Компьютерное моделирование в курсе "Электричество и Магнетизм"


Примечание	от автора: работа была выставлена на конкурсе студенческих работ в Питере 1997 г.
	Загрузить архив:
	Файл: 041-0011.zip (269kb [zip], Скачиваний: 49) скачать

- 1 -

ОГЛАВЛЕНИЕ

ст.

1. Введение.................................................3

а) Актуальность темы дипломной работы...................3

б) Цели работы..........................................4

в) Научная новизна результатов дипломной работы.........4

г) Научная и практическая ценность......................5

д) Вклад автора.........................................5

е) Реализация...........................................5

ж) Апробация и публикации...............................6

з) Краткое содержаниеи структура......................6

Глава 1. Физические основы исследуемых процессов............8

1.1 Электрический колебательный контур................8

1.2 Опыт Милликена...................................11

1.3 Скин-эффект в цилиндрической геометрии...........16

1.4 Скин-эффект в плоской геометрии..................26

Глава 2. Математическиеметоды исследования физических

процессов........................................31

2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных

уравнений........................................31

2.2 Задача Коши.(Метод Рунге-Кутты 2-го порядка).....34

2.3 Метод Рунге-Кутты 4 порядка......................37

2.4 Краткие сведения о функциях Бесселя..............42

2.5 Краткие сведения о функциях Кельвина.............46

Глава 3. Использование ЭВМ в учебном процессе..............48

3.1 Роль ЭВМ в обучении физики.......................48

3.2 Методы использования ЭВМ в обучении..............51

3.3 Моделирование физических процессов на ЭВМ........53

3.4 Краткое описание программ........................55

Заключение.................................................56

Приложения.................................................57

Литература.................................................66

Введение

Актуальность темы дипломной работы

Дипломная работа посвящена разработке демонстрационных программ для применения в процессе преподавания физики как в школах и среднеспециальныхучебных заведениях, так и в высших учебных заведениях.

Насыщенность школ современной вычислительной техникой еще не приводит к большим переменам в образовании, если учитель не подготовлен ни психологически, ни профессионально к внедрению ЭВМ в его жизнь.

В настоящее время накоплен большой опыт применения вычислительной техники в физических исследованиях, выработаны общие методические подходы решения основных физических проблем и можно констатировать факт, что сложился новый предмет – вычислительная физика, которая составной частью современной физики наряду с общей физикой и теоретической физикой и входит в стандарт образования по физики.

Основным методомисследования вычислительной физики является компьютерный эксперимент, теоретической базой которого служит математическое моделирование, а экспериментальной базой - ЭВМ.

Компьютерное моделирование интегрирует такие предметы, как теоретическая физика, численный анализ и программирование.

На сегодняшний день в процессе преподавания физики очень многие важныеявления и опыты не могут быть реализованы в виде демонстраций в силу их сложности, а их объяснение требует от преподавателя больших "художественных возможностей". Именно поэтому появилась тенденция создания компьютерных программ для моделирования подобных процессов [1-7]. Теперь преподаватель, заранее подобрав исходные данные, может по ходу объяснения демонстрировать все возможные варианты развития процесса не затрачивая массу времени на приемлемое изображениеустановки, самого эксперимента, сопутствующих графиков.

Кроме того, такие программы могут быть также2 0 использованы в лабораторном практикуме с дополнительными заданиями разного уровня сложности, а в совокупности с прилагаемыми описаниями и для самостоятельного изучения материала.

Целями дипломной работы являлись

- исследование моделируемых процессов на предмет получения конечных аналитических решений, пригодных для создания на их основе демонстрационных программ, а в случае их отсутствия построение алгоритмов решения на основе численных методов;

- создание демонстрационных программ на основе полученных решений;

- создания лабораторных работ на основе разработанных программ и ряда разноуровневых заданий к ним;

- апробация созданных лабораторных работ 2 0на2 0 физическом факультете ТГПУ им. Л.Н. Толстого в курсе методики преподавания физики;

Научная новизна результатов дипломной работы

В работе впервые:

- Созданы демонстрационные программы длямоделирования: процессов вэлектрическом колебательном контуре, опыта Милликена, скин-эффекта;

- Для скин-эффекта получено решение в виде комбинации функций Кельвина;

- Показана роль фазового дополнительного слагаемого в решении для скин-эффекта;

- Показано, что в электрическом колебательном контуре на графике зависимости энергии от времени существуют плато, соответствующее нулевому току и проведена аналогия с механическими колебаниями;

Научная и практическая ценность

В работе проведен теоретический анализ исследуемых процессов и создан ряд моделирующих программ.

Как теоретические результаты, так и компьютерные программы дипломной работы могут быть использованы в процессе преподавания физики в различных учебных заведениях и при самостоятельном изучении данного материала.

Вклад автора

В работах, результаты которых выносятся на защиту и выполненных совместноснаучным руководителем, автором внесен должный вклад в постановку задач, выбор методов исследования, теоретический анализ, выбор методов реализации и интерпретацию результатов.

Реализация результатов работы

Полученные в результате теоретического анализа аналитические решения были реализованы автором в виде демонстрационных программ для машин класса IBM PC/AT и совместимых, работающих под управлением:

- MS-DOC версии 5.0 и последующих;

- MS-WINDOWS версий 3.1 и 3.11 (RUS).

Программы реализованы с помощью компиляторов:

- Turbo Pascal 6.0;

- Turbo Pascal 7.0;

и прииспользовании графических пакетов:

- BGI (Borland International)

- Дизайнер.

Демонстрационные программы используются в курсе преподавания физики на физическом факультете ТГПУ им. Л.Н.Толстого и могут быть использованы в других учебных заведениях.

Апробация и публикации

Основные результаты докладывались опубликованы в тезисах докладов Всероссийского (с участием стран СНГ) совещания-семинара "Применение средств вычислительной техники в учебном процессе", изд-во УГТУ, Ульяновск 1995 г. [23]

Материалы работы докладывались и обсуждались также на студенческих научных конференциях в ТГПУ [24].

Краткое содержание и структура

Структура. Дипломная работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения, содержит 55 страниц машинописного текста, 12 рисунков, список цитируемой литературы включает 24 наименования.

Во Введении. обосновывается актуальность работы, формулируется ее цель, излагается краткое содержание работы по главам и перечисляются результаты,являющиеся новыми. Кроме того говорится о реализации и апробации проделанной работы.

Глава 1. дипломной работы посвящена теоретическому исследованию моделируемых процессов.

Глава 2. посвящена описанию математических методов, необходимых для теоретического исследования и моделирования.

ВГлаве 3. рассматриваютсяметодические вопросы, касающиеся какприменения ЭВМ в учебном процессе в целом, так и конкретно применение разработанных программ.

Заключение. посвящено подведению итогов проделанной работы.

ВПриложении. приводятся необходимые схемы, рисунки и графики.

Глава 1

Физические основы исследуемых процессов

10 11.1 Электрический колебательный контур.

Рассмотрим электрический колебательный контур, состоящий, в общем случае, из конденсатора C, катушки индуктивности L и сопротивления нагрузки R (см. рис.1). Процессы происходящие в такой системе описываются дифференциальным уравнением вида:

Ф-

d520q 70 dq

───── + 27d 0──── +7 w40520q = 0 (1.1.1)

dt520 7 0 dt

где

R 1dq

27d 0=7 0─── ;7 w40520 = ──── ; I = - ──── .

L LC dt

Начальные условия:q│ =q400 ; I│ =I400.

│t=0 4 0 │t=0

Энергия колебательного контура определяется выражением:

q520 LI52

W = ──── + ─────. (1.1.2)

2C 2

Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, называются линейными колебаниями, а соответствующиеколебательные системы – линейными системами. Уравнение (1.1.1) имеет следующие решения[18]:

Ф-

7|\\\\

1)7 w400 > 7d4 ,7 W0 = 7? w40527 0+ 7d520- слабое затухание

4-7в4t7 0 7d

q = e 40(A Cos(7W0t) + B Sin(7W0t)); A=q400;B= ─── q40;

4-7в4t0 4-7в4t

q'= -7d0e 40(A Cos(7W0t) + B Sin(7W0t))+ e 4 0(A7W0Cos(7W0t) + B7W0Sin(7W0t))

7|\\\\

7/0 7d524 -7в4t

q=q407 /0 1+ ──── e7 0Cos(7W0t-7f400); (1.1.3)

7?0 7W52

гдеtg7f400 = ─── - сдвигфаз;

7( 0 7d520 7) 4-7в4t

I = q407*01 +7 0────780 7W0e7 0Sin(7W0t) (1.1.4)

79 0 7W520 70

Частный случай: R=0 и 7d0=0(гармонические колебания)

q = q400Cos(7w400t) (1.1.5)

I = q407w400Sin(7w400t) (1.1.6)

2) Критический режим:7 цw400=7d

1 R520 4L

──── = ─────5 ═════0> R520 = ────

LC 4L520 C

4-7в4t

q = q400e7 0(7d0t + 1) (1.1.7)

4-7в4t

I = q400e7 d520t (1.1.8)

3) Сильное затухание:

q527( 0 7 0(-7d0+7W0)t 70 7 0(-7d0-7W0)t7)

q = ────7 *0(7W0 + 7d0)e707 0 + (7W0 - 7d0)e707 0 7 80 (1.1.9)

27W9 0 70

q527w40520 7( 0(-7d0+7W0)t 7 0(-7d0-7W0)t7)

I = ───────7 *0e707 0 + e7 07 0 7 80 (1.1.10)

27W 0 79 0 70

ш2.0

На рис. 12 показаны зависимости q(t), I(t), W(t), причем на последней хорошо заметно плато., соответствующие нулевому току, при котором в системе не происходит потерь энергии.

