Научно-исследовательская работа по математике 7 класс Магические квадраты
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ЛИЦЕЙ №3
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
на тему:
“Магические квадраты”
Выполнила:
ученица 6 М класса
Макарова Анастасия
Научный руководитель:
Бордунова
Светлана Николаевна
ИРКУТСК, 2011
Содержание
Введение 3
Глава 1. Определение магического квадрата. 4
Глава 2. История магических квадратов. 5
Глава 3. Методы построения магических квадратов. 8
3.1 Построение магического квадрата нечётного порядка. 8
3.2 Построение магического квадрата двойной четности. 9
Построение магического квадрата порядка простой четности. 10
Глава 4. Применение магических квадратов. 12
4.1. Талисманы. 12
4.2. Разгадка магического квадрата. 14
Глава 5. О проблеме выбора магического квадрата. 16
Заключение. 18
Список литературы 19
А для низкой жизни были числа,
Как домашний подъярёмный скот, Потому что все оттенки смысла Умное число передаёт. Патриарх седой, себе под руку Покоривший и добро и зло, Не решаясь обратиться к звуку, Тростью на песке чертил число.
Николай Гумилёв
Введение.
Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял магические квадраты»- писал Бенджамин Франклин. Магический квадрат- это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из главных диагоналей одна и та же.
Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других разделов математики.
Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2х2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3х3, так как остальные магические квадраты 3х3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии. Магических квадратов 4х4, как на картине Дюрера, составлено уже 800, а количество магических квадратов 5х5 близко к четверти миллиона!
Я же впервые заинтересовалась магическими квадратами, когда увидела гравюру Альбрехта Дюрера «Меланхолия» во время экскурсии нашего класса в художественный музей города Иркутска. Я поинтересовалась у учителя, что это такое выгравировано на заднем плане гравюры. Ответ очень меня удивил, так как имел непосредственное отношение к математике: картинка представляла собой квадрат, в котором с определённой закономерностью проставлены числа, то есть тот самый магический квадрат. После этого мне захотелось побольше узнать о том, что такое магический квадрат: история его возникновения, способы составления и применения.
Многие люди, как в древности, так и в настоящее время занимались и занимаются составлением магических квадратов, их привлекает эта магия цифр. Я думаю, уже многие из вас заинтересовались магическими квадратами. Итак, расскажу более подробно.
Определение магического квадрата.
Магическим квадратом (МК) порядка n называется числовая таблица размером [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] клеток, заполненная натуральными числами от 1 до n2 , которые размещены таким образом, что суммы чисел любого столбца, строки или главных диагоналей (см. ниже) имеют одно и то же значение. Это значение называется константой квадрата и равно S = n(n2 + 1)/2. Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.
Пример 1. МК 3-го порядка из 9-ти первых натуральных чисел (известный в Китае как талисман ло-шу) представляется следующей матрицей 3x3:
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Константа этого квадрата равна 15.
Этот квадрат можно встретить на палубах больших пассажирских судов - площадка для игры в палубный шаффлборд размечена в виде магического квадрата третьего порядка.
(Шаффлборд - игра, в которой монеты или диски ударом биты перемещают по расчерченной на девять клеток площадке).
Пример 2. МК 4-го порядка, известный еще в Древней Индии, представляется следующей матрицей 4x4:
1
14
15
4
12
7
6
9
8
11
10
5
13
2
3
16
Константа "индийского" квадрата равна 34.
История магических квадратов.
Мы не знаем страну, в которой были придуманы магические квадраты, не знаем век, в котором они были впервые составлены. Известно только, что они появились очень давно, и их родиной был Древний Восток. Существует китайская легенда, в которой говорится, что во времена правления императора Ю (около 2200 г. до н.э.) из вод Хуанхэ всплыла черепаха, у которой на панцире были начертаны таинственные иероглифы, эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату.
Рис.1
Первый магический квадрат с тремя клетками в основании был описан в арабском манускрипте конца восьмого века, где упоминался его автор – греческий философ-неопифагореец Аполлоний Тиански. Однако не он был создателем этого древнейшего из всех магических квадратов. Аполлоний лишь вновь открыл то, что было известно за много веков до него.
В XI в. магические квадраты появились в Индии, а затем в Японии, где в XVI в. им была посвящена обширная литература. По-видимому, первое сочинение о магических квадратах, дошедшее до наших дней, было написано византийским грамматистом и лексикографом Мануэлем Мосхопулосом (примерно 1300 г). Он опубликовал многие построенные им МК с разным числом клеток в основании.
