13. Сумма цифр числа A+5 также де лит ся на 13. Най ди те такое числоA.
9) При ве ди те при мер трёхзнач но го числа, сумма цифр ко то ро го равна 20, а сумма квад ра тов цифр де лит ся на 3, но не де лит ся на 9.
По яс не ние.
Раз ло жим число 20 на сла га е мые раз лич ны ми спо со ба ми:
20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.
При раз ло же нии спо со ба ми 1
·4, 7 и 8 суммы квад ра тов чисел не крат ны трём. При раз ло же нии пятым спо со бом сумма квад ра тов крат на де вя ти. Раз ло же ние ше стым спо со бом удо вле тво ря ет усло ви ям за да чи. Таким об ра зом, усло вию за да чи удо вле тво ря ет любое число, за пи сан ное циф ра ми 5, 7 и 8, на при мер, число 578. Ответ: 578.
10) Най ди те трёхзнач ное на ту раль ное число, боль шее 400, ко то рое при де ле нии на 6 и на 5 даёт рав ные не ну ле вые остат ки и пер вая слева цифра ко то ро го яв ля ет ся сред ним ариф ме ти че ским двух дру гих цифр. В от ве те ука жи те какое-ни будь одно такое число.
По яс не ние.
Число имеет оди на ко вые остат ки при де ле нии на 5 и на 6, сле до ва тель но, число имеет тот же оста ток при де ле нии на 30, причём этот оста ток не равен нулю и мень ше пяти. Таким об ра зом, ис ко мое число может иметь вид: 30n+ 1, 30n+ 2, 30n+ 3, 30n+ 4
При. n = 1,2,3, 13. Ни одно из чисел не боль ше 400
При n = 14 : 421, 422, 423, 424. Пер вая слева цифра не яв ля ет ся сред ним ариф ме ти че ским двух дру гих цифр
При n = 15 : 451, 452, 453, 454. Число 453 удо вле тво ря ет всем усло ви ям за да чи.
Также под хо дят числа 573 и 693. Ответ: 453,573, 693.
11) Цифры четырёхзнач но го числа, крат но го 5, за пи са ли в об рат ном по ряд ке и по лу чи ли вто рое четырёхзнач ное число. Затем из пер во го числа вычли вто рое и по лу чи ли 4536. При ве ди те ровно один при мер та ко го числа.
По яс не ние.
Число де лит ся на 5, зна чит, его по след няя цифра или 0, или 5. Но так как при за пи си в об рат ном по ряд ке цифры также об ра зу ют четырёхзнач ное число, то эта цифра 5, ибо число не может на чи нать ся с 0. Пусть число имеет вид [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]авс5. Тогда усло вие можно за пи сать так:100а + 100в + 10с + 5 – (5000 + 100с + 10в + а) = 4536 следовательно: 999(а – 5) + 90(в – с) = 4536.
Вто рое сла га е мое в левой части де лит ся на 10. Зна чит, за раз ряд еди ниц в сумме от ве ча ет толь ко пер вое сла га е мое. То есть 9(а – 5) mod 10. От ку да а = 9. Под ста вив по лу чен ное зна че ние в урав не ние, по лу чим, что 90(в – с) = 540, в – с = 6. Пе ре брав все пары b и с, ко то рые яв ля ют ся ре ше ни ем этого ра вен ства, вы пи шем все числа, яв ля ю щи е ся от ве том: 9605, 9715, 9825, 9935.
Ответ: 9605, 9715, 9825, 9935.
12) Най ди те трёхзнач ное число, сумма цифр ко то ро го равна 25, если из вест но, что его квад рат де лит ся на 16.
По яс не ние.
Раз ло жим число 25 на сла га е мые: 25 = 9 + 9 + 7 = 9 + 8 + 8.
Квад рат числа де лит ся на 16, зна чит, само число де лит ся на 4. Это зна чит, что оно как ми ни мум за кан чи ва ет ся на чётную цифру. То есть пер вый набор от па да ет, так как в нём та ко вых нет. Из вто ро го мы можем со ста вить числа 988 и 898. Пер вое число удо вле тво ря ет усло ви ям за да чи.
13) Най ди те ше сти знач ное на ту раль ное число, ко то рое за пи сы ва ет ся толь ко циф ра ми 1 и 0 и де лит ся на 24.
По яс не ние.
Чтобы число де ли лось на 24 оно долж но де лит ся на 3 и на 8.
Число де лит ся на 8, если три его по след ние цифры об ра зу ют число, де ля ще е ся на 8. Ис ко мое число за пи сы ва ет ся толь ко ну ля ми и еди ни ца ми, зна чит, оно за кан чи ва ет ся на 000.
Число де лит ся на 3, если его сумма цифр числа де лит ся на 3. По сколь ку три по сл лед ние цифры числа нули, пер вые три долж ны быть еди ни ца ми.
Таким об ра зом, един ствен ное число, удо вле тво ря ю щее усло вию за да чи, это число 111 000.
Ответ: 111 000.