1 11.2 Опыт Милликена по определению заряда электрона.

Роберт Эндрюс Милликен (1868-1953) - американский физик (с 1924 года член-корреспондент АН СССР). Получил широкую известность за ряд опытов, направленных на установление дискретности электрического заряда и определение заряда электрона с высокой точностью. За эту работу в 1923 году удостоен Нобелевской премии. Также известны его работы, направленные на экспериментальное подтверждение квантовой теории фотоэффекта А.Эйнштейна и работы по определению численного значения постоянной Планка.

Классические опыты Милликена направлены на прямое доказательство дискретности электрического заряда и определение элементарного электрического заряда.

Экспериментальный метод, примененный Милликеном, заключался в непосредственном измерении заряда очень маленьких капелек масла[14,19]. Представим себе такую капельку между обкладками горизонтально расположенного конденсатора(рис.2). Если к пластинам конденсатора не приложено напряжение, то капля будет свободно падать. Вследствие малых размеров капля будет падать равномерно, так как ее вес уравновешивается силой сопротивления воздуха, определяемой законом Стокса, и силой Архимеда.

76 6 6

F4st0+G+F4арх0=0 (1.2.1)

F4st0=G-F4арх0 (1.2.2)

F4st0=67ph0aV4G0, (1.2.3)

G-F4aрх0=37p0a530(7r4k0-7r0)g/4, (1.2.4)

где a-радиус капли, 7h0-вязкость газа, V4G0-скорость свободного падения капли,7r4k0-плотность капли, 7r0-плотность газа.

Представим себе теперь, что к пластинам конденсатора приложено напряжение, величина и знак которого подобраны так, чтобы капелька под действием электрического поля поднималась вверх. Если через V4Е 0обозначить скорость этого подъема, то можно записать:

Еq-mg=67ph0aV4E0 (1.2.5)

где Е - напряженность поля внутри конденсатора. Ионизируя воздух между пластинами конденсатора (например, при помощи рентгеновских лучей ), можно изменить заряд капли. Если при этом величину напряженности поля оставить прежней, то скорость капли изменится и станет равной V4E10.

Продолжая эти рассуждения, можно получить формулу для разности зарядов (q-заряд до облучения, q410-заряд после облучения):

1.0

7p0(2V4G7h530)51/2

7D0q=q-q410=9───────────────(V4E0-V4E10) (1.2.6)

E((7r4k0-7r0)g)51/2

Облучая каплю несколько раз и меняя напряжение, Милликен проводил с одной каплей много опытов. Измеряя скорости падения и подъема капли, экспериментатор рассчитал заряд электрона, который по его данным оказался равным

e=4.805*105-10 0СГСЭ.

Схема установки Милликена приведена на рис. 3 [11,19].

Проведем строгоерешение задачи о движении заряженной частицы в электрическом поле в вязкой среде. Данное движение (рис.2) описывается следующим уравнением:

dV 760 7 60 760 7 076

m ──── = F4арх0 + G + F4сопр0 + F4электр 0; (1.2.7)

dV4x

m ───── = - F4арх0 + G + F4сопр0 - F4электр0 (1.2.8)

760 7 6

где F4электр0=qE - сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле с напряженностью E, причем

E4x0= 7+0 U/d ,7 0U - напряжение между обкладками конденсатора

d - расстояние между обкладками конденсатора

F4сопр-0определяется по закону Стокса (1.2.3),G=mg - сила тяжести

После подстановки и преобразований получим:

dVx 67ph0а Gx F4арх0 4 0qE4x

───── + ────── Vx = ──── - ────── + ───── (1.2.9)

dt m m m m

Введем обозначения

97h0 7r0 7 03qE4x

7a0=───────;(1.2.10) 7b0=g(1- ────);(1.2.11) 7g0=────────;(1.2.12)

27r4k0а520 7r4k0 47r4k7p0a53

получим

dVx

───── + 7a0Vx = 7b0 + 7g0 (1.2.13)

4-7a0t 7b 0+7 g

Общее решение этого уравнения: V4x7 0=7 0const e +7 0───────(1.2.14)

используя начальное условие

7b0 + 7g0 7b0 + 7g

Vx│ =V400 ;40V400 = const + ─────── 7"0 const = V400 - ───────(1.2.15)

│t=07 07a 07 0 7a

имеем

7{ 0 7b0 + 7g07}04-7a0t7b0 + 7g

V4x0 4=0 720 V400 - ─────── 720 e40+ ───────(1.2.16)

7[0 7a 07 ] 0 7a

4x0 4t

7!0 7!

так как 724 0dx =7 20 V4x0 dt (1.2.17) и x│ =0получим

710 710 │t=0

5x400 50

17(0 7 b 0+ 7g07)4 0 4-7a4t0 7(0 7 b 0+7 g 0 7)

x = - ───7 * 0V407 0-7 0───────7 80 e +7 * 0───────7 80 t (1.2.18)

7a90 7a0 70 0 7 907 a 07 0

Для создания демонстрационной программы удобнее использовать

формулу не для x , а для 7D0x ,

17{0 7b 0+ 7g 0 7}{ 0 4-7a4t0 7}0 7 b 0+7 g

7D0x=x-x400= ─── 72 0V40 0- ─────── 72201 - e 720+─────── t (1.2.19)

7a0 7[0 7a0 7 ][ 0 7 ]07a

При q410=n410e 76 g410=7a0V41x0-7a0V40x0, априq420=n420e 76 g420=7a0V42x0-7a0V40x0(1.2.20),

где V40x0-скорость падения капли до облучения и без напряжения,

V41x0-скорость падения капли до облучения при наличии поля,

V42x0-скорость капли после облучения при наличии поля.

Разделив (1.2.20) друг на друга получим:

7g410 V41x0 - V40x0 q41

───4 0=4 0─────────── = ──── (1.2.21)

7g420 V42x0 - V40x0 q42

ш2.0

Определив из формулы (1.2.16) значения для V40x0,V41x0,V42x 0и подставив их в (1.2.21)можно получить отношениеq41 0 кq42 0и если оно равноотношениюцелых чисел то мы вправе утверждать, что оба заряда кратныодному и тому же значению - элементарному электрическому заряду, который по современным данным равен:

e=1.6021892*105-19 0Кл.

1 11.3 Скин эффект в цилиндрической геометрии.

Скин-эффект (от англ. skin-кожа) - это явление затухания электромагнитных волн по мере их проникновения в проводящуюсреду. Переменное во времени электрическое поле3 0и связанное с ним магнитное поле не проникают в глубь проводника, а сосредоточены большей частью в относительно тонком приповерхностном слое толщиной7 d0, называемом1 глубиной скин-слоя0. Происхождение скин-эффекта объясняется тем, что под действием внешнего переменного поля в проводнике свободные электроны создают токи, поле которых компенсирует внешние поле в объеме проводника. Скин-эффект проявляется у металлов, в плазме и в других средах с достаточно большой проводимостью[12,15].

Глубина скин-слоя существенно зависит от проводимости 7s0, циклической частотыэлектромагнитного поля7 w0,от состояния поверхности. На малых частотах7 d0 велика, убывает с ростом частоты и для металлов на частотах оптического диапазона оказывается сравнимой с длинной волны7 l`0105-50 см. При еще больших частотах, превышающих плазменную частоту0, в проводниках оказывается возможным распространение электромагнитныхволн. Их затуханиеопределяется как внутризонными, так и межзонными электронными переходами.

Теоретическое описание скин-эффекта сводится к решению кинетического уравнения для носителей заряда с целью определения связи тока с полем и последующему решению уравнений Максвелла. Наиболее просто описывается нормальный скин-эффект, который имеет место, когда7 d0 велика по сравнению с эффективной длиной7 0 пробега электронов. Величина l определяется расстоянием, проходимым

электроном за время7 t0 между двумя актами рассеяния(7t0-время релаксации) либоза период поля 1/7w0 в зависимости от того, какая из этих величин меньше. В общем случае:

l= ────────, (1.3.1)

7t5-10-i7w

где v-скорость электрона.

Известно 3 вида скин-эффекта: нормальный, аномальныйи нелинейный.

В случае аномального скин-эффекта происходит рассмотрение ситуации, когда l >7 d0;он наблюдается в СВЧ-диапазоне в чистых металлах при низких температурах.

При достаточно высоких значениях напряженности электромагнитного поля, когда параметры среды, например проводимость7 d0, начинают зависеть от поля,скин-эффект становится нелинейным, т.е. толщина скин-слоя7 d0 также начинает зависеть от интенсивности электромагнитного поля.

Подробно рассмотрим распределение плотности тока по сечению

проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный ток, т.е. нормальный скин-эффект. Точное решение зависит, вообще говоря, не только от формы проводника,но и от способа возбуждения в нем тока, т.е. от характера внешнего переменного магнитного поля, индуцирующего ток. Есть однако важный случай, когдараспределение тока можно считать независящим от способа его возбуждения. Это ток в тонком проводе, толщина которого мала по сравнению с его длиной.