За работой Мосхопулоса последовали труды сотен математиков, в том числе крупнейших ученых, основоположников современной науки (Гаусс, Эйлер, Ферма).
В начале XVI в. магический квадрат появился в искусстве.
Великий немецкий художник Альбрехт Дюрер выпустил в 1514 г. гравюру, названную им «Меланхолия». На её заднем плане помещен магический квадрат 4 Ч 4, два средних числа его нижней строки (15 и 14) образуют дату создания гравюры.
С глубокой древности и до времени Дюрера сохранилось учение о том, что люди разного темперамента находятся под влиянием разных планет. Сангвиникам покровительствуют планеты Юпитер и Венера, холерики находятся под влиянием Марса, флегматики направляются Луной, а меланхолики - Сатурном. Почему для защиты Меланхолии Дюрер изобразил магический квадрат именно 4-го порядка, а не 5-го, например? Ответ мы находим в работе Корнелия Агриппы «Об оккультной философии». Агриппа пользовался древней космогонией Птолемея: в центре мира - Земля; вокруг нее небесные сферы, вложенные друг в друга, как старинные китайские резные шары из слоновой кости. Каждая сфера содержит орбиту одной планеты. На внутренней - Луна. Далее - Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер и на внешней - Сатурн. Планеты Юпитер и Сатурн враждуют друг с другом, как и их божественные прототипы, Кронос и победивший его Зевс. (Кстати, в своем сочинении Агриппа описал семь магических квадратов, имеющих в основании от 3 до 9 клеток. Он назвал их «планетными таблицами», связав с каждой из семи планет). Именно поэтому Дюрер для защиты своего крылатого Гения от судьбоносного Сатурна (3) изобразил магический квадрат Юпитера (4).
Дюрер, как и любой настоящий художник, и учёный, занимался оккультизмом, о чём свидетельствует его колода Таро (см. рисунок).
Рис.2
В конце XVII в. были опубликованы сочинения о магических квадратах французских математиков Арно, Озанама и Симона де Лялюбера. Сочинения академика Бернара Френикля де Бесси были впервые напечатаны только в 1693 г, спустя 18 лет после смерти Френикля. В «Общей таблице магических квадратов в четыре» Френикль привёл все 880 магических квадратов четвёртого порядка. Таблица занимает 43 страницы книги. Трудно представить себе, сколько времени заняла у Френикля эта работа.
В 1705 г. в Париже было издано сочинение Филиппа де Лягира «Новые начертания и соображения о магических квадратах с их демонстрацией. Начертания магических квадратов при четном числе клеток в основании». Эта работа особенно интересна тем, что в ней Лягир впервые рассмотрел и описал особый тип магического квадрата, который он назвал «панмагическим». В нем содержится наибольшее число равных сумм чисел. В дальнейшем квадраты этого типа называли, также, «дьявольскими», «сатанинскими», «чертовскими». Дьявольский магический квадрат магический квадрат, в котором с константой совпадают также суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направлениях.
Ломаной диагональю называется диагональ, которая, дойдя до границы квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (на рисунке такую диагональ образуют закрашенные клетки).
b
а
Рис.3
Существует всего три дьявольских квадрата 4Ч4:
1
8
13
12
14
11
2
7
4
5
16
9
15
10
3
6
1
12
7
14
8
13
2
11
10
3
16
5
15
6
9
4
1
8
11
14
12
13
2
7
6
3
16
9
15
10
5
4
Современные математики называют подобные квадраты «совершенными».
Но есть еще один МК не менее интересный, чем дьявольский. Выдающийся американский масон, ученый, общественный деятель и дипломат Бенджамин Франклин составил квадрат 16Ч16 (см. рис.4), который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4Ч4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056.
Рис.4
Этот квадрат является самым магическим из всех МК, составленных когда-либо.
Методы построения магических квадратов.
Существует много разных способов построения МК. Мы рассмотрим универсальный метод, который разделяется на 3 подметода в зависимости от порядка квадрата.
3.1. Построение МК нечётного порядка.
Рассмотрим его на примере МК 5-го порядка.
Достроим пустой квадрат до ромбовидной фигуры. Ячейки элементов квадрата обозначены символом %, а достроенные ячейки - символом &. (рис.5).
