Применение координатного и векторного методов для решения задач ЕГЭ повышенного уровня

Применение координатного и векторного методов
для решения задач ЕГЭ повышенного уровня.
При применении углов и расстояний в пространстве поэтапно вычислительным методом возникают трудности, связанные с дополнительными построениями и необходимыми обоснованиями, сопровождающими эти построения. Учащийся должен иметь хорошее пространственное воображение, помнить алгоритмы решения для каждого вида задач.
Координатный или векторный методы позволяют избежать такого рода трудностей. От учащегося требуются знания нескольких формул и навыки в решении простейших задач, основная нагрузка при решении задачи приходится на вычислительную часть.
Координатный метод.
Практика показывает, что учащиеся быстро осваивают метод координат, так как при его использовании необходимо придерживаться общего алгоритма: вычислить координаты необходимых точек, расположенных на многогранниках, и применить соответствующую формулу. Для некоторых задач дополнительно требуется умение составлять уравнение плоскости.
Удачный выбор системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях) позволяет значительно упростить вычисления.
Векторный метод.
Векторный метод не нашел распространения в школьной практике, хотя он может быть использован при решении широкого класса геометрических задач.
В частности, операция скалярного умножения двух векторов позволяет вычислить длины отрезков и величины углов. Если нужно найти длину отрезка, то в качестве базисных векторов выбирают векторы, для которых известны их длины и углы между ними. Если в задаче требуется найти величину угла между прямыми, то в качестве базисных выбирают векторы с известными отношениями их длин и известными углами между ними.
Решение задачи упрощается, если использовать декартовую систему координат.
Обычно при решении задач, в которых рассматриваются призма или пирамида, в качестве базисных векторов выбирают какую-либо тройку векторов, выходящих из одной вершины и направленных вдоль ребер многогранника.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.
Координатный метод.
Пусть дана точка М(x0;y0;z0) и плоскость α, заданная уравнением ax+by+cz+d=0 в прямоугольной декартовой системе координат.
Расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле
ρ(М; α) = ax0+by0+cz0+da2+b2+c2.
-45720014160500
Задача 1.
Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, со сторонами АВ=2, ВС=4, AA1=6. Найти расстояние от точки D до плоскости ACD1.
Решение.
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D(0;0;0) и плоскость ACD1, заданную уравнением ax+by+cz+d=0.
Расстояние от точки D до плоскости ACD1 вычислим по формуле
S (D; ACD1) = ax0+by0+cz0+da2+b2+c2.
Записав в общем виде уравнение плоскости ax + by + cz + d =0 и подставив в него координаты трех точек А (0;4;0), С(2;0;0), D1 (0;0;6), получим:
0·a+4·b+0∙c+d=0, (для точки А)2·a+0·b+0∙c+d=0, (для точки С)0·a+0·b+6∙c+d=0;(для точки D1)4·b+d=0, 2·a+d=0,6∙c+d=0;b =- 14 d, a = -12 d , c = -16 d.
Уравнение плоскости ACD1 имеет вид 6x+3y+2z-12=0.
S (D; ACD1) = 0·6+0·3+0·2-1262+32+22 = 1236+9+4 = 127.
Ответ: 127.
Угол между двумя прямыми.
При нахождении угла φ между прямыми m и l используют формулу
cosφ = p ·q p·q,
или в прямоугольной декартовой системе координат:
cosφ=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12 · x22+y22+z22 ,
где p = {x1;y1;z1}, q = {x2;y2;z2} – направляющие векторы прямых m и l; в частности, для того, чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы
p ·q = 0 или x1x2+y1y2+z1z2=0.

