Исследовательская работа по математике Магические квадраты

Слайд 1 Тема моей работы: «Магические квадраты»
Слайд 2
Цель работы: Познакомится с историей появления магических квадратов
Задачи:
Исследовать способы заполнения магических квадратов 3, 4, 5 … порядков
Вывести алгоритм
Придумать применение магических квадратов
Актуальность:
Однажды, когда я ходил на олимпиаду, то одним из заданий был магический квадрат и мне захотелось узнать как можно больше о нём.
Гипотеза:
Для заполнения магического квадрата существуют специальные способы, позволяющие быстро это сделать.
Слайд 3
Трудно назвать такую область человеческой деятельности, где не приходилось бы пересчитывать предметы, группировать их, находить их размеры, форму, взаимное положение. Но счёт и измерение – это ещё не математика. Смысл и сила математики в том, что она учит нас отвечать на вопросы без лишних пересчитываний.
Из всех старинных задач меня больше всего заинтересовали магические квадраты.
Наиболее ранние сведенья о магических квадратах содержатся в древних китайских книгах IV – V веков до нашей эры. Название «магические» (или волшебные, таинственные) квадраты получили от арабов. Люди верили, что магические квадраты обладают чудесными свойствами, и использовали их как талисманы.
В древнекитайской рукописи «Же-ким» (книга перестановок) описывается предание, согласно которому император Ию увидел однажды на берегу реки священную черепаху с узором на панцире из белых и черных кружков. Этот рисунок на панцире черепахи считали магическим символом и употребляли при заклинаниях.
В Европе магические квадраты появились в XV веке. Средневековые звездочеты верили в магическую силу этих квадратов, которые, по их убеждению, могли служить талисманами против чумы.
Слайд 4 Исследование способов заполнения магических квадратов
Однажды я встретил интересную задачу:
«Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3х3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны 15»
Я нашел 8 вариантов:
Исследуя магические квадраты, я увидел следующую закономерность:
- если двигаться по часовой или против часовой стрелки, то можно получить 3 новых квадрата;
- если исходный квадрат взять в зеркальном отражении и двигаться по кругу, то получим еще 4 квадрата.
Но таких квадратов должно было быть не 8, а множество, так как каждый хотел иметь собственный магический квадрат – талисман, свою собственную защиту от бед и напасти,
В это же время люди увлекаются нумерологией, то есть влиянием числа на судьбу человека. Следовательно, возникала потребность в квадратах не только с числом 15.
Слайд 5
Я стал пробовать составлять другие квадраты. Сначала приписывал один 0, два 0 к числам.
Слайд 6
Затем при чтении литературы по данной проблеме мне встретилась ещё одна задача:
«Числа от 2 до 10 разместить в квадрате 3х3 так, чтобы сумма чисел по любой горизонтали, вертикали, и диагонали равнялось 18»
3 8 7
10 6 2
5 4 9
Решив эту задачу, я стал искать принцип составления других.
Если сумма – 15, то числа в квадрате от 1 до 9
Если сумма – 18, то числа в квадрате от 2 до 10
Так как 15 меньше 18 на 3, то я предположил, что следующая сумма будет равна 21, а числа в квадрате будут от 3 до 11.
Квадрат получился
4 9 8
11 7 3
6 5 10
Слайд 7
Проверял дальше до суммы равной 51.
После изучения квадратов, составленных мной, и таблицы, я выяснил, что прослеживаются закономерности:
- сумма чисел в строках, столбцах и диагоналях должна делиться на 3,
- частное от деления суммы чисел в квадрате и 3-х будет стоять в центре квадрата и являться пятым числом в ряду натуральных чисел, которые необходимо найти,
- при делении суммы всех чисел в квадрате на 3 получается сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям.
Итак, магических квадратов размером 3х3 множество,
Слайд 8
Возникает вопрос: можно ли составить магические квадраты 4х4, 5х5, 6х6, 7х7, и т.д.?
Используя эти закономерности, определим сумму чисел в строках, столбцах и диагоналях в квадрате 4х4.
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136
136 : 4 = 34 – искомая сумма.
Запишем эти числа в квадрате по порядку
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Выясняется, что сумма чисел по диагоналям равна 34. Следовательно, надо поменять местами только числа 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 14, 15.
Слайд 9
В первой строке числа 1, 4 остаются на местах.
1+4=5 => 34 – 5 = 29 => Значит сумма двух искомых чисел равна 29. Из ряда чисел 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15 видно, что это числа 14 и 15. В это же время замечаем, что в четвёртой строке не хватает 2, 3.
14 15 1 4
6 7 10 11 13 16
2 3 После подсчётов сумм по столбцам выясняю, что меняются числа так: 14 с 3, 15 с 2.
Аналогично меняю числа 5 и 12, 9 и 8
1 1860553067051860553067052 3 4 1 15 14 4 1 15 14 4
5 6 7 8 2159002235202159002711455 6 7 8 12 6 7 9
9 10 11 12 9 10 11 12 8 10 11 5
13 14 15 16 13 3 2 16 13 3 2 16
Слайд 10
По полученному правилу составляю квадраты 4х4 с числами от 2 до 17 с суммой чисел по строкам, столбцам, диагоналям 38 и с числами от 3 до 18 с суммой - 42.

2 3 4 5 => 2 16 15 5 3 4 5 6 => 3 17 16 6
6 7 8 9 13 7 8 10 7 8 9 10 14 8 9 11
10 11 12 13 9 11 12 6 11 12 13 14 10 12 13 7
14 15 16 17 14 4 3 17 15 16 17 18 15 5 4 18
Принцип подтверждается.