&
&
&
&
%
%
%
%
%
&
%
%
%
%
%
&
&
&
%
%
%
%
%
&
&
&
%
%
%
%
%
&
%
%
%
%
%
&
&
&
&
Рис.5
Полученная фигура заполняется по косым рядам сверху-вниз-направо целыми числами от 1 до 25 (рис.6).
1
6
2
11
7
3
16
12
8
4
21
17
13
9
5
22
18
14
10
23
19
15
24
20
25
Рис.6
Каждое число, оказавшееся вне исходного квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного квадрата на число позиций, равное порядку квадрата. В нашем примере 16, 21 и 22 оказались слева от квадрата, поэтому они переносятся на 5 позиций вправо. 24, 25 и 20 оказались под квадратом, поэтому переносятся на 5 позиций вверх.
11
24
7
20
3
4
12
25
8
16
17
5
13
21
9
10
18
1
14
22
23
6
19
2
15
Константа полученного МК равна 65, что может быть проверено вычислением суммы элементов для столбцов, строк и главных диагоналей.
3.2. Построение МК двойной четности.
В случае n=2m=4r заполним квадрат слева направо и сверху вниз числами от 1 до n2 в их естественном порядке. Разделим заполненный квадрат на четыре квадрата порядка m осями симметрии.
В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата порядка m отметим r клеток ( всего mr клеток). Это можно сделать, применив "шахматный" порядок, начиная с клетки (1,2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
·43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
Для каждой из отмеченных клеток (i,j) отметим симметричную ей относительно вертикальной оси клетку (i, n-j+1).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
Содержимое каждой из отмеченных клеток переставим с содержимым соответствующей центрально-симметричной ей клетки. (См. цветовые соответствия.)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
После этих перестановок получится магический квадрат.
1
63
3
61
60
6
58
8
56
10
54
12
13
51
15
49
17
47
19
45
44
22
42
24
40
26
38
28
29
35
31
33
32
34
30
36
37
27
39
25
41
23
43
21
20
46
18
48
16
50
14
52
53
11
55
9
57
7
59
5
4
62
2
64
3.3 Построение МК порядка простой четности.
В случае n=2m, где m=2r+1, как и в предыдущем случае, заполним квадрат числами от 1 до n2. Разделим заполненный квадрат на четыре квадрата порядка m осями симметрии.
Выделим первые r клеток в первой строке знаком «*», а две следующие клетки – знаками «-» и «|». Аналогично разметим другие строки, циклически смещая знаки вправо на 1:
*
*
-
|
*
*
-
|
|
*
*
-
-
|
*
*
*
-
|
*
Получим:
1*
2*
3-
4|
5
6
7
8
9
10
11
12*
13*
14-
15|
16
17
18
19
20
21|
22
23*
24*
25-
26
27
28
29
30
31-
32|
33
34*
35*
36
37
38
39
40
41*
42-
43
44
45*
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Для всех ячеек, отмеченных «*», находим симметричные им клетки относительно вертикальной оси, помечаем их тоже знаком «*».
Затем содержимое каждой из 2mr отмеченных «*» клеток обмениваем с содержимым соответствующей ей центрально-симметричной клетки:
100
99
3-
4|
5
6
7
8
92
91
11
89
88
14-
15|
16
17
83
82
20
21|
22
78
77
25-
26
74
73
29
30
31-
32|
33
67
66
65
64
38
39
40
60
42-
43
44
56
55
47
48
49
51
50*
52
53
54
46*
45*
57
58
59
41*
61
62
63
37*
36*
35*
34*
68
69
70
71
72
28*
27*
75
76
24*
23*
79
80
81
19*
18*
84
85
86
87
13*
12*
90
10*
9*
93
94
95
96
97
98
2*
1*
Содержимое каждой из m клеток, отмеченных знаком «-», обмениваем с содержимым симметричной относительно горизонтальной оси клетки, а содержимое каждой из m клеток, отмеченных «|», обмениваем с содержимым симметричной относительно вертикальной оси клетки.
После этих перестановок получится четно-нечетный магический квадрат:
100
99
93
7
5
6
4|
8
92
91
11
89
88
84
16|
15|
17
83
82
20
30
22
78
77
75
26
74
73
29
21|
61
39
33
67
66
65
64
38
32|
40
60
52
43
44
56
55
47
48
49
51
50
42-
53
54
46
45
57
58
59
41
31-
62
63
37
36
35
34
68
69
70
71
72
28
27
25-
76
24
23
79
80
81
19
18
14-
85
86
87
13
12
90
10
9
3-
94
95
96
97
98
2
1
Теперь мы можем составить магический квадрат любого порядка!