-43688027432000Задача 2.
Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, со сторонами АВ=4, AD=3, AA1=46. Найти косинус угла между прямыми A1C и BK, где точка K- середина ребра DD1.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А.
A1C и BK – направляющие векторы прямых.
A1(0;0;46); С(3;4;0); В(0;4;0); К(3;0; 26).
A1C = {3;4;- 46}, BK = {3;-4;26}.
Отсюда
cosφ = А1С · ВК А1С·ВК = 3·3+4·-4+26·(-4·632+42+(-46)232+(-4)2+(26)2
cosφ=9-16-8·69+16+969+16+24 = 5511·7 = 57cosφ = 57.
Ответ: cosφ = 57.
Угол между плоскостями.
Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями p1x+q1y+r1z+d1=0 и p2x+q2y+r2z+d2=0 соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их нормалей nα= {p1;q1;r1} и nβ= {p2;q2;r2}, используя формулу:
cos∠α;β= nα· nβnα·nβ = p1p2+q1q2+r1r2p12+q12+r12 · p22+q22+r22 .
Отметим, что не всегда составляют уравнения плоскостей для определения векторов нормалей к ним. Иногда, исходя из свойств многогранника, легко найти вектор нормали данной плоскости. Затем остается выразить этот вектор через базисные векторы или найти его координаты относительно введенной декартовой системы координат.
Задача 3.
-4387852413000 В правильной четырехугольной призме стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4. На ребре отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 1 : 3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD1.
Решение.
В системе координат (см. рис.) В(0;0;0), E(3;0;1), D1(3;0;1), BE{3;0;1}, BD1{3;3;4}.
Пусть n1 = BB1{0;0;4} – вектор нормали к плоскости ABC, n2{k; l ;m} – вектор нормали к плоскости BED1.
3k+m=0 3k+3l+4m=0.Считая k=1, находим l=3 и m=-3. Итак, n2{1;3;-3}, n2= 1+9+9 = 19.
-80708511493500Найдем косинус искомого угла cosφ= n1·n2n1·n2 = 319 .
Ответ: arccos319 .

Задача 4.
В правильной треугольной призме АВСA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D – середина ребра СC1. Найдите расстояние от вершины С до плоскости ADB1.
Дано: правильная прямоугольная призма АВСA1B1C1. АВ=ВС=СА=2, СC1=АA1=ВB1=3, СD=DC1.
Найти: расстояние от вершины С до плоскости ADB1.
Решение: расстояние от точки С до плоскости ADB1 вычисляется по формуле
S (С; ACB1) = ax0+by0+cz0+da2+b2+c2-5905501930401
С
В
A
N
2
3y
x
2
001
С
В
A
N
2
3y
x
2

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке С(0;0;0). Плоскость ADB1 задается уравнением ax+by+cz+d=0.
А(0;2;0); D (0;0;1,5); B1(3; 1;3).
BN⏊y, BN=22-12=3, NA=1, CN=1, т.к. ∆АВС – равносторонний, BN⏊ СА.
0·a+2·b+0∙c+d=0, для точки А 0·a+0·b+1,5∙c+d=0, (для точки D)3·a+1·b+3∙c+d=0;(для точки B1)2b+d=0, 1,5с+d=0, 3a+1b+3c+d=0;b =- 12 d, c = -23 d , 3 a = 32 d, a=323d.
32 dx - 12 dy-23 dz + d = 0, d≠0,
33x-3y-4z+6=0.
S (C; ADB1) = 33· 0+0·-3-4·0+6(33)2+(-3)2+(-4)2 = 627+9+16 = 652S (C; ADB1) = 64·13 = 313 = 31313.
Ответ: 31313.
-24193528194000Задача 5.
На ребре CC1 куба АВСDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что СЕ : ЕC1= 1 : 2. Найдите угол между прямыми BE и AC1.
Дано: АВСDA1B1C1D1 – куб, СЕ : ЕC1= 1 : 2.
Найти: угол между прямыми BE и AC1( скрещивающиеся прямые).
Решение: введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0), C1(1;1;1), В(0;1;0), Е(1;1; 13).
АС1={1;1;1}; BE{1;0; 13}.
cosφ = АС1 · ВЕ АС1·ВЕ.
АС1 · ВЕ = 1 ·1+1·0+1· 13 ǀ = ǀ 113 ǀ = ǀ 43 ǀ = 43АС1 = 12+12+12=3; ВЕ = 12+0+(13)2 = 109 = 103.
cosφ=433·103 = 430 = 4·3030 = 2·3015,
φ = arccos23015.
Ответ: arccos23015.