При вычислении распределения тока по сечению тонкого провода будем считать последний прямолинейным. При этом электрическое поле параллельно оси провода, а вектор напряженности магнитного поля лежит в плоскости перпендикулярной к оси провода[12].

Рассмотрим провод круговогосечения. Этот случай особенно прост в связи с тем, что вид поля провода заранее ясен. Действительно, в силу симметрии на поверхности провода вектор напряженности электрического поля зависит только от времени. Но при таком граничном условии уравнения

76 6

div E = 0 и rot E = 07 0 70 (1.3.2)

в пространстве вне провода имеет лишь решение E = const7 0не зависящие от пространственных координат во всем пространстве. Отсюда следует, что магнитное поле вокруг провода будет таким же, каким оно было бы вокруг провода спостоянным током, равным данному мгновенному значению переменного тока.[15]

Итак пусть имеется очень длинный проводник радиуса R. Используя уравненияМаксвелла и выражение для rot в цилиндрической системе координат:

760 │7 ( 0 4 7 ) ( )

760 7ч0B7ы0 │ 76 2017 0 7ч0E4z 7ч0E7f4 7262 ч0E4r7 ч0E4z726

rotE=-──── ;│rotE=720-7 0────4 0-4 ─────720e4r0+720──── +4 0────720e7f0+

7ч0t │7 20r7 0 7чf0 4 7ч0z4 72 2 ч0z70 7ч0r7 2

(1.3.3) │7 90 4 70 9 0

760 │

760 76ч0D │7 ( 0 7 )

rotH=j+──── ; │7 2017 ч0(rE7f0)7 017ч0E4z7 26

7ч0t7я0 │7 0+720-7 0──────7 0-4 0-7 0─────720e4z0 (1.3.4)

(1.3.5) │7 20r 7 ч0r7 0r7чf2

ЗаконОма │7 9 0 7 0

760 760 │

j=7s0E │ 7( 0 4 7 ) ( )

(1.3.6) │ 76 2017 0 7ч0H4z 7ч0H7f4 7262 ч0H4r7 ч0H4z726

│ rotH=720-7 0────4 0-4 ─────720e4r0+720──── +4 0────720e7f0+

Материальные урав-│ 7 20r7 0 7чf0 4 7ч0z472 2 ч0z70 7ч0r7 2

нения │7 90 4 70 9 0

76 60 7)0 │ 7( 0 7 )

D=7ee400E 720 (1.4.7) │ 72017 ч0(rH7f0)7 017ч0H4z7 26

760 760 720 │7 0+720-7 0──────7 0-4 0-7 0─────720e4z0 (1.3.8)

B=7mm400H 700 │7 20r7 ч0r7 0r7чf2

79 0 7 0

76 0 7 6

76 ч0H 76076 ч0E

rotE=-7mm40──0(1.3.9); rotH=7s0E+7ee40──0 (1.3.10);

7ч0t7 0 7 ч0t

7ч

Из симметрии задачи видно , что ──=0 , тогда получим:

7чf

7ч0E7f ч0H4r7 0 │ 7 ч0H7f 4 7 ч0E4r

- ─── =-7mm400─── (1.3.11) │ - ───=7s0E4r+7ee400─── (1.3.12)

7ч0z7 ч0t70 │7 ч0z74 7 ч0t

│

7ч0E4r0 7ч0E4z0 7ч0H7f0 │ 7 ч0H4z07 ч0H4z0 7ч0E7f

─── - ───=-7mm400─── (1.2.13)│ ─── - ───=7s0E7f0+7ee400───(1.3.14)

7ч0z 7ч0r 4 7ч0t │7 ч0z 7 ч0r 7ч0t

│

1 7ч0(rE7f0) 7ч0H4z0│7 01 7ч0(rH7f0)7 0 7ч0E4z

- ──────=-7mm400───(1.3.15) │ - ──────=7s0E4z0+7ee400───(1.3.16)

r 7ч0r 7ч0t │7 0r 7ч0r7 0 7ч0t

Очевидно , что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы:

ш1.0

17 ч0(rH7f0)7 ч0E4z0 7)0 │ 1 7ч0(rE7f0) 7ч0H4z7 )

- ──────=7s0E4z0+7ee400─── (а) 720 │ - ──────=-7mm400───7 2

r 7 0 7ч0r7 ч0t 720 │ r 7ч0r 7ч0t7 2

720 │7 2

7ч0E4r0 7ч0E4z0 7ч0H7f0 720 │ 7ч0H4z07 ч0H4z0 7ч0E7f 2

─── - ───=-7mm400─── (б) 780(1)│ ─── - ───=7s0E7f0+7ee400───7 80(2)

7ч0z 7ч0r 4 7ч0t 720 │ 7ч0z 7 ч0r 7ч0t72

720 │7 2

7чHf0 7 4 7ч0Er 720 │ 7ч0E4z7 ч0H4r7 2

- ───=7s0E4r+7ee400─── (в) 720 │ - ─── =-7mm400───7 2

7ч0z7 0 74 7ч0t 700 │ 7ч0z7 ч0t7 0

│

С компонентами E4z0,H7f0,E4r0 эта сис-│С компонентами H4z0,E7f0,H4r0 эта система описывает скин-эффект. │тема описывает вихревые токи.

Будем рассматриватьтолько первую систему, описывающую скин-эффект.

Очевидно, что если в каком либо месте проводника поле периодически меняется во времени, то оно будет периодически меняться и во всех остальных точках проводника. При отыскании периодических решений системы (1) вместо синуса или косинуса удобно пользоваться комплексной показательной функцией, а затем с помощью известной формулы Эйлера:

4i7ф

e4 =0cos7a0+isin7a0; (1.3.17)

перейти к вещественной форме решения.

Кроме того отметим, что уравнения в системе (1) линейны и однородны и следовательно для них выполняется принцип суперпозиции:

сумма произвольного числа решений уравнения сама является решением того же уравнения.

Ищем решение системы (1) в виде:

i7w0t 7 ч )

E4z0=E4z0(r)e ──=i7w 2

i7w0t 7 0=>7 ч0t7 20 (1.3.18)

H7f0=H7f0(r)e7 ┌ ч 2

i7w0t => ──=-ik4z7 2

E4r0=E4r0(r)e7 ч0z7 0

Положим k4z0=0 так ,как мы ищем колебательное решения ,а не

волновое. Кроме того считаем , что7 s > e407ew0 поэтому7 e0=0.

Тогда:

│

ik4z0H7f0=7s0E4r0 => E4r0=0(1.3.19)│

│

│ 7s 0 7 ч0E4z

7ч0E4z7я0 │ H7f0 = ──────── ───── (1.3.22)

───── = i7mm407w0H7f0 (1.3.20) │ i7mm407ws0 7ч0r

7ч0r │

│

7ч0H7f0 1 │

─── + ─ H7f0 =7 s0E4z0(1.2.21)│

7ч0r r

7ч520E4z7ы01 7ч0E4z

──── + ─ ───4 0- i7mm407ws0E4z0 = 0 (1.3.23)

7ч0r520 r 7ч0r

Рассмотрим 2 возможных случая:

1)_Снаружи проводника. (7s0=0)

┌ ┐

7ч520E4z0 7017 ч0E4z0 17 ч0 │ 7ч0E4z0 │7 ч0E4z

──── + ─ ─── = 0 => ─ ──│ r─── │ = 0 => r─── = const41

7ч0r527 0r7 ч0r r7 ч0r│7 0 7ч0r│7 ч0r

└ ┘

7ч0E4z0 const417 !0 const41

───4 0= ────── => E4z0=720 ────── dr (1.3.24)

7ч0r7к0 r710 r

E4z0=const410ln(r)+const420 (1.3.25)

Т.к. при r76$0 поле не может бесконечно возрастать => const410=0,

следовательно E=const420 т.е. не зависит от пространственных координат вокруг проводника.

2)_ Внутри проводника

7ч520E4z7ы 01 7ч0E4z

──── + ─ ───4 0-i7mm407ws0E4z0 = 0(1.3.26)

7ч0r520 r 7ч0r

Очевидны граничные условия:

E4z0│ =E4z0│ и H7f0│ =H7f0│ = ───

│r=R │r=R │r=R │r=R 27p0R (1.3.27)

Таким образом мы получили уравнение:

7ч520E4z7 017 ч0E4z

──── + ─ ───4 0+ k520E4z0 = 0 (1.3.28)

7ч0r527 0r7 ч0r

где k520=-i7mm407ws

7ы0 ┌ 1 ┐ 7ч0E4z

H7f0=│ ───── │ ─── (1.3.29)

└ i7mm407w0 ┘ 7ч0r

Это хорошо известное уравнение Бесселя решение которого записывается в виде комбинации функций Бесселя и Неймана (или Вебера )[8,18]:

E4z0(r)=AJ400(kr)+BN400(k410r) (1.3.30)

Однако N400(x)76$ 0при x7600 ,поэтому мы вынуждены отбросить это

решение и окончательно записать:

E4z0(r)=AJ400(kr) (1.3.31)

Или общее решение:

i7w0t

E(r,z,t)=AJ(kr)e (1.3.32)

7|0 1-i 7|\\0 1-i 1 1-i70 70 7|\\

т.к.7?0-i=────;k=7?mm407ws5 ────0;k= ─ ────;7d0=1/7?mm407ws

7|| |

7?0 2 7 ? 027 0 7d0 7 ? 02

7d0 - глубина проникновения.