Применение магических квадратов.
Талисманы.
Традиционной сферой применения магических квадратов являются талисманы. К примеру, талисман Луны обладает определенными свойствами: предохраняет от кораблекрушения и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного намерения, а так же укрепляет здоровье. Его гравируют на серебре в день и час Луны, когда Солнце или Луна находится в первых десяти градусах Рака. Магический квадрат 9-ого порядка вписывается в девятиугольник (9 - число Луны, см. ниже) и окружается специальными символами.
Однако, существуют и МК для стихий и знаков Зодиака. Найти порядок нужного МК поможет Liber 777 Алистера Кроули, которая устанавливает следующие соответствия:
3
Сфера Сатурна
4
Сфера Юпитера
5
Сфера Марса
6
Сфера Солнца
7
Сфера Венеры
8
Сфера Меркурия
9
Сфера Луны
10
Сфера Элементов
11
Стихия Воздуха
12
Меркурий
13
Луна
14
Венера
15
Овен
16
Телец
17
Близнецы
18
Рак
19
Лев
20
Дева
21
Юпитер
22
Весы
23
Стихия Воды
24
Скорпион
25
Стрелец
26
Козерог
27
Марс
28
Водолей
29
Рыбы
30
Солнце
31
Стихия Огня
32
Сатурн, Стихия Земли
МК является мощным символьным аттрактором магических сил. Если при инвокации духа Юпитера вдобавок к фиолетовой мантии, оливковой ветви, ароматам кедра и шафрана использовать талисман 4-ого или 21-ого порядка, эффективность увеличится.
Утверждается так же, что составляемый в ходе операции квадрат, действует сильнее, чем составленный заранее.
Поскольку в древнееврейском языке числа записывались буквами (это и есть причина зарождения численных методов Каббалы), магические квадраты становились буквенными и использовались для получения сигилл духов. Буквы имени духа соединялись, образуя специальный знак, который так же выполнял функцию аттрактора по отношению к духу. В случае если буква имени имела большее значение, чем числа расположенные в квадрате, она заменялась на букву в 10 раз меньшую по гематрическому значению. Например, буква Рейш имеет числовое значение 200, оно может быть сокращено до 20, что составит букву Каф, если же в МК нет и такого числа, то оно может быть сокращено еще в десять раз, что составит число 2, букву Бет.
Рассмотрим пример. Создадим символ имени Михаель, ангела солнца, в МК солнца. Квадрат состоит из чисел от 1 до 36, а заглавная буква Мем имеет числовое значение равное 40, поэтому 40 сокращаем до 4, по отношению к остальным буквам имени числовые эквиваленты в квадрате имеются.
Разгадка магического квадрата.
В современной жизни мы тоже можем столкнуться с магическими квадратами. Думаю, каждый видел старую загадку под названием “Магический квадрат” (”Отгадыватель мыслей”, “Волшебный квадрат”) - страницу в интернете, которая предлагает вам загадать двухзначное число, затем отнять сумму входящих в него цифр, найти в таблице символ, соответствующий получившемуся числу, после чего “Магический квадрат” отобразит его на экране.
Первое время это производит неизгладимое впечатление. Действительно, начинает казаться, будто страница отгадывает символ, на который смотрит пользователь. Но если попробовать разобраться, каким же образом всё это работает, всё становится предельно ясно. Хотя ощущение колдовства и ловкости, с которым этот трюк проделывается, не покидает ещё долгое время.
Если взглянуть на пример такой “магической” таблицы, то на первый взгляд не видно ничего особенного.
Попробуем пройтись по условию загадки и придумаем произвольное двухзначное число. Пусть это будет - 87. Теперь отнимем от этого числа сумму цифр, из которых оно состоит: 87 - (8 + 7). Получилось - 72. Отыщем в таблице символ, соответствующий этому числу. И здесь, внимание! Даже если вы загадали любое другое начальное число, бьюсь об заклад, что букву мы увидим одну и ту же - e!
Откуда это может быть известно? Если внимательно присмотреться к таблице, то становится заметно, что все символы на главной диагонали одинаковы, исключая символ под номером 90. Впрочем, он никогда не будет участвовать в загадывании. По остальным номерам специально разбросано большое количество случайных букв, чтобы было труднее заметить какую-либо закономерность.