Исследуя суммы 34, 38, 42 и квадраты, выясняю следующее:
127571516954599949016954534:4=8 (ост. 2)
8-2=6 –первое центральное число,
38:4=9 (ост. 2)
1295400889010191758890
9-2=7 - первое центральное число,
1076325203835135255019431042:4=10 (ост. 2)
10-2=8 - первое центральное число.
Итак, чтобы составить магический квадрат 4х4 необходимо число (является суммой чисел по столбцам строкам и диагоналям), которое делится на 4 с остатком 2. От значения частного данного числа и 4 отнимаем остаток 2 и получаем 1-е центральное число. Расставляем числа (последующие и предыдущие) по порядку, затем меняем числа наискосок.
Слайд 11
Пробую составить квадрат 5х5.
Определяю сумму чисел в магическом квадрате:
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+…+25) : 5 = 65
65 : 5 = 13 – центральное число.
Записываю числа по порядку по диагоналям.
-419102527295 4 10 3 9 15 2 8 177165138430 14 -1180465-254000 20 1 -1301755207000 7 13 19 25
6 12 18 24 11 17 23 16 22 21 Сумма по диагоналям равна 65. Определяю, где должны стоять остальные числа и получаю магический квадрат
3 16 9 22 15
20 8 21 14 2
7 25 13 1 19
24 12 5 18 6
11 4 17 10 23
Проверив свое предположение о том, что сумма чисел должна делиться на 5, и правило составления квадрата 5х5 путем составления других квадратов 5х5, пришел к следующему выводу:
Чтобы составить магический квадрат 5х5, необходимо, чтобы число, которое является суммой чисел по диагоналям, столбцам и строкам, делилось на 5.
Разделив его на 5, получаем центральное число.
Расставляем последующие и предыдущие центральному числа по диагонали и заполняем пустые клетки.
Слайд 12
Выводы:
При составлении магических квадратов я заметил, что квадраты с четным числом клеток составляются по одной закономерности, а с несчетным – по другой.
Итак, для составления квадрата с нечетным числом (2n+1) клеток необходимо, чтобы сумма чисел по столбцам, строкам и диагоналям делилась на количество клеток одной стороны.
Частное от этого деления является центральным числом квадрата.
Далее расставляются по порядку предыдущие и последующие числа по диагоналям.
Пустые клетки заполняются числами, оказавшимися за квадратом.
-711201270 1155707620000 12382519304000-1421130-46926500 а+2 1301755969000 а+1 1206507239000 а 1238258318500 а-1 12382520510500-971550-89027000 -1409700-46164500 а-2 5715006667500 1149358318500 Для составления квадрата с четным (2n) числом клеток необходимо взять число, которое делится на количество клеток одной стороны с определенным остатком (деля количество клеток одной стороны на 2, получаем необходимый остаток).
Если от частного суммы и стороны квадрата отнять остаток, то получится 1-е центральное число.
Далее расставляются числа в возрастающем и убывающем порядке по строкам.
По диагоналям числа остаются на месте, остальные меняются между собой.
1155707620000 -96139010668000 1187457683500 1263657810500 -141351022479000 1206508318500 b-2 b-1 1308106096000b 1155709461500b+1 b+2 b+3 12382572390005715006667500 -141414520764500 1352559080500 -1413510231775 1244607175500 1238257239000 -1413510210820 1339855270500 Не каждое число является суммой чисел в магическом квадрате. Каждый квадрат имеет свою минимальную сумму, прибавляя к которой число клеток стороны квадрата, получаются следующие суммы.
Итак, для квадрата 3х3 min сумма 15
4х4 - 34
5х5 - 65
6х6 - 111
7х7 - 175
8х8 - 260
Например, число 16 не является суммой ни одного магического квадрата, а число 165 – сразу 2-х магических квадратов 3х3 и 5х5.
Слайд 13
Где можно применить эти знания о способах составления магических квадратов?
Я стал составлять разнообразные математические задачи.
Получилось несколько типов:
Найди значения выражений, впиши их в клетки квадрата с подходящими буквами и заполни пустые клетки, чтобы квадрат стал магическим:
а) 1 : 5 (1) е) 65 * 6 : 13 * 3 (9) 2 10 5 2 б) 5 * 6 (6) ж) 32 1 : 2 1 (13) 1 5 2 2 в) 146 - 91 (11) з) 1 + 1 + 6 - 2 + 4 + 5 (2)
5 5 10 5 10 10 5 10 г) 54 + 13 () и) 631 2 : 63 12 (10) 18 10 100 д) 56 : 24 (7) 3 а б д е
и в ж з г
10 чисел, помеченные красным цветом стоят не на своих местах. Поставь их на свои места так, чтобы сумма по всем строкам, столбцам и диагоналям была одной и той же.
1 35 34 33 2 6
25 8 18 30 11 9
20 7 15 16 23 19
24 17 21 22 14 13
12 26 10 27 29 5
31 32 4 3 28 36
На старой доске нарисован квадрат. В клетках этого квадрата должны стоять числа от 1 до 25 так, чтобы сумма чисел по всем срокам, столбцам и диагоналям была ровна 65, но несколько чисел стерлись. Впиши недостающие числа.
3 16 22 15
21 14 25 13 19
24 6
11 17 10 В данной работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из интересных вопросов математики - магических квадратов.
Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики: теории групп, определителей, матриц и др.
Я считаю, что материалы моего исследования можно использовать при подготовке к олимпиадам по математике, на математических кружках и факультативах, при проведении внеклассных мероприятий с целью развития и расширения своего познавательного кругозора, развития логического мышления.