урок по математике Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств (10 класс)

МОУ «Соловьихинская средняя общеобразовательная школа»
Алгебра 10 класс

Учитель математики:
Шлыкова Л.А.
Цель урока: рассмотреть общий вид решений простейших тригонометрических уравнений.
Ход урока:
Орг. момент
Тема и цель урока
Повторение и закрепление пройденного материала.
Разбор дом. задания и решение нерешенных заданий
Контроль усвоения материала (самостоятельная работа)
____________________________________________________________________
Вариант 1.
Дать определение и перечислить свойства арксинуса.
Вычислить:
а) arcsin( - 1) + arcsin; б) arccos + arcsin;
в) arctg( - 1) - arccos; г) cos(arccos + arccos).
________________________________________________________________________
Вариант – 2.
Дать определение и перечислить свойства арккосинуса.
Вычислить:
а) arcsin - arcsin 1; б) arcos ( - 1) + arctg;
в) arcsin + arcsin( - ); г) sin(arccos + arcsin)
Изучение нового материала (лекция с применением м/м)
Для решения любого тригонометрического уравнения его надо свести к одному из четырех простейших. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются cos x = a, sin x = a, tg x = a,ctg x = a. Рассмотрим их решения.
cos x = a
x = ± arccos a + 2n, где nZ.
Функция соs х принимает значения из промежутка . Количество решений уравнения соs х =а зависит от значения числа а. Если а, то уравнение не имеет решений.
Если а, на промежутке функция соs х убывает и принимает все значения от – 1 до 1. Поэтому по теореме о корне на этом промежутке уравнение соs х = а имеет единственное решение х1 = arccos a. Так как функция соs х четная, то на отрезке данное уравнение также имеет единственное решение х2 = - х1 = - arccos a. Итак, уравнение
cos x = a на промежутке имеет два решения
x = ± arccos a. Учитывая, что период косинуса равен 2π, то получаем формулу для записи всех решений данного уравнения:
x = ± arccos a + 2n, где nZ.
в частных случаях а = ± 1; а = 0 проще и удобнее использовать не общую формулу, а записывать решения на основании единичной окружности: cos x = 1, x = 2πk;
cos x = - 1, x = π + 2πk;
cos x = 0, x = + πk, kZ
Например: решим уравнение cos х = - .
Используя приведенную формулу, запишем
x = ± arccos ( - ) + 2n, где nZ.
x = ± + 2n, где nZ.
sin x = a
x = ( - 1)karcsin a + k, где kZ.
очевидно, что при а >1 такое уравнение решений не имеет, так как функция синус ограничена и ≤ 1. На отрезке функция sin x возрастает и принимает все значения от – 1 до 1. Тогда по теореме о корне на этом промежутке при ≤1 уравнение sin x = а имеет единственное решение х1 = arcsin a. На отрезке функция sin x убывает и также принимает все значения от – 1 до 1. Поэтому и на этом промежутке при ≤1 уравнение sin x = а тоже имеет единственное решение х2 =  - х1 =  - arcsin a. Действительно, sin x2 = sin( - x1) = sin x1 = a. Кроме того, поскольку , то есть х2 принадлежит отрезку .
Учитывая, что период синуса равен 2, получаем две формулы для записи всех решений данного уравнения х = arcsin a + 2n и
x =  - arcsin a + 2n, где nєZ. Такие решения удобно описывать не двумя, а одной формулой : x = ( - 1)karcsin a + k, где kZ.
действительно, при четных k = 2n из этой формулы получаем все решения, описываемые первой формулой; при нечетных k = 2n + 1 – решения, записываемые второй формулой.
Заметим, что в частных случаях а=0; ± 1 проще и удобнее использовать не общую формулу, а записывать решения на основании единичной окружности:
Для уравнения sin x = 1 решения x =
Для уравнения sin x = 0 решения
Для уравнения sin x = - 1 решения x = , kєZ
Пример 2:
Решим уравнение sin x = .
По приведенной формуле запишем решения уравнения
x = ( - 1)karcsin () + k, kєZ
x = ( - 1)k+ k, kєZ
x = ( - 1)k+1+ k, kєZ
tg x = a
x = arctg a + k, kєZ
на отрезке функция tg x возрастает и принимает все значения от - ∞ до ∞. Тогда по теореме о корне при любом значении а на этом промежутке уравнение tg x = а имеет единственное решение, равное х = arctg a. Так как функция тангенс имеет период , то получаем формулу для всех решений данного уравнения:
x = arctg a + k, kєZ
Пример 3. Решим уравнение 3 tg x =
Запишем уравнение в виде tg x = или tg x = . Используя приведенную формулу, выпишем решения уравнения
х = arctg + k, kєZ
x = + k, kєZ
Закрепление
№№ 136(а,г) 137(в) 139(б) 140(а) 145 (а,б)
Контрольные вопросы:
Выпишите решения простейших тригонометрических уравнений.
Домашнее задание:
№№ 136(в) 137(г) 139(в) 141(г) 146(а)
Творческое задание
sin (2x + ) = ; cos (3x - ) = .


____________________________________________________________________
Вариант 1.
Дать определение и перечислить свойства арксинуса.
Вычислить:
а) arcsin( - 1) + arcsin; б) arccos + arcsin;
в) arctg( - 1) - arccos; г) cos(arccos + arccos).
________________________________________________________________________
Вариант – 2.
Дать определение и перечислить свойства арккосинуса.
Вычислить:
а) arcsin - arcsin 1; б) arcos ( - 1) + arctg;
в) arcsin + arcsin( - ); г) sin(arccos + arcsin)
________________________________________________________________________