Что интересно, какое бы начальное число, соответствующее условию, вы ни загадали, в таблице вы будете разыскивать символ только под следующими номерами: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81. Закономерность видна даже школьнику из третьего класса: каждое из этих чисел делится на девять.
Вспомним признак делимости на девять: число делится на девять тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на девять. В каждом из рядов таблицы такое число только одно.
Но ведь исходное, заданное, число может быть абсолютно любым! Почему же мы, в конечном итоге, выходим на набор чисел, составляющих главную диагональ? А здесь вступает в дело удивительный математический феномен, который я формулирую так: если от любого числа отнять сумму его цифр, то полученное число будет делиться на девять без остатка, этому утверждению соответствует формула: 10а+b-(a+b)=9a. И как мы знаем если один множитель делиться на число, то и всё число будет делиться на это же число.
Вот и вся разгадка! Какое бы число вы ни загадали, отняв от него сумму входящих в него цифр, вы получаете число, которые делится на девять. А в каждой строке такое число встречается только один раз. Кроме самого верхнего ряда. Хотя число 90 и находится на главной диагонали, а также делится на девять без остатка - всё это не имеет совершенно никакого значения, поскольку получить его в качестве результата вычислений не получится: даже если вы загадаете максимальное двухзначное число - 99, вам ведь всё равно придётся отнять от него 18. И вы получите число 81.
Подведём черту. При каждой загрузке страницы с “Магическим квадратом”, его таблица заполняется набором случайных символов. Только на главной диагонали располагается определённый символ, который будет служить “ответом”. Так что квадрат “знает” разгадку ещё до того, как вы загадаете какое-либо число или символ.
О проблеме выбора магического квадрата.
Существует огромное множество различных МК одного и того же порядка. В уже упоминавшейся работе Френикля приведены 880 различных квадратов 4-ого порядка.
В случае, если вам нужно выбрать один из нескольких, как поступить?
Давайте научимся строить лимб, портрет МК.
Рассмотрим квадрат 3-его порядка:
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Расположив его числа в ряд, мы получим таблицу:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Расположив 9 точек по кругу, пронумеровав их и проведя линии из 1 в 4, из 2 в 9 и т.д., мы получим лимб данного квадрата:
Мы видим, что квадрат распался на 8-угольник и отдельную вершину.
Если исходный квадрат повернуть вокруг диагонали, он примет вид:
4
3
8
9
5
1
2
7
6
Таблица:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
3
8
9
5
1
2
7
6
Лимб:
Квадрат распался на 2 четырёхугольника и отдельную вершину.
В работах Меркурианского плана (8 – число Меркурия), связанных с информацией, знанием, коммуникациями и т.п., следует предпочесть первый квадрат.
В работах Юпитерианского плана (4 – число Юпитера), связанных с планированием, благотворительностью, финансами и т.п., следует предпочесть второй квадрат.
Но в любом случае, его порядок – 3, поэтому основная направленность – Сатурн.
Заключение
Трудно понять классическую музыку без подготовки. Нелегко воспринимать абстрактную живопись, не имея представления о её законах. То же можно сказать о числовых узорах.
Удивительная, поистине, магическая красота, содержащаяся в магических квадратах, влечёт к себе лучшие умы человечества в течение тысячелетий. Понять её не всякому дано, но один раз осознав стройность и безжалостную строгость чисел, связанных узами магии, можно получить огромное удовольствие.
Вот ещё одна вариация идеи магического квадрата, магическая плоскость 4-ого порядка:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Перемещая по ней контур 4х4, внутри него мы всегда получим магический квадрат 4-ого порядка.
Вам не нравится? Это не красиво?
Ну, конечно, из этого нельзя делать деньги. Как жаль!
Жаль вас, если вы так считаете!
Список литературы
Болл У., Коксетер Г. «Математические эссе и развлечения» - М.: Мир, 1986 г.
Гуревич Е.Я. «Тайна древнего талисмана» - М.: Наука, 1969 г.
Кроули А. «777. Каббала Алистера Кроули» - М.: ОДДИ-Стиль, 2003 г.
Оре О. «Приглашение в теорию чисел» - М.: Наука, 1980 г.
Петровец Т.Г., Ю.В.Садомова «Энциклопедия мировой живописи» - М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2000 г.
Постников M.М. «Магические квадраты» - М.: Наука, 1964 г.
Санаров А.В. «Магия талисманов. Практическое пособие» - М.: Велигор, 2002 г.
Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1989г.
М.Гарднер «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990г.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14215
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n\times n