Как известно, расчет значений функции Бесселякомплексного аргументапредставляет собой достаточно сложную вычислительную задачу. Кроме того данное решение не обладает достаточной степенью наглядности.

Вместе с тем хорошо известно , что уравнение вида:

7ч520E4z7 017 ч0E4z

──── + ─ ───4 0- i7l520E4z0 = 0(1.3.33)

7ч0r527 0r7 ч0r

7l520=7mm407ws0 ;7 l0=1/7d

имеет решение в виде комбинации функций Кельвина:

E4z0=A[ber400(7l0r)+ibei400(7l0r)]+B[ker400(7l0r)+kei400(7l0r)](1.3.34)

Причем функции ker400(7l0r) и kei400(7l0r) мы должны отбросить по тем же соображениям , что и функции Неймана в предыдущем решении.

Это же легко подтвердить из следующих соображений:

7|0-i7p0/4

(1-i)/7?027 0=e (1.3.35)

Тогда согласно [8] получим:

-i7p0/4

ber400(7l0r)+ibei400(7l0r)=I400(7l0re ) (1.3.36)

Очевидно , что : ber400(7l0r)=Re{I400(7l0r(1-i)/251/20)} (1.3.37)

bei400(7l0r)=Jm{I400(7l0r(1-i)/251/20)} (1.3.38)

Очевидно , что общее решение будет иметь вид :

i7w0t

E4z0(r,t,z)=A{ber400(r/7d0)+ibei400(r/7d0)}e (1.3.39)

Преобразуем последнее выражение :

E4z0(r,t,z)=A{ber400(r/7d0)+ibei400(r/7d0)}{cos(7w0t-k4z0z)+isin(7w0t)}=

┌ ┐

=A│{ber400(r/7d0)cos(7w0t)-ibei400(r/7d0)sin(7w0t)}│+

└ ┘

┌ ┐

+i│{ber400(r/7d0)cos(7w0t)+ibei400(r/7d0)sin(7w0t)}│=

└ ┘

┌7 |\\\\\

=A│((ber400(r/7d0))520+7?0bei400(r/7d0))527 0cos(7w0t+7f0)+

└

7|\\\\\0 ┐

+i((ber400(r/7d0))520+7?0bei400(r/7d0))520 sin(7w0t+7f0)│; (1.3.40)

┘

bei400(r/7d0)

где tg7f0=───────────

ber400(r/7d0)

7|\\\\\

E4z0=A((ber400(r/7d0))520+7?0bei400(r/7d0))520{cos(7w0t+7f0)+isin(7w0t+7f0)} (1.3.41)

Далее необходимо перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл. Как было показано выше всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным решениям.

7|\\\\\

E4z10=A((ber400(r/7d0))520+7?0bei400(r/7d0))520cos(7w0t+7f0) (1.3.42)

7|\\\\\

E4z20=A((ber400(r/7d0))520+7?0bei400(r/7d0))520sin(7w0t+7f0) (1.3.43)

7|\\

где7 f0 - определяется выше , а 7d0=1/7?mm407ws

Оба решения одинаковы так как от функции синуса всегда можно перейти к косинусу путем изменения начала отсчета времени.

Окончательно получим:

┌─────────────────────────────────────────────────────────┐

│ │

│ E4z0=A((ber400(r/7d0))520+(bei400(r/7d0))520)51/20cos(7w0t+7f0)(1.3.44) │

│ │

│ bei400(r/7d0)7 0 7|\\0 │

│ где7 f0= arctg─────────── ; 7d0=1/7?mm407ws0 ;7 w0=27pn0 │

│ ber400(r/7d0) │

└─────────────────────────────────────────────────────────┘

7n0 - частотапеременноготока

7m0 - магнитная проницаемость проводника

7m400=47p0*105-70 Гн/м - магнитная постоянная

7s0 - проводимость проводника

Постоянную A можно определитьзная полный ток в любой момент

времени:

ш1.07

4RR

7! ! !

I(t)=720jdS=72s0E4z027p0rdr=27ps20E4z0(r,t)rdr (1.3.45)

71 1 1

50 0

7|\\\\\\\\\\\\

Графики функций ber400(x),bei400(x),7?0((ber400(r/7d0))520+bei400(r/7d0)520),

7f0(x) в приложении (на рис. 4,5).

При высоких частотах.

x>>1

7|\ | |

ber(x)=7?027p0x7 0exp(x/7? 02)cos((x/7? 02)-7p0/8) (1.3.46)

7|\ | |

ber(x)=7?027p0x7 0exp(x/7? 02)sin((x/7? 02)-7p0/8) (1.3.47)

Тогда x=r/7d

┌7 | |

E4z0(r,t)=A│(27p0x)5-10exp(2x/7? 02)cos520((x/7? 02)-7p0/8)+

└

7|0 7|0 5┐

+(27p0x)5-10exp(2x/7? 02)sin520((x/7? 02)-7p0/8)5│0cos(7w0t+7f0)(1.3.48)

5┘

7|\ |

7?027p0x7 0sin((x/7? 02)-7p0/8)7 |

7f0=arctg───────────────────────=arctg{tg((x/7? 02)-7p0/8)} (1.3.49)

7|\ |

7?027p0x7 0cos((x/7? 02)-7p0/8)

7f0=(x/7? 02)-7p0/8

┌──────────────────────────────────────────────────────────────┐

│E4z0(r,t)=A(27p0r/7d0)5-1/20exp(r/7d0251/20)cos(7w0t+(r/7d0251/20)-7p0/8) (1.3.50)│

└──────────────────────────────────────────────────────────────┘

ш2.0

Прималыхчастотах.

x7600 ber(x)7~01 ; bei(x)7~0x520/4 ; tg7f~0x520/47~f

Тогда E4z0(r,t)=A(1+x540/16)51/20cos(7w0t+x520/4) (1.3.51)

1 1.4 Скин-эффект в плоской геометрии.

Цилиндрические функции табулированы, однако их машинный расчет является достаточно длительной по времени задачей. Покажем, что плоской геометрии решения очень похожи на решения в цилиндрической геометрии , причем функции sin, exp, cos считаются намного быстрее.

Рассмотрим достаточно тонкую очень длинную ленту, по которой течет ток (шина) (рис.6)

│7 6 6 6

760│ 4 0│ e4x 04 0e4y04 0e4z0 │ ┌ ┐ ┌ ┐

7607ч0B│ 760 │ │4 764 0│7ч0E4z0 7ч0E4y0│ 764 0│7ч0E4x0 7ч0E4z0│

rotE=-──│7 0rotE=│7ч0/7ч0x7ч0/7ч0y7ч0/7ч0z│=e4x│0─── - ───│+e4y│0─── - ───│+

7ч0t│ │ │4 0│7ч0y 7ч0z │ 40│7ч0z 7ч0x │

(1.4.1) │ │ E4x0 E4y0 E4z0 │ └ ┘ └ ┘

760 │

760 760 7ч0D │

rotH=j+── │ ┌ ┐

7ч0t │ 764 0│7ч0E4y0 7ч0E4x0│

(1.4.2) │ +e4z│0─── - ───│ (1.4.3)

76 60 │ 40│7ч0x 7ч0y │

j=7s0E7о0 │ └ ┘

76 4 760 ├────────────────────────────────────────────────────

D=7ee400E │ 7 6 6 0 766 6

76 4 760 │ rotE=-7mm407ч0H/7ч0t (1.4.4);rotH=7s0E+7ee407ч0E/7ч0t (1.4.5)

B=7mm400H │

Из симметрии задачи очевидно , что7 ч0/7ч0y=0

7ч0E4y7 ч0H4x0 4│07ч0H4y7 0 74 74 0 7ч0E4x

-─── =-7mm400─── (1.4.6) 4│0 -─── = 7s0E4x 0+4 7ee400─── (1.4.7)

7ч0z7 ч0t4 0 4│07ч0z7 0 74 7 40 7ч0t

4│

7ч0E4x0 7ч0E4z7 ч0H4y0 4│0 7ч0H4x0 7ч0H4z7 0 74 74 0 7ч0E4y

4───0 - ─── =-7mm400─── (1.4.8) 4│0 ─── - ─── = 7s0E4y 0+4 7ee400─── (1.4.9)

7ч0z4 0 7ч0x7 ч0t4 0 4│0 7ч0z 7ч0x7 0 74 7 40 7ч0t

4│

7ч0E4y7 ч0H4z0 4│0 7ч0H4y7 0 74 74 0 7ч0E4z

─── =-7mm400─── (1.4.10) 4│0 ─── = 7s0E4z 0+4 7ee400─── (1.4.11)

7ч0x7 ч0t4 0 4│0 7ч0x7 0 74 7 0 47ч0t

Очевидно , что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы:

7)0 │

7ч0H4y7 0 74 74 0 7ч0E4z7 20 │ 7ч0E4y7 ч0H4x

─── = 7s0E4z 0+4 7ee400─── (a)780 (a)│ -─── =-7mm400───

7ч0x7 0 74 7 0 47ч0t7 00 │ 7ч0z7 ч0t

7ч0E4x0 7ч0E4z7 ч0H4y7 )0 │ 7ч0H4x0 7ч0H4z7 0 74 74 0 7ч0E4y

4───0 - ─── =-7mm400─── (b)72 0 │ ─── - ─── = 7s0E4y 0+4 7ee400───

7ч0z4 0 7ч0x7 0 7ч0t7 0│ │ 7ч0z 7ч0x7 0 70 74 7 40 7ч0t

780 (a)│

7ч0H4y7 0 74 74 0 7ч0E4x7 20 │ 7ч0E4y7 ч0H4z

-─── = 7s0E4x 0+4 7ee400─── (c)│ │ ─── =-7mm400───

7ч0z7 0 74 7 40 7ч0t7 20 │ 7ч0x7 ч0t

700 │

────────────────────────────────┼────────────────────────────────

Скомпонентами E4z0,H4y0,E4x0 , эта│ Скомпонентами H4z0,E4y0,H4x0 , эта

система описывает скин-эффект│ система описывает вихревые токи

────────────────────────────────┴────────────────────────────────

Занимаемся только системой (a) и ищем решения в виде:

ш1.0

i7w0t 7 ч 2

E4z0=E4z0(r)e ──=i7w 2

i7w0t 7 0=>7 ч0t7 80 (1.4.12)

H4y0=H4y0(r)e7 ┌ ч 2

i7w0t => ──=-ik4z72

E4x0=E4x0(r)e7 ч0z7 2

7ч0H4y

───=7s0E4z0 (1.4.13)

7ч0x

7ч0E4z0 7ы

─── = i7mm407w0H4y0 (1.4.14)

7ч0x

E4x0= 0 (1.4.15)

7s0 7 ч0E4z

H4y0= ───────7 0─── (1.4.16)

i7mm407ws ч0x

7ч520E4z

──── - i7mm407ws0E4z0=0 (1.4.17)

7ч0x52

Таким образом имеем уравнения:

Внутри проводника │ Снаружи проводника (7s0=0)

──────────────────────────────────┼──────────────────────────────

7ч520E4z0 │ 7ч520E4z

──── - i7mm407ws0E4z0=0(1.4.18) │ ──── = 0 (1.4.19)

7ч0x520 │ 7ч0x52

│

Очевидны граничные условия: │ Решение:

│ E4z0=const410x+const420 (1.4.22)

E4z0│ = E4z0│ (1.4.20) │Так как поле не может бес-

│r=R │r=R │конечно возрастать то:

4внутри5 4снаружи0 │ const410=0

│Поле вне проводника пос

H4y0│ = H4y0│ (1.4.21)│тоянно , не зависит от

│r=R │r=R │пространственных координат

4внутри снаружи │

│

По теореме о циркуляции легко │ E4z0=const42

получить: 5│

760 760 5│0 7ee400 17 ч0E4z

7#0Hdl=I (1.4.23) 5│0 H4y0= ─── ─7 0───7──0 (1.4.24)

5│0 7mm407 s ч0x

5│0 5└0───┘

I5*0 5│0 5неопределенность

7H4y02l=I5*0l => H4y0=──── (1.4.25) 5│0Магнитное поле такое же ,

2 5│0как оно было бы вокруг про-

5│0вода с постоянным током ,

I5*0 - линейная плотность тока 5│0равным мгновенному значению

5│0переменного тока.

ш1.0

Таким образом имеем уравнение:

7ч520E4z

──── - k520E4z0=0 (1.4.26)

7ч0x52

где k520=i7mm407ws

Решение этого уравнения хорошо известно[18]:

E(x) = Ae5ikx0+Be5-ikx0 (1.4.27)

7|0 1-i 7|\\0 1-i 1 1-i70 70 7|\\

т.к.7?0-i=────;k=7?mm407ws5 ────0;k= ─ ────;7d0=1/7?mm407ws

7|| |

7?0 2 7 ? 027 0 7d0 7 ? 02

из геометрии задачи видно , что E4z0(x)=E4z0(-x) => A=B. Следовательно решение уравнения можно записать в виде:

E(x) = A{e5ikx0+e5-ikx0} (1.4.28)

Тогда общее решение можно записать в виде (переобозначив некоторые выражения: x/(251/27s0)=y , а 7w0t-k4z0z=7a0 ):

4i7ф

E4z0=A{e5y0e5iy0+e5-y0e5-iy0}e=A{e5y0(cosy+isiny)+e5-y0(cosy-isiny)}*

*{cos7a0+isin7a0}=A{(e5y0+e5-y0)cosy+i(e5y0-e5-y0)siny}{cos7a0+isin7a0}=

┌

=A│{(e5y0+e5-y0)cosycos7a0-(e5y0-e5-y0)sinysin7a0}+

└

┐

+i{(e5y0+e5-y0)cosycos7a0+(e5y0-e5-y0)sinysin7a0}│=

┘

A{(e5y0+e5-y0)cos520y+(e5y0-e5-y0)sin520y}51/20{(cos7f0sin7a0-sin7f0cos7a0)+

+i(cos7f0sin7a0+sin7f0cos7a0)} (1.4.29)

(e5y0-e5-y0)siny 5 0e5y0-e5-y

где tg7f0=──────────────5 0=5 0──────── tgy

(e5y0+e5-y0)cosy 5 0e5y0+e5-y

Тогда вправе переписать:

┌────────────────────────────────────────────────5─0────────┐

│ │

│ E4z0=A(e52y0+e5-2y0+2cos2y)51/20{cos(7a0+7f0)+isin(7a0+7f0)}(1.4.30) │

│ │

└─────────────────────────────────────────────────────────┘

Далее следует перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физическийсмысл. Приведенноевыше комплексное решениеэквивалентно двум вещественным. Оба решения одинаковы, так как синус всегда можно преобразовать в косинус, путем измененияначала отсчета времени.По этим же соображениям путем изменения начала системы отсчета всегда можно положить z=0.

Окончательно получим:

┌──────────────────────────────────────────────────────────┐

│ E4z0(r,t)=A(e52y0+e5-2y0+2cos2y)51/20cos(7w0t+7f0) (1.4.31) │

│ │

│ e5y0-e5-y0 x 7|\\0│

│ 7f0=arctg5 0──────── tgy ; y=─────── ;7 d0=1/7?mm407ws0 ; 7w0=27pn 0 │

│ e5y0+e5-y0 251/27d0 │

└──────────────────────────────────────────────────────────┘

Т.е. решенияаналогичныцилиндрическим.

Интересен предел высоких частот: 7w6$0;7d6$0;y76$

┌───────────────────────────────────┐

│ │

│E4z0(x,t)=Ae5y0cos(7w0t+y) (1.4.32) │

│ │

└───────────────────────────────────┘

y= ─────── (1.4.33)

251/27d

Предел низких частот: 7w600;7d600;y7600

┌─────────────────────────────────────────────────────┐

│ E4z0(r,t)=A(1+2y+1-2y+2cos2y)51/20cos(7w0t+7f0)(1.4.34) │

│ │

│ 1+y-1+y │

│ tg7f0=───────y=y520 │

│ 1+y+1-y │

│ │

│ E4z0(r,t)=A(2+2cos2y)51/20cos(7w0t+y520) (1.4.35) │

│ │

│ E4z0(r,t)=A(2(1+cos2y))51/20cos(7w0t+y520) (1.4.36)│

│ │

│ E4z0(r,t)=A2│cosy│cos(7w0t+y520) (1.4.37)│

└─────────────────────────────────────────────────────┘

Важно заметить, что в формулах (1.3.31) и (1.3.44) существует дополнительное фазовое слагаемое, роль которого хорошо заметна при сравнении рисунков 10 и 11.

Очевидно, что существует приповерхностный слой с плотностью тока противоположно направленной поверхностному току.

Для наблюденияэтого эффекта нужно сравнить графики в программах skin.exe (с учетом фазового слагаемого) и skin_1.exe (без учета).

Глава2

" Математические методы исследования процессов "

2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (далее ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов иявлений в различных областях науки и техники.

В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неизвестных величинвходят функция y(x) и ее первые n производных по аргументу x

7f0(x,y,y',...y5(n)0)=0. (2.1.1)

Из теории ОДУ известно, что уравнение (2.1.1) эквивалентно системе n уравнений первого порядка

7f4k0(x,y410,y'410,y420,y'420,...,y4n0,y'4n0)=0, (2.1.2)

где k=1,2,...,n.

Уравнение (2.1.1) и эквивалентная ему система (2.1.2) имеют бесконечное множество решений. Единственные решения выделяютс помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости от вида таких условий рассматриваются три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.

Первый тип - это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения (2.1.1) внекоторой точке x400 должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции y(x) и ее производных

y(x400)=y400 ; y'(x400)=y4100,...,y5(n-1)0(x400)=y4n-1,00. (2.1.3)

Для системы ОДУ типа (2.1.2) начальные условия задаются в виде

y410(x400)=y4100 ; y420(x400)=y4200,...,y4n0(x400)=y4n00. (2.1.4)

Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале x7е0[x400,x4k0], то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутриинтервала.

Минимальный порядок ОДУ, для которого может быть сформулирована граничная задача, равен двум.

Третий тип задачдля ОДУ - это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем,что кроме искомых функций y(x)

и ихпроизводныхв уравнения входят дополнительно m неизвестных параметров7 l410,7l420,7l430,...,7l4m0,которые называются собственными значениями. Дляединственности решения на интервале [x400,x4k0] необходимо задать n + m граничных условий.Вкачестве примераможно назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов диссипации, структуры электромагнитных полей и механических напряжений в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффициентов, коэффициентов затухания,распределения напряженностей полей волновых процессов и т.д.

К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений [10].

Рассмотрим конкретные алгоритмы для каждого типа задач.

2.2 Задача Коши. (Метод Рунге-Кутту 2-го порядка).

Систему ОДУ (2.1.2) часто удается представить вканоническом виде, в так называемой форме Коши

dy4k0(x)

──────── = f4k0(x,y410,y420,...,y4n0), (2.2.1)

где k=1,2,...,n.

При формулировке задачи Коши система (2.2.1) дополняетсяначальными условиями(2.1.4). Для простоты рассмотрим задачу Коши для одного уравнения типа (2.2.1), а затем полученные алгоритмы обобщим на систему n уравнений

dy(x)

─────── = f(x,y), y(x400)=y400. (2.2.2)

В окрестности точки x400 функцию y(x) разложим р ряд Тейлора

(x-x400)52

y(x)=y(x400)+(x-x400)y'(x400)+─────────y''(x400)+..., (2.2.3)

который можно применить для приближенного определения искомой функции y(x).D njxrt x400 + h при малых значениях h можно ограничится двумя членами ряда (2.2.3), тогда

y(x400+h)=y400+hy'(x400)+O(h520), (2.2.4)

где O(h520)-бесконечно малая величина порядка h520. Но такой метод дает очень существенные погрешности.

Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, использующего разложение искомого решения в ряд Тейлора (2.2.3), необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает необходимость аппроксимации производных от правых частей ОДУ. Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции f(x,y) в точках на интервале [x400,x400+h], которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от старшей степени h, с которой учитываются члены ряда, построены вычислительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности [10].

Рассмотрим схемы второго порядка точности. Для этого порядка точностиполечено однопараметрическое семейство схем вида:

y(x400+h)=y400+h[(1-7a0)f400+7a0f(x400+7g0h,y400+7g0f400h)]+O(h530),(2.2.5)

где 07 0<7 a ,0 1 - свободный параметр,

f=f(x,y),7 g0=(27a0)5-10.

Локальная погрешность схем (2.2.5) имеет3-йпорядок, глобальная 2-й; т.е. решение ОДУ полученное по этой схеме, равномерно сходится к точному решению с погрешностью O(h520).

Для параметра7a0наиболее часто используют значения7 a0=0,5 и

7a0=1. В первом случае формула (2.2.5) приобретает вид

y(x400+h)=y400+h[f400+f(x400+h,y400+hf400)]/2, (2.2.6)

геометрическая интерпретация которой представлена на рис. 7

Вначале вычисляетсяприближенноерешение ОДУ в точке x400 + h по формуле Эйлера y4Э 0=4 0y40 0+4 0hf400. Затем определяетсянаклонинтегральной кривойв найденной точке f(x400+h,y4Э0), и после нахождения

среднего наклона на шаге h находится уточненное значение y4RK0=y(x400+h). Схемыподобного типа называют "прогноз-коррекция", что подразумевает грубое вычисление решения по формуле низкого порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о поведении интегральной кривой [10].

С целью экономии памяти при программировании алгоритма (2.2.6), обобщенного на системы ОДУ, изменим его запись с учетом того, что y400=y4Э0-hf40

y4k0(x400+h)=y4kЭ0+h[f4k00-f4k0(x400+h,y4kЭ0)]/2, (2.2.7)

где k - номер решения для системы ОДУ.

Во втором случае при 7a0=1 от формулы (2.2.5) переходим к схеме

y(x400+h)=y400+hf(x400+h/2,y400+hf400/2), (2.2.8)

геометрический смысл которой отражает рис. 8. Здесь при прогнозе определяется методом Эйлера решение в точке x400+h/2

y41/20=y400+hf400/2, (2.2.9)

а после вычисления наклона касательной к интегральной кривой в средней точке решение корректируется по этому наклону.

2.3 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка.

Для построениявычислительныхсхем методов Рунге-Кутты четвертого порядка в тейлоровском разложении искомогорешения y(x) учитываются члены, содержащие степени шага h до четвертой включительно. после аппроксимации правой части ОДУ f(x,y) получено семейство схем Рунге-Кутты четвертого порядка,из которых наиболее используемой в вычислительной практике является следующая:

y(x400+h)=y400+(k410+2k420+2k430+k440)/6+O(h550), (2.3.1)

где

k410=hf(x400,y400),

k420=hf(x400+h/2,y400+k410/2),

k430=hf(x400+h/2,y400+k420/2),

k440=hf(x400+h,y400+k430).

Схема (2,3,1) на каждом шаге h требует вычисления правой части ОДУ в 4-х точках.Локальная погрешность схемы имеет 5-й порядок, глобальная - 4-й.Схема обобщается для систем ОДУ, записанных в форме Коши. Для удобства программной реализации, особенно в случае систем ОДУ, формулы (2,3,1) рекомендуется преобразовать к виду:

y4i0(x400+h)=y4i00+(q4i10+2q4i20+2q4i30+q4i40)/3+O(h550), (2.3.2)

где

q4i10=h420f4i0(x400,y4i00), h420=h/2

q4i20=h420f4i0(x400+h/2,y4i00+q4i10),

q4i30=hf4i0(x400+h/2,y4i00+q4i20),

q4i40=h420f4i0(x400+h,y4i00+q4i30),

i=1,2,...,n - номер уравнения в системе ОДУ из n уравнений.

В приводимом тексте программ рассматривается решение уравнения Ван дер Поля:

y''+p(y520-1)y'+y=0, (2.3.3)

которое является математической моделью автоколебательных механических и электронных схем. Параметр p в уравнении (2,3,3) определяетнелинейные свойства системы. Для малых(p << 1) и больших (p >> 1) значения параметра p в теории колебаний развиты приближенные методы аналитического решения уравнения Ван дер Поля. Для промежуточных значенийпараметра p уравнение приходится решать

численными методами[10].

Для приведенияуравнения (2,3,3) к форме Коши введем обозначения: y410(x)=y(x),y420(x)=y'(x), тогда получим систему уравнений:

720y'410(x)=y420(x),

7*0 (2.3.4)

720y'420(x)=p(1-y52410(x))y420(x)-y410(x).

Оценку погрешности решений системы ОДУ, получаемых методом Рунге-Кутты четвертого порядка,можно провести можно провести по формуле:

y4h0(x)-y4kh0(x)

R400=─────────────5─0, (2.3.5)

k5p0-1

которая при кратности изменения шага k=2 принимает вид:

R400=[y4h0(x)-y42h0(x)]/15 (2.3.6)

Однако этаформулатребует значительных затрат времени для повторного расчета.

Рассмотрим тексты программ реализованных на Паскале.

PROGRAM RUNGE-KYTTE_4

TYPE VEC=ARRAY [1..8] OF REAL;

VAR P,X,X9,H:REAL;

Y:VEC;

CH:CHAR;

{-----ПРОИЗВОДНЫЕ-----}

PROCEDURE RP(X:REAL;VAR Y,R:VEC);

BEGIN

F[1]:=Y[2];

F[2]:=P*(1.0-SQR(Y[1]))*Y[2]-Y[1];

END;

{-----МЕТОД РУНГЕ-КУТТЫ 4-го ПОРЯДКА-----}

PROCEDURE RK4(N:INTEGER; X,H:REAL; VAR Y:VEC);

VAR I,J:INTEGER;

H1,H2,Q:REAL;

Y0,Y1,F:VEC;

BEGIN

H1:=0.0;

H2:=H/2;

FOR I:=1 TO N DO

BEGIN

Y0[I]:=Y[I];

Y1[I]:=Y[I];

END;

FOR J:=1 TO 4 DO

BEGIN

RP(X+H1,Y,F);

IF J=3 THEN H1:=H ELSE H1:=H2;

FOR I:= TO N DO

BEGIN

Q:=H1*F[I];

Y[I]:=Y0[I]+Q;

IF J=2 THEN Q:=2+Q;

Y1[I]:=Y1[I]+Q/3.0;

END;

FOR I:=1 TO N DO Y[I]:=Y1[I];

END;

{--------------------}

BEGIN

REPET

WRITE('P,X,X9,H,Y[1],Y[2]?');

READLN(P,X,X9,H,Y[1],Y[2]);

WHILE (X0.0) DO

BEGIN

RP4(2,X,H,Y);

X:+X+H;

WRITELN(X,' ',Y[1],' ',Y[2]);

END;

WRITE('Ещеразок ?(Y/N)');

READLN(CH);

UNTIL (CH='Y')OR(CH='y');

END.

2.4Краткие сведения о функцияхБесселя.

Цилиндрические функции (бесселевы функции) -решения Z7т0 дифференциального уравнения Бесселя:

d520Z dZ

z520 ───── + z ──── + (z520-7n520)Z=0 (2.4.1)

dz520 dz

где7 n0 - произвольное действительное или комплексное число.

Если7 n0 не является целым числом,то общее решениеуравнения

(2.4.1) имеет вид:

Z7т 0=7 0c410J7т0(z)7 0+7 0c420J4-7т0(z), (2.4.2)

где с410,с420 - постоянные, а J7т0 и J4-7т0 - так называемые цилиндрические функции 1-го рода,или функции Бесселя.Для них справедливо

разложение:

7$4 m7 т4+2m

7░▒0 (-1)5 0(0,5z)

J(z)=7 ▓0 ───────────────── , (│arg z│ < 7p0) (2.4.3)

7│┤0 7█0Г(m+1)Г(m+7n0+1)

5m=0

7т

Ряд вправой частидля z J7т0(z) сходится абсолютно и равномерно при всех │z│7,0R, │7n0│7,0N,где R и N - произвольныеположительные числа. Функции J7т0(z) и J4-7т0(z) - аналитические , с особыми точками

z=0 и z=7$0; производные функций J7т0(z) и J4-7т0(z) удовлетворяют следующему тождеству:

2sin7np

z[J7т0(z)J'4-7т0(z)-J'7т0(z)J4-7т0(z)] = - ────────. (2.4.4)

Если же7 n0 - целое,то J7т0(z) и J4-7т0(z) линейно зависимы,и их

линейная комбинация уженеявляется общимрешениемуравнения (2.4.1). Поэтому,наряду с цилиндрическими функциями 1-го рода, вводят цилиндрические функции 2-го рода N7n0(z) (или Нейманафункции, функции Вебера):

N7т0(z)=───────[J7т0(z)cos7np0-J4-7т0(z)], (2.4.5)

sin7np

(другое обозначение Y7т0(z)). При помощи этих функций общее решение уравнения (2.4.1) может быть записано в виде:

Z7т0=c410J7т0(z)+c420N7т0(z).

Важны для приложения и другие решения уравнения (2.4.1) - цилиндрические функции 3-го рода (или Ганкеля функции).Их обозна

чают через H7т5(1)0(z) иH7т5(2)0(z) и, по определению, полагают:

14 -i7тз

H7т5(1)0(z)=J7т0(z)+iH7т0(z)=──────── [J4-7т0(z)-J7т0(z)e ], (2.4.6)

isin7np

14-i7тз

H7т5(2)0(z)=J7т0(z)-iH7т0(z)=──────── [J7т0(z)e -J4-7т0(z)]. (2.4.7)

isin7np

Справедливытождества:

27 2

z[J7т0(z)N'7т0(z)-J'7т0(z)N7т0(z)] = ───.7 2

7p 2

780 (2.4.8)

4i72

z[H7т5(1)0(z)H7т5(2)0'(z)-H7т5(1)0'(z)H7т5(2)0(z)]= - ────7 2

7p 2

и соотношения:

J(z) = ─ [H7т5(1)0(z)+H7т5(2)0(z)], (2.4.9)

H7т0(z)= ──── [H7т5(1)0(z)-H7т5(2)0(z)]. (2.4.10)

Для действительных z=x и7 n0 функции Ганкеля являются комплексно сопряженнымирешениямиуравнения (2.4.1). При этом функции J7т0(z) дают действительную часть, а функции N7т0(x) - мнимуючасть функций Ганкеля.

Цилиндрические функции 1-го,2-го и 3-го родаудовлетворяют рекуррентным формулам:

27n 2

Z7т4-10(z)+Z7т4+10(z)=──── Z7т0(z),7 2

z7 80 (2.4.11)

Z7т4-10(z)-Z7т4+10(z)=2Z'7т0(z).7 2

Каждая пара функций

J7т0(z),J4-7т0(z); J7т0(z),Y7т0(z); H7т5(1)0(z),H7т5(2)0(z)

образует (при целом 7n0) фундаментальную систему решенийуравнения

(2.4.1).

Модифицированными цилиндрическими функциями называются цилиндрические функции мнимого аргумента:

7(04-i7тз4/27 0 4i7з4/2

720 e7 0J7т0(e z),7 0-7p0 < argz 7,0 7p0/2,

I7т0(z) = 7*0 (2.4.12)

7204-3i7тз4/27 0 4-3i7з4/2

720 e74 7 0J7т0(e4 0z),7 p0/2 < argz 7,0 7p0,

и функции Макдональда:

4i7зт4/274 74i7з4/20 4 -i7зт4/274 74-i7з4/2

K7т0(z)=(1/2)i7p0e7 0H5(1)7т0(e4 0z)=-(1/2)i7p0e7 4 7 0H5(2)7т0(e4 0z)=

4-i7зт4/274 74i7з4/2

=(1/2)i7p0e7 4 7 0H5(1)7т0(e4 0z). (2.4.13)

Эти функции являются решениями дифференциального уравнения

d520Z dZ

z520 ───── + z ──── - (z520+7n520)Z=0 (2.4.14)

dz520 dZ

и удовлетворяют рекуррентным формулам[8,9]

27n 0 72

I7т4-10(z)+I7т4+10(z)= ──── I7т0(z),7 2

z70 780 (2.4.14)

27n 0 72

K7т4-10(z)-K7т4+10(z)=-──── K7т0(z). 72

z70 70

K4-7т0(z)=K7т0(z). (2.4.15)

2.5 Краткие сведения о функциях Кельвина.

Функции Кельвина(или функцииТомпсона)ber(z) и bei(z) -

определяются следующими соотношениями:

43i7з4/4

ber7т0(z)+bei7т0(z)=J7т0(ze )(2.4.16)

4-3i7з4/4

ber7т0(z)-bei7т0(z)=J7т0(ze7 0 ) (2.4.17)

где J7т0 - вышеописанная функция Бесселя. При7 n0=0 индекс у знака

функции опускается. Функции Кельвина составляют фундаментальную систему решений уравнения:

z520y''+zy'-(iz520+7n520)y=0, (2,4,18)

переходящего при z=x(i51/20) в уравнение Бесселя.

Функции Кельвина представляются в виде:

7░▒4 5 0(-1)5r0z54r7▌█

ber(z)=7 ▓4 0─────────────5 ,0(2.4.19)

7╞│┤ 4 0254r0[(2r)!]52

4r=0

7░▒4 5 0(-1)5r0z54r+27▌█

bei(z)=7 ▓4 0──────────────── . (2.4.20)

7╞│┤ 4 0254r+20[(2r+1)!]52

4r=0

Асимптотические представления[8,9]:

7ф4(z)

ber(z)=───────4──0─ cos7b0(z), (2.4.21)

(27p0z)51/2

7ф4(z)

bei(z)=───────4──0─ sin7b0(z), (2.4.22)

(27p0z)51/2

где

z 1 50 25 13

7a0(z)7`0 ──────5 0+ ────────5 0- ───────────5 0- ───── - ...(2.4.23)

(2)51/20 8z(2)51/20 384z520(2)51/20 128z52

z 7p0 1 5 01 5 0 25

7b0(z)7`0 ──────5 0- ─ + ────────5 0- ──── - ───────────5 0- ... (2.4.24)

(2)51/20 8 8z(2)51/20 16z520 384z520(2)51/2

Графики функций Кельвина представлены на рисунках 4,5.

Глава 3

Использование ЭВМ в учебном процессе.

3.1 Роль ЭВМ в обучении физики.

В ходе поступательного развития методики преподавания физики совершенствуются методы обучения и технология педагогического труда, улучшается и обогащается техническая оснащенность учебного процесса. От примитивного рисунка на песке до использования ЭВМ, позволяющих показать в динамике практически любой физический процесс и проверить знания учащихся - вот путь эволюции технических средств обучения. Дальнейший прогресс в преподавании физики, на мой взгляд, будет тесно связан с широким использованием в учебном процессе мощных современных ПЭВМ и компьютерных сетей локального и глобального масштаба. Это, в скором будущем, позволит исключить использование такой громоздкой техники каккино, эпи-, диа-и графопроекция, обучающие и контролирующие устройства. Не надо думать однако,что ЭВМ вытеснит "живой" эксперимент, позволяющий ученику соприкоснуться с явлением один на один. Речь идет о моделировании тех опытов, постановка которых очень громоздка или невозможна вообще. Эти "мыслящие" машины должны стать в руках учителя орудием более эффективной передачи знаний подрастающим поколениям и усиления воспитательного влияния на них.(рис. 9,10,11)

Однако неправильно считать ЭВМ всесильными. Их применение всегда должноопределятся спецификой изучаемой темы и возможностью выразительно передать сих помощью главные особенности изучаемого материала. Так, нельзя изучать физику только сидя за терминалом ЭВМ. Основой обучения физики должно быть непосредственное (специально организованное педагогом) восприятие учениками изучаемых явлений. Учитель физики должен знать дидактические возможности примененияЭВМ и в совершенстве владеть приемами их использования.

Широкое применение ЭВМ дает возможность на всех этапах обучения:

1) повысить эффективность преподавания путем налаживания систематического (пооперационного) контроля знаний учащихся, индивидуализировать усвоение знаний в условиях классно-урочной системы, т.е. реализовать разноуровневость в обучении;

2) освободить учителя от монотонной технической работы, с тем чтобы он мог больше времени уделять творческой деятельности.

3) развивать у учеников методы самостоятельной работы. Кроме того, позволяет:

а) в ряде случаев дать учащимся более полную и точную информацию об изучаемом явлении; с помощью компьютерной мультипликации (или компьютерного видео), например, показать тела в состоянии невесомости, выход человека в открытый космос, доменную структуру ненамагниченного и намагниченного ферромагнетика, быстротечные микропроцессы (например процессы в RLC-цепочке,скин-эффект) и т.п.;

б) повысить наглядность, создать представления о механизме сложных явлений и тем самым облегчить учащимся их понимание; так средствами компьютерной мультипликации даются модельные представления об электрическом токе в проводниках разного рода, явлениях, происходящих в атомных ядрах, о взаимодействии элементарных частиц и т.д.

в) ознакомить учащихся с характером быстро и медленно протекающих процессов, а также невидимых явлений;

г) познакомить учащихся с фундаментальными физическими экспериментами,постановка которых в классе затруднена или невозможна, - опытами Штерна,Резерфорда, Милликена и Иоффе, Стюарта, Кавендиша и т.п.;

д) более успешно решать задачи политехнического образования, поскольку компьютерная анимация позволит дать представление о конструкции машин и механизмов и о физических принципах их работы, а также показать переход от принципиальной схемы того или иного технического устройства к её конкретномуконструктивному решению (например видеофрагменты по темам: "Машины переменного тока", "Радиолокация" и т.д.);

е) проводить контроль знаний учащихся учитывая их индивидуальные способности (т.е. осуществлять разноуровневый подход к контролю знаний учащихся);

ж) усилить воспитательное воздействие на учащихся; с этой целью можно использовать видеофрагменты об истории научных открытий и изобретений;

3.2 Методы использования ЭВМ в обучении.

Компьютер может использоваться в обучении как:

1) Справочное средство.

Т.е. использование ЭВМ как банк данных, содержащий различного рода справочную информацию. Это могут быть различные таблицы, чертежи, схемы, тексты и видеослайды т.д. Если терминал подключен к сети, то можно получить информацию которая хранится на других терминалах или сетевом сервере, а имея модем можно получить доступ к информации хранящейся даже в другой стране или связаться с

преподавателем и получить от него нужную информацию.

Видеослайды будутпрекрасным дополнением к объяснению учителя, а также помогут учащимся осознать материал.

2) Информационное средство.

ЭВМ можно использовать какхранилище видео информации. Это могут бытьучебныецелостные видеофильмы, фрагментарные видеофильмы, видеофрагменты (видеоролики).

а) Целостный видеофильм - это своеобразная видеолекция, в которой раскрывается весь материал темы. Однако практика показывает, что целесообразно делать их фрагментарными и применять как обзорные.

б) Фрагментарный видеофильм состоит из нескольких частей, каждая из которых разбита на фрагменты.

На уроке можно использовать или только нужный фрагмент, или сочетание нескольких. Весь фильм целесообразноиспользовать при обобщении или повторении.

в) Видеофрагмент - это очень короткий (4-5 мин. показа) учебный фильм,посвященный определенному небольшому вопросу; он рассчитан на органическое включение его в ход урока. Присущие ему автономность и относительная отрывочность позволяют учителю в соответствии с логикой учебно-воспитательного процесса осуществлять просмотр видеофрагмента тогда, когда это может принестимаксимальный педагогический эффект.

3) Учебное средство.

а) Обучающие средство. ЭВМ выдает ученику подобранную соответствующим образом информацию (своего рода электронный учебник), с которой ученик знакомится самостоятельно. Причем в этом случае учитель может контролировать то,информация какого уровня сложности преподносится тому или иному ученику (т.е. реализуется разноуровневый подход к обучению).

б) Контролирующее средство. Это различного рода тестовые программы и электронные задачники, в которых вопросы и задачи подобранныпо уровням сложности и даются каждому ученику в зависимости от его индивидуальных способностей[6].

3.3 Моделирование физических процессов на ЭВМ.

Для изучения того ил иного явления в физике очень часто используется такой метод изучения, как моделирование. Моделирование представляет собой воспроизведение определенных свойств и связей объекта - оригинала в другом,специально созданном объекте – в модели с целью их более тщательного изучения.ЭВМ позволяет создать широкий спектр программных средств и активно использовать их в учебном процессе, позволяя сделать многие физические задачи доступными и наглядными[1].

Вместе с тем нужно отметить, что самая совершенная модель не может полностью описать явление, а представляет лишь его основные, наиболее характерные черты.

Таким образомцель моделирования физического процесса - создание модели является "волшебным" инструментом познания, позволяющим на разных степенях исследования выделить главные, наиболее существенные характеристики физического процесса.

Каждая модель физического процесса должна отвечать следующим требованиям:

1) модель не должна искажать физическую реальность

2) модель должна быть динамичной

3) модель должна базироваться на проверенных данных

4) модель должна действовать в определенных рамках

5) модель должнанагляднопредставлять физическое явление,

для которого создана.

Исходя из вышесказанного и были созданы 3 компьютерные программы описывающие:

а) процессы в электрическом колебательном контуре

б) опыт Милликена

в) скин-эффект.

3.4 Краткое описание программ.

На основе проведенного теоретического анализа созданы демонстрационные программы: "Электрический колебательный контур", "Опыт Милликена" и "Скин-эффект".

Программы предназначены для работы в диалоговом режиме и дают пользователю возможность непосредственно участвовать в процессе.

Ученику изначально предложены варианты данных при которых явление лучше всего наблюдать, но ученик может по ходу процесса вносить свои изменения.

Система помощи позволяет работать с программой даже человеку плохо знакомому с ЭВМ. В системе ссылок указана литература к которой можно обратиться для более подробного изучения материала.

В процессе работы ученика на экране представлена вся необходимая для работы информация.

На основе программ созданы лабораторные работы, которые в настоящеевремяиспользуются на физическом факультете ТГПУ им. Толстогона кафедре общей физики в курсе методики преподавания физики. Описания лабораторных работ прилагаются кдипломной работе.

Заключение

В ходе выполнения дипломной работы:

- проведен теоретический анализ моделируемых процессов;

- выявлены новые эффекты;

- на основе полученных решений созданы демонстрационные программы;

- на основе разработанных программ созданы лабораторные работы;

- лабораторныеработы опробованынафизическом факультете

ТГПУ им. Л.Н.Толстого в курсе методики преподавания физики.

В дальнейшем автор предпологает продолжать работу в данном направлении. В частности ведется разработка генератора контрольных работ для средней школы.

Приложение

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 6

Рис. 12

Список используемой литературы.

1. Бурсиан Э.В. Задачи по физике для компьютера: Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. институтов, М.: Просвещение, 1991, 256 с.

2. Тезисы докладов VI координационного совещания-семинара преподавателей физическихдисциплин педагогическихВУЗов Центральной зоны МО РФ., Коломна, 21-23 сентября 1993 г.

3. Тезисы докладов II научно-методической конференции "Использование научно-технических достижений в демонстрационном эксперименте и в постановке лабораторных пракикумов", Саранск, 17-19 мая 1994 г.

4. Тезисы докладов 3 Всеросийского (с участием стран СНГ) совещния-семинара "Применение средств вычислительной технки в учебном процессе кафедр физики, высшейиприкладной математики", Ульяновск, 12 сентября 1995 г. изд-во УГТУ, Ульяновск 1995.

5. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике, М.,Мир,1990 г.

6. "Информатика и образование", №№ 3-6, 1995 г.

7. "Физика в школе", № 4, 1994 г.

8. Е. Янке,Ф.Эмде, Ф. Леш, Специальные функции (формулы, графики, таблицы), Москва: Наука, 1977, ст. 176-245, 262-284.

9. Математическая энциклопедия, Москва: Наука 1985, Т. 2 стр. 846,Т. 5 стр. 819-825.

10. Калиткин Н.Н., Численные методы, М.: Наука, 1978, ст.246-250.

11. Калашников С.Г., Электричество, М.: Наука ,1985, 576 с.

12. Физическая энциклопедия, Москва: Наука, 1995, Т. 3, 4.

13. Савельев И.В., Курс физики, М.: Наука, 1981, Т.1 493 с.

14. Сивухин Д.В., Общий курс физики , М.: Наука 1977, Т.3, 687 с.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, М.: Наука 1982 Т.8,Т.10

16. Шпольский Э.В., Атомная физика, Т.1,М.Наука 1984, 14-20 с.

17. Бугаев А.И., Методика преподавания физики в средней школе (теоретические вопросы), Москва 1981.

18. Камке Е Справочник по дифференциальным уравнениям6М.: Наука, 1979.

19. Филимонов С.Р., Судьба классического закона, Библиотека Квант, выпуск 79, 1989, 65-82 с.

20. ХорошавинС.А., Техника и технология демонстрационного эксперимента., М. Просвещение, 1978, 78-79 с.

21. Лекционный демонстрационный эксперимент /под ред. Ивероновой, М. Просвещение, 1976, 89 с.

22. Шахмаев Н.М., Павлов Н.И., Тыщук В.И., Физический эксперимент в средней школе, М. Просвещение, 1979, ч 1-2.

23. Городько А.Б., Романов Р.В., Компьютерное моделирование процессов в электрическом колебательном контуре, тезисы докладов 3 Всеросийского (с участием стран СНГ) совещ ния-семинара "Применение средств вычислительной технки в учебном пр цессе кафедр физики, высшей и прикладной математики", Ульяновск,12- сентября 1995 г. изд-во УГТУ, Ульяновск 1995, ч.2, с.28-29.

24. Городько А.Б., Романов Р.В., Компьютерное моделирование опыта Милликена в курсе электромагнетизма,Тезисы XXII Толстовских чтений.