14) Сумма цифр трёхзнач но го числа A де лит ся на 13. Сумма цифр числа A+5 также де лит ся на 13. Най ди те такое числоA.
15) Вы черк ни те в числе 141565041 три цифры так, чтобы по лу чив ше е ся число де ли лось на 30. В от ве те ука жи те ровно одно по лу чив ше е ся число.
По яс не ние.
Если число де лит ся на 30, то оно также де лит ся на 3 и на 10. По это му в по след нем раз ря де числа дол жен быть ноль. Тогда вычёрки ва ем 41. Остаётся 1415650. Для того, чтобы число де ли лось на три не об хо ди мо, чтобы сумма цифр была крат на трём, зна чит, нужно вы черк нуть цифру 1 или цифру 4. Таким об ра зом, по лу ча ем числа 145650, 115650 и 415650
Ответ: 145650, 115650 или 415650.
16) Вы черк ни те в числе 85417627 три цифры так, чтобы по лу чив ше е ся число де ли лось на 18. В от ве те ука жи те ровно одно по лу чив ше е ся число.
По яс не ние.
Если число де лит ся на 18, то оно также де лит ся на 9 и на 2. Число долж но быть чётным, для этого вы черк нем цифру 7, по лу чим 8541762. По счи та ем сумму цифр 33. Для того, чтобы число де ли лось на де вять не об хо ди мо, чтобы сумма цифр была крат на де вя ти. Можно вы черк нуть цифры 5 и 1, по лу чив число 84762, либо вы черк нуть цифры 4 и 2 и по лу чить число 85176. Также воз мож но вы черк нуть цифры 7 и 8 и по лу чить число 54162.
Ответ: 84762, 85176 или 54162.
17) Най ди те трех знач ное на ту раль ное число, боль шее 500, ко то рое при де ле нии на 4, на 5 и на 6 дает в остат ке 2, и в за пи си ко то ро го есть толь ко две раз лич ные цифры. В от ве те ука жи те какое-ни будь одно такое число.
По яс не ние.
При де ле нии на 4 число даёт в остат ке 2, сле до ва тель но, оно чётное. По сколь ку число при де ле нии на 5 даёт в остат ке 2, то оно может окан чи вать ся на 2 или на 7. Таким об ра зом, число обя за тель но долж но за кан чи вать ся циф рой 2.
Под бо ром на хо дим, что усло вию за да чи удо вле тво ря ют числа 662 и 722.
Ответ: 662, 722.
18) Най ди те четырёхзнач ное число, крат ное 88, все цифры ко то ро го раз лич ны и чётны. В от ве те ука жи те какое-ни будь одно такое число.
По яс не ние.
Число де лит ся на 88, если оно де лит ся на 8 и на 11. При знак де ли мо сти на 8: число де лит ся на 8 тогда и толь ко тогда, когда три его по след ние цифры нули или об ра зу ют число, ко то рое де лит ся на 8. При знак де ли мо сти на 11: число де лит ся на 11, если сумма цифр, ко то рые стоят на чет ных ме стах равна сумме цифр, сто я щих на не чет ных ме стах, либо раз ность этих сумм де лит ся на 11. Ис поль зуя при знак де ли мо сти на 8, и учи ты вая, что все цифры ис ко мо го числа долж ны быть чётны и раз лич ны по лу ча ем, что по след ни ми циф ра ми числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Ис поль зуя при знак де ли мо сти на 11 по лу чим, что усло вию за да чи удо вле тво ря ют числа: 6248, 8624, 2640.
Ответ: 2640, 6248 или 8624.
При ведём идею дру го го ре ше ния.
Ис ко мое число долж но быть за пи са но че тырь мя из пяти цифр 0, 2, 4, 6 и 8, каж дая из ко то рых взята один раз. Причём сумма цифр в раз ря дах тысяч и де сят ков долж на быть равна сумме цифр в раз ря дах сотен и еди ниц, а три по след ние цифры ис ко мо го числа долж ны об ра зо вы вать трёхзнач ное число, крат ное вось ми. Пусть в раз ря де тысяч стоит 8, тогда в раз ря де де сят ков долж на быть 2, а в раз ря де сотен и еди ниц цифры 4 и 6. За ме тим, что число 8624 удо вле тво ря ет усло вию. Далее ана ло гич но для чисел, на чи на ю щих ся с 2, 4 и 6.
19) Най ди те че ты рех знач ное число, крат ное 66, все цифры ко то ро го раз лич ны и четны. В от ве те ука жи те какое-ни будь такое число.
По яс не ние.
Наи мень шее че ты рех знач ное число, крат ное 66, число 1056. Чтобы пер вая цифра была чет ной удво им его, по лу чим 2112, до ба вим 66 · 2 = 132, чтобы и вто рая цифра стала чет ной, по лу чим 2244, и будем до бав лять по 66 до тех пор, цифры не ста нут раз лич ны ми. До ба вив 6 раз, по лу чим 2640. (Воз мож ны и дру гие при ме ры.)
20)
13PAGE 15
13PAGE 14415
15