Реферат на тему «Решение текстовых задач алгебраическим способом»

Управление образования Администрации г.Глазова
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Физико-математический лицей»
Реферат на тему
«Решение текстовых задач
алгебраическим методом»
Выполнил учитель математики
II категории Масьярова Н.В.
Рецензент учитель высшей
Категории Шихова Н.В.
г.Глазов, 2012г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ………………………………………………………..……………….2
Методы решения текстовых задач ...……………………………………3
Сущность алгебраического метода решения текстовых задач ...……..5

Решение текстовых задач алгебраическим методом по Г.Г.Левитасу ………..…………………………………………………………………....9
Решение текстовых задач алгебраическим методом с помощью таблицы ……………………………………………………………….…11
Результаты работы ..………..………………………………………… ..25
Заключение …………………..…………………………………………… …..27
Список литературы ……………..………………………………………… ….28

ВВЕДЕНИЕ
Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи - традиционно трудный для значительной части школьников материал. Однако, в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи и других качеств продуктивной деятельности обучающихся.
Как обучать детей нахождению способа решения текстовой задачи? Этот вопрос - центральный в методике обучению решения задач. Для ответа на него в литературе предложено немало практических приемов, облегчающих поиск способа решения задачи. Однако теоретические положения относительного нахождения пути решения задачи остаются мало разработанными.
Особенности текста задачи могут определить ход мыслительного процесса при ее решении. Как сориентировать детей на эти особенности? Знание ответов на них составляют теоретико-методические положения, на основе которых можно строить конкретную методику обучения; они помогут определить методические приемы поиска способов решения задачи, в том числе решения различными способами.
Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
Существует несколько методов решения текстовых задач. Это арифметический, алгебраический, комбинированный, графический, логический и др.
Наиболее часто используются два метода решения задач: арифметический и алгебраический.
Арифметический метод решения текстовых задач позволяет развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть, формировать и развивать важные общеучебные умения.
Арифметический метод решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.
Использование арифметического метода решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть, развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.
Но арифметический метод решения задач является трудоёмким. Не каждый ученик может решить более сложную задачу этим методом.
Алгебраический метод решения задач алгоритмичен, в какой-то степени универсален, так как подходит для большинства задач. Хотя и он вызывает некоторые трудности при решении задач.
Первая трудность состоит в математизации предложенного текста, т.е. в составлении математической модели, которая может представлять собой уравнение, неравенство или их систему, диаграмму, график, таблицу, функцию и т.д.
Для того, чтобы перевести содержание задачи на математический язык, учащемуся необходимо тщательно изучить и правильно истолковать его, формализовать вопрос задачи, выразив искомые величины через известные величины и введенные переменные.
Вторая трудность - составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводит учащийся.
Третья трудность - это решение полученной системы уравнений или неравенств желательно наиболее рациональным способом.
Учитывая все выше сказанное, можно считать тему «Решение текстовых задач алгебраическим методом используя таблицы» актуальной на сегодняшний день, потому что текстовая задача и процесс её решения представляют собой важнейшее средство формирования знаний, умений и навыков, развития ребёнка и одной из основных форм учебной деятельности.
Цель работы: Выявление наиболее оптимального способа решения текстовых задач.
Задачи работы:
1. Рассмотреть сущность алгебраического метода решения текстовых задач.
2. Изучить типичные методические ошибки учителя при работе с текстовыми задачами.
3. Проанализировать решение текстовых задач алгебраическим методом по Г.Г. Левитасу.
4. Рассмотреть анализ и решение текстовых задач с использованием таблиц.
5. Проанализировать практическое применение методики обучения решению текстовых задач алгебраическим способом.
Объект работы: Процесс обучения решению текстовых задач.
Предмет работы: Содержание текстовых задач и особенности обучения их решению на уроках математики.
Методы исследования:
1. Анализ литературы по теме.
2. Изучение практического опыта применения методики обучения решению текстовых задач алгебраическим методом.
3. Анализ и результаты собственного опыта при решении текстовых задач с помощью таблицы.
СУЩНОСТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным.
При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи.
Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенства или системы неравенств.
Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.
В связи с внедрением в школьную программу элементов высшей математики, с ускоренным развитием и внедрением во все сферы вычислительной математики большое значение имеет формирование у учащихся не отдельных специфических навыков, а тех умений и навыков, которые имеют дальнейшее приложение. К числу этих умений и навыков относятся умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач алгебраическим методом.
Типичные методические ошибки учителя при работе с текстовыми задачами
Ошибка 1. Пропуск этапа анализа условия задачи.
«Прочитайте условие задачи. Кто пойдет к доске?» - такое часто можно видеть на уроке. И сразу начинается оформление решения. Этап анализа отсутствует и в некоторых учебниках, и в решебниках. Учителя не всегда сами понимают, зачем нужно проводить этот этап. «Мы уже решали подобные задачи. Зачем проводить этап анализа условия задачи?» На это можно возразить. Может быть, проведение этого этапа обязательно не для всех учащихся. В классе найдутся такие ученики, у которых этап анализа свернут. Они его проходят очень быстро, поэтому сразу видят решение и переходят к его оформлению. Задача педагога - помогать тем, у которых не получается. Решение задачи основывается на тех связях, которые существуют между данными и искомыми величинами. На выделение этих связей и направлен анализ условия задачи. Чтобы помочь учащимся самостоятельно осуществлять анализ условия, преподаватель может предложить им специальные памятки Чаплыгин В.Ф. Некоторые методические соображения по решению текстовых задач // Математика в школе. - 2000. - №4.
Ошибка 2. Пропуск этапа поиска решения.
Пропуск этого этапа ведет к недопониманию учащимися сущности эвристической деятельности, и как результат, к возникновению трудностей при самостоятельном решении задач. В практике обучения традиционной является ситуация, когда учитель вызывает к доске учащегося, который знает, как решить задачу. Однако при личностно ориентированном обучении основная забота учителя должна быть связана с теми, кто испытывает затруднения при самостоятельном решении задач.
Тем же учащимся, которые без учителя могут решать задачи, необходимо подбирать задания, усиливающие их умения и способствующие их развитию (составить задачи на основе справочных данных; рассмотреть другие способы решения предложенной задачи; составить граф-схемы других уравнений по задаче и др.)
Ошибка 3. Пропуск этапа исследования решения.
Зачем нужен этот этап? На этапе исследования выясняем, соответствует ли полученный ответ условию задачи (правдоподобность результата); есть ли другие способы решения; что полезного можно извлечь на будущее из решенной задачи. Последний вопрос позволяет рассматривать каждую задачу как звено в общем умении решать задачи, что ведет к накоплению опыта по решению задач.
Ошибка 4. Смешение этапов анализа и поиска решения.
Чтобы этого избежать, надо точно знать, какую цель мы преследуем на каждом этапе. Цель этапа анализа условия - выявить все имеющиеся связи между данными и искомыми величинами, чему помогает составление таблицы (схемы, рисунка). Цель этапа поиска решения - выбрать метод решения (алгебраический или арифметический) и составить план решения. Цели этапов разные, значит, и смешивать эти этапы никак нельзя.
На этапе анализа условия задачи:
1. разбиваем условие задачи на части;
2. выясняем, какие величины характеризуют описываемый в условии процесс;
3. выясняем, какие величины известны, а какие требуется найти;
4. устанавливаем связи между величинами.
На этапе поиска решения выясняем, что можно найти по данным задачи, и поможет ли это дальнейшему решению.
Если для решения задачи выбран алгебраический метод, то поиск ведем по следующим этапам:
1. определяем условия, которые могут быть основанием для составления уравнения, и выбираем одно из них;
2. составляем схему уравнения, соответствующего выбранному условию;
3. определяем, какие величины можно обозначить за х; выбираем одну из них;
4. определяем, какие величины нужно выразить через х, и находим условия, которые позволяют это сделать.
Завершается этап поиска составлением плана решения задачи.
Ошибка 5. На этапе анализа условия фиксируются не все связи между величинами.
Надо стараться зафиксировать как можно больше таких связей. Почему это важно? Упустив какую-нибудь связь, мы можем потерять:
а) условие для составления уравнения;
б) возможность одну величину выразить через другие;
в) предусмотреть несколько способов решения Чаплыгин В.Ф. Некоторые методические соображения по решению текстовых задач // Математика в школе. - 2000. - №4. - С.29. .
Ошибка 6. Поиск решения задачи алгебраическим методом начинается с выбора переменной.
Обратим внимание на то, что при перечислении этапов, которые мы проходим при поиске решения задачи алгебраическим методом, сначала был назван выбор условия для составления уравнения, затем составление схемы уравнения, и только тогда мы вводим переменную. На практике мы почти везде видим иное: сначала вводят переменную, затем выражают остальные величины через нее и затем составляют уравнение. Вот этот момент настолько «закостенел» в нашем сознании, что от него отказаться очень трудно.
На самом деле, лучше делать «по-новому». Представьте себя на месте ученика в классе. Рассмотрим ситуацию, когда не были проведены этапы анализа и поиска решения, к доске вызван ученик, который знает, как решить задачу, и он начинает: «За х обозначим…» И что же наш ученик, который затрудняется в самостоятельном решении? Мы из решения сделали тайну непостижимую. «Как он угадал, что обозначить за х?» И когда он будет пробовать дома решать задачу, у него сразу закрадывается сомнение: «А вдруг я не угадаю?»
И насколько спокойнее и увереннее чувствует себя наш ученик, если у него есть карточка по проведению анализа и поиска решения задач; он смог составить по условию задачи таблицу; найти несколько условий для составления уравнений; записать схему уравнения для выбранного условия. Ученик знает, что за х можно обозначить любую из неизвестных величин, и, если не получится уравнение по одной схеме, то можно попробовать составить его по другой схеме.
Ошибка 7. Постановка частных, подсказывающих вопросов учащимся.
Очень много зависит от умения ставить (задавать) вопросы учащимся. Вопросы не должны нести в себе подсказку, а подталкивать учащихся к размышлению Чаплыгин В.Ф. Некоторые методические соображения по решению текстовых задач // Математика в школе. - 2000. - №4. - С. 29.. Вместо вопросов: «Во сколько туров проходила олимпиада?», «Как распределились посевные площади?», «Какое время находились туристы в пути?», «Какие машины находятся в автопарке?» лучше задавать общие вопросы: «Что происходит по условию задачи?», «Какие объекты участвуют в задаче?», «Какие части можно выделить в задаче?». Вместо вопроса «Можно ли найти такую-то величину?» лучше задать вопрос: «Что можно найти по данным задачи?», поскольку он может вывести на несколько вариантов решения.
Задавая вопросы, учитель не должен вести учащихся к своему решению; нужно рассмотреть все пути решения, выслушать и обсудить все варианты.
РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
ПО Г.Г.ЛЕВИТАСУ

Герман Григорьевич Левитас учитель математики школы №1199 «Лига школ» г.Москва.
Доктор педагогических наук. Профессор. Автор 20 книг и более 250 печатных научных трудов по методике преподавания математики.
Левитас Г.Г. использует следующий способ обучения школьников алгебраическому методу решения текстовых задач.
Текстовой задачей, по его словам, назовем не математическую по фабуле задачу, решаемую математически. Например, задача «У Кати и Поли вместе 12 кукол; у Кати на две куклы меньше. Сколько кукол у каждой из них?» -- не математическая по фабуле. Но её можно решить математическим методом, моделируя ситуацию уравнением х+(х+2)=12.
Для решения текстовой задачи мы переводим её на математический язык, т.е. создаём её математическую модель. Овладение навыками математического моделирования, по мнению Левитас, -- едва ли не самое важное, чему мы учим детей на уроках математики. Одна из причин неуспеха, как пишет Левитас Г.Г., состоит в неправильном порядке обучения методу алгебраического решения текстовых задач, а именно в неправильном порядке их перевода на язык математики.
Ведь как вообще совершается перевод с одного языка на другой? Иногда он идёт синхронно. Вы читаете лёгкий для перевода текст и тут же излагаете его на другом языке. Именно так переводит учитель математики лёгкие для него текстовые задачи из школьного курса. Он сразу видит, что именно выгодно принять за х, что нужно выразить через х, каким будет уравнение. И учит детей работать именно в таком порядке. И действительно, лёгкие для школьника задачи он решает именно так.
Но вот встретилась задача потруднее. Что обозначать через х? Какие именно неизвестные величины выражать через х? Как составлять уравнение?
Рассмотрим, например, такую задачу. «Велосипедист отправляется с некоторой скоростью из пункта А в пункт В, отстоящий от А на расстоянии 60 км. Прибыв в В, он сразу же выезжает обратно с той же скоростью, но через 1 час после выезда из В делает остановку на 20 мин, после чего продолжает путь, увеличив скорость на 4 км/ч. Найдите первоначальную скорость велосипедиста, если на обратный путь он затратил столько же времени, как из А в В.»
Левитас Г.Г. предлагает сначала составить схему уравнения:
 (Время, затраченное из А в В) = (Время до остановки)+ (Время остановки)+(Время после остановки)
Затем надо выбрать основные неизвестные так, чтобы через них можно было выразить каждую из величин, имеющихся в этой схеме. Если обозначить через х первоначальную скорость, то получим уравнение: 60х=1+13+60-хх+4Описанная последовательность действий и есть тот способ, которым Левитас Г.Г. учит детей решать не получающиеся у них задачи: составь схему уравнения, выбери обозначения, составь уравнение …
Например, если школьнику трудно решить приведённую выше задачу с куклами, он добивается от него составления такой схемы уравнения:
(число кукол у Кати)+(число кукол у Поли)=12,
и только после этого он занимается поисками, связанными с переводом на математический язык выражений, стоящих в скобках. Понятно, что та же задача допускает и иное истолкование:
(число кукол у Поли)-(число кукол у Кати)=2,
что приводит к иным обозначениям.
Особенность этого способа заключается в том, что моделирование -перевод на математический язык - проводится в два приёма. Сначала русский текст задачи частично сохраняется и выступает совместно с элементами математического языка: знаками действий и знаком равенства. И только после этого естественный язык полностью заменяется математическим. Именно так, постепенно, переводим мы трудную для нас фразу с одного языка на другой. Автор реферата практически всегда использует этот способ на своих уроках, добивается от учеников полного понимания задачи.
РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СПОСОБОМ
С ПОМОЩЬЮ ТАБЛИЦЫ
Задачи (в широком смысле этого слова) играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни, направляют всю его деятельность, всю жизнь. Мышление человека главным образом состоит из постановки и решения задач. Перефразируя Декарта, можно сказать: жить – значит ставить и решать задачи.
Особую большую роль играют задачи в обучении школьников математике. Решение задач выступает и как цель, и как средство.
Текстовые задачи школьного курса математики классов можно сгруппировать следующим образом:
задачи на «было – изменилось – стало»;
задачи на «движение»;
задачи на прямую и обратную пропорциональную зависимость;
задачи на «работу»;
задачи на смеси и сплавы.
По опыту работы автор реферата убедился, что ученики достаточно быстро и хорошо усваивают решение задач с помощью таблицы. В реферате в основном буду рассматривать задачи, которые решают ученики 6 «А» класса.
Как было написано ранее, сначала подробно изучается условие задачи, задача частично переводится на математический язык.
После работы над текстом задачи составляется таблица следующим образом: количество строчек соответствует количеству величин или процессов присутствующих в задаче, а количество столбцов – чаще всего 3. Работая с таблицей, ученики понимают, что при решении задачи все строки и столбцы должны быть заполнены данными задачи, и данными, которые получаются в результате использования функциональной зависимости между величинами. А уравнение чаще всего составляется по последнему заполненному столбику. Также с учениками говорится о том, что при составлении уравнения лучше использовать знаки «+» и «*», чем «-» и «:».
После ответа на вопрос задачи ученики часто отвечают на вопросы, которые можно было ещё составить для задачи. С помощью таблицы это сделать совсем не трудно.
Рассмотрим задачи.
Задача1. В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором. Если из первого перелить во второй 20л, то молока в бидонах будет поровну. Сколько молока в каждом бидоне?
Работа над текстом задачи.
После прочтения текста задачи учащимися, задаются следующие вопросы:
К какому типу задач относится данная задача?
Какие величины рассматриваются в задаче?
Что нам известно, а что – нет?
Решалась ли ранее подобная задача?
Перевод текста на математический язык, установление соотношений между данными и вопросом.
Составляются таблица, при её заполнении задаются вопросы:
Что было известно первоначально?
Что изменилось? Как и на сколько?
Что стало?
Что возьмём за х?
Как составить уравнение?
Решение в тетради учеников должно выглядеть следующим образом:
Было, л Изменилось, л Стало, л
1 бидон 3х -20 3х-20
2 бидон х +20 х+20
Молока в бидонах стало поровну, составляем уравнение:
3х-20=х+20
2х=40
х=20(л) было во втором бидоне
20· 3=60 (л) было в первом бидоне.
Ответ: 60л и 20л.
В столбике «изменилось» знаками «-» или «+» показывается как произошло изменение: увеличилось или уменьшилось количество молока в бидонах.
Задача2. Смешали индийский и грузинский чай. Индийский чай составил 30% всей смеси. Если в эту смесь добавить ещё 120 г индийского чая, то он будет составлять 45% смеси. Сколько граммов индийского чая было в смеси первоначально?
Работа над текстом задачи.
После прочтения текста задачи учащимися, задаются следующие вопросы:
К какому типу задач относится данная задача?
Какие величины рассматриваются в задаче?
Что нам известно, а что – нет?
Решалась ли ранее подобная задача?
Перевод текста на математический язык, установление соотношений между данными и вопросом.
Составляются таблица, при её заполнении задаются вопросы:
Что было известно первоначально?
Что изменилось? Как и на сколько?
Что стало?
Что возьмём за х?
Как составить уравнение?
Решение в тетради учеников должно выглядеть следующим образом:
Было, г Изменилось, г Стало, г
Вся смесь х +120 х+120
Индийский 0,3х +120 0,3х+120
Индийский чай составляет 45% всей новой смеси, составляем уравнение:
0,3х+120=0,45(х+120)
0,3х+120=0,45х+54
0,15х=66
х=440 (г) вся смесь первоначально.
440·0,3=132(г) индийского чая в смеси было первоначально.
Ответ: 132 г.
Задача3. Теплоход на путь по реке от одного причала до другого и обратно потратил 4 часа. Найдите расстояние между причалами, если собственная скорость теплохода 20 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Работа над текстом задачи.
После прочтения текста задачи учащимися, задаются следующие вопросы:
К какому типу задач относится данная задача?
Что движется по реке?
Какие величины рассматриваются при решении задач на движение по реке?
Какие из величин нам известны, какие – нет?
В каком направлении теплоход двигается по реке?
Как находится скорость по течению реки?
Как находится скорость против течения реки?
Какая величина является искомой?
Решалась ли раньше подобная задача?
Перевод текста на математический язык, установление соотношений между данными и вопросом.
Составляются таблица, при её заполнении задаются вопросы:
Чему равна скорость движения теплохода по течению реки?
Чему равна скорость движения теплохода против течения реки?
Чему равно время движения теплохода по течению реки?
Чему равно время движения теплохода против течения реки?
Как найти расстояние между причалами?
Что возьмём за х?
Как составить уравнение?
Решение в тетради учеников должно выглядеть следующим образом:
Вид движения V, км/ч T,ч S,км
По течению 23 х 23х
Против течения 17 4-х 17(4-х)
Расстояние между причалами одно и тоже, составляем уравнение:
23х=17(4-х)
23х=68-17х
40х=68
х=1,7 (ч) время движения теплохода по течению реки.
23·1,7=39,1(км) расстояние между причалами.
Ответ: 39,1 км.
После решения задачи устно отвечаем на дополнительные вопросы:
Чему равно время движения теплохода против течения?
Как ещё можно было найти расстояние между причалами?
Как проверить, правильно ли мы решили задачу?
Достаточно часто ученики допускают ошибки, если в задаче на движение используются различные единицы измерения к одной и той же величине. Например, для времени используются и часы, и минуты; для расстояния – и метры, и километры. Поэтому при заполнении таблицы важным является написание наименований величин.
Задача4. Автобус проходит расстояние от города А до села В за 1,8 ч, а легковая машина проходит расстояние от города А до села С за 48мин. Найдите скорость автобуса, если она меньше скорости легковой машины на 50 км/ч, а расстояние АВ больше расстояния АС на 10км?
Работа над текстом задачи.
После прочтения текста задачи учащимися, задаются следующие вопросы:
К какому типу задач относится данная задача?
Что движется от села до города?
Какие величины рассматриваются при решении задач на движение?
Какие из величин нам известны, какие – нет?
Как находится скорость, время, расстояние?
Какая величина является искомой?
Решалась ли раньше подобная задача?
Перевод текста на математический язык, установление соотношений между данными и вопросом.
Составляются таблица, при её заполнении задаются вопросы:
Чему равна скорость автобуса, автомобиля?
Чему равно время автомобиля, автобуса? (При ответе на этот вопрос ученик должен догадаться, что единицей измерения времени для автобуса и автомобиля должны быть часы, так как скорость находится в км/ч)
Чему равно расстояние между городом и селом в каждом случае?
Что возьмём за х?
Как составить уравнение?
Решение в тетради учеников должно выглядеть следующим образом:
48 мин = 0,8 ч
V, км/ч T,ч S,км
Автобус, АВ х 1,8 1,8х
Автомобиль, АС х+50 0,8 0,8(х+50)
Расстояние АВ больше расстояния АС на 10 км, то составляем уравнение:
1,8х=0,8(х+50)+10
1,8х=0,8х+40+10
х=50 (км/ч) скорость автобуса.
Ответ: 50 км/ч.
Составляя уравнение в данном случае, ученик должен говорить о том что, чтобы уравнять две величины нужно или к меньшей прибавить 10, или от большей отнять 10, или из большего вычесть меньшее и получить 10, т.е. может получиться 3 равносильных уравнения. Если же в задаче используется сравнение в несколько раз, а не на сколько, например, расстояние АВ в 2 раза длиннее расстояния АС, то для составления уравнения меньшая величина умножается на 2. Уравнение будет одно.
Рассмотрим более сложную задачу.
Задача5. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найти скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного поезда составляет 5/8 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.
Работа над текстом задачи.
После прочтения текста задачи учащимися, задаются следующие вопросы:
К какому типу задач относится данная задача?
Какие величины рассматриваются при решении задач на движение?
Какие из величин нам известны, какие – нет?
Как находится скорость, время, расстояние?
Какая величина является искомой?
Решалась ли раньше подобная задача?
Перевод текста на математический язык, установление соотношений между данными и вопросом.
Составляются таблица, при её заполнении задаются вопросы:
Чему равно время каждого поезда?
Чему равна скорость каждого поезда?
Чему равно расстояние, пройденное каждым поездом?
Сколько переменных будет содержать задача?
Что возьмём за х, у?
Как составить уравнение?
Решение в тетради учеников должно выглядеть следующим образом:
V,км/ч T,ч S,км Скорый поезд х+50 у (х+50)у Пассажирский поезд 8/5 х у+1 8/5 х(у+1) Товарный поезд х у+4 х(у+4) По условию задачи поезда прошли одно и то же расстояние, причём х>0, у>0. Получаем систему уравнений:
8/5 х(у+1) = х(у+4)х+50у=х(у+4)По условию задачи х>0, тогда
8(у+1) = 5(у+4)х+50у=х(у+4)3у = 12х+50у=х(у+4)у = 4х+50=2ху = 4(ч) время скорого поезда.
х = 50(км/ч) скорость товарного поезда.
1) 50+50=100(км/ч) скорость скорого поезда.
Ответ: 50 км/ч и 100 км/ч.
Достаточно сложными кажутся ученикам задачи на смеси и сплавы. Но для решения таких задач ученик должен выучить всего одну формулу и научиться использовать таблицу.
Сначала учим формулу: К =mвещ mраст К – это концентрация вещества,
mвещ- это масса вещества,
mраст- это масса раствора или сплава.
Работа с формулой. Говорится о том, что зная, например, массу вещества и концентрацию можно найти массу раствора; зная массу раствора (сплава) и концентрацию можно найти массу вещества. Также обращается внимание на то, что складывать можно только массы веществ или растворов(сплавов), но не концентрации вещества. Концентрацию вещества всегда находим отношением массы вещества к массе раствора (сплава). В таблице концентрация переведена из процентов в десятичную дробь.
Задача6. В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?
Работа над текстом задачи.
После прочтения текста задачи учащимися, задаются следующие вопросы:
К какому типу задач относится данная задача?
Какие величины рассматриваются при решении задач на концентрацию?
Какие из величин нам известны, какие – нет?
Как находится концентрация вещества, масса вещества, масса раствора?
Какая величина является искомой?
Решалась ли раньше подобная задача?
Перевод текста на математический язык, установление соотношений между данными и вопросом.
Составляются таблица, при её заполнении задаются вопросы:
Чему равна концентрация каждого раствора?
Чему равна масса каждого вещества, масса каждого раствора?
Сколько переменных будет содержать задача?
Что возьмём за х?
Как составить уравнение?
Решение в тетради учеников должно выглядеть следующим образом:
К mвещ, г mраст, г
1 раствор 0,4 0,4х х
2 раствор 0,7 0,4х+120 х+120
Подставляем в формулу К =mвещ mраст данные 2 раствора, получаем уравнение:
0,7=0,4х+120х+1200,7х+0,7· 120= 0,4х+120
0,3х=120-84
0,3х=36
х=120(г) масса первоначального раствора.
120·0,4=48(г) масса соли в растворе первоначально.
Ответ: 48г.
Рассмотрим более сложную задачу.
Задача7. Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора кислоты разных концентраций. Если их слить, то получится раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом сосуде?
Работа над текстом задачи.
После прочтения текста задачи учащимися, задаются следующие вопросы:
К какому типу задач относится данная задача?
Какие величины рассматриваются при решении задач на концентрацию?
Какие из величин нам известны, какие – нет?
Как находится концентрация вещества, масса вещества, масса раствора?
Какая величина является искомой?
Решалась ли раньше подобная задача?
Перевод текста на математический язык, установление соотношений между данными и вопросом.
Составляются таблица, при её заполнении задаются вопросы:
Чему равна концентрация каждого раствора?
Чему равна масса каждого вещества, масса каждого раствора?
Сколько переменных будет содержать задача?
Что возьмём за х, у?
Как составить уравнение?
Решение в тетради учеников должно выглядеть следующим образом:
К Мвещ, г Mраст, г
1 раствор х 4х 4
2 раствор у 6у 6
3 раствор 0,35 4х+6у 10
4 раствор 0,36 4х+4у 8
Используя формулу К =mвещ mраст для 3 и 4 растворов, составляем систему уравнений:
0,35= 4х+6у100,36=4х+4у83,5= 4х+6у2,88=4х+4уВычтем из первого уравнения второе, получим систему уравнений:
3,5=4х+6у0,62=2у3,5=4х+6уу=0,316·0,31=1,86(кг) кислоты было во 2 растворе.
3,5=4х+1,86
4х=1,64(кг) кислоты было в 1 растворе.
Ответ: 1,64 кг и 1,86 кг.
Единственным исключением при решении задач, для которых таблица не составляется, являются задачи на «работу». Почему? В этих задачах первые пять строк решения практически всегда бывают одинаковыми, а потом происходит перевод текста задачи на математический язык. Причём за х чаще всего берётся время работы. А сами задачи на «работу» в какой-то степени похожи на задачи на «движение», так как работа, как и расстояние, находится путём умножения производительности труда (скорости) на время работы.
Задача8. Две бригады, работая совместно, могут вырыть канаву за 6 ч. За сколько времени выроет канаву каждая бригада, если первая может выполнить это задание в 2 раза быстрее второй?
Вот эти пять предложений:
1 – это вся работа (в данном случае рытьё канавы)
х ч. – время работы первой бригады, если бы она работала одна.
2х ч. – время работы второй бригады, если бы она работала одна. (если в задаче нет сравнения величин, то вводится вторая переменная)
1х – производительность труда (скорость) первой бригады.
12х – производительность труда (скорость) второй бригады.
Перевод текста на математический язык, установление соотношений между данными и вопросом.
Читаем задачу: Две бригады, работая совместно, могут вырыть канаву за 6 ч.
Математический язык: две бригады с общей производительностью ( 1х+12х ) могу выполнить всю работу (1) за время 6 часов, т.е. (1х+12х)·6=1
Получили уравнение, решаем его.
32х=16 х=9 (ч) время работы одной первой бригады.
2·9=18 (ч) время работы одной второй бригады.
Ответ: 9ч и 18ч.
Задача9. Бассейн может наполняться водой с помощью двух насосов разной производительности. Если половину бассейна наполнить, включив лишь первый насос, а затем, выключив его, продолжить наполнение с помощью второго насоса, то весь бассейн наполнится за 2ч 30 мин. При одновременной работе обоих насосов бассейн наполняется за 1ч 12 мин. Какую часть бассейна наполняет за 20 мин работы насос меньшей производительности?
1 – это вся работа
х ч. – время работы первого насоса, если бы он работал один.
у ч. – время работы второго насоса, если бы он работал один.
1х – производительность труда (скорость) первого насоса.
1у – производительность труда (скорость) второго насоса.
Перевод текста на математический язык, установление соотношений между данными и вопросом.
Ученики должны сразу отметить, что 2ч 30 мин = 2 12 ч, 1ч 12 мин = 115 ч.
Читаем задачу: Если половину бассейна наполнить, включив, лишь первый насос,
Математический язык: 12 бассейна наполняется первым насосом со скоростью 1 х, значит время наполнения равно 12:1х=х2.
Читаем задачу: затем, выключив его, продолжить наполнение с помощью второго насоса,
Математический язык: так как половина бассейна заполнена, то осталась ещё половина, значит 12 бассейна наполняется вторым насосом со скоростью 1у , а значит время наполнения равно 12:1у=у2.
Читаем задачу: то весь бассейн наполнится за 2ч 30 мин.
Математический язык: общее время наполнения бассейна равно 212 ч, т.е.х 2 + у2 = 2 12 (получили первое уравнение системы уравнений)
Читаем задачу: При одновременной работе обоих насосов бассейн наполняется за 1ч 12 мин.
Математический язык: Два насоса с общей производительностью (1х+1у ) выполнят всю работу (1) за 115 ч, т.е. (1х+1у) ·115 = 1 (получили второе уравнение системы уравнений)
Составляем систему уравнений и решаем её:
х 2 + у2 = 2 12 1х+1у·115=1 х+у=51х+1у=56 х=5-у15-у+1у=566у+30-6у-25у+5у2=0
у2-5у+6=0, D=25-24=1
у1=3 х1=2
у2=2 х2=3
Насос с меньшей производительностью тот, у которого производительность равна 13, следовательно, за 20мин = 13 ч он наполнит 131 3 =1 9 часть бассейна.
Ответ: 19.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
После изучения темы «Решение задач с помощью составления уравнения» в 6 «А» и 6 «Б» классах была проведена самостоятельная работа следующего образца. Ученики 6 «А» класса использовали таблицы постоянно, ученики 6 «Б» класса решали задачи любым способом.
Автомобиль ехал 3 часа по шоссе и 2 часа – по просёлочной дороге, где его скорость была на 15 км/ч меньше, чем на шоссе. Всего за 5 часов автомобиль проехал 270 км. Найдите скорость автомобиля на шоссе и на просёлочной дороге.
На каждой из двух полок стоит одинаковое количество книг. После того, как с верхней полки переставили на нижнюю 6 книг, на нижней полке стало втрое книг больше, чем на верхней. Сколько книг было на каждой полке первоначально?
3. Катер прошёл расстояние между пристанями по течению реки за 2 часа, а обратно – за 2,5 часа. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите расстояние между пристанями.
Купили 25 кг бананов двух сортов по цене 45р. и 30р. за килограмм. Средняя цена купленных бананов составила 36р. за килограмм. Сколько килограммов бананов каждого сорта купили?
Были получены следующие результаты.
6 «А» класс
Всего 5 4 3 2 % качества % успеваемости
26 6 12 8 0 69 100
6»Б» класс
Всего 5 4 3 2 % качества % успеваемости
27 5 10 11 1 56 96
Автор реферата считает, что решение текстовых задач алгебраическим методом с помощью таблиц во многом упрощает само решение задачи, таблица помогает быстро и правильно перевести задачу на математический язык, то есть составить модель задачи, а потом и правильно составить уравнение. Хотя существуют и некоторые недостатки. Первое время составление таблицы вызывает у учеников недоумение и некоторые сложности в составлении самой таблицы; также учеников перестаёт интересовать фабула задачи. Но, автор реферата считает, что решение текстовых задач с помощью таблицы один из лучших способов решения задач.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, решение текстовых задач не случайно всегда волновало учителей, методистов, да и самих учащихся и их родителей.
Во-первых, нельзя решить задачу, не поняв ее содержание. Следовательно, умение решать текстовые задачи свидетельствует об одной из самых важных способностей человека - способности понимать текст. Правы те учителя, которые добиваются понимания текста не только на уроках чтения, но и на уроках математики. Критерием понимания задачи является факт решения задачи. Поэтому решение текстовых задач - это деятельность, весьма важная для общего развития. Обучая решать текстовые задачи, мы приучаем ориентироваться в ситуациях, делаем человека более компетентным. Конечно, для этого нужно резко расширить тематику задач, давать детям задачи, разнообразные по тематике, а не только «на скорость», «на работу», «на покупки».
Во-вторых, решение задачи алгебраическим методом - чуть ли не единственный путь для объяснения ученикам того, чем вообще занимается математика, - объяснения метода математического моделирования. Собственная деятельность школьника в этой области протекает именно и только при решении текстовых задач алгебраическим методом. Ученик читает условия, характеризующие некоторую бытовую ситуацию, переводит эту ситуацию на математический язык (составляет таблицу, уравнения) и затем решает уравнения, уже не думая о данной бытовой ситуации. Он работает с математической моделью. Наконец, он получает результат на языке этой модели и переводит его на естественный язык (осмысление и запись ответа) - получает решение бытовой задачи.
Решение текстовых задач способствует, с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков, с другой стороны, развитию логического мышления учащихся. Наблюдается активизация их мыслительной деятельности. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, развивается абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Виноградова Л.П. Обучение решению задач // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». - М.: Первое сентября, 2004.
2. Паламарчук В.Ф. Школа учит мыслить. - М.: Просвещение, 1987.
3. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1984.
4. Левитас Г.Г. Об алгебраическом решении текстовых задач // Математика в школе. - 2000. - №8.
5. Петухова Л.И. О решении текстовых задач по математике // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». - М.: Первое сентября, 2004.
6. Чаплыгин В.Ф. Некоторые методические соображения по решению текстовых задач // Математика в школе. - 2000. - №4.
7. Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1-4. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
8. Математика - 6 кл. / под ред. Виленкина Н.Я., Жохова В.И. - М.: Мнемозина, 2009.
9. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика - 5 кл. -М.:"Баллас", "С-инфо", 2010.
10. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика - 6 кл. –М.:"Баллас", "С-инфо",2010.
11. Ершова А.П. Математика 5.- М.: Москва, Илекса, 2011.
12. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич Сборник задач по алгебре для 8-9 кл.- М.: Просвещение, 2009.