Учебные задачи и учебные задания по теме «Элементы треугольника», «Признаки равенства треугольников»

Примеры учебных задач и учебных заданий для закрепления по теме «Элементы треугольника».
1. Из пяти предложенных терминов выберите два, которые наиболее точно определяют данное математическое понятие: треугольник (вершина, катет, сторона, центр, перпендикуляр).
2. Укажите ближайшие родовые понятия для понятий: а) смежные углы; б) гипотенуза; в) равносторонний треугольник; г) биссектриса угла в треугольнике; д) высота треугольника.
3. Назовите несколько видовых понятий для каждого из данных: а) треугольник; б) угол треугольника; в) сторона треугольника.
4. В приведённом определении выделите название определяемого объекта (термин, родовое понятие, видовые признаки и характер связи между ними):
а) прямым (острым) углом называется угол, равный (меньший) 90°;
б) треугольник называется прямоугольным (тупоугольным), если один из его углов прямой (тупой);
в) отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
5. Какая разница между биссектрисой угла и биссектрисой угла в треугольнике?
6. Для каждого из данных понятий подберите видовое отличие и дополните определение:
а) прямоугольный треугольник – это треугольник ____________;
б) равнобедренный треугольник - это треугольник ____________;
в) прямоугольный равнобедренный треугольник - это треугольник _____;
г) медиана треугольника – это отрезок _____________________.
7. Для каждого из данных понятий подберите родовое отличие и дополните определение:
а) треугольник – это ______ с наименьшим числом сторон;
б) биссектриса угла в треугольнике – это ______, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны;
в) высота в треугольнике – это ______, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
8. Сформулируйте свойства равнобедренного прямоугольного треугольника как следствия из данного в задании № 6 определения.
9. Выберите верные утверждения:
а) в равнобедренном треугольнике медиана всегда является его биссектрисой и высотой;
б) если треугольник равносторонний, то он равнобедренный;
в) если треугольник равносторонний, то все его углы равны;
г) если треугольник равносторонний, то любая его высота является медианой и биссектрисой;
д) биссектриса в равностороннем треугольнике является его медианой и высотой;
е) в любом треугольнике одна его высота делит треугольник на два равных;
ж) в равностороннем треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных;
з) если треугольник равнобедренный, любая его медиана является биссектрисой и высотой;
и) если треугольник равнобедренный, то он равносторонний;
к) не всякий равнобедренный треугольник является равносторонним.
10. Из предыдущего задания к неверным утверждениям приведите несколько контр-примеров.
11. Определите приём формулирования утверждений в задании № 9. составьте свои верные и неверные утверждения на основе выделенного приёма.
12. Выскажите свою точку зрения относительно функциональной значимости заданий типа 9-11.
13. Найдите и исправьте ошибку в определении понятия:
а) луч, выходящий из вершины угла, называется его биссектрисой;
б) медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны;
в) треугольник называется равнобедренным, если его стороны равны;
г) перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей смежную сторону, называется высотой треугольника;
д) треугольник – это фигура, состоящая из трёх отрезков и трёх точек.
14. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.
15. Найдите в дополнительной или специальной литературе (в т.ч. в учебнике) название и определение отрезка, соединяющего середины смежных сторон треугольника. Найдите эти отрезки на рисунке к заданию № 14. Измерьте с помощью масштабной линейки длины всех полученных отрезков. Сравните их и сделайте вывод.
Можно ли определить такие понятия как «средняя биссектриса», «средняя медиана», «средняя высота». Определите, если это возможно.
Выделите видовое отличие понятия «средняя линия» от всех других понятий.
16. Из предложенных задач (в учебнике) выбрать те, в которых при доказательстве (решении) используются
а) теоремы о равенстве углов при основании в равнобедренном треугольнике;
б) теорема о совпадении в равнобедренном треугольнике биссектрисы, медианы, высоты.
17. Составьте классификацию видов треугольников, взяв за основание величину углов и величину сторон.
Графически изобразите связь между этими классификациями (например, с помощью кругов Эйлера).
Примеры учебных задач и учебных заданий для закрепления по теме «Признаки равенства треугольников».
1. Укажите, равенство каких треугольников надо доказать для решения следующих задач:
а) доказать равенство соответственных медиан в равных треугольниках;
б) доказать равенство двух биссектрис равнобедренного треугольника, проведённых из вершины основания;
в) доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.
2. Из предложенных задач в учебнике выберите те, в которых при решении используются: а) 1-й признак равенства треугольников; б) 2-й признак равенства треугольников; в) 3-й признак равенства треугольников.
3. Для одного из признаков равенства треугольников сформулируйте обратную, противоположную, противоположную обратной теоремы. Установите истинность полученных предложений.
4. В каждом из сформулированных предложений выделите составные части.
5. Известно, что Δ АВС равен Δ А1В1С1 . Перечислите все равные элементы в этих треугольниках.
Выскажите свою точку зрения относительно вопроса «Существуют ли другие признаки равенства треугольников?». В случае утвердительного ответа, выделите принцип формулировки других признаков и самостоятельно сформулируйте и докажите «новые» признаки.
В случае затруднения, воспользуйтесь таблицей
Путь доказательства Номер признака a b c ∠A∠B∠Cmambmchahbhclalblcналожен. 1 + + + 2 + + + 3 + + + 4 . . . 6. Составьте задачу (задачи) на применение «нового» признака равенства треугольников.
7. Сформулируйте признаки равенства для равнобедренных (равносторонних) треугольников.
8. Проанализируйте решения задач (из учебника) на доказательство равенства отрезков (углов) и заполните следующую таблицу:
Способы решения задач на доказательство равенства отрезков (углов) Номера задач, решения которых основываются на применении данного способа Фрагменты условия задачи (описание типичной ситуации), позволяющей предположить использование данного способа
Рассмотреть отрезки (углы) как элементы двух треугольников и доказать равенство треугольников . . . . . .
. . . . . . . . .
9. Дайте рецензию заданию № 8, указав в нём его «положительные» и «отрицательные» стороны.