Практическое занятие по теме «Корни уравнений. Равносильность уравнений. Преобразование уравнений»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1.
«КОРНИ УРАВНЕНИЙ. РАВНОСИЛЬНОСТЬ УРАВНЕНИЙ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ»
Цель занятия:
Владение стандартными приемами находить корни, обобщать, систематизировать, видеть равносильность преобразования уравнений.
Дидактическое оснащение практического занятия:
учебник для повторения теории по теме занятия [1];
образцы решения примеров;
варианты 1-2 для самостоятельной работы;
4) таблица, основные формулы по теме;
компьютер, мультимедийный проектор, информация из электронно-методического комплекса [2].
Время проведения: 45 минут.
4.Образец решения:
Пример 1
Уравнения х2-4=0 и х+22х-4=0 - равносильны?
Решение:
х2-4=0 имеет корни х=±2, т.к. х2=4; х+22х-4=0, т.к. х+2=0, x=-2и 2х=4, 2х=22, х=2. Ответ: да, так как имеют одинаковые корни.Пример 2
Проверить на равносильность уравнения: х2+1=0 и х+2=0.
Решение:
х2+1=0 –не имеет корней в области действительных чисел и х+2=0 -не имеет корней в области R=-∞; +∞Ответ: равносильны, так как они не имеют корней.
Пример 3
Определить уравнение-следствие при решении уравнений x-2=3 и х2-25=0. Решение:
Уравнение x-2=3 имеет корень 5, уравнение х2-25=0 имеет корни ± 5. Так как корень уравнения x-2=3 является корнем уравнения х2-25=0, то уравнение х2-25=0 является следствием уравнения x-2=3.
Пример 4
Решить двумя способами уравнения и сделать вывод:
а) х+11= х-1;б) х-5= 2-х.Решение:
а) первый способ:
ОДЗ:
х+11≥0 х≥-11(х+11)2 = (х-1)2, х+11=х2-2х+1х2-3х-10=0,
х1=-2; х2=5.Оба корня принадлежат ОДЗ уравнения, но это не меняет сути дела и мы вынуждены выполнить проверку корней.
Проверка: при х1=-2, получим -2+11=-2-1 - неверное равенство, х1=-2 - посторонний корень;
при х2=5, получим 5+11=5-1 или 4=4 - верное равенство, 5 - корень исходного уравнения.
Ответ: 5
второй способ:
Исходное уравнение равносильно системе:
х+11=(х-1)2х-1≥0 = х1=-2, х2=5 х≥1 Решение системы исходного уравнения х2=5.Ответ: 5
б) первый способ:
ОДЗ:
х-5≥02-х≥0 = х≥5х≤2
Решений нет
Значит, ОДЗ уравнения пустое множество, уравнение решений не имеет
Ответ: корней нет
второй способ:
Исходное уравнение равносильно системе:
х-5=2-хх-5≥0 2-х≥0 = х=3,5х≥5 х≤2
Системы решений не имеют, значит, и исходное уравнение тоже решений не имеет
Ответ: корней нет.
Вывод: При решении иррациональных уравнений – возведение обеих частей уравнения в четную степень, принадлежность полученных корней ОДЗ уравнения не позволяет сделать вывод, о том являются ли эти корни посторонними или нет. Поэтому выполнение проверки корней обязательно и это этап решения уравнения. Если корень не принадлежит ОДЗ, то он, конечно, посторонний корень уравнения. В то же время, записывая систему равносильную уравнению, мы не нарушаем логики решения: ведь уравнение с пустой ОДЗ равносильно системе, не имеющей решений.
Пример 5
Решить уравнение: 2х-3=5ОДЗ:
х∈R=-∞; +∞.Решение: Данное уравнение равносильно системам, на основании определения
модуля: а=а, если а≥0-а, если а<0 0, если а=0:2х-3≥02х-3=5 и 2х-3<0-2х+3=5х≥1,5х=4 х<1,5х=-1
х=4 х=-1Ответ: -1; 4.Пример 6
Являются ли уравнения равносильными: 2х-2х-4=15 и х+25-х2=7?Решение:
2х-2х-4=15 – показательноеуравнение
По свойству степеней:
2х-2х24=15, 2х116-116=152х=24, х=4 – корень уравнения х+25-х2=7 – иррациональное
уравнение
ОДЗ:
25-х2≥0
х∈-5; 5Данное уравнение равносильно системе:
25-х2 =(7-х)27-х≥0
25-х2=49-14х+х2х≤7 2х2-14х+24=0х2-7х+12=0х1=4, х2=3- корни уравнения, так как принадлежат ОДЗ, т.е. геометрически:

Ответ: неравносильны, так как уравнения имеют не одинаковые корни.5.Варианты заданий:
1 вариант 2 вариант
Добавьте дополнительное условие так, чтобы уравнения:
a*b=d*b и a=dбыли равносильны
Решить 2-мя способами уравнение:
21-х2=х-2 и сделать вывод
Равносильны ли уравнения:
5х+1+5х=750 и х2-9=0?Решить уравнение:
sin4х=0 и вычислить полученный результат при k=0; ±2Найти корень уравнения:
2х-92х-5- 3х2-3х=2Добавьте дополнительное условие так, чтобы уравнения:
a=b и a=b2
были равносильны
Решить 2-мя способами уравнение:
х+1=х-1 и сделать вывод
Равносильны ли уравнения:
6х+2-6х=35 и х2=0?Решить уравнение:
cos6х=1 и вычислить полученный результат при k=0; ±12Найти корень уравнения:
2х-1х-3+ 5-4х3-х=6Критерии оценивания:
Оценка Обоснование оценивания
«Отлично» Все задания выполнены правильно
«Хорошо» Правильно выполнены любые 4 задания
«Удовлетворительно» Правильно выполнены любые 3 задания
«Неудовлетворительно» Правильно выполнено менее 3 заданий
Литература:
Для студентов
1.Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования /М.И.Башмаков. – 8-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 256 с.
2.Башмаков М.И. Математика: Электронный учеб. метод. комплекс для студ. учреждений сред. проф. образования/М.И.Башмаков. – 2-е изд., М., 2015.
3. Колягин Ю.М., Ткачева М.Н., Федорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 10 класс /под ред. А.Б. Жижченко. – М., 2014.
Для преподавателей
1.Башмаков М.И. Математика: кн. для преподавателя: методическое пособие. /М.И.Башмаков. – 8-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», – М., 2013.
2.Башмаков М.И., Цыганов Ш.И. Методическое пособие для подготовки к ЕГЭ/М.И.Башмаков. – 5-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», – М., 2011.
Интернет - ресурсы
1.www. fcior.edu.ru (Информационные, тренировочные и контрольные материалы).
2.www. school-collection.edu.ru (Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов).
3.Сайт Южно-Уральского многопрофильного колледжа – http://www.suvc.ru/, учебный портал колледжа АСУ ProCollege, электронный курс УД «Математика» ЮК. ПСО (01